2022年黑龙江省龙东地区中考数学试卷(解析版）.pdf

2022年黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、选 择 题（每题3 分，满分30分）1.（3 分）（2022黑龙江）下列运算中，计算正确的是（）A.Cb-a）2=b1-a2 B.3a92a=6 aC.（-X2）2=X4 D.。6 +。2=32.（3 分）（2022黑龙江）下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的 是（）A.GD B.3.（3 分）（2022黑龙江）学校举办跳绳比赛，九 年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是1 7 2,1 6 9,1 8 0,1 8 2,1 7 5,1 7 6,这 6个数据的中位数是（）A.1 8 1 B.1 7 5 C.1 7 6 D.1 7 5.54.（3 分）（2022黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A.7 B.8 C.9 D.1 05.（3 分）（2022黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了 4 5 场，共有多少支队伍参加比赛？（）A.8 B.1 0 C.7 D.96.（3 分）（2022黑龙江）已知关于x的 分 式 方 程 丝 型-2=1的解是正数，则？的取X-l 1-X值范围是（）A.in 4 B./n 4 且“W 5 D,机V 4 且z W l7.（3 分）（2022黑龙江）国 家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动.某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费36 0元.其中毛笔每支1 5 元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A.5 B.6 C.7 D.88.（3 分）（2022黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，平行四边形08 A。的顶点8在反比例函数 =旦的图象上，顶点A在反比例函数y=K的图象上，顶点。在x xx轴的负半轴上.若平行四边形。区 4。的面积是5,则 k的 值 是（）9.（3 分）（2022黑龙江）如图，Z v l B C 中，AB=AC,AO平分/B A C 与 8 c相交于点。,点 E是 AB的中点，点尸是OC的中点，连接 尸交4。于点P.若 A B C 的面积是24,P D=1.5,则 PE的 长 是（）1 0.（3 分）（2022黑龙江）如图，正方形A 8 C O 的对角线A C,BO相交于点。，点 F是 C D上一点，OE LOF交 B C 于点E,连接A E,B F 交于点P,连接OP.则下列结论：A E工BF；N O%=4 5 ；AP-B P=MOP；若 B E：C E=2：3,则 t a n/C 4 E=l；7四边形O E C 尸的面积是正方形A B C E（面积的.其中正确的结论是（）4A.B.C.D.二、填 空 题（每题3 分，满分3 0分）1 1.（3 分）（2 02 2 黑龙江）我国南水北调东线北延工程2 02 1 -2 02 2 年度供水任务顺利完成,共向黄河以北调水1.8 9 亿立方米，将数据1.8 9 亿用科学记数法表示为.1 2.（3 分）（2 02 2 黑龙江）在函数y f/2 x-3 中,自变量x的 取 值 范 围 是.1 3.（3分）（2 02 2 黑龙江）如图，在四边形A BCZ）中，对角线A C,2。相交于点。，0 4=O C,请 你 添 加 一 个 条 件,使 A O B丝CO O.1 4.（3分）（2 02 2 黑龙江）在一个不透明的口袋中，有 2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸 到 红 球 的 概 率 是.f9 v-1 21 5.（3分）（2 02 2 黑龙江）若关于x的一元一次不等式组|的解集为x 2,则 ax-a 0的 取 值 范 围 是.1 6.（3分）（2 02 2 黑龙江）如图，在中，AB 是。0 的弦，的半径为3 c/n.C 为。上一点，ZACB=60,则 AB 的长为 cm.1 7.（3分）（2 02 2 黑龙江）若一个圆锥的母线长为5 c m,它的侧面展开图的圆心角为1 2 0 ,则这个圆锥的底面半径为 cm.1 8.（3分）（2 02 2 黑龙江）如图，菱形A BCZ）中，对角线A C,8。相交于点O,N B A D=6 0 ,AD=3,A”是N B A C 的平分线,C E L4H于点E,点 P是直线AB 上的一个动点,A O=1 2,点 E 在 边 C O上，且 CE=4,点 P是直线B C 上的一个动点.若 A P E是直角三角形，则 8P的长为2 0.（3分）（2 02 2 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点 4,A2,加，4在 x轴上且。4=1,0 4 2=2 0 4,。4 3=2。4 2,0 4=2 0 4 3 按此规律，过点 A 1,4 2,A 3,4作x 轴 的 垂 线 分 别 与 直 线 交 于 点 Bi,Bi,8 3,&记04 B1,O 4 2&,。