2021届高考数学（理）全真模拟卷02（理新课标Ⅰ卷）（解析版）.pdf

新高考全真模拟卷02(新课标I 卷)理科数学本卷满分1 5 0 分，考试时间1 2 0 分钟。一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知复数z满足z(2-i)=l 一3 i,则 z=()oA、-iB、iC、1-zD、l+i【答案】C【解析】v z(2-z)=l-3 z,A z=j-=(1-3/)(2 +/)=l-/,故选 C。2-i(2-0(2 +/)52 .在复平面内，复数z满足(l-i)z=l +i +(2 i)2,则复数z对应的点位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】C【解析】由已知得：(1 i)z=3 +i,则 z=(-3tl)(l t P=zl zZ i =2 一i,1-z(l-z)(l +z)2复数z 对于的点为(一 2,1),位于第三象限，故选C。3.下列说法错误的是()。A、“若x#2,则 f-5 x +6 K()”的逆否命题是“若-5 x +6 =0,则X=2B、“3”是“*-5 工+6 0”的充分不必要条件C、“V x e R,W-5 x +6w0”的否定是 Hr。e R,-5 x0+6 =0 D、命题“在锐角A 4 B C 中，si n Av c osB 为真命题【答案】D【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知，A 正确，由 x2 一 5 x +6 0 解得x 3 ,“*3”是“2 一 5 了 +6 0”的充分不必要条件,B 正确,全称命题的否定是特称命题，C 正确，T T T T T T锐角 A A 8 c 中，A+B n A -B,2 2 2T Tsi n Asi n(-B)=c osB，D 错误,故选4.函数/(x)=s1nx.，灯的图像大致为()。X【答案】B【解析】由/(r)=-f(x)可知函数为奇函数,故排除C、D,由si n x 图像性质可知，当x =E 时，/(x)=0 ,排除A,故选B。5.如图虚线网格的最小正方形边长为1,实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为()A、兀 4B、7 13C、2KD、4汽【答案】【解析】-正视图一C还原三视图为几何体的直观图可知如图:是圆柱的一半，可得该几何体的体积为:V=-X12XTCX4=2TI:,故选 Co2.一俯视图I6.已知数列 “的前项和为S ，点(K,S)在函数/*)=+1 辿的图像上，则数列 许 的通项公式为()。A、B、C、D、an=2 -2=n+n 2J O,n 1a2n-1,n 2 0,n=i2 ，n 2【答案】D【解析】(2t+)dt=x2+x-2=x2+x-2,：.Sn=n2+n-2,.当2 时，=S-S_,=2/?,又 27.已知a%（a、b&R）,函 数/（幻=以 2+2 的值域为 0,+8）,则-+4 的最小值为（a-2b）。A、6B、2C、4D、8【答案】A【解析】当。=0时，/（x）=x +2 b 为一次函数，值域为R,不符合题意;当。工0 时、/0）=以2+X+2/?为二次函数，又值域为 0,+8）,则0,由题意可知八二。，得ab=1,则/?0,8a2+4b2(a-2b)2+4ab则-=-a-2ba-2b=(2。)+2 2 2,a-2b(a-2 b)2 =V 2 ,a-2b当R 仅当 时等号成立,故选A。28.2 0 2 0 年,新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心。八方驰援战疫情，众志成城克时难,社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎。沈阳市某医院的甲、乙、丙、丁、戊 5名医生到湖北的A、B、C三个城市支援，若要求每个城市至少安排1 名医生，则 A城市恰好只有医生甲去支援的概率为（）oA、1T?B、77 5C、3l o口、g【答案】B【解析】先算总数：分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1、1、3 和1、2、2 两种分法,当分成、3 时,有 竽=1。种情况，当分成1、2,2 时，有 以.C1C；=1 5 种情况,第二步，把这一蛆分到:个城市，则共有（1 0 +1 5）x A：=1 5 0 种情况,再算A城市恰好只有医生甲去支援的情况：分两步，第一步，把4名医生分成二组，有1、3和2、2两种分法,当分成1、3 0寸，有C：亡=4种情况,当分成2、2时，有=3种情况,第二步，把这两组分到两个城市，则共有(4 +3)xA =1 4种情况,1 4 7因此所求概率为尸二二故选B。1 5 0 7 59.函数/(x)=2 c o sg x+：)(3 0)的图象关于=二 对称，且在(微,兀)上单调递增，则函数f(x)在区间-二，二 上的最小值为().2 3A、-2B、,y 2C、-1D、一 旦2【答案】B【解析】由题意得：-oi+-=2kK+n(k&Z),解得3 =4&+(&e Z),且二2二，2 4 2 c o 23故0 v c o W 2,C D=,2Lu、rP f/(z x、)=2 c o s-xH 兀、),W x W/兀、兀，3 n,3 7 r W xH W ,2 4 2 3 2 2 4 4故/(x)在区间 苫 申 上的最小值为-四，故选B。