2022年上海市长宁区中考数学二模试卷.pdf

2022年上海市长宁区中考数学二模试卷注意事项：i.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2 .选择题每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.3.作图可先使用2 B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.一、选 择 题（本大题共6小题，共2 4分）1.6的倒数是（）A.；B.2 C.立 D.一直2222 .下列计算正确的是（）A.（a2）3=a5 B.a2-a3=a6 C.a5 4-a3=a2 D.（a +2 a）2=4 a23 .下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A.正三角形 B.菱形 C.平行四边形 D.等腰梯形4 .关于反比例函数y =%下列说法中错误的是（）A.y的值随x的值增大而减小B.它的图象在第一、三象限C.它的图象是双曲线D.若点（a,b）在它的图象上，则点（b,a）也在它的图象上5 .如果一组数据1,2,x,5,6的众数为6,则这组数据的中位数为（）A.6 B.5 C.2 D.16 .已知四边形A BCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当A B=BC时，四边形A BCD是菱形B.当A CJ.BD时，四边形A BCD是菱形C.当/A BC=9 0 时，四边形A BCD是矩形D.当A C=BD时，四边形A BCD是正方形二、填 空 题（本大题共1 2小题，共4 8分）7 .计算：三一十a 2a8.在实数范围内分解因式：%2-3=9.如图，在A8C中，点。在边4B上，且 各=j点E是4CDD 3的中点，酢 m=石,试用向量五,方表示向量反，那 么 屁=.1。.不等式组以打。的解集为1 1.函数y=77不己的定义域是12.如图，在ABC中，乙4cB足为点D,如果笄匹=|,ADCACDB N=8,那么CD的长是=90,C D 1 A B,垂1 3.如图，在A4BC中，力 E是BC边上的中线，点6是44BC的重心，过点G作G/7/AB交BC于点F,那么EF _ .EC-1 4.已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10,5,7,6,第五组的频率是0.2,则第六组的频率是1 5.已知正六边形外接圆的半径为3,那么它的边心距为1 6.如图，。的半径为10c?n,48。内接于。，圆心。在ABC内部.如果A B=4 C,BC =1 2 c m,那么 ABC的面积为 c m2.17.如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形.已知直角三角形力8 c是半高三角形，且斜边48=1 0,则它的周长等于18.如图，四边形4BCD是。的内接矩形，将矩形4BCD沿着直D C线BC翻折，点4、点。的O第 2 页，共 27页AB对应点分别为4、D,如果直线4 D 与。0相切，若AB=2,那么BC的长为三、解答题(本大题共7小题，共78分)1 9.计算：12022+2cot260|7r 3|+9-z-2 0.已知二次函数y=-/+6%-5的图象交工轴于4、B两点，点4在B左边，交y轴于点C.(1)将函数y=-%2+6 x-5的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求AaBD的面积.O x2 1 .已知：如图，4 0是。的半径，4 c为。的弦，点F为4 C的中点，0 F交4 C于点E,AC =1 0,E F =3.(1)求4 0的长；(2)过点C作C D 1 4 0,交A O延长线于点D,求0 D的长.2 2 .冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射.，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼.该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面2 0米处要盖一栋高2 5米的新楼.已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为2 9。(参考数据：sin29 0.4 8；cos29 0.8 7；tan290 0.5 5)(1)冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？(2)若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？(结果保留整数)第 4 页，共 27页2 3 .