心仍,0 4 3 4 的面积分别为S,5 2,S 3,S 4 则 5 2 02 2 =2 1.2 2.2（5分）（2 02 2 黑龙江）先化简，再求值：（生二22.-）+区 1L,其中a=2 c o s 3 0+1.a2-l a+1（6分）（2 02 2 黑龙江）如图，在正方形网格中，卷个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A （1,-1）,8（2,-5）,C(5,-4).（1）将 A BC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到 4 8 1 C1,画出两次平移后的 4 B1 C1,并写出点4 的坐标；（2）画出 4 B1 C1 绕点C1 顺时针旋转9 0后得到A 2 B2 C1,并写出点上 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点4 旋转到点4 2 的过程中所经过的路径长（结果保留n）.2 3.（6分）（2 02 2 黑龙江）如图，抛物线y=/+Z?x+c 经过点A （-1,0）,点 B（2,-3）,与 y轴交于点C,抛物线的顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P,使 P 8 C 的面积是 BC D 面积的4倍，若存在，请直接写2 4.（7 分）（2 0 2 2 黑龙江）为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是:A 组：x 8.5B 组：8.5 0 V 9C 组：9 9.5力 组:9.5Wx2-a1 B.3a*2a=6 aC.（-x2）2x4 D.64-a2=a3【分析】利用完全平方公式，单项式乘多项式，制的乘方的法则，同底数幕的除法的法则对各项进行运算即可.【解答】解：A.（h-a）2=b2-2ab+a2,故4不正确；B.3a*2a=6 a2,故 B 不正确；C.（-x2）2=x4,故 C 正确;D.鹏+“2=”4,故。不符合题意；故选：C.【点评】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，幕的乘方的法则，同底数幕的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.2.（3分）（2 0 2 2 黑龙江）下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的 是（）A.onro B.【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.【解答】解：A.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意:B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C.是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项符合题意；D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C.【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋 转 1 80 度后与自身重合.3.（3分）（2 0 2 2 黑龙江）学校举办跳绳比赛，九 年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是1 7 2,1 6 9,1 80,1 82,1 7 5,1 7 6,这 6个数据的中位数是（）A.1 81 B.1 7 5 C.1 7 6 D.1 7 5.5【分析】将这组数据从小到大排列，根据中位数的计算方法即可得出答案.【解答】解：将这组数据从小到大排列为：1 6 9,1 7 2,1 7 5,1 7 6,1 80,1 82,中位数=2 Z +1 7 6 _=7 5.5,2故选：D.【点评】本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键.4.（3分）（2 0 2 2 黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A.7 B.8 C.9 D.1 0【分析】由左视图和俯视图可以猜想到主视图的可能情况，从而得到答案.【解答】解：从俯视图课看出前后有三层，从左视图可看出最后面有2 层高，中间最高是2层，要是最多就都是2层，最前面的最高是1 层，所以最多的为：2+2 X2+l X2=8.故选：B.【点评】本题考查了三视图的知识，由两个识图想象几何体是解题的关键，5.（3分）（2 0 2 2 黑龙江）2 0 2 2 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了 4 5 场，共有多少支队伍参加比赛？（）A.8 B.1 0 C.7 D.9【分析】设共有尤支队伍参加比赛，根 据“循环比赛共进行了 45场”列一元二次方程，求解即可.【解答】解：设共有x 支队伍参加比赛，根据题意，可得2 妁解得了=10或 =-9（舍），共 有 10支队伍参加比赛.故选：B.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键.6.（3分）（2022黑龙江）已知关于x 的 分 式 方 程 型 型-色 _=1 的解是正数，则机的取x-l l-x值范围是（）A./n4 B.m 4 且 mW5 D.