2022年—2023年新课标全国卷1文科数学分类汇编—3．导数及其应用.pdf

新课标全国卷I 文科数学分类汇编3.导数及其应用（含解析）一、选择题 2023,12若函数/（不）=%-35也2 1+。5皿在（-00,+00）上单调递增，则。的取值范围是（）2023,12已知函数/。）=以3-3/+1,若/（幻存在唯一的零点七,且%0,则。的取值范围是A.（2,4-0 0）B.（l,4-o o）C.（o o,-2）D.（-8,1）二、填空题【2023,14曲 线 广 必+:在（I：）处的切线方程为.【2023,13】1 3.曲线y=x（31nx+l）在 点（1,1）处 的 切 线 方 程 为.三、解答题 2023,21已知函数/）=6%*-。）一 小.（1）讨论/（x）的单调性；（2）若/（x）2 0,求。的取值范围.【2023,21 已知函数 X)=(x 2)e*+a(x I).（1）讨论的单调性；（2）若“X）有两个零点，求a的取值范围.【2023,21 设函数/（尤）=e a ln x.讨 论/(x)的导函数/(%)零点的个数；(2)求证：当a 0 时，/(x)2 +a l n-.a【2023,21】设 函 数/(%)=1以+”，一二(”),曲 线 y=/(尤)在点(1 J )处的切线斜率为 0.(1)求；(II)若 存 在 x 0 2 1,使 得 f(xo)0 时，(x 6/(x)+x+l 0,求攵的最大值.41nx h2023,2 1 已知函数/1)=+,曲线y=/(x)在点(1,7(1)处的切线方程为x+2 y 3=0.x+1 xIn x(1)求 a,b 的值；(2)证明：当，且时，/(%)x-1新课标全国卷I 文科数学分类汇编3.导数及其应用(解析版)一、选择题 2023,12若 函 数/(不)=%-35也21+。5皿在(-00,+8)上单调递增，则。的取值范围是()/2解析：选C.问题转化为/(尤)=l-co s2 x +acosx.0对x w R恒成立，2 4 5故 1 (2COS?%l)+acosx.O,即 acosx cos2 x+.0恒成立.4 c 5令8 sx =，得耳,+以+.0对/-1,1怛成立.4 5解法一：构造g(。二 /+,开口向下的二次函数g(。的最小值的可能值为端点值，g(T)=；_。1 1故只需保证 /,解得一一软h 故选c.小 1 八 3 3解法二:当r=0时，不等式恒成立;当0 f,1时，a.恒成立，由y=：(书 在0 f”1上单调递增，所以g(4 5)=故a.；当L,r 0时，4,恒成立.由y=在一 1,0时，2 e*+a 0，令/(x)0，即 e*-a0，解得尤 I n a,令/(x)0,即e*-a 0,/(x)在(I n a,+8)上递增，在(-o o,I n a)上递减.当三=0时,r(x)=2(e，y0,x)在 R 上递增.当 a 0，令/(x)0 =2+a 0 =e*-=x I n令 0 =2/+a0=，一!=x l n|所以当a 0,/(X)在(-8,I n a)上递减，在(I n a,”)上递增；当a=0时，/(x)在/?上递增；当a 0时，/(x)mh i=.f(l n a)=e m(*a)a 2 1n a =一。2 n a N O,I n a 0,得()a 0 满足条件./Q、3 3,l n/2 J a -2e,又 因 为 所 以 一 2e”a 0恒 成 立.令/(x)0,则x l,所以/(x)的单调增区间为(1,+8).同理可得/(x)的单调减区间为(一8,1).当2a 0,即a l,即。0,则 xv l 或无 l n(-2a),所以“X)的单调增区间为(-c o/)和(l n(2a),z o).同理/(x)的单调减区间为(ln(-2叫;(i i)当l n(-2a)=l,即a =-|时，当x,l时，x-L,O，ev+2,e1-e =(),所以/(力.0.同理工 1 时、/(x)0 .故 X)的单调增区间为(-00,+8)；(i i i)当即一 cacO时.