已知：如图，在 A B C 中，AB=AC,D E/B C,点尸在边A C 上，D F 与B E 相交于点G,H/.E DF =AABE.求证：(1)4 D EFFB D E；(2)D G -DF =DB-E F.2 4 .在平面直角坐标系中，抛物线y=-必+2 b x +c 与轴交于点4、B(点4 在点B 的右侧)，且与y轴交于点C,已知点4(3,0),。为坐标原点.(1)当B 的坐标为(一 5,0)时，求抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，以4 为圆心，0 4 长为半径画0 4,以C 为圆心,A B 长为半径画O C,通过计算说明。4 和。C的位置关系；(3)如果B4C4 0 C,求抛物线顶点P的坐标.AOx2 5.在Rt A ABC中，/.ACB=90,AC=9,sin/BAC=g.点。在边48上(不与点4、B重合)，以4D为 半 径 的 与 射 线 4C相交于点E,射线DE与射线BC相交于点F,射线4F与O A交于点G.(1)设A D=x,用含x的代数式表示DE的长；(2)如果点E是虎的中点，求N4F0的余切值；(3)如果力FD为等腰三角形，直接写出力D的长.第6页，共27页答案和解析1.【答案】c解:近的倒数是专，专=亨.故选：C.应的倒数是专，再分母有理化即可.此题考查分母有理化，是初中代数的重要内容，解法的关键是准确判断分母的有理化因式.2.【答案】C解：4、(a2)3=a5,所以此选项不正确;B、a2-a3=a5,所以此选项不正确；C、a5 4-a3=a2,所以此选项正确；D、(a+2a7=(3a)2=9a2,所以此选项不正确；故选C.A、根据某的乘方，底数不数，指数相乘的法则进行计算；B、根据同底数基的乘法法则进行计算；C、根据同底数塞的除法法则进行计算；。、先合并同类项，再根据积的乘方法则进行计算.本题考查了同底数幕的乘、除法，积的乘方，某的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.3.【答案】B解：4 正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；A菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D 等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B.第8页，共27页根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转1 8 0度后与自身重合.4.【答案】A解：4关于反比例函数y =在每个象限内y的值随x的增大而减小，说法错误，符合题意；员关于反比例函数y =（它的图象分布在一、三象限，说法正确，不合题意；C.关于反比例函数y =%它的图象是双曲线，说法正确，不合题意；。.关于反比例函数y =%若点（a,b）在它的图象上，贝U（b,a）也在图象上，正确，不合题悬；故选：A.直接利用反比例函数的性质：图象、增减性、图象上坐标特点，分别判断得出答案.此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：（1）反比例函数y =；（卜力0）的图象是双曲线；（2）当k0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k.7.【答案】；2a解：原式二-；=;，2a 2a 2a故答案为：:2a首先通分，然后根据同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.进行计算即可.此题主要考查了分式的加减，关键是掌握分式加减的计算法则.第10页，共27页8.【答案】(x+V5)(x 皆)【解析】【分析】本题考查平方差公式分解因式,把3写成旧的平方是利用平方差公式的关键.把3写成旧的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式.【解答】解：x2 3=X2 (V3)2=(x+V3)(x V3).故答案为(x+V 3)(x-V3).9.【答案】|五+解：假号，2 4。:.DA=|a,E是4 c的中点，AE E C,.荏 一 刀=与,2 2一 一 f，7 _.1-5 2故答案为：|a +1/?.求出万?，A E,利用三角形法则求解.本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型.10.【答案】一 2 x 4 1解：解不等式得：x 0,得：x -2,不等式组的解集为：一 2 x 1,故答案为：2 -3解：根据题意得：x +3 0,解得：x 3.故答案为：x 3.根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,可以求出x 的范围.