且，【分析】先利用?表示出x 的值，再由x 为正数求出，的取值范围即可.【解答】解：方程两边同时乘以X-1得，2 x-,+3=x-I,解得x=m -4.为正数，：.m-4 0,解得 m4,.m-4 1,即/n#5,：.m的取值范围是m 4-且m5.故选：C.【点评】本题考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于。的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键.7.（3分）（2022黑龙江）国 家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动.某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费3 60元.其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A.5 B.6 C.7 D.8【分析】设购买毛笔x 支，围棋y 副，根 据“购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费3 60元”列二元一次方程，再由X和），分别取正整数，即可确定购买方案.【解答】解：设购买毛笔X支，围棋y 副，根据题意，得 15尤+20），=360,.*.y=18-当，4 两种都买，.18-当 0,x、y 都是正整数，4解得x24,故x 是 4 的倍数且xZB O E=ZC O F:.A B O E 咨A C O F CASA),：.BE=CF.在 B A E 和 C B F 中，(A B=B CZA B C=ZB C F=9 0 IBE=CF：.BAE/CBF(SA S),N B A E=ZCBF.V ZABP+ZCBF=90a,：.ZABP+ZBAE=9Q,；.NAPB=9Q.：.AE1BF.的结论正确；.,NAPB=90,乙408=90,，点A,B,P,。四点共圆，：.ZAPO=ZABO=45a,二的结论正确；过点。作O”_LO P,交A P于点H,如图,：.HP=y/2OP.：OHLOP,；.NPOB+NHOB=90,JOALOB,：.ZAOH+ZHOB90a.：.ZAOH=ZBOP.V ZOAH+BAE45,NOBP+NCBF=45,NBAE=NCBF,：.NOAH=NOBP.在AOH和ABO尸中，fZOAH=ZOBP O A=O B ，ZA O H=ZB O P:./AOHm丛BOP(ASA),：.AH=BP.：.AP-BP=AP-AH=HP=y/20P.的结论正确；：BE：CE=2；3,设 B E=2 x,则 CE=3 x,：.AB=BC=5x,；A E=VA B2+B E2=近 最过点E作EGLA C于点G,如图,V ZACB=45,E G=G C=-E C=x,2 246=京2-GE 2=,在 Rt/AEG 中，；t a n/C 4 E=9AG3-2-x oA tan ZC A=y=-=且.7V2 72 x的结论不正确；四边形A 8C Q是正方形，：.OA=OB=OC=OD,ZAOB=ZBOC=-ZCOD ZDOA=90,：.O A B/OBC OCD DO A(SAS).SA0BC 7s正方形ABO/SAB0E+SA0EC 正方形舶QT由知：XBOE出XCOF,S4 OBE=S&OFC，,SA O E C +SA O F C 正方形画即四边形O E C F的面积是正方形A B C D面积的.4.的结论正确.综上，的结论正确.故 选:B.【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键.二、填 空 题（每题3分，满分3（）分）1 1.（3分）（2 0 2 2 黑龙江）我国南水北调东线北延工程2 0 2 1 -2 0 2 2 年度供水任务顺利完成,共向黄河以北调水1.8 9 亿立方米，将数据1.8 9 亿用科学记数法表示为 1.8 9 X 1 0 8 .【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为“X 1 0”,其 中 1 W 间 1 0,为整数,且比原来的整数位数少1,据此判断即可.【解答】解：1.8 9 亿=1 8 9 0 0 0 0 0 0 =1.8 9 X1 0 8.故答案为：1.8 9 X1 0 8.【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为“X 1 0”,其 中 1 W|4|,理由是：在aAOB和 C O。中，fAO=COBO=DO；.OB会 CO D （S AS）,故答案为：O B=O D（答案不唯一）.【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SA S,S AS,AAS,S S S,两直角三角形全等还有HL等.1 4.（3分）（2 0 2 2 黑龙江）在一个不透明的口袋中，有 2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是 1.【分析】直接利用概率公式，进而计算得出答案.【解答】解：在一个不透明的口袋中，有 2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是：2+4 3故答案为：1.3【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键.f9 v-1 31 5.