平面解析几何（圆锥曲线之双曲线）-五年（2018-2022）高考数学真题按知识点分类汇编.pdf

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编22-平面解析几何（圆锥曲线之双曲线）（含解析）一、单选题1.（2 0 2 2 天津 统考高考真题）已知抛物线=4&,耳，鸟分别是双曲线J-（=l（a 0,b 0）的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点片，与双曲线的渐近线交于点/,若/片为/=5,则双曲线的标准方程为（）A.-/=11 0C.x2-=4B.x2-=l1 62D.y2=142.（2 0 2 1 全国统考高考真题）已知不行是双曲线C 的两个焦点，P为 C 上一点，且4 桃=6 0。,|尸青=3|尸闾，则 C 的离心率为（）A乃2B.C.V7 D.V1 323.（2 0 2 1 全国高考真题）点（3,0）到双曲线1-4=1的一条渐近线的距离为（）16 99A.58 6 4B.-C.-D.一5 5 54.（2 0 2 1 天津 统考高考真题）已知双曲线，-r=1（a 0,b 0）的右焦点与抛物线y 2=2 p x（p 0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于/,8两点，交双曲线的渐近线于 C、。两点，若|CD|=夜|力例.则双曲线的离心率为（）A.&B.V3 C.2 D.35.（2 0 2 1 北京统考高考真题）若双曲线C：，一，=l 离心率为2,过点（五,如），则该双曲线的方程为（）A.2 x2-/=1 B./-匕=1 C.5X2-3/=1 D.-=13 2 66.（2 0 2 0 浙江统考高考真题）已知点。（0,0）,A（-2,0）,B（2,0）.设点尸满足P A-P B 2,且尸为函数尸3,4-函图像上的点,则|。尸|=（）7.（2。2。天津 统考高考真题）设双曲线C 的 方 程 为/和 人。），过抛物线A.叵2B.邛 5 C.不 D.Vi oV=4x的焦点和点（0,6）的直线为/.若。的一条渐近线与/平行，另一条渐近线与/垂直，则双曲线C的方程为（）A,片上=1 B.人上4 48.（2 0 1 9全国高考真题）设尸为双曲线C：C.-y2=l D.x2-y2=144-4 =1 (a 0,b 0)的右焦点，。为a2 b2坐标原点，以。尸为直径的圆与圆，+产=屋交于尸、0两点.若|尸0付。厂|,则C的离心率为A.72B.也C.2D.亚-v29.（2 0 1 8 全国高考真题）双曲线占-斗=l（a 0,b 0）的离心率为百，则其渐近线方a b程为A.y=y?.x B.y=土币x C.y=+-x D.y=+-x1 0.（2 0 1 9 全国统考高考真题）双曲线C：-亡=1的右焦点为凡 点尸在C的一条4 2渐近线上，。为坐标原点，若忸。|=俨曰，则PFO的面积为3亚A.3 72C.2 721 1.（2 0 1 8全国高考真题）设耳，工是双曲线C:工 上=a2 b2D.3c(a 0,b 0)的左、右2焦点，。是坐标原点.过写作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若 归 周=#|。尸|,则C的离心率为A.75 B.V3 C.2 D.y/21 2.（2 0 1 8全国高考真题）已知双曲线C：-/=1,O为坐标原点，尸为C的右焦3点,过尸的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若AOMV为直角三角形，则|加=A.|B.3 C.2 6 D.41 3 .（2 0 1 9 全国 高考真题）双曲线。:-4=1（。0,6 0）的 一条渐近线的倾斜角为1 3 0。,a b则C的离心率为A.2 s i n 4 0 B.2 co s 4 0 s i n 5 0 co s 5 0 1 4 .（2 0 1 8 全国高考真题）已知双曲线C：-=1（”0,6 0）的离心率为0,则a b点（4,0）到。的渐近线的距离为A.y/2 B.2 C.D.2 V22二、多选题1 5.（2 0 2 2 全国统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为百，工，以 C 的实轴为直径的圆3记为。，过片作。的切线与C交于M,N两点,且co s/片A%=,则。的离心率为（）A.无 B.3 C.巫 D.近2 2 2 21 6.（2 0 2 0 海南高考真题）已知曲线C:加+即？=（）A.若而 心0,则 C 是椭圆，其焦点在y轴上B.若?=心0,则 C 是圆，其半径为C.若?”0,则 C 是双曲线，其渐近线方程为y=后xD.若机=0,心0,则 C 是两条直线三、填空题1 7.