2022新高考数学导数大题专项提高模拟试题（答案详解）.pdf

专练0 6导数大题10道I.(20 21年全国高考乙卷数学(理)试题)设函数 x)=ln(a-x),已知x =O 是函数y 的极值点.(1)求 a；X+f(x)(2)设函数g(x)=-H.证明:g(x)0 且函数f(x)=(x 0).ax(1)当a=2时，求 f(x)的单调区间；(2)若曲线y =/(x)与直线y =l有且仅有两个交点，求 a 的取值范围.3.(20 21年全国新高考I 卷数学试题)已知函数/(x)=x(l-lnx).(1)讨论/(x)的单调性；(2)设。，人为两个不相等的正数，且从na-aln=a-b,证明：2 ，+L e.a b4.(20 21年全国新高考I I 卷数学试题)已知函数/(x)=(x-l)e*-ar 2+6 .(1)讨论/*)的单调性：(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)只有一个零点12 2；2 2Qa,b y x3+l,求 a 的取值范围.6.(20 20 年北京市高考数学试卷)已知函数/(x)=1 2-/.(I )求曲线y =/(x)的斜率等于-2的切线方程；(H)设曲线y =/(x)在点。，/)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S。)，求 S 的最小值.答案】(I )2x+y-13 =O,(n7.(20 20 年新高考全国卷I 数学高考试题(山东)已知函数/(x)=ae T-lnx+lna.(1)当a=e 时，求曲线)可(x)在 点(1,f (1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若/(x)1,求。的取值范围.8.(20 20 年浙江省高考数学试卷)已知l a 4 2,函数/(x)=e*-x-a,其中e=2.718 28 为自然对数的底数.(I )证明：函数y=.f(x)在(0,+8)上有唯一零点；(I I)记次为函数y =/(x)在(。，+8)上的零点，证明：(i )-Ja-(e-l)(u -l)a.9.(20 19 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I )已知函数/(x)=s i nx-ln(l+x),/(x)为/(x)的导数.证明：(1)/(x)在区间(-1,)存在唯一极大值点；(2)/(x)有且仅有2 个零点.10.(20 18 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标I 卷)已知函数f(x)=-x +anx.x(1)讨论了(幻的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点士,王，证明：/专练0 6导数大题10道1.(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)设函数.f(x)=ln(a-x),已知x =()是函数y =4(x)的极值点.(1)求(2)设函数g(x)=；).证明:g(x)%111(1-%)在%(0,1)和%(-0 0,0)上恒成立,结合导数和换元法即可求解【详解】1V,(1)由 /(x)=I n(6 f-x)=/*(%)=-,y=xf(x)=y=n(a-x)+,X-Q X-Q又x =0是函数y =4(x)的极值点，所以V=lna=O,解得a=l；(2)由(1)得/(x)=ln(l-x),g(x)=:三，：)=：I：,：),x v i且X MO,x f(x)x ln(l-x)当 X (/O,1)、时，要证 g(x)=x+ln(l-x，)0,ln(,l-x、)0,.-.x lzn(l-x)x ln(l-x),化简得工+(1 7)卜(1_力0；同理，当 X (-oo,0)时，要证g(x)=7：-1 1，v x 0 ,.x ln(l-x)x ln(l-x),化简得x+(l-x)ln(17)0 ；令人(x)=x +(l-x)ln(l-x),再令,=1 一x,则E e(0,l)U(l,+o)，x=-t,令 g(f)=l T +r ln/,g()=-l+ln/+l =lnr,当tO,l)时,g(0 g =0；当 f e(l,4 w)时，g,(r)0,g(f)单增，假设 g(l)能取到，则 g(l)=o,故 g(r)g(l)=O：x +ln(l-x),、/、综上所述，g (x)=0且aw l,函数/（x）=L（x 0）.a（1）当a =2时，求/（X）的单调区间；（2）若曲线y =/（x）与直线y =l有且仅有两个交点，求a的取值范围.【答案】（1）（0,专上单调递增；白，田）上单调递减；（2）（l,e）u（e,E）.【分析】（I）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性:（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线y =f（x）与宜线y =l有且仅有两个交点等价转化为方 程 皿=如 有 两个不同的实数根，即曲线y =g（x）与直线y =M有两个交点，利用x ana导函数研究g(x)的单调性，并结合g(x)的正负，零点和极限值分析g(x)的图象，进而得到0 个，发现这正好是0 g(a)g(e),然后根据g(x)的图象和单调性得到“的取值范围.【详解】犬上,(、2 x-2 -x2-2vl n 2 x-2v(2-x l n 2)(1)当 a =2 时，fx)=,f(x)=-=-.