考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.1 2.【答案】y解：乙 AC B=9 0 ,4AC D+乙 BC D=9 0 ,v C D 1 AB,+/LAC D=9 0 ,:.Z-A=乙 B C D,又Z J 1 D C =乙 C D B,A D C A C D B,.也=丝 幺 蝮=竺CD BD CCDB CD9.也 一。即-1CD 2 CD 2解得，C D =y,故答案为：g.证明 ZDCH C D B,根据相似三角形的性质可求出C D 的长.本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.第12页，共27页13.【答案】1解：点G是A 4 B C的重心,EG 1,一=一，EA 3 GF/AB,EF EG 1*(,一,EB EA 3 T E是BC边上的中线，:.EB=EC,.竺 _工 E C 3f故答案为：根据三角形的重心的概念得到携=i根据平行线分线段成比例定理得到霁=穿=jEA 3EB EA 3根据三角形的中线的概念计算即可.本题考查的是三角形的重心的概念、平行线分线段成比例定理，掌握重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍是解题的关键.14.【答案】0.1解：根据第五组的频率是0.2,其频数是40 x0.2=8；则第六组的频数是40-(1 0 +5+74-6+8)=4.故第六组的频率是与即0.1.40故答案为0.1.根据频率=频数+总数，以及第五组的频率是0.2,可以求得第五组的频数；再根据各组的频数和等于4 0,求得第六组的频数，从而求得其频率.本题是对频率=频数十总数这一公式的灵活运用的综合考查.注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1.15.【答案】这2解：如图，连接。力、0B；过点。作。G 1 AB于点G.在Rt 40G 中，v 0A=3,Z/40G=30,OG=OA-cos 30=3 X =.2 2故答案为：当.根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决.本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键.1 6.【答案】1 0 8解：连接40并延长交BC于D,连接。B,:AB=AC,AB-AC AD 1 BC,BD=DC=-BC=6cm,2在R taO B D 中，OD=y/OB2-BD2=8(cm),AD=18cm,SMBC=X 12 X 18=108(cm2),故答案为：108.连接力。并延长交8 c于D,连接0 B,根据勾股定理的推论得到力D 1 B C,根据垂径定理求出B D,根据勾股定理求出0 D,进而求出A D,根据三角形的面积公式计算，得到答案.本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理的推论、勾股定理是解题的关键.17.【答案】10+10位或6代+10解：分两种情况：如图所示，RtZk/lBC中，CD L A B,CD=AB=|x 10=5,第14页，共27页c设8C=a,AC=b,（a2-Vb2=102则gab-x 5 x 1012 2解得a+b=10或或a+b=-10企（舍去）,.4BC 的周长为 10VI+10；如图所示，RtzMBC中，AC=BC,解得：尸华，5 =2V54BC的周长为6西+10;综上所述，该三角形的周长为10+10位或6通+10.故答案为：10+10鱼 或6+10.分两种情况讨论:Rt 力BC中，CD 14B,C0=48=5；Rt ABC中，AC=分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长.本题主要考查了新定义的运用，三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题给的关键是利用勾股定理进行推算.18.【答案】4V2解：设直线AD与O。相切于点G,连接OG交CB于E,连接。C,过点。作OH 1 CD于H,则OH=CH=CD=1,四边形HOEC为矩形，OE=CH=1,与O。相切,OG 1 AD,：BC/AD,OG 1 BC,C E -BE,由折叠的性质可知，C D，=C D=2,:.E G=2,A OC =OG=3,C E =ylOC2-O E2=2 V2，BC=4 V2,故答案为：4 V2.设直线4。与。相切于点G,连接O G交C B于E,连接0 C,过点。作O H J.C D于根据垂径定理求出。E,根据折叠的性质求出E G,根据勾股定理计算，得到答案.本题考查的是切线的性质、垂径定理、折叠的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.1 9.