（2 0 2 2 全国统考高考真题）若双曲线-=1（?0）的渐近线与圆mf+j?-4 y +3 =0 相切,贝卜%=.1 8.（2 0 2 2 全国统考高考真题）记双曲线。：,总=1（0 0 1 0）的离心率为e,写出满足条件“直线y =2 x 与 C 无公共点”的e的一个值.1 9.（2 0 2 2 浙江统考高考真题）已知双曲线-1=1（。0 力 0）的左焦点为凡过尸且斜率为 的直线交双曲线于点4（七,必），交双曲线的渐近线于点8（%,力）且xt 0 0）的一条渐近线为mV3 x +m y=0 9则 C 的焦距为.2 2.（2 0 2 1 全国统考高考真题）双曲线二一片=1 的右焦点到直线x +2 y-8 =0 的距离4 5为.r2 p22 3.（2 0 2 1 全国统考高考真题）若双曲线5-4=1 的离心率为2,则此双曲线的渐近a-b线方程.2 4.（2 0 2 0 全国统考高考真题）已知E 为双曲线c J-=l（a 0.b 0）的右焦点，A 为C 的右顶点，8为 C 上的点，且 8F 垂直于x轴.若48的斜率为3,则 C 的离心率为2 22 5.（2 0 2 0 全国统考高考真题）设双曲线C：5-=1 （0,6 0）的一条渐近线为a by=y/2x9则C的离心率为.2 6.（2 0 2 0 江苏统考高考真题）在平面直角坐标系x Q y 中，若双曲线，-=l（a 0）的一条渐近线方程为户亭x，则该双曲线的离心率是.2 7.（2 0 2 0 山东 统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点厂与双曲线m-1=1仅 0 8 0）的左焦点重合，若 两 曲 线 相 交 于N两 点,且线段MN 的中点是点尸，则 该 双 曲 线 的 离 心 率 等 于.2 8.（2 0 1 9 全国高考真题）已知双曲线C：的左、右焦点分别为B,F i,过 B 的直线与C 的两条渐近线分别交于4,B两点.若耳7=而，鼻 夙 牙=0,则 C 的离心率为.四、解答题2 9.（2 0 2 2 全国统考高考真题）已知双曲线C：1-g=l（a 0,b 0）的右焦点为尸（2,0）,a b渐近线方程为y=瓜.（1）求 C 的方程；（2）过尸的直线与C 的两条渐近线分别交于4 8两点，点P（再，M）,Q（X 2，%）在 C 上，且玉 乙 0,必 0.过尸且斜率为-6的直线与过Q且斜率为&的直线交于点M 从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：A f 在 2 8 上；P Q/A B.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.3 0.（2 02 1 全国统考高考真题）在平面直角坐标系x O y 中，已知点卜 所）、8（6 7,0）,顺|-陷 8 1=2，点加的轨迹为c.（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线x 上，过 T 的两条直线分别交C 于 A、5两点和P,。两点，且|啊.明=|阳求 直 线 的 斜 率 与 直 线 P Q 的斜率之和.五、双空题3 1.（2 02 0 北京 统考高考真题）已知双曲线C:片-以=1,则 C 的右焦点的坐标为6 3；C 的焦点到其渐近线的距离是参考答案:1.c【分析】由已知可得出C 的值，求出点A的坐标，分析可得|力用=|可片I，由此可得出关于a、b.c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛 物 线 的 准 线 方 程 为 =-6，则 =右，则与（-君,0）、6（君,0）,不妨设点A为第二象限内的点，联立be,即点力 一 一,x=-c因为/耳，耳8且 N 耳玛N =?，则耳居4为等腰直角三角形,且|2 周=闺 玛 即 g=2 c,可得2 =2,所以，c =7?,解 得 b =2 ,因此，双曲线的标准方程为/-以=1.c2=a2+b2 C=75 4故选：C.2.A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出|尸耳尸名|,结合余弦定理可得答案.【详解】因为|P 耳|=3 俨用,由双曲线的定义可得|尸 耳|-俨间=2 陋|=勿,所以阊=a,1 M=3 a；因为 4=6 0。,由余弦定理可得 4 c 2 =9/+/-2 x 3 a-a c o s 6 0。,整理可得4 c 2=7 八 所 以 e 2=4=Z,即6 =也.a2 4 2故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立，间的等量关系是求解的关键.3.A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：-=0,即3 x 4 y =0,结合对称性，不妨考虑点（3,0）到直线3 x +4 y =0的距离：d=-j-=.