1 0.已知函数f (x)=e*+?+i n(x+a)与函数g(x)=ex+e-t+x2(x 0 )的图像上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为()。A、(-o o,l)eB、(-0 0,e)C、(e9)eD、e)e【答案】B【解析】由题意得，g(-x)=/(x)在(0,+8)日 f 解,即 e-*=l n(x+a)在(0,+o o)上有解,即函数y =C 与函数y =l n(x+a)的图像在(0,+8):有交点，函数y =l n(x+a)的图像是由函数y =I n x 的图像左右平移得到的,且当y =l n(x+a)的图像经过点(0,1)时，函数y =与函数y =l n(x+a)的图像有界交点，此时代入点(0,1),有 l =l n(0 +a),得 a =e,：.a 8 0)的两条准线方程为x =，半焦距c =l,右准线/的方程为x =4。CA、3为椭圆C上的两个动点，满足c o s/A”=过 A、3的中点M 作右准线/的垂线，垂足为N。4则反叟的最小值为()。M NAV ioA -4B瓜23 62D、晅3【答案】A【解析】由已和可得，?=4 .=2椭画C的离心率e =X如图所示，作于P，3 Q_ L/于。，设|A F|=m,|8 尸|=，则由据椭圆的离心率定义，M|/l P|=2 m,BP=2n,又,:M 为A8的中点，：.M N=(AP+BQ)=m+n,在A 4 E B 中，由余弦定理得：|AB|2=|A F f +BF1-2AF-BF-c o s ZAFB=m2+n2-2mn-c o s NAFB2 9 1 2 3十 几 一+3 mn=(m+)一 mn,而加 4(四*)2,|A B N(m +)2,即|A 8 巨 亚(?+)，2 8 4:需之限即揣的最小值为限故选A。二、填空题：本题共4 小题，每小题5分，共 2 0 分。1 3.已知向量。、B为单位向量，a b=Q ,若。=3 +4九则c 与Z 所成角的余弦值为4【答案】-5【解析】由数量积公式得:-；c-b(3a+4b)-b 3a-b+4b-b 4c o s =r =,=-=c-b J(3 +4)2.1 5 52x-y01 4.若实数x、y 满足,且 z=2 x +y的最小值为3 ,则实数b的值为y-x+h9【答案】-4【解析】画出可行域如图所示，当目标函数z=2 x+y过 点8时取得最小值由，=。得 帖 竺)，则2 x 2+竺=3,解得力=2。y =-x +6 3 3 3 3 41 5 .庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”。庙会大多在春节、元宵节等节日举行。庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如 砸金蛋 (游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，贝心中奖”)。今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会。游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下:甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”；游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是 o【答案】甲【解析】由四人的预测可得下表:预测结果甲乙丙T中奖人甲XXX乙X丙XXqTX7X(1)若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意，(2)若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意,(3)若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意，(4)若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意，故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确。1 6 .已知数列%满足 a=4,all+i+an=2n+3,”wN+，则 0 2 0 2 0=，2020 2 a a+a a-%+一生02 0 的02 1）=。（本小题第一个空2分，第二个空3分）【答案】2 01 9 -1 01 0【解析】1.*an+i+an=2n+3,an+2+an+x=2 n +5 ./.a+2-an=2,旦 为+6=5,即 =，%的奇数项 4为首项为4、公差为2的等差数列,设 2 l =Z(&eN+),则为=4+2 x(D =2Z+2,的偶数项 Q 为首项为1、公差为2 的等差数列,设 2n=k(k N+),则 q =l+2 x(I)=2%-1,a2020=/jl()10=2x1010-1=2019；-。