令尸(力=0 得=湛，当0 x 0,当x 湛 时，f(x)0,函数f(x)在(0,击上单调递增；白,+8)上单调递减；(2)/(%)=1 =x 0 1 1 1 6 1 =4 1|1 =1=,设 函 数 8()=,ax x a x则g (x)=W/，令g (x)=0,得x =e,在(0,e)内g (x)0,g(x)单调递增;在(e,+o o)上 g (x)O,g(x)单调递减；g(x)s =g(e)=:，又 g =0,当尤趋近于+8 时,g(x)趋近于0,所以曲线y=/(x)与直线y =1 有且仅有两个交点，即曲线y=g(力与直线y=已有两个交点的充分必要条件是0*4,这即是0 g g(e),所以“的取值范围是(l,e)U(e,”).【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.3.(2 0 2 1 年全国新高考I 卷数学试题)已知函数.f(x)=M l-l n x).(1)讨 论 的 单 调 性；(2)设“，b 为两个不相等的正数，且。l n a-a l n b =a-8,证明：2 ，+，e.a b【答案】(1)/(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1,+8)；(2)证明见解析.【分析】(1)求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间;(2)设工=芭,?=，原不等式等价于2 X+x?e,前者可构建新函数，利用极值点偏移a b可证，后者可设出=g,从 而 把+X2 6 转化为(/-1)111(+1)-八 11/0,当X(l,+8)时，尸(同 0,故/(x)的递增区间为(0,1),递 减 区 间 为+8).(2)因为61n a-a ln b =a-b ,故b(ln a +l)=a(ln 加4),即卜+1 =5.1 ,a b故设=再，!=，由(1)可知不妨设0 占 1.a b因为 x e(0,l)时，/(x)=x(l-ln x)0,x e(e,+o o)时，/(x)=x(l-In x)0,故1%2,若2 2,西+2 必成立.若三2,即证为 2-，而0 2-/(2-)，即证：/(X,)/(2-X2),其中1 小 2.设 g(x)=/(x)/(2-x),l x 2,则=/,(x)+/,(2-x)=-ln x-ln(2-x)=-ln x(2-x),因为l x 2,故0c x(2-“0,所以短(x)0,故 g(x)在(1,2)为增函数,所以g(x)g=0,故/(x)4 2-x),即/(毛)f(2-芍)成 立,所以占+w 2 成立，综上，+七 2成立.设 x2=txf,则/1,结合卜+1=叫+,_ 1=玉,：=工2可得：=,a b a b即：=f(l_ ln f _ In x J ,故也 不 -唐 I,要证：x+x2 e9 即证。+l)%e,印证 ln(，+l)+ln%1,即证：ln(r+l)+f-fl l U l,即证：(r-l)ln(r+l)-rln r当-l x 0；当 x0时，“(x)l时，ln l+；卜故S (f)0恒成立，故S(。在(1,y)上为减函数，故S(f)S(l)=0,故(f-l)ln(r+l)-n n r 0成立，即玉+e成立.综上所述，2-+-e.a b【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.4.(2021年全国新高考H 卷数学试题)已知函数/(x)=(x-l)靖-狈：力.(1)讨论/(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(X)只有一个零点1 3(I)a 2 at2 2 Q a -,b 2 a.【答案】(D答案见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】由函数的解析式可得：尸(x)=x(e -2a),当“V O 时，若x e(v,O),则尸(x),则f(x)0(x)单调递增;当0 O J(x)单调递增,若xl n3,0),则尸(x)0J(x)单调递增;当a =g 时，/(x)N O j(x)在R上单调递增；当时，若x w(,O),则尸(x)O J(x)单调递增，若x e(O,ln(2a),则/(x)0J(x)单调递增；(2)若选择条件：由于故 1V 2 C Z W/,则b 2a l,/(O)=b 1 0,而函数在区间(F,。)上单调递增，故函数在区间(f,。)上有一个零点./(ln(2(7)=2 2ln(2a)-+2Q=2 a In (2a)q i n (2。)=a In(2t z)2-In(2 7),1 2由 于 夫，I。?，故 41n(2a)2-ln(2叫 之 0,结合函数的单调性可知函数在区间(0,转)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于故 为 1,则/(0)=Z?-1 4 2-1 4,4a 0,而函数在区间(0,”)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有一个零点.当60时，构造函数”(x)=e*-x-l,则(x)=e-1,当X W(Y O,0)时，W(x)0,(x)单调递增，注意到(0)=0,故H(x)N0恒 成 立,从 而 有:ex x+l,此时：fx)-x-)ex-a)c-/?