2023届上海市松江区高考一模数学试题【含答案】.pdf

2023届松江区一模2022.12.07一、填空题（1-6每小题4 分，7-12每小题5 分，12题第1空分，第 2 空3 分，共 54分）1.已知集合=（一2，口,B=Z,则2.函数V =s inx c o s x的最小正周期为3 .已知w b e A,i是虚数单位.若。一，与2+次 互为共轲复数，贝 汁（a+biy=4,记 为等差数列M的前项和.若2 5 =3 8 2+6,则公差”=.2y=a；5 .已知函数 2*+1为奇函数，则实数。=6 .已知圆锥的母线长为5,侧面积为20兀，则 此 圆 锥 的 体 积 为 （结果中保留兀）.7 .已知向量a=（5,3）石=（-1，2）,则在B上 的 投 影 向 量 的 坐 标 为.8 .对任意x e R,不等式卜一2卜,一3|2 +恒成立，则实数。的取值范围为=l,x e R-y =l o g,x +c z（x e J）9.已知集合 I x-2 设函数 5 的值域为3,若B”,则实数。的取值范围为2 2p F-7 =1 （0,6 0）10.已知“，勺 是双曲线：b 的左、右焦点，点/是双曲线上的任意一点（不是顶点），过6作/月“工的角平分线的垂线，垂足为,线段的延长线交“6于点。,。是坐标原点，若I 6 ,则双曲线的渐近线方程为_ _ _ _ _ _2也11.动点尸的棱长为1的正方体与G2表面上运动，且与点A的 距 离 是3 ,点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为12.已知数列%的各项都是正数，/N 1）,若数列%为严格增2 3数列，则首项4的取值范围是，当 3时，记 4一1 ,若左4 +人2+40 2 2+1 ,则整数4=二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）13 .下面四个条件中，使 成 立 的 充 要 条 件 为（）A.b2B./6 C.a b-D.ab+V（X2 1 k 14 .函 数 I 户的图象可能是（）15 .在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足5加,-m,=2，其中星等为的星的亮度为反.（4 1,2）.已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.4 5,则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1O101B.10.1C.I g l O.lD.10-，OJ16.已知函数|x+2|,x 0,g（x）=+l,若函数歹=/（、）一g（x）的图像经过四个象限，则实数上的取值范围为（）=）；问：为多少米时，桥墩C D和E F的总造价最低？f +4 =l（a b ）,2 0 .已知椭圆：a b-的长轴长为2 A/3,离 心 率 为 3 ,斜率为4的直线/与椭圆有两个不同的交点4B（1）求椭圆的方程；（2）若直线/的方程为：y =x +t,椭圆上点 12 2 J 关于直线/的对称点N（与M 不重合）在椭圆上，求 f 的值；（3）设尸（一 2，）,直线PN与椭圆的另一个交点为,直线尸8 与椭圆的另一个交点为。，若点C,。和 点 I 4 2）三点共线，求上的值；2 1 .已知定义在R上的函数/3 =犬（e 是自然对数的底数）满足/（x）=/（x）,且/（T）=L删除无穷数列，（）、，（）、，（）、“）、中的第3项、第 6 项、第3 项、余下的项按原来顺序组成一个新数列/,记数列/前项和为几（1）求函数/6）的解析式；（2）已知数列也 的通项公式是。=/（），cN,/?1,求函数g（）的解析式：（3）设集合X 是实数集R的非空子集，如果正实数。满足：对任意不、Z X,都有区一当区 ，设称。为集合X 的一个“阈度，；记集合H=1 h n l +3-(-1)/T 一4 试问集合，存 在“阈度”吗？若存在,求出集合，“阈度”的取值范围：若不存在，请说明理由;2023届松江区一模2022.12.07一、填空题（1-6每小题4 分，7-12每小题5 分，12题第1空分，第 2 空 3 分,共 54分）1 .