2+。3,%-%,%+-0 2 0 2 0 2 1)2020%(-3)+4 (3一 。2020,(2019 一。2021)1-(-2)x 3 +4 -氏020)1=-x2020 10101 0 1 0 x(1+2 0 1 9)=-1 0.0o2三、解 答 题（本大题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12 分）jr it平面四边形 A3CO中，Z A B C =,Z A D C =,B C=2.3 2（1）若A 43C 的周长为6,求 AB。7 T 若 AB=1,Z A C D =-,求四边形ABC。的面积。7 7【解析】(1)在 AABC中，V B C=2,NABC=，AABC的周长为6,A B+A C=4,1 分3又由余弦定理得：A C2 A B2+B C2-2 A B -BC cos Z A B C =A B2-2 A B +4,3 分则将A C=4 A 3代入得4 5=2；5 分(2)在 A4BC中，由余弦定理得：A C2=A B2+B C2-2 A B B C-c o s Z A B C =3,7 分A A C =y/3,又 ZACO=E,Z A D C -,.,.AD=,C D =,9 分6 2 2 2四边形 A B C D的面积 S=S CD+S BC A D C D+A B-B C s m A A B C1 V36 76 X-2 23 1 1 cx|x 1 x 2x2 212分18.（12 分）根据空气质量指数A P/（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的A P/数据按照区间0,50、（50,100,（100,150,API0-5 051 100101 150 200201 250251300300级别IIIIII,皿IV,IV2V状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染(1 5 0,2 00,(2 00,2 5 0J (2 5 0,3 00 进行分组，得到频率分布直方图如图。(1)求直方图中X 的值；(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；(3)求该城市某一周至少有2 天的空气质量为良或轻微污染的概率。(结果用分数表示，已知5 7=7 81 25 ,27 =1 28,-1-H-1-1-=-1 825 36 5 1 825 1 825 91 25 91 25,36 5 =7 3 x 5)【解析】(1)由图可知5 0%=1-士1二23 x 5 0,解得x=-11Q-；3 分91 25 1 825 01 1 Q 2(2)36 5 x(-x5 0+x5 0)=21 9；6 分1 825 0 36 51 I Q 2 3(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为：_L22LX5O +x5 0 =-,8 分1 825 0 36 5 5则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为1-士3 二士2,5 5一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为：卓e。-嘉(兴 李 二 黯1 0 分1 2分1 9.(1 2 分)如图所示，四棱锥 PA BCO中，2 4,底面 A B C。，A D L A B,CD/AB,尸 4=1,A B=2 ,P D =B C =叵。(1)求证：平面P A D J _ 平面PCD；(2)若棱PB上存在一点E,使得二面角E-AC-P的余弦值为也，求直线AE与平面A 5CO所成角的正3弦值。【解析】(1)证明：A O L A B,CD/AB,：.A D L C D,A 4 _ L 底面 A B C D,C Du 平面 A B C D，1 分2 分PA L C D,又 AC)nR 4=A,，C。J_平面a 4 D，3 分C D u 平面PCD,/.平面P A D 平面PCD；4 分(2)解：以A 为坐标原点，以A D、A B、AP所在射线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系A-秘 如图所示，则 4)=廊匚丽=1,由点C 向4 3 作线C H,则2=(西，升)AC=(1,1,0),A(0,0,0)、P(0,0,l)、6(0 2 0)、C(l,l,0),5 分设 E(x,y,z),在棱 P 6 上，A PE=PB(0 X l),又 而=(x,y,z-1),丽=(0,2,-1),2九,1 九)，6 分设平面 ACP的向量7=(X,M，Z|),AC=(1,1,0),而=(0,0,1),.a AC=0 fxj+=0a =0 I?=取X 1=l,则 y=1、Z =0,a=(1,-1,0),8 分设平面ACE的向量5=(芍，/，Z2),AC=(1,1,0).A=(0,2X,l-X),a AC=0a AE=0.