(x-l)(x+l)-or2+b=(l-a)x2+9-1),当时，(l-a)x2+(-l)0,取寸旧+L则”与)0,即：0)0,/后+10,而函数在区间(0,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有一个零点./(ln(2a)=2aln(2Q)-l-a ln(2)+h 2ain(2z)-1-in(2tz)+2a=2a In(2a)-G in(2a)=ln(2a)2-加(2),由于 0ag,0 2a l,故 aln(2a)2-ln(2a)1 +1,求a的取值范围.【答案】当x ro,0)时,4(x)0,/(x)单调递增.(2)=/，叱J【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论4 0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 的取值范围.【详解】(1)当 0,故/(x)单调递增，注意到广(0)=0,故：当x e(y,O)时，/(x)O J(x)单调递增.由/(x)2万/+1 得，ex+ax2 x.x3+1 ,其中xNO,.当x=0时，不等式为：整1,显然成立，符合题意；.当x 0时，分离参数。得，e-xy-x-U.-Xe-x3-x-l(x-2)%(尤)二-1-，g(x)=令=er-x2-x-l(x 0),则/f(x)=e*-x-l,/?(x)=e-l0,故”(x)单调递增，/(%)/(0)=0.故函数Mx)单调递增,/z(x)/?(o)=o,由Mx)2 0可得:故当xe(O,2)时,当 x e(2,+0,g(x)单调递增;gx)0 Q 0,得r 2,由S (/)0,得0 r 1,求 a 的取值范围.【答案】(1)-(2)l,+oo)e-1【分析】(I)先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；(2)解法一:利用导数研究，得到函数;(X)得导函数尸(%)的单调递增，当 a=l时 由/(1)=0得“力丽=1)=1,符合题意；当 a l时，可证7(：)/0,使得(%)=-=0,得到f Mm ln,利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得(x)N l恒成立；当0 0.x设 g(x)=/(x),则 g(x)=aeT+与 o,X g(x)在(0,y)上单调递增，即广 在(0,+oo)上单调递增，当 4=1 时，/(1)=0,.6=/(1)=1,.：。(力士1 成立.1II 1-1当时，-1 ,力 1(7-1)(。-1)0,使得/,(XO)=ae&T-，=0,且当 Xe(0,x0)时/(x)0,碇 一=一,/.lntz+x0-1=-lnx0,玉)因此 f(x)min=f(x0)=ae&T-In%+Ina=-F In。+XQ-1 +lna 2 2 In a-1 +2 I,无。=21na+ll,%Y%：X)1,.：X)NI 恒成立；当0 a l时，/=a+ln a 4 l,；./lnx+x=elx+lnx.令 g(x)=e+x,上述不等式等价于 g(/a+x-1)2 g(/nr),显然g(x)为单调增函数,又等价于例a+x-lN/n x,即/-x+1,令/(x)=/m：_ x+l,则/(X)=，_ =-在(0,1)上 h 力的单调递增；在(l,+oo)上 h 肉 0,即a Z l,的取值范围是 1,+8).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.8.(2020年浙江省高考数学试卷)已知1。4 2,函数.f(x)=e-x-“，其中-2.7 1828为自然对数的底数.(I)证明：函数.v=/(x)在(。，+8)上有唯一零点；(D)记 xo为函数y=/(x)在(0,+8)上的零点，证明：(i)-Ja l (e-l)(a-)a.【答案】(D 证明见解析，(I D(i)证明见解析，(i i)证明见解析.【分析】(I)先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；(I D(i)先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；(i i)先根据零点条件转化：)=xof(x0+a),再根据l 0,ex 1,:.fx)在(0,一)上单调递增,Q la2,./(2)=g2-2-e2-4 0,/(0)=l-(z0,所以由零点存在定理得f(x)在(0,+8)上有唯一零点；(I I)(i)Q f(xn)=0,:.e1 1-xo-a =Oyjci 1 4 4 J2(a-1)e _/-14 x 2(e 1)，r2令 g(x)=e-2(0 x 2),(x)=e，*r(。x 0:.hx)做 0)=0,:.h(x)在(0,2)单调递增，.h(x)(0)=0,2e x 1-0,2(e、x 1)x2,2另一方面：Q1672.-11,所以当玉)21时，夜 口 4%成立.，因此只需证明当O v x v l时g(x)=ex-x-x2 0,因为 g(x)=ex-1 -2x=(x),g：(x)=然 -2=0=x=I n 2当 xw(0,ln2)时，g；*)0，所以 g(x)maxg(0),g(l),Q g(0)=0,g(l)=e-3 vgr(x)0,g(x)在(0,1)单调递减，.g(x)vg(O)=O,.，一 工 一 1 /,综上，.e 1 4 入。-0,Ja-1 K .4 J2(a-1),./(毛)，(布=f)=4a(ea-l)7 d +a(ea-2)=(e 1)(。