已知集合B =Z,则【答案】-L。4【解析】【分析】根据集合的交集运算即可得到结果.【详解】因为集合 I,B =Z,则/n 8=-1,0,1故答案为:T 2.函数、=sinxcosx的最小正周期为【答案】兀【解析】1 .=sin 2x【分析】化简 2 即得解.1 .cy=sm2x【详解】解：由题得 2,2兀_所以函数的最小正周期为2.故答案为：兀3.已知i是虚数单位.若a-i与2+加互为共轨复数，则+=【答案】3+4，【解析】【分析】根据共规复数的定义，求出“），再把（+人）展开即得.【详 解】”与2+次 互 为 共 辗 复 数，a=2,b=l,（a+b j=（2 +z）2=4 +4 i +/=3 +4/故 答 案 为:3 +包【点 睛】本题考查共扼复数和复数的乘法，属于基础题.4 .记 明 为等差数列 W 的 前 项 和.若2 s 3 =3 S?+6,则 公 差d=.【答 案】2【解 析】【分 析】转化条件为2（%+2 1）=2%+6,即可得解【详 解】由2 s 3 =35+6可 得2（q +%+为）=3（4 +生）+6,化 简 得2%=4 +4+6,即2（%+2 d）=2%+d+6,解 得 =2,故答案为：2.V=5 .已知函数 2、+1为奇函数，则 实 数。=【答 案】1【解 析】【分 析】根据奇函数的定义结合指数运算求解.f（x）=a-【详 解】若函数 2,+1为奇函数，则/3+/（_）=22X+12A+1 2-+12*+1 2X+12 a-2 =0,解得：。=12 2 2故答案为：1.6.已知圆锥的母线长为5,侧 面 积 为2 兀，则 此 圆 锥 的 体 积 为 （结果中保留兀）.【答 案】1 6兀【解 析】【分 析】根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求解.【详 解】设 圆 锥 的 底 面 半 径 为 小 则=兀/x 5 =2 0兀r =4 ,圆锥的高/?=/5 2-尸 2=3,1 2 1V=Ttrh=xl6兀x3=16兀二圆锥的体积 3 3故答案为：16兀7.已知向量”=(5,3)，3=(-1，2),则。在B上 的 投 影 向 量 的 坐 标 为.【答案】I 5 5)【解析】【分析】利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可.【详解】解：向量 =色3),=(-1,2),a-b b 1 b 1z.1 2-=；=,j=一 (-1 2)=()N在人上的投影向量的坐标为：闻闻“小5 ,55.|)故答案为：5,5 .8 .对任意x e R,不等式上一 2 1 十卜一3|22+恒成立，则实数a的取值范围为 T【答案】2.【解析】【分析】由旧血 得、一2什M一引)的最小值，转化为解关于“的一元二次不等式.【详解】由题意知，(22田-3鼠22“2+4,又.|x-2|+|x-3 闫(x-2)-(x-3)|=l,.(|x-2|+|x-3|)m.n=l(21 7 .2a+al,xeR y=log|x+a(x 5)9.已知集合 I x-2 人设函数 5 的值域为B,若B U A,则实数。的取值范围为(4,5【答案】【解析】【分析】根据分式不等式的解法，对数函数的值域以及集合间的包含关系即可求解.-1 -0 0 详解由x 2 得x 2 x 2，即 一2,(4-x)(x-2)0V所 以 2 ,解得2 2V因为所以 一 1 +a”解得4 0,/?0)a b 的左、右焦点，点/是双曲线上的任意一点(不是顶点)，过6作/月5的角平分线的垂线，垂足为N,线段=闺 用耳 的延长线交用6于点。,。是坐标原点，若 6 ,则双曲线的渐近线方程为_ _ _ _ _ _【答案】户 2岳【解析】【分析】根据 N是4%的角平分线，F 1 N 上M N ,推出|耳 也=也0|,O N =-F2Q|ON|=1 2，结合 6 以及双曲线的定义推出c=3 a,再根据=。2 一/二/一 =8/推 出。，即可得到双曲线的渐近线方程.【详解】因 为 是,平 明 的 角 平 分 线，F N,M N ,所 以 记 是 等 腰 三 角 形，由”|=也。|,N为耳。的中点，又。