（3分）（2 0 2 2 黑龙江）若关于x的一元一次不等式组I 的解集为x2,则 ax-a 0的 取 值 范 围 是 心 2 .【分析】不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出。的范围.【解答】解：不等式组整理得：I ：，I x B=60,然后在RtZUB。中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.【解答】解：连接AO并延长交。0 于点。，是。的直径，；.N AD B=9 0 ,：ZACB=6 Q ,./A D B=/A C B=60,在 RtZiABZ)中，AQ=6c，.48=4)sin60=6X 近=3 愿 (cm),2故答案为：3 M.C【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.17.（3分）（2022黑龙江）若一个圆锥的母线长为5c?，它的侧面展开图的圆心角为120,则 这 个 圆 锥 的 底 面 半 径 为 互 cm.-3-【分析】先求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用侧面展开图与底面圆的关系的关系列方程即可求出圆锥的底面半径.【解答】解：c 长为：1 2 0 XJX5=W1 8 0 3设圆锥的底面半径为r,则 2 n r=-i.兀，33故答案为：5.3【点评】本题主要考查圆锥的计算，掌握侧面展开图与底面圆的关系是解题关键.18.（3分）（2022黑龙江）如图，菱形ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,NBAD=60,AD=3,AH是NBAC的平分线，CELAH于点E,点 P 是直线AB上的一个动点,【分析】连 接。过点。作。F L A B,垂足为F,并延长到点。，使 O F=O F,连接。E 交直线AB于点P,连接。P,从而可得OP=O P,此时。尸+PE的值最小，先利用菱形的性质可得 AD=AB=3,Z B A C IZ B A D,O4=O C=L1C,OD=OB=1BD,2 2 2NAO=90,从而可得AO8是等边三角形，进而求出A O=3,然后在RtAOO中，利用勾股定理求出A 0 的长，从而求出4 c 的长，进而利用直角三角形斜边上的中线可得0 E=0 A=LC=3 J E，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得O E/A B,从而求出2 2ZE0F=90,进而在RtZXA。/中，利用锐角三角函数的定义求出。F 的长，即可求出O O 的长，最后在R ta E O O 中，利用勾股定理进行计算即可解答.【解答】解：连 接 0 E,过 点。作 O F L 4 8,垂足为凡 并延长到点。，使。F=OF,连接O E 交直线A 8于点P,连接OP,是。的垂直平分线，A OP=O P,：.OP+PE=O P+PEO E,此时，OP+PE的值最小，.四边形ABC。是菱形，：.AD=AB=3,Z B A C Z B A D,OA=OC=X4C,OD=OB=、BD,NAOO=9(T,2 2 2；NBAD=60,AOB是等边三角形，：.BD=AD=3,0。=&。=3,2 2.,=VAD2-DO2=32-(y)2=-|V3,：.AC=2OA=343V CELAH,：.ZAEC=90Q,：.OE=OA=1AC=-/3,2 2：.ZO AE=ZO EA,：AE 平分 NC4B,：.ZO A E ZE A B,：.ZOEA=ZEAB,：.OE/AB,：.ZEO F=ZAFO=90Q,在 R t4 4 0 尸中，ZO AB=D AB=30,20 尸=。4=旦 我，2 4A OO=2 0/=旦 如，2在 R j O O,中,O,=VEO24OOZ 2=y/(lV 3)2+(jV 3)2=：.O E+PE=-/,/.O P+P E的最小值为故答案为：3娓.2【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质，轴对称-最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.1 9.（3分）（2 0 2 2 黑龙江）在矩形A8CQ中，AB=9,A ）=1 2,点 E在 边 CO上，且 C E=4,点尸是直线B C上的一个动点.若AAPE是直角三角形，则 8P的长为 生 或 生 3 4或 6 .【分析】若AAPE是直角三角形，有三种情况：如图1,/A E P=9 0 ,如图2,ZB 4 =9 0 ,如图3,ZAPE=9 0,分别证明三角形相似可解答.【解答】解：若 A P E 是直角三角形，有以下三种情况：如图 1,Z A E P=90 ,A ZAED+ZCEP=9 0 ,:四边形A B C。是矩形，.Z C=Z D=90 ,：.ZCEP+ZCPE=90,ZAED=ZCPE,：.ADEs/XEC?，A D =D E 即 12=9-4CE C P T -c F：.CP=-,3：BC=AD2,V ZDAE+ZBAE=ZBAE+ZBAP90,：.ZDAE=ZBAP,;ND=NABP=90,:.XADEsXABP、一D E p n 12 5A B P B 9 B P4如图 3,/APE=90,设 8 P=x,则 PC=12-x,图3同理得：XABPsXPCE,；A B _ B P 即 9=x*,P C C E，12-x 7 X=X2=6,:BP=6,综上，8 P 的长是2 1 或为或6.3 4故答案为：2 L 或 苴或6.3 4【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并注意运用分类讨论的思想.20.