【答案】解：原式=I+2X(?)2 (兀 一 3)+：2 1=-1 H-7 T +3 4-3 3=3 兀【解析】先计算乘方、负分数指数幕、绝对值及特殊角的三角函数值，再合并同类项即可.此题考查的是乘方、负分数指数累、绝对值及特殊角的三角函数值，掌握它们的法则是解决此题的关键.2 0 .【答案】解：y=-x2+6 x -5 =-(x -3)2+4,二 次函数、=一/+6%-5的开口方向向下，对称轴为直线x =3,顶点坐标为(3,4)；(2)如图，第16页，共27页针对于y =-x2+6 x -5,令y =0,则-%2 +6%5 =0,x=1或 =5,点4在B左边，.-.2 4(1,0),5(5,0),令 =0,则y =-5,A C(0,-5),点。与点。关于二次函数的对称轴对称，ShABD=必|=3 5 -1)X 5 =1 0.【解析】(1)直接配方得出y =-(x 3)2 +4,即可得出答案；(2)先求出点4,B,C的坐标，进而求出点。坐标，最后用三角形面积公式求解，即可求出答案.此题主要考查了二次函数的性质，配方法，对称性，三角形的面积求法，求出点。坐标是解本题的关键.2 1.【答案】解：(1)点尸为4 C的中点,。/垂直平分AC,Z,AE O=9 0 ,OA2=O E 2 +4肥，-AC =1 0,E F=3,AE=5,v OA=OF,.0E=0 F-E F =0 A-3f 0/2=(o a-3)2+52,解得04=y;(2)v OF 1 AC于点E,AD 1 CD与点D,:.Z-AEO=/.ADC=90,Z.EA0=Z-DAC,AEOsADC,AE _ AO,=，AD AC17v OA=?AE=5,AC=10,17.A=X,AD 10解得AD=詈，-O D=A D-O A=-17 _ 450-289 _ 1613 51-51即O D的长为5.【解析】(1)根据垂径定理和勾股定理可以求得。4的长；(2)根据题意和相似三角形的判定方法可以得到4力E07 A D C,然后即可得到穿=笫再根据题目中的数据和(1)中的结果，即可得到0。的长.本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.2 2.【答案】解：(1)冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响,理由：延长光线交C O于点F,过点F作F G 1 4 B,垂足为G,B第18页，共27页则N4FG=29,GF=BC=20米，GB=FC,在Rt AGF中，AG=FG-tan29 20 X 0.55=11（米）,：AB=25 米，GB=AB-A G =2 5-1 1 =14（米），FC=GB=14米，14米6米，.冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；（2）延长光线交直线BC于点E,贝 IJN4E8=29,在R tM B E 中，AB=25米，BE=45（米），tan290 0.55 J 若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米.【解析】（1）延长光线交CD于点F,过点F作F G 1 4 B,垂足为G,根据题意可得N4FG=29,GF=BC=20米，GB=F C,然后在中，利用锐角三角函数的定义求出A G,从而求出GB的长，进行比较，即可解答；（2）延长光线交直线8C于点E,根据题意可得乙4EB=29。，然后在R ta a B E 中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，即可解答.本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.23.【答案】证明：（1）-：AB=AC,Z.ABC=乙ACB.DE/BC,乙ABC+（BDE=1 8 0,乙ACB+乙CED=180.乙BDE=Z-CED.:Z-E DF=Z 7 1 B E,DE F BDE.由ADEFJ B O E,得 招=芸.DE EF DE?=DB E F.由 D E F f B D E,得乙BE D=乙DF E.乙 G DE =乙 E DF,G DE A E DF.DG _ DE-=-.DE DF DE2=DG -DF.DG DF =DB-E F.【解析】(1)根据4 B=4 C,求出/A B C =N A C B,结合D E/B C,得出N B D E =zC E。，再根据4 E D F =itiDE F-BDE.(2)由A D E F s a B D E,得出ADEFSA BDE,从而推出B E D =ND FE,结合NGDE=/.E DF,M tlW E2=D G-D F,从而得至I jD G D F =D B E F.此题考查了相似三角形的判定与性质，解答过程中要用到平行线的性质及同角的补角相等等知识，难度不大.2 4.