为片鸟的中点，所以N是片 0的中位线,0 N F2Q|0巾=写所以 2，因为 6 ,当点加在双曲线的右支上时，W F=6|O N|=3同|=3Q阿-阊)=3(MF-MF2)=6 a当点M在双曲线的左支上前，玛卜 6 =3|玛。|=3(g I|MQ|)=3 加6 H M用)=6。所以 2c=6。，g|j c=3a f所以/=c2-a2=9a2-a2=Sa2 f2=2 0所以。，y-x-2&x所以双曲线的渐近线方程为。故答案为：歹=2缶.2百11.动 点p的棱长为1的正方体-44G oi表面上运动，且与点A的 距 离 是3,点产的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为5石-兀【答案】6【解析】1 空 6【分析】根据题意知 3,分情况解决即可.2G【详解】由题意，此问题的实质是以为A球心，3为半径的球,1血因为 3,所以在正方体44G A各个面上交线的长度计算,正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：A B C D,A AXDDX,AAB BX为过球心的截面,7 1截痕为大圆弧，各弧圆心角为7,A,BD,B BCC,DyDCC,为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧,G 7 TV 由于截面圆半径为 3 ,故各段弧圆心角为2,兀2应-兀 Q 5G所以这条曲线长度为 63 2 3 6,5百-7 1故答案为：61 2.已知数列S J的各项都是正数，3一 川=%(eN 若数列 4为严格增a 2 3数列，则首项的 取 值 范 围 是,当 3时，记,若A 4+4+“2 2左+1,则整数4=【答案】.(?)6【解析】【分析】先 由 题 给 条 件 求 得 2,再利用4=名-4 0。2 ,则 物+匕 0,解之得0 J ,则。；+1 -+i ,则 1 a+i 2由6=片 一%(1 /2),可得0%2由%(G N*,N 1)可得1 _ 1 1 1 1 1 1 1an 则为+1-1%+1 则&+|T an 4+12 ,=(Vq=_ un _ 又当 3时，4 1 ,则,1 1 1 1 14 +与+,+匕2 0 2 2 =-1-*H-%-1 a2-1 a3-1。2 0 2 1 1 。2 0 2 2 一 1-1 a2 7 I “2 a3 7 1。2 0 2 0 2 0 2 1/k 2 0 2 1。2 0 2 2，39_12 。2 0 2 2由 1 。2 0 2 2 2 可得，2 2 0 2 211 9 2 212 0 2 2-5k -一一匚 +1-5则I 2-6 A：6成立的充要条件为()A.a b2B.C.a h-D.。6 +1【答案】B【解析】【分析】根据充要条件的概念进行判断即可得解.【详解】当a =T/=-2时，满足。6,不满足a?。当 =-2,=-1时，满足/，不满足。6,故/是a 6的既不充分也不必要条件，所以A不正确；因为 a 6 o a-b 0 2 4 o(a -b)(a+ab+h)0=/_/00/63,所 以/3是”b成立的充要条件，所以B正确；当 a b 时，a-b ,a-h +l 0 t a h-.当 a =b =l 时，满足。力一,但不满足a b,所以a 6 T是。b的必要不充分条件，所以C不正确；当a 6+l时，a h.当a =2,=l时，满足但不满足。1,所以。6+1是。方的充分不必要条件，所以D不正确.故选：B1 4.函数 =(T 的图象可能是()【解析】【分析】根据函数的解析式，利用/（1）=/（一 1）=，/（一 2）,分别排除A、B、D 项,即可求解.【详解】由题意，函数/0（*一 ,因为/（1）=0,即函数/（X）的图象过点（1,0）,可排除八、B项；又因为/（-2）=3 e-2 ,可排除口项，故选：C.1 5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足5.用m2 _ =1 g L2“2 ,其 中 星 等 为 的 星 的 亮 度 为 *（Q 1,2）.已知太阳的星等是-2 6.