故选：A.4.A【分析】设公共焦点为（c,0）,进而可得准线为=-。，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长 度 比 值 可 得,再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线，-营=1（。01 0）与 抛 物 线/=2 e 0）的公共焦点为（。,0）,则抛物线y2=2px(p 0)的准线为.*=-,令x =-c,则解得y =1,所以=又因为双曲线的渐近线方程为y =:X,所以|8|=个,所 以 出=也1,即,=后6,所以。2=/-=9 2a a 2所以双曲线的离心率e=JLa故选：A.5.B【分析】分析可得6 =氐，再将点（贬,百）代入双曲线的方程，求出。的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】-.-=-=2,则c=2 a,6 =户/=61，则双曲线的方程为=-J =l，a 3a将点（五，道）的坐标代入双曲线的方程可得5-崇=*=1,解得。=1,故b=6因此，双曲线的方程为2-片=1.3故选：B6.D【分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数夕=3 6 7的图象上，即可求出点P的坐标，得到|O P|的值.【详解】因为|尸 川 尸8|=2 0）,而点P还在函数了=343的图象上，所以,y=3-7 4-x2故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题.7.D【分析】由抛物线的焦点(1,0)可求得直线/的方程为x +=l,即得直线的斜率为-人 再根b据双曲线的渐近线的方程为y =2 x,可得-b=-2,-2=-1即可求出a,b,得到双曲a a a线的方程.【详解】由题可知，抛物线的焦点为(1,0),所以直线/的方程为X +4=1,即直线的斜率为b-b,又双曲线的渐近线的方程为y =x,所 以 此=-2,-6 x-=-l,因为。0,6 0,解得a a aa=l,b=1.故选：D.【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题.8.A【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率.【详解】设尸。与x轴交于点A,由 对 称 性 可 知 轴，又归0=|。用=c,.1 2 1 1=1，为以为直径的圆的半径,A 为圆心|O/|=y.1，又P点在圆/+/=/上,2 2C C+=a4 4即 J=1.e2=2 .2a2.-.e=V2 故选 A.【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来.9.A【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.详解：-e=-=3-1 =3-1 =2,=/2,a a a a因为渐近线方程为V=2 x,所以渐近线方程为y =0 x,选A.a点睛：已知双曲线方程W =l(db 0)求渐近线方程：W-m=0=y =2 x.a b-a b a1 0.A【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.【详解】由4 =2,3=y/2,c=4*+62=6,.PO=PF,:.XP=，又尸在C的一条渐近线上，不妨设为在、=也、上，2S dpF 0=尸I，M=*屈X-y-=-)故选 A.【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积.1 1.B【详解】分析：由双曲线性质得到|尸用=6,|PO|=a 然后在R t A PO玛和在R t/百月中利用余弦定理可得.详解:由题可知|用=6,|。闻=。.|PO|=a在 R t ziPOg 中,c os Z PT O =I明,I。周 一。.,在尸片8 中,c os NPg O=2 俨F 2M 周b2+4c2-（痴a）262-b=c 2 =3r a2c|尸 工+山 用 2-阀（b/.e=故选B.点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题.1 2.B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到N F C W =3 0,根据直角三角形的条件，可 以 确 定 直 线 的 倾 斜 角 为 6 0 或1 2 0。