（3分）（2022黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点 4,A2,A3,4 在 x 轴上且0 4 =1,OA2=2OAI,0A3=2OA2,OA4=2OA3 按此规律，过点 Ai,A2,A3,A4作x 轴的垂线 分 别 与 直 线 交 于 点 Bi,82,B3,曲记0481,OA2B2,。43 例,0 4 8 4 的面积分别为Si,52,S3,S4则$2 0 2 2=2 6.【分析】根据已知先求出OA2,043,OA4的长，再代入直线y=J E x 中，分别求出4B1,A2B2,A3 B3,A4B4,然后分别计算出Si,S2,S3,S 4,再从数字上找规律进行计算即可解答.【解答】解：VOAi=l,OA2=2OA,OA2=2,043=2042,OA3=4,:OA4=2OA3,04=8,把x=l代入直线）=A/EX中可得：y=M，AB，把x=2代入直线y=中可得：y=2 j,.4282=2代，把x=4代入直线y=中可得：），=4/,.A3 83=4收，把x=8代入直线=如 中可得：=8百，W8代，.5i=A oA iA iB i=ixiX 7 3=X2X（2X禽），2 2 2S2=ACA 2 2 B2 =AX2 X 2 J 3=X2X（2 X J3）,2 2 2S 3=A（?A 3 M 3 B3=AX4 X 4 V 3=X22X（22XA/3）2 2 254=AoA4A4fi4=A x 8X8V 3=AX23X（23XV3）.,.S2022=X22021X（22 0 2 1XV 3）=240 41XV 3，2故答案为：240 41XV 3.【点评】本题考查了规律型：点的坐标，含3 0度角的直角三角形，根据已知分别求出Si,S2,S3,S4的值，然后从数字上找规律是解题的关键.三、解 答 题（满分60分）21.（5分）（2022黑龙江）先化简，再求值：（且二2兔-1）+在1 L,其中a=2cos3 0+1.a2-l a+1【分析】利用分式的减法法则和除法法则对分式进行计算化简，把特殊角的三角函数值代入计算求出。的值，代入化简后的分式进行计算，即可得出答案.2【解答】解：（目一.2-1）4-2azla2-l a+1_,a，2a _a：产2a-a2-l a2-l a+1 l-2a x a+1（a+1）（a_l）2a_l=1Ta，当=2c o s 30 +1=2义 近+1 =料+1 时,2【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，掌握分式的混合计算及特殊角的三角函数值是解决问题的关键.22.(6分)(20 22黑龙江)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，A 8C的三个顶点坐标分别为A (1,-1),B(2,-5),C(5,-4).(1)将A 3C先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到A i B i C i,画出两次平移后的并写出点4的坐标；(2)画出 4 B C 1绕点C 1顺时针旋转90 后得到A 2B 2C 1,并写出点A 2的坐标；(3)在(2)的条件下，求点4旋转到点A 2的过程中所经过的路径长(结果保留n).【分析】(1)利用平移变换的性质分别作出A,B,C的对应点4,Bi,。即可;(2)利用旋转变换的性质分别作出A i,B i的对应点4 2,82即可；(3)利用勾股定理求出4。，再利用弧长公式求解.【解答】解：(1)如图，A i B i C i即为所求，点A i的 坐 标(-5,3)；(2)如 图,A 2B 2C 1即为所求，点 为 的 坐 标(2,4)；(3)，.AiCi=y/32+i2=5,:.点4旋转到点4 2的过程中所经过的路径长=9兀*5=旦 匚1802【点评】本题考查作图-平移变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型.2 3.(6分)(2 02 2黑龙江)如图，抛物线y=/+f e t+c经过点A (-1,0),点8(2,-3),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P,使尸B C的 面 积 是 面 积 的4倍，若存在，请直接写【分析】(1)待定系数法求解析式即可；(2)设抛物线上的点P坐标为(m,m2-2m-3),结合方程思想和三角形面积公式列方程求解.【解答】解：(1)：抛物线y=7+法+c经过点A (-1,0),点8(2,-3),.(l-b+c=014+2b+c=_3解得 b=-2,c=-3,抛物线的解析式：y=？-2 x-3;（2）存在，理由如下：Vy=x2-2x-3=（x-1）2-4,，。点坐 标 为（1,4）,令 x=0,贝!y=/-2x-3=-3,C点坐标为（0,-3）,又 点 坐 标 为（2,-3）,；.BCx 轴，.,.SABCD=AX2X1=1,2设抛物线上的点尸坐标为（m,ni1-2m-3）,A SAPBC=-lx 2 X|m2-2 m-3-（-3）|=|m2-2m,2当|?2-2刑=4乂1 时，解得 i=l 士 遥，当机=1+JW时，m2-2m-3 I,当/n=l-J E 时，w2-2m-3=1,综上，P 点坐标为（1+依，1）或（1-依，1）.