1)+a 4 ea-2),因为1 a e,a N2(a-l),/(x0)N(e-l)(a 1)+2(a l)Ja-l(e-2),只需证明 2(l)J T(e -2)2(e-l)(a-l)2,即只需证明 4(e 2)2*(e T)2(a-l),令 s(a)=4(ea-2)2-(e-l)2(a-l),(la 0,s(a)5(1)=4(e-2)2 0 ,即 4(e -2)2(e-l)2(a-l)成立，因此总/(e，(e -l)(a -l)a.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题.9.(2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I)已知函数/(x)=s i n x-l n(l+x),f(x)为/(x)的导数.证明：(1)/(X)在区间(T,存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2 个零点.【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)求得导函数后，可判断出导函数在卜1 弓)上单调递减，根据零点存在定理可判断出大。(0,/),使得g (x 0)=0,进而得到导函数在卜咤)上的单调性，从而可证得结论；(2)由(1)的结论可知x =0 为f(x)在(-1,0 上 的唯一零点；当时，首先可判断出在(0,%)上无零点，再 利 用 零 点 存 在 定 理 得 到 在卜上的单调性，可知/(x)0,不存在零点；当xe万,万 时，利用零点存在定理和f(x)单调性可判断出存在唯一一个零点；当x e(万,小)，可证得/(x)0,l=-sin+1:单调递减(7 +2)2-(万+2)2，玉0个 0,3，使得毛）=0.,.当 x e（-l,x（）时，g（x）0；x e（xo,5）时，g（x）0即g（x）在（-1，%）上单调递增；在in）上单调递减则x=%为g（x）唯一的极大值点即：r（X）在区间卜 唱 上 存在唯一的极大值点吃.（2）由 知：/（x）=cosx 二，xe（-l,+oo）当xw（-l,0 时,由（1）可 知/（x）在（-1,0 上单调递增.r（x）r（o）=o.j（x）在（T,O上单调递减又 0）=0.=0 为“X）在（1,0 上的唯一零点当x e（0费时，/（X）在（0,%）上单调递增，在。段）上单调递减又 r（0）=0./伍）0J（x）在（0,不）上单调递增，此时/（x）0）=0,不存在零点使得/（不）=0；J（x）在&,再）上单调递增，在上单调递减又/(O/(0)=0,/y j =s in|-ln2e=ln-lnl=07T+2.小）0 在1 与 句 上恒成立，此时不存在零点当x e 时，s i n x 单调递减，l n（x+l）单调递减“（X）在净上单调递减又/（事）0 ,/（-）=s i n -l n（+l）=-l n（+l）0即/图 0,又“X）在 台 上 单 调递减/（x）在 g兀上存在唯一零点当了 （万,+0 0）|1寸，s i n x e -1,1 ,l n（x+l）l n（乃+l）l n e =ls i n x-l n（x+l）0即在（万，心）上不存在零点综上所述：/（x）有且仅有2 个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.1 0.（2 0 1 8 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）已知函数fx=-x +anx.x（1）讨 论 f（x）的单调性；（2）若/（x）存在两个极值点中受，证明：/（）-/包）。_ 2.王f【答案】（1）见解析：（2）见解析【详解】分析：（1）首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对。进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；根据f（x）存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定a 2,令/（x）=0,得到两个极值点不，马是方程/-6+1=0 的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）4 X）的定义域为（。，例），尸（耳=7 +0 一以+1XT X X（i）若工2,则r（x）0,当且仅当0=2,x =l时r（x）=O,所以f（力在（0,+o o）单调递减.（i i）若。2,令r（x）=o 得，=伫 咚 二 或*=咚 HL当xo歹卜+尸收）时,r（x）。；当“仁 当 三,空 孝 三|时，r（x）o.所以小）在a。一 呼=7,3+呼 二7+8 1 单调递减,在卜 一 尸，书三单调递增J /（2）由（1）知，/（x）存在两个极值点当且仅当a 2.由于 x）的两个极值点,%满足f-奴+1 =0,所以占=1,不妨设占 9，则.山于小）-工2）=_ _ 1 _ /叫-1 2=_2 1/叫-ln%2=_2 一-2 g玉 一 九 2 XlX2 X X2 X X2%，X2所以“止2 _ g a-2 等价于_ 1 _-七+21 年 0.j q-x2 X2设函数g（x）=T-x+21 a r,由 知，8（）在（0,物）单调递减，又g（l）=0,从而当x w（l,y）时，g（x）0.所以-x2+21 nx,0,即/-”2.X2 百-X,点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需耍明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.