，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为6 0 ,利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得（3,石）,N（T，_ 曰），利用两点 间 距 离 公 式 求 得 的 值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为 3，且右焦点为尸（2,0）,3从而得到ZFON=3 0,所以直线MN的倾斜角为6 0 0 或 1 2 0 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为6 0 ,可 以 得 出 直 线 的 方 程 为 y=/（x-2）,分别与两条渐近线了=条 和 产-和 联 立，求得 M（3,7 J）,N（|,-日）,所以 1 MM=J(3 _|+(后+9)2 =3，故选 B.点 睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利 用 直 角 三 角 形 的 条 件 得 到 直 线 的 斜 率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.1 3.D【分析】由双曲线渐近线定义可得-2 =t a n 1 3 0。，;.2 =t a n5 0。，再 利 用e =a a a双曲线的离心率.【详 解】由己知可得一2 =t a n 1 3 0。，-=t a n 5 0 0,a a 票砰会双忌祥故选；对于椭圆2 2【点 睛】对于双曲线：J-=l(a 0,/)0),有6 =2 2+方=1(0),有e =,防止记混.1 4.D【详 解】分析：由离心率计算出2,得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可.a详 解：a所以双曲线的渐近线方程为x士y=0所 以 点(4,0)到渐近线的距离d =2近故 选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题.1 5.A C【分 析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设 过 耳 作 圆。的切线切点为G,利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到26=3“或。=2 6,即可得解，注意就M,N 在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】方法一：几何法，双曲线定义的应用M、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过片作圆。的切线切点为B,3所以O B _LF|N,因为co s/4 N玛=(0,所以N 在双曲线的左支，|OB|=a,OFX|=c,|FB|=b,Z.F NF2=a,由即 c o s a n q,则 s in a=1,3 5|NA|=-a,|NF2|=-a|NF2|-|NFj|=2a-a-a-2b=2a,2(2 J2b=a,.e=2选 A情况二3若 M、N 在双曲线的两支，因为co s/月”=()，所以N 在双曲线的右支,所以|OB|=q,|。用=低 B|=b,设 ZFNF=a,3 3 4由 cosNHNg=M，B P cosa=9 贝！Jsin a=不，|NA|=-,|NF2|=-a|NFj-|NF2|=2a3 5 c a+2b a=2a,2 2所以2b=3。，即2 =2,a 2所以双曲线的离心率e=选 C 方法二:答案回代法A选项e=2特值双曲线过耳且与圆相切的一条直线为y=2（x+朗），1两交点都在左支,.，.g=5,网=1,鹤|=2瓦3则 cos Z.FXNF2=,C选项e=22 2特 值 双 曲 线 -方 =L,E（r/B,0）,q V B,0），过耳且与圆相切的一条直线为y=|（x+j i l）,:两交点在左右两支，N在右支，；.N.|NF2|=5,|NF,|=9,F2|=2 J T,3则cos N耳 朋=-,方法三:依题意不妨设双曲线焦点在X轴，设过耳作圆。的切线切点为G,若M,N 分别在左右支，因为O G L 峭，且cosNN工=(0,所以N 在双曲线的右支，X|OG|=a,OFt=c,GFx=b,设ZFNF=a,半F、N=。,在片N g 中，有粤.sin p sin a-p)sin aM-W 用=工 即 a=上sin(a +夕)-sin 夕 sin a sin(a +Q)sin sin asin a cos 5+cos a sin/3-sin sin a-r-3.a b.4而 cos a =-,sin p=,cos p=,故 sin a 二一，5 c c 5代入整理得到26=3 a,即2 =,a 2所以双曲线的离心率e=(=J 4=若 均 在 左 支 上,NF.M l 2C b同 理 有 沁=-sm p，/=二 一，其中仅为钝角，故COS4=-2,sin(a +p)sin a c质1 T g i _ J_ g_ _ ,sin 夕 一 sin(a +/?)sin a sin/3-sina cos/3-cos a sin(5 sina代入cosa =3,sin夕，s i n a=,整理得到：=7,5 c 5 46+2a 4故选：AC.16.ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，机 0时表示椭圆，?=0时表示圆，?0时表示两条直线.兰+广=1【详解】对于A,若用 0,贝ij加/+町/2=1可 化 为1 j,m n因为?0,所以工 0,则涓+町？=i可化为/+y=J_,n此时曲线。表示圆心在原点，半径 为 正 的圆，故B不正确；n对于C,若加 0,则机/+町？=1 可化为,ny=土 近,此时曲线C表示平行于x 轴的两条直线，故 D正确;n故选：A C D.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.1 7 .昱3【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.【详解】解：双 曲 线/一 =1（切 0）的渐近线为y=,即x/n y =o,不妨取x +沙=0,圆 2+/_ 4 了 +3 =0,即f+（y _ 2）2=l,所以圆心为（0,2）,半径，=1,依题意圆心（0,2）到渐近线x +叼=0的距离=尸I=1,J 1 +解 得 加 或 7 =（舍去）.3 3故答案为：.31 8 .2 （满足l e K 石 皆可）【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y =2 x 中0 0,/0）,所以C 的渐近线方程为、=2苫，a b-a结合渐近线的特点，只需0 l,所以IvewB，故答案为：2 （满足l e 4石 皆可）1 9.巫4【分析】联立直线1 8和渐近线4 ：y =2 x方程，可求出点B,再根据|所|=3|以|可求得点aA,最后根据点A在双曲线上，即可解出离心率.【详解】过 且 斜 率 为 怖 的 直 线 步 尸.x+c）渐近线小”$联立b,、y =（x+c）4 a,得 Bby-x由 冏=3|叼,得/音，韵,而点A在双曲线上，于是25c2 b2c28 1/8 1 a2Z）2=1,解得:河,所以离心率6 =乎故答案为：妪2 0.-3【分析】首先可得心 0,即可得到双曲线的标准方程，从而得到。、6,再跟渐近线方程得到方程，解得即可；22【详解】解：对于双曲线V+土=1,所以机 0,即 双 曲 线 的 标 准 方 程 为/-工=1,m-m则。=1,b=q,又 双 曲 线/+片=1的渐近线方程为了=士且X,m 3所以 =也，即=左，解得根=_3；b 3 yj-m 3故答案为：-32 1.4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出“力的关系，再 结 合 双 曲 线 中 对 应 关 系，联立求解阴，再由关系式求得C,即可求解.【详解】由渐近线方程gx+m y =O 化简得y =-且 X,即2 =与 同 时 平 方 得 2 =,故义=_!_,解得 m =3,=0 (舍去)，c2=a2+f e2=3+l=4=c =2 ,故焦m m星 巨 2 c =4.故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.2 2.y/5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，,=，7寿=后/=3,所以双曲线的右焦点为(3,0),所以右焦点(3,0)到直线x +2 y -8 =0 的 距 离 为正 包=忑=非.故答案为：石2 3.y=y13x【分析】根据离心率得出c =2 a,结 合 储+/=,2 得 出 关 系，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题可知，离心率e=2,即c =2 a,a a2+b2=c2=4a2,即=3/,贝 百，a故此双曲线的渐近线方程为y =土 底.故答案为：y=V 3 x.2 4.2【分析】根据双曲线的几何性质可知，忸可ng,“Pkc-。，即可根据斜率列出等式求解即可.x=c【详解】联立 5-=1,解得._+弦，所以忸日=.c2=b2+a2 0 p b依题可得，r =3,AF =c-a,即 7 c?