【点评】本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键.24.（7 分）（2022黑龙江）为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每名学生平均每天的睡眠时间为x 小时，其中的分组情况是：A 组：x8.58 组：8.5 9C 组：9x9.5。组：10E 组:尤2 10根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了 10Q 名学生:（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求。组所对应的扇形圆心角的度数；【分析】（1）根据B 组人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生总人数;（2）根 据（1）中的结果、条形统计图中的时间和扇形统计图中的数据，可以计算出A组和E 组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据。组的人数和调查的总人数，可以计算出。组所对应的扇形圆心角的度数；（4）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校睡眠时间不足9 小时的学生有多少人.【解答】解：（1）2 04-2 0%=1 00（名），即本次共调查了 1 00名学生，故答案为：1 00；（2）选择E 的学生有：1 00X 1 5%=1 5 （人），选择 A 的学生有：1 00-2 0-4 0-2 0-1 5=5 （人），补全的条形统计图如右图所示；（3）3 6 0 XZ L=7 2。，100即。组所对应的扇形圆心角的度数是7 2 ；（4）1 5 00X 1 =3 7 5 （人），100答：估计该校睡眠时间不足9 小时的学生有3 7 5 人.【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.2 5.(8 分)(2 0 2 2 黑龙江)为抗击疫情，支 援 3市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往 B市.甲、乙两辆货车从A市出发前往8市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市.甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市.乙车维修完毕后立即返回A市.两车离A市的距离义km)与乙车所用时间x ()之间的函数图象如图所示.(1)甲车速度是 10 0 km/h,乙车出发时速度是 6 0 km/h,(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y (km)与乙车所用时间x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km?请直接写出答案.【分析】(1)根据函数图象中的数据，可以计算出甲车速度和乙车出发时速度：(2)根据函数图象中的数据，可以计算出乙车返回过程中，乙车离A市的距离y与乙车所用时间x (h)的函数解析式；(3)根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可.【解答】解：(1)由图象可得，甲车的速度为:5 0 0 4-5 =10 0 (km/h),乙车出发时速度是：3 0 0+5=6 0 (km/h),故答案为：10 0,6 0；(2)乙车返回过程中，设乙车离A市的距离y (f o w)与乙车所用时间x ()的函数解析式是 ykx+b,.,点(9,3 0 0),(12,0)在该函数图象上，.j9k+b=300,I 12k+b=0 解得(k=-100,lb=1200即乙车返回过程中，乙车离A市的距离y (k m)与乙车所用时间x ()的函数解析式是y=-l O O x+12 0 0；(3)设乙车出发加小时，两车之间的距离是12 0 的?，当 0/5时，l O O n z -6 0 加=12 0,解得?=3；当 5.5 ，”8 时，10 0 (m-5.5)+12 0+3 0 0=5 0 0,解得7=6.3；当 9 m 绕点A旋转到图的位置时，连接8 Z),CE相交于点P,连接B 4,猜想线段雨、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.ccc【分析】(2)证明AB。丝ZiACE(SAS)和3 AF之CAP(SAS),得AF=AP,NBAF=NCAP,再证明AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；(3)如图，在PC上截取C M=P8,连接A M,同理可得结论.【解答】解：(2)PB=PA+PC,理由如下：如图，在BP上截取8P=P C,连接AR图:ABC、ZkAOE都是等边三角形，：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60,.ZBAC+ZCAD=ZCAD+ZDAE,即 ND43=NE4C,A/ABD/ACE(SAS),NABD=NACE,.A8=AC,BF=CP,.BA尸gzXCAP(SAS),：.AF=AP,ZBAF=ZCAPf：.ZBAC=ZPAF=90Q,AFP是等边三角形，.PF=PA,：.PB=BF+PF=PC+R；（3）P C=P A+P B,理由如下：如图，在 PC 上截取C M=P B,连接AM,同理得：ABOg/XACE（SAS）,?.N A B D=N A C E,AB=AC,PB=CM,.AMC丝ZW B （SAS）,：.AM=AP,Z B A P=Z C A M,：.Z B A C=Z P A M=（OQ,.