令/则xv l n(-2)或%1,所以“X)的单调增区间为(8/n(2a)和(1,+8),同理“X)的单调减区间为(l n(2a),l).综上所述，当。一 时，的单调增区间为(一8,1)和(l n(2a),+oo),单调减区间为(ln(2。)；A当”=一5时，/(X)的单调增区间为(一C O,+8);当一|a 0时，“X)的单调增区间为(-oo,l n(2a)和(l,+oo),单调减区间为(l n(2a),l)；当a.O时，的单调增区间为(1,+8),单调减区间为(一8,1).(2)解法一(直接讨论法)：易见/(l)=-e 0,如(1)中讨论，下面先研究(i )(i i)(适)三种情况.当a时，由 力 单调性可知，/(l n(-2a)/(l)0,故不满足题意；当。=2时，力 在(-oo,”)上单调递增，显然不满足题意；当一!”()时，由/(x)的单调性，可知l)/(l n(2a),且 l n(-2a)=(l n(-2a)2)(-2a)+a(l n(-2a)l)-=a l n(-2a)-2-+a 0时，/(l)=-e 0,所以/(无)在(1,+上 有1个零点；(i)当 0 a”l 时，由 1吟 0,所以/(x)在(-oo,l)上有1个零点；(i i)当a l时，由一20时/(X)有两个零点.所以所求a的取值范围为(0,+8).解法二(分离参数法)：显然 =1不是/(X)的零点，当 时、由/(x)=0,得4=，-e(xwl).(x-1)-设g (x)=/(x H 1),则问题转化为直线y=a与g(X)图像有两个交点,(1)一 e (%I j Ff x 2)+1对g(尤)求导得g(x)=-L 4-,(尤T)所以g(x)在(Y 0,l)单调递增，在(1,抬0)单调递减.当q,0时，若xe(-oo,l),g(x)0,直线y=a与g(x)图像没有交点，若xw(l,+。)，g(x)单调递减，直线y=a与g(x)图像不可能有两个交点，故q,0不满足条件;H 3a 2若a 0时，取玉=m i n 1 +，则 g(X)(，)2”而g(2)=0 0时直线y=a与g(x)图像有两个交点，函数/(x)有两个零点.2023,21设函数/(x)=e2j r-a l n x.2(I)讨论/(x)的导函数r(x)零点的个数；求证：当a0时，f(x).2a+an.解：(I )/(x)=2e Z，巴，x 0.2 分x 若go时，八x)0在(0,+8)恒成立，所以广没有零点；.3分(2)若 0 时，F(x)单调递增.当 x-O J(x)-oo；当 x-+8/3 f+8,所以存在一个零点.6分(I I)设 了(X)的 唯 一 零 点 为 由(I)知(0,上，/U)0,_/(x)单调递增.所以犬x)取最小值/(&).8分2所以 r)/Z)二 e 2a H心，又 f(k)=2e2k-=0,所以 e2k=，2k-I n I n%,k 2k a 八 2 、a,a、c,a所以 K&)=-tz(l n 2k)-F 2kci+c i I n 2 2。+I n ,2k a 2k 2 22所以70后2a +Q l n.12分a2 1.解析 /(x)=e2j r-c z l n x(x 0),/z(x)=2e2 x-.显然当a”0时,/(x)0恒成立，/(x)无零点.当 a 0 时，取 g(x)=/(x)=2e 2，f,则 g 0,即 _ f(x)单调递增.令g(x)=/(尤)=2e2(-=0,即 Z e?=-.画出y=2e 2,.与 =区的图像，如图所示.x由图可知，r(x)必有零点，所以导函数/(X)存在唯一零点.(2)由(1)可 知/(x)有唯一零点，设零点为司，由图可知，当xw(O,/)时，/(x)0,即/(x)单调递减;当X%,T8)时，/(X)O,即 单 调 递 增.所以/(x)在X =/处取得极小值，即/(x)n i i n=/)=e 2 a I n x0.又/(x0)=2 e 2%-q =0,解得e2%=f.为2x0两边分别取自然对数，得 2%=I n a-I n 2%,即l n x0=心|一 2%.