【答案】解：(1)把4(3,0),8(-5,0)代入y=-/+2 3%+c得:(9+6 b +c =0l-2 5-1 0 b +c =0 解得。：2二抛物线的解析式为y=-x2-2 x4-1 5；(2)如图：第20页，共27页在y=-x2 2x+15 中，令 =0得y=15,C(0,15),4(3,0),B(_5,0),OA=3,AB=8,AC=y/(3-0)2+(0-15)2=3底,。力+4 8 =3+8=11,*,OA 4 AB AC f.0 4 和。外离；(3)如图：9+6b+c=0,c=9 6Z?,:.y x2+2bx 4-9 66,令y=0得+2bx+9-6b=0,解得=3或%=2b-3,A 5(2 6-3,0),令 =0得y=9-6b,C(0,9-6b),当84C与力OC相 彳 以时，乙1OC=90,BAC中需有一个直角，而 从 B为抛物线与工轴，。为抛物线与y轴交点，ABC中,乙4c8=90。，且4、8位于y轴两侧,此 时 2b-3 V 0,即b v|,A 0C=9-6b,OB=3-2b,v 乙BCO=90-Z.ACO=Z.OAC,乙COB=90=440C,.BOCX CO A,OB OC-=-,OC OA OC2=OB-OA,(9-6b)2=(3-2 b)x 3,解得b=|(舍去)或b=g，二抛物线解析式为y=-X2+|x +1=-(x -92+抛物线顶点p 的坐标为6,).【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=-x2-2 x +15；(2)由y=-%2-2x+15得C(0,15),从而。A=3,AB=8,AC=3 7 2 6.根据两圆半径之和小于圆心距即得。4和。C外离；(3)把4(3,0)代可得c=9-6 b,有y=-M +2bx+9-6 b,令y=。得B(2b-3,0),根据4 84。与4 40C相似，可得 ABC中，乙4cB=90,且力、B位于y轴两侧，此时2b-3 0,即b 0),则4c=迎 外 一 g=3。.-AC=9,3k=9,k=3,.BC=12,AB=15,点E是虎的中点，Z.FAC=Z-BAC,Z.FCA=乙BCA=90,AC=AC,BCAASA FC=BC=12,由(1)知，DH=1AD=1x,EH=x,在RM O HE中，tan/AED=尹=2,EH-x又 ：(AED=(F E C,且4AED、4FEC都为锐角，tanzFEC=2,在RtAECF中，tanzFEC=2,EC EC=6.2：.AE=A C-E C =9-6 =4.,%=4,由(1)知，DE=x =第，(Rt/EFC,EF=VEC2+FC2=6V5.过点4 作4 M l D E,垂足为M,则EM=-DE=-x =,2 2 5 5在Rt DHE中，sinAED=署=悬=誓，在Rt 4ME中，AM=AE-sinz/lfD=4 x =,5 5Trn,A z a,/iLn F M FE+EM 6西+华 1 7在Rt AFM中，cotz.AFD=-=Q-=.AM AM 8v 5 45答：4DF4的余切值为?：4(3)4F0为等腰三角形，当4F=4)时,如图3,第24页，共27页图3.点F在0 4上，即点C,E,F,G重合,AD=A F =AC=9；在R t Z k W，CE=A C -A E =9-xftanEC=*:,FC=EC-tanZ.FFC=2(9%),根据勾股定理得，EF=VFC2+CE2=75(9-尤),DF=EF+DE=V5(9-x)+誓 x=96-x，:.9V5 等%=%,d n 45(3-佝 AD=X=-4当4F=D尸时，如图5,AF C B图5同(1)的方法得，EH=|x,。=不 心 cosZ-DEH=,DE 5v AD=AE,:.Z.ADE=乙DEH,cosZ-ADE=迈，5同的方法得，DF=9V5-x，过点F作尸N 1 AD,v AF=DF,：.DN=-AD=-x,2 2在Rt DNF中,cosZ-ADF=鞋=:：=当，D F 96-誉 工 5.C 90A AD=x=，11即满足条件的4D的长为9或竺经国或察4 11【解析】(1)过点。作1 4 C 于H.根据锐角三角函数和勾股定理即可用久的代数式表示DE的长；(2)根据题意可设BC=4k(k 0),AB=5 k,则n C=yjAB2-B C2=3k.过点A作AM 1D E,垂足为M,再根据锐角三角函数和勾股定理即可表示40F 4的余切值；(3)判断出点C,E,F,G重合，即可得出结论；先用三角函数表示出E F,进而得出D F,最后用力。=CF建立方程求解，即可求出答案；先用三角函数表示出E F,进而得出。尸，最后等角的余弦值相等建立方程求解，即可得出答案.第26页，共27页此题是圆的综合题，主要考查了锐角三角函数，等腰三角形的性质，勾股定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.