工 2+为=02 九 为 +(1-A.)Z2=021取电=1，则 为=-1、Z2=-9 /./?=(,1,1 X.一 :a b 1 +1 cos=zz zz-=,闻J +1 +(六 产2X百1 )，10分1 I 1解得九=,石(0,1,),A=(0,l,-),又平面A 3c。的法向量为m=(0,0,1),2 2 2设直线A E 与平面ABCD所成角的平面一角为0，.s in 0=底 玛=正m-AE 512分20.(12 分)已知抛物线C：x2=2 y,过点Q(U)的动直线与抛物线C 交于不同的两点A、B,分别以A、B 为切点作抛物线的切线4、12,直线4、，2交于点尸。(1)求动点P 的轨迹方程；(2)求面积的最小值，并求出此时直线A 3的方程。【解析】设 4；吟)，8(，争，2 2以A 为切点的切线为y =X|(x 芭)，整理得：y=同理：以5 为切点的切线为：y=x2x-,联立方程组:X：y=xx -2,解得 P(土 卫 ,.),X；2 2y=xx -2设 直 线 的 方 程 为：y-l=k(x-l),y-1=2(x 7)联立方程组，1 2 得：X1-2 kx+2 k-2 =0,：.x+x2=2k,xlx2=2 k-2,：.P(k9 4一1),，点 P 的轨迹方程为犬一y l=O(2)山(I)知：|AB|=J l+K ,1(X+电)-42=2yl 1 +k 4k?-2k+2，又P(k,Z l)到直线AB的距离为:k2-2k+2a=j=-J1+-2：.S A B-d =4街-2k+2)3=J 伏一l +l f ,Z=1时，S取得最小值1,此时直线4 8 的方程为丁=彳。1分2 分3分5 分6 分8 分9 分11分12分21.(12 分)已知函数/(x)=x3-3x2-a x。(1)讨论/(x)的单调性；(2)求证：当，一1)时,对 Vxw(l,2)都有|/区)/(2)|3 百一3 犬 2 1。【解析】(1)：/()=/-3-，其定义域为R,f(x)=3x2-6 x-a,A=3 6+12a,1 分当()时，即。一3 时j.,.八七TH；人4H -I 3-J9+3 3 +,9 +3/(x)=0有两个根为 x,=-、x2=-,xt 0,f(x)单调递增，4 分、%,3 j9 +3 a当-3 +J9+3。3)时，/(x)().在R上单调递增,对 VxG(1,2)有|/(百)一/(巧)M 3 芭-3|,不妨设百 芍,;y(x)在/?上单调递增，/(百)，(/),则原式可以转化为3均-3X2 /(Xj)-f(x2)3x2-3xj,7分H l l YJ/U i)-/()3-3%./(%)+3将 f(x2)+3X2即有 ，即u E ，3x1 一 3X2 /(xj-f(x2)f(x2)-3X2 -a,V a 6(-3,-l),g 0,1 0 分当xe(1,2)时，g(x)单调递增，*g0)g(&)，即/(X|)+3 占 /z(x2),即 f(x2)-3x2 /(X 1)-3 X,则原不等式得证。1 2 分请考生在第2 2、2 3 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。2 2.选修4-4：坐标系与参数方程(1 0 分)(x =2 c os 0一 人(。为参数)，在以。为极点，X 轴的非负半轴为极轴的极坐标y =si n 0系中，曲线C 2：p-(c os0-si n 0)=4,(1)写出曲线G和 C 2 的普通方程;(2)若曲线G上有一动点M，曲 线 上 有 一 动 点 N,求使|M T V|最小时M 点的坐标。【解析】由题意可知曲线G 为椭圆，q的普通方程为：+/=1，2分4曲线G 为直线，G 的普通方程为：x-y-4 =o；4分结合图形可知：|MN|最小值即为点M到直线。2 的距离的最小值，设 A/(2 c os0,si n 0),则M到直线C 2 的距离=。辞4|4 +V 5 si n(0-(p)l其中 t a n(p=2 ,6分.当si n(0 p)=T 时，d最小，即|例N|的最小值为上害=生 邑 巫A/2 27分此时 si n 0 =si n(p _=-c o s 9 =，0 0 8 =(9-)=si n c p=即M(竽舍)，即|MN|最小时M 点的坐标为(沼,手)1 0 分2 3.选修4-5：不等式选讲(1 0 分)已知函数/(x)=|2 x-a|,g(x)=|f e x+l|。(1)当6 =1 时，若g/(x)+g(x)的最小值为3,求实数。的值；当 A =-1 时，若不等式/(x)+g(x)l的 解 集 包 含 求 实 数 a的取值范围。【解析】(1)当6 =1 时，/(x)+g(x)=1 元 万|+1 x+1 因 x 5 x 1 1=|/+1 1,2 分：g/(x)+g(x)的最小值为 3，.|1 +1|=3,解得。=-8 或 a =4；4 分(2)当匕=一1 时，/(x)+g(x)v l E P|2 x-t 7|+|x-l|l,5 分当x c g,l 时，原式等同于|2 x-a|v x,即7分.不等式 f(x)+g(x)l 的解集包含且 g,B P 1 O|,9 分故实数a的取值范围是(1=).1 0 分2