所以/(%)=94 0c i I I n 2xnl 2=F 2a M i -c i I n -.2x0 22 a-a n-=2a+a n-(当且仅当/-=2 以0，即与=工时取等号).2 a 2x0 2【2023,21】设 函 数/(%)=a l n x+x2-bx(a 1),曲 线 y=/(x)在 点(1J)处的切线斜率为 0.(I)求；(H)若 存 在 x o 21,使 得/(%)0),依 题 尸 =0,解得 6=1,.3 分X(H)由(I )知 f(x)anx+-x2-x,八 劝=(*=(匕1)(吆 旬,2 x x因为8 1,所以f(x)=0 有 两 根：x=l或=旦。.4分-a 若 ag L 则 上 力,在(1,+8)上，尸区0,f(x)单调递增.2 l-a所以存在X o N l,使 得/(x 0)，一,的 充 要 条件为了4 旦，即 与 一 1旦a-l-a 2-a解 得 一 1 v a v/2 1 o .6 分W(2)若，a l,则 一 生 1,在(1,，一)上，尸(x)0 J(x)单 调 递 减，2-a l-a在,+8)时，尸(x)0,f(x)单调递增.l-a所以存在X o 21,使 得/(x 0)，的 充 要 条 件 为 了(，_)，_,a-1 一。1 一。2而/(旦)=al n一+L L,所以不合题意.9 分-a l-a 2(l-a)l-a l-a 若 a l,则/=三 1=士 ，一。存 在 x o”，符 合 条 件。1 1 分2 2 a-l综 上，a的 取 值 范 围 为：(-血-1,3-1)5 1,+8)。管 分【20 23,20 已知函数x)=e，(a r+b)/一 4 x,曲线y=/(x)在点(0,10)处的切线方程为y=4x+4.(1)求 a,匕的值：(2)讨论4 0的单调性，并求兀0 的极大值.解：(1 )f(x)=eax+a+b)-2x-4,由已知得1 0)=4,/(0)=4,故 b=4,a+h=S,从而”=4,b=4.(2)由(1)知，fix)=4er(x+l)-x2-4x,/(x)=4ev(A：+2)-2x-4=4(x+2)ev.令/(x)=。得，x=也2 或 元=-2.从而当(8,-2)U(-ln 2,+o o)时，/(x)0；当 (-2,一 I n 2)时，/(x)0时，(x 旬1(x)+x+l 0,求人的最大值.【解析】(1)函数/*)的 定 义 域 为(一 处+8),且,(光)=产一。.当时，f*(x)0 ,/(X)在(-8,+o o)上是增函数；当。0 时，令/(x)=ex a=0,得 x =I n。.令/(x)=-。，得 x l n，所以/(x)在(I n a,+0。)上是增函数,令 尸(x)=e*-0 ,得 x 0时，(x-Z)/(x)+x+l 0等价于x(er-l)+x +lx+1=x-；ex 1x +1即当x0时，k 0).ex-lr 4-1令 g(x)=V+x，则 g(x)xex 1-T+1d)2e(ex-x-2)(e-l)2由(1)知，函数/z(x)=e*-x-2 在(0,+o o)单调递增,而版l)=e 3 0 ,所以(x)在(0,+o o)存在唯一的零点.故 g(x)在(0,+8)存在唯一的零点.设此零点为a,则a w(l,2).当x e(0,a)时，g(%)0 .所以g(x)在(0,+)的最小值为g(a).a +1又由 g(a)=O,可得 e&=a +2,所以 g(a)=-+a =a +le(2,3),ea 1由于式等价于女 x-l陵+1 1)a-I n x【解析】(1)/(x)=/一与，由于直线x+2y 3 =()的斜率为一:，(X+1)-厂 2/=1 快=1且过点(1,1),故，即a ,1，解得a =l,匕=1.广 =一，匕一”二一2(2)由 知=I n x 1-4-X+1 X-21n x-1一厂i，所以“X)譬元 2 1 /，7 2%2(%2)(1V考虑函数力(x)=2I n尤-(x 0),则/i (x)=-、-=-1 J .X X X所 以 当 时，/(x)0,可得(x)0；当.(1,4-0 0)时,/?(%)0.1 -X从而当了0,且X W 1时，/(X)-笥0,即/(x)笥.