二 AMP是等边三角形，：.PM=PA,：.PC=PM+CM=PA+PB.【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明ABZ）丝AACE是解题的关键，属于中考常考题型.27.（10分）（2022黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、8 两种跳绳.已知购进 10根 A 种跳绳和5 根B种跳绳共需175元：购 进 15根 A 种跳绳和10根B种跳绳共需 3 00元.（1）求购进一根A 种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？（2）设购买A 种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？【分析】（1）设购进一根A 种跳绳需x 元，购进-根B 种跳绳需y 元，根 据“购 进 10根A 种跳绳和5 根 8 种跳绳共需175元:购进15根 A 种跳绳和10根 8 种跳绳共需3 00元”,即可得出关于x,y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A 种跳绳机根，则购买B 种 跳 绳（4 5-?）根，利用总价=单价X 数量，结合总价不少于5 4 8 元且不多于5 6 0 元，即可得出关于机的一元一次不等式组，解之即可得出机的取值范围，再结合，为 整数，即可得出各购买方案；（3）设购买跳绳所需总费用为卬元，利用总价=单价X数量，即可得出卬关于小的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.【解答】解：（1）设购进一根A种跳绳需尤元，购进一根B种跳绳需），元，1 0 x+5 y=1 7 5依题意得:1 5 x+1 0 y=3 0 0解得：（x=1.l y=1 5答：购进一根A种跳绳需1 0 元，购进一根B种跳绳需1 5 元.（2）.该班级计划购买A、8两种跳绳共4 5 根，且购买A种跳绳?根,二购买B种 跳 绳（4 5 -m）根.1 0 m+1 5（4 5-m）5 6 0依题意得:l l O m+1 5 （4 5-m）5 4 8解得：2 3 W/n 2 5.4,又 根为整数，；.加可以取2 3,2 4,2 5,共有3种购买方案，方 案 1：购买2 3 根 A种跳绳，2 2 根 B种跳绳；方案2：购买2 4 根 A种跳绳，2 1 根 B种跳绳；方案3：购买2 5 根 A种跳绳，2 0 根 8种跳绳.（3）设购买跳绳所需总费用为w 元，则 w=1 0 m+1 5 （4 5 -m）=-5 m+6 7 5.：-5 0,卬随机的增大而减小，.,.当?=2 5 时，w 取得最小值，最小值=-5 X 2 5+6 7 5=5 0 0.答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是5 0 0 元.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找 出 w 关于m的函数关系式.2 8.（1 0 分）（2 0 2 2 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形A B C O 的边AB在 x轴上，顶点。在 y轴的正半轴上，何 为 8c 的中点，O A、。8的长分别是一元二次方程x2-7 x+1 2=0 的两个根(。4。8),ta n/D 4 B=匹，动点P从点D出发以每秒1 个单位3长度的速度沿折线QC-C8向点8运动，到达8点停止.设运动时间为，秒，A P C 的面积为S.(1)求点C的坐标；(2)求 S关于，的函数关系式，并写出自变量，的取值范围；(3)在 点 P的运动过程中，是否存在点P,使 C M P 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)解一元二次方程求出0 A、。8的长度，可得出A、B的坐标，即可求解；(2)分 0 W/W 7 和 7 V t W 1 2 两种情况考虑：当0 W r W 7 时，利用三角形的面积公式可得出S关于，的 函 数 关 系 式;当 12时，过点A作A FLB C交C B的延长线于点F,利用三角形的面积求出A F,即 可 得 的 面 积 为 5=7)当2 2 5 5_ 98.5(3)要使a CMP是等腰三角形，点 P一定在C。上，需分情况讨论：当 CM=CP时;当 CM=MP时；当 CP=MP时，根据等腰三角形的性质即可求解.【解答】解：(1)方程7x+12=0,解得：xi=3,X2=4,：O A=!(7-r)X4=14-2n2 2 当7fW 12时，过点A作AFVBC交CB的延长线于点F,V/1D=O A2X)D2地2+4 2=5,四边形ABCD是平行四边形,：.BC=AD=5,：S,ABC=A B0D=1.C BAF,2 2：.ABODCB-AF,：.7X4=5AF,.=空5.APC的面积为5=工/5。4/=工(r-7)X丝盟:2 2 5 5 514-2t(0 t=5xyD.2x2-(3X2 5y)=6x4-l0 x2y AD