-/=变形得，+4=34,c =2 a,r c-a a(c-a)因此，双曲线C 的离心率为2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题.25.G【分析】根据已知可得2 =&,结合双曲线中a,A c的关系，即可求解.a【详解】由双曲线方程ma=1可得其焦点在X轴上,因为其一条渐近线为y=0 x,所以2 =应，e=J l+g=0.a a cr故答案为：【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.26.-2【分析】根据渐近线方程求得，由此求得c,进而求得双曲线的离心率.【详解】双 曲 线 心=1,故6=石.由于双曲线的一条渐近线方程为y=x,即a 5 22 =或=a=2,所以c=J a2+2 =。4+5=3,所以双曲线的离心率为一=彳.a 2a 2故答案为：!3【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.27.V2+1【分析】利用抛物线的性质，得到的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.【详解】由题意知：-g =-c,:.p=2c,抛物线方程为：y2=-2px=-4cx,在抛物线上，所以M(-c,2c),M 在双曲线上,b2=c2-a2c4-6a2c2+a4=0=3 2 近，X ee(l,+a),.”=&+1.故答案为：-j2+28.2.【分析】通过向量关系得到4 4 =4 8 和0 4,与4,得至1 4。8=4 4。耳，结合双曲线的渐近线可得/BO ZA0F、,N B OF、=N AOF、=2B OA=60,从而由 2 =ta n 60=也可求离心a率.【详解】如图，由彳7 =1 及得耳幺=/8 又。=。乙，得 0 A 是三角形百g B 的中位线，即B F2 H OA,B F2=204 由 =0,得五m _ L 尸述,OH _ L 尸/,则 08=O4 有 4 0 8 =ZAOFX,又 O A 与 0 B 都是渐近线，得ZB OF2=N A O K，又ZB 0F2+N AOB +N AOF 产 乃,得ZB OF2=ZAOF-,=ZB OA=60,.又渐近线0 B 的斜率为。=ta n60=百，所以该双曲线的a离心率为e=亍=J l+)2=11+(扬 2=2.【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合思想解题.229.(l)x2-=l(2)见解析【分析】（1）利用焦点坐标求得C的值，利 用 渐 近 线 方 程 求 得 的 关 系，进 而 利 用，的平 方 关 系 求 得 的 值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线48的斜率存在且不为零，设 直 线 的 斜 率 为k,M（x0,），由et2等价分析得到与+处。=仁 匚；由 直 线 和Q W的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程,K 3两点间距离公式得到直线P。的 斜 率 加=也，由 尸 等 价 转 化 为00=3%,由在直线“8上等价于0=（题-2）,然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【详解】（1）右焦点为F（2,0）,渐近线方程为卜=士瓜，。二6，.“=石 ,a c2=a2+b2=4a2=4 ,，a =1 ,:.b=y/3；.C的 方 程 为:丁 _匕=1；3（2）由已知得直线尸0的斜率存在且不为零，直线18的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线48的斜率存在且不为零；若选推，则M为 线 段 的 中 点，假 若 直 线 的 斜 率 不 存 在，则由双曲线的对称性可知A 1在x轴上，即为焦点尸，此时由对称性可知P、。关于x轴对称，与从而玉=今，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设 直 线 的 斜 率 为 左，直 线 方 程 为 了 =左（-2）,则条件M在48上，等 价 于%=%（工0-2）=划0=公（/-2）；两渐近线的方程合并为3/一/=0,联立消去y并化简整理得：（公-3卜2-4/彳+4/=0设双心力），8（匕，”）,线段中点为川（“，外），则 外=与2=工,=风4一2）=,设（X。,%）,则条件|/|=忸M等价于（x r j+（y。）2=（x -x J+Erj,移项并利用平方差公式整理得:H-x jp%-(七+匕)+(%-(%+”)=0 ,2 x0-(x3+%)+y y 41 2y0 (y+y4 j=0)B pxo-x,v+(o-v)=O,%一5即纵=丹；由题意知直线尸M 的斜率为-Q,直线Q W的斜率为行，由 M -%=-V 3(xt-x0),%-%=后 8 T o ),必一 2 =再 +工 2 -2%)，所以直线P Q的斜率m=匕 包 =_V3(X,+X2-2X0),X -X2 X j -x2直线 P M :y=-y/3(x -x 0)+V o,即 y =%+-J 3xo-gx,代入双曲线的方程3 x 2-y 2-3 =o,即(瓜+y)(技 一 力=3中,得：(为+石 X o 1 2 瓜-(%+百/)=3,解得P的横坐标：x 产 赤I+%+宿)；条件 P Q A B 等馀于 m =k ok y=3x0,综上所述：条 件 /在 48 上，等价于物,=/(%-2)；条件P Q HA B等价于k y0=3 x 0:条件MM=忸叫等价于/+仇=-；选推：由解得：x0=-7-/+优=4 x0=-5-,成立;公-3 H-3选推:由解得：Xo=浮例=圣丁K -J K J.纸=3xo，.成立；选推：由解得：x0=k ya=,/.x0-2=p,k 3 k 3 K J.仇)=产(xo 2),.成立.230.(1)x2-=l(x l)；(2)0.【分析】(1)利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点耳、名为左、右焦点双曲线的右支，求出。、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得占+&的值.【详解】因 为 四 用-限 用=2 0,b 0),贝 ij2a =2,可得a =l,6=J 1 7-/=4,所以，轨迹。的方程为f-(=1(x 2 1).(2)方法一【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设 吗,)，设直线N 8的方程为卜-力=。-；),4 国,乂),8。2，%)联立,1y-n =kl(x-)X,2/_ 1-11 6化简得(1 6%；)1 2 +(k；_ 2k/)x ；k；n2+4-1 6=0 .则*2 3+1 61 2 一 .7 6，1 2 1 6故区-g),|7 8|=/与 一 ,则|二卜|加=(l+%：)(x 51 (2+2)(+R)2 k f-1 6设尸。的方程为y-=&(x-3,同理|T尸方7。|=(1月)20-1 6因 为|以 阳=|阴 明，所以标=线,1 7 ,1 7化简得 户=|十即,所以4-1 6 =6-16,即无;=后.因为产占,所以勺+2=0.|方法二:参数方程法设.设直线A B的倾斜角为4 ,1 .,X =+/co s ”则其参数方程为 2 ,y =?+E s i n q联立直线方程与曲线C的方程1 6/-V 1 6=0(.r 1),可得 1 6(W+RC O S2 4+f cos4)-(m2+s i n2 4 +2 加s i n 0-1 6=0 ,整理得(1 6co s 2 4 -s i n?q)/+(1 6co s -2/w s i n 0l)t-(m2+1 2)=0 .设 TA=h，TB =q，一(m 2+1 2)川+1 2由根与系数的关系得|丁例=彳&=1 6co s 2 q -s i n?q 1-1 7 co s2 0X设直线尸。的倾斜角为其，TP=t,TQ=t4,同理可得|7 尸-TQ=t3（=1-1 7 co s 02由 1|7 8|=|T P|.|T Q|,得 co s 2 a =co s 2 a.因为a#a，所以co s a=-co s 2.由题意分析知a +a =万.所 以 t a n a +t a n a =o ,故直线Z 5的斜率与直线尸。的斜率之和为0.方法三:利用圆幕定理因为|卜|叫=|7 P|.|T Q|,由圆骞定理知4,B,P,Q 四点共圆.设 吗 J），直线AB的方程为y T；）,直线P。的方程为yT=&2（x-g）,又 由/-蒋=1,得过B,P,。四点的二次曲线系方程为：kx-y-t）k2x-y-+t）+/d（x 2-1）=0（2x0）,2 2 16整理可得：（2 上 扁 +）工2+（4 一与/_“尢 +&）中+k 仁+左2）一 女+（+色 2/）4 y +？=0,16 2其中切=2 J+牛一（储+左2）-.由于4,B,P,。四点共圆，则号项的系数为0,即尢+=0.【整体点评】（2）方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；方法二:参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解,并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幕定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.31.（3,0）也【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a=娓,b=也,则0=/+6 2 =3,则双曲线C 的右焦点坐标为(3,0),双曲线C 的渐近线方程为了=士孝x，即 岛=0,所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为意三=力.故答案为：(3,0)；73.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编23-平面解析几何（圆锥曲线之抛物线）（含解析）一、单选题1.（2022全国统考高考真题）设F为抛物线C:y2=4 x的焦点，点 4 在 C 上，点8（3,0）,若日=忸日，则|”|=（）A.2 B.272 C.3 D.3亚2.（2022天津 统考高考真题）已知抛物线/=4 6 x,尸分别是双曲线1-3=1 5 0 8 0）的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点片，与双曲线的渐T T近线交于点4若/片外力=；,则双曲线的标准方程为（）C./-乙=1 D.-/=14 43.（2021 全国统考高考真题）抛物线V=2/5 0）的焦点到直线y=x+l 的距离为近,贝 I P=（）A.I B.2 C.272 D.44.（2021 天津统考高考真题）已知双曲线-g =l（a 0,60）的右焦点与抛物线y2=2px（p 0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于/,8 两点，交双曲线的渐近线于 C、。两点，若|8|=夜|/8|.则双曲线的离心率为（）A.72 B.V3 C.2 D.35.（2020全国统考高考真题）已知Z 为抛物线Cy=2px（p0）上一点，点/到 C 的焦点的距离为1 2,到y 轴的距离为9,则p=（）A.2 B.3 C.6 D.96.（2020 北京 统考高考真题）设抛物线的顶点为。，焦点为尸，准线为/.P 是抛物线上异于。的一点，过尸作尸。，/于。，则线段尸。的垂直平分线（）.A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线。尸2 27.（2019 全国高考真题）若抛物线V=2px（p0）的焦点是椭圆二+匕=1的一个焦点，3P P则p=A.2C.4B.3D.8二、多选题8.（2022全国统考高考真题）已知O 为坐标原点，点41,1）在抛物线C:x2=2 0；（pO）上，过点8（0,T）的直线交C 于尸，。两点，则（）A.C 的准线为y=-l B.直线N 8与 C 相切C.|。尸|0 0|。D.BP-BQ|5|29.（2022全国统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线。:/=2。,5 0）焦点尸的直线与C 交于4 B两 点,其中4 在第一象限，点”（p,0）,若|4尸|=|/|,则（）A.直线Z 5 的斜率为2指 B.|。3|=|0尸|C.AB4OF D.ZOAM+ZOBM三、填空题10.（2021 全国统考高考真题）已知。为坐标原点，抛物线C：j?=2 p x（p 0）的焦点为尸，P 为C 上一点，P尸与x 轴垂直，。为x 轴上一点，且若|5。|=6,则C 的 准 线 方 程 为.11.（2020 山东 统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线5=1（）,/0）的左焦点重合，若两曲线相交于M,N 两点，且 线 段 的 中 点是点F,则 该 双 曲 线 的 离 心 率 等 于.12.（2018 全国高考真题）已知点”（-1,1）和抛物线C：/=4 x,过 C 的焦点且斜率为k的直线与C 交于A,B两 点.若 NZMB=9（）。，则=.13.（2019 北京 高考真题）设抛物线产=4x的焦点为尸，准线为/.则以尸为圆心，且与/相 切 的 圆 的 方 程 为.14.（2018 北京高考真题）已知直线/过点（1,0）且垂直于x轴，若/被抛物线=4依截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为四、解答题1 5.(2 0 2 2 全国统考高考真题)设抛物线C:/=2 p x(p 0)的焦点为F,点。(p,0),过产的直线交C于，N两 点.当 直 线 垂 直 于 x轴时，|加 尸|=3.(1)求 C的方程；(2)设直线“2与 C的另一个交点分别为4 B,记直线血,4 8 的倾斜角分别为a,/3.当a-6取得最大值时，求直线4 8的方程.1 6.(2 0 2 1 全国高考真题)抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线/：x =l交 C于尸，0两点，且。P1O0.已知点“(2,0),且。与/相切.(1)求 C,0M的方程；(2)设 4,4,4 是 C上的三个点，直线4 4,4 4 均