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为A.I O1 0 1 B.1 0.1 C.I g lO.l D.101 0 1【答案】A【解析】【分析】由题 意 得 到 关 于 的 等 式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.5【详 解】两颗星的星等与亮度满足 2今 m,=1.45,加1=26.72 2 E=-(/M2-/721)=-(-1.45+26.7)=10.1,-L=1015 5故 选A.【点 睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.|x +2|,x 01 6.已知函数,g&）=C+l,若 函 数，=/（）gG）的图像经过四个象限，则 实 数%的 取 值 范 围 为（）A J B卜 窈 0 （-2,D(-OO,-6)OQ【答 案】A,+8【解 析】【分 析】在平面直角坐标系中作出函数“X）的图像，作 出 直 线 二6+1,由图像知只要直 线 夕=+1与、=/（X）的图像在y轴左右两侧各有两个交点，则 以x）=/（X）-g（x）的图 像 就 经 过 四 个 象 限（X 0时，（X）的函数值有正有 负），因 此 求 得 直 线 的 斜 率，再求得直线与丁=/一4x +2相 切 的 切 线 斜 率（注意取 舍）即可得结论.作 出 直 线 =+1,它 过 定 点P（，D,由图可得，只 要 直 线 歹=任+1与y=x）的图像在y轴左右两侧各有两个交点，则 （x）=/a）-g（x）的 图 像 就 经 过 四 个 象 限（x 时，“（X）的函数值有正有负），k 1-0 _ 1x 0时，/（x）=x 2 4x +2 ,y=A x +1由1 y =-4x +2 得-（4+左）x +1 =0,A =-（4+Q f-4x lx l=0,解得=_ 2或左=一6,由图像知，切线P N的斜率为一2,-2 k _ L平面Z 8C.【小问2详解】.,CZ)_L平面/8 C,4C u 平面？18 C,则。C_L4C,，NC4D即为直线AD与平面ABC所成的角,：CD=BC=2 BC VCD/.BCD=90-BD=2五又 平面 8 CQ,BD u 平 面 BCD,；.4B 工 BD,而 Z8 =l,阿=3,.在 R tA/CZ)中,sinZCAD=-AD 3,兀ZCADe0,-又 2,2故线AD与平面ABC所成角的正弦值为3.18.在三角形Z8 C中，内角A,B,0所对边分别为。，b,c,已知bsin/=a cos B-I 6人(I)求角8的大小；2 6(2)若c=2 a,三角形/8 C的 面 积 为3，求三 角 形 的 周 长；【答案】(1)3(2)2拒+2【解析】Z s ii)y 4 =acosl 5-I B-【分析】(1)由正弦定理得6 siM=asin5,代入 I 6)化简可得 3._2/3 4 46Q -C =2。-(2)利用面积公式可得 3,3，再根据余弦定理求解6 =2进而可得边长.【小 问1详解】a _ b在中，由正弦定理Sirb4 sinB,可得加in/1=asiaS,又由6 sirk4=QCOS B I 6sin5=cos5+-sin52 2可得tan5=6Qsin5=QCos B 得 I 6A _兀又因为，(九)，可 得 一5【小问2 详解】1 .D 273 2 0 2石 273 r 4百3 ,故 3 ,由余,解得b=2.273 4 百-1-F故三角形N8 C的 周 长 为 3 32=2 百+219.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN上,桥“8 与N平行，0。为铅垂线（。在上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线 1 上任一点。到MN的距离4（米）与。到。的距离。（米）之间满足关系式 一4。”；山谷右侧的轮廓曲线6?上任一点尸到MN的 距 离 也（米）与/到。的距离b（米）之 间 满 足 关 系 式 -丽+6 ；已知点5到。的距离为40米；（1）求谷底。到桥面4 8 的距离和桥力 8 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于。的桥墩 8 和 团且 置 为 80米，其中0,E在lk上（不包括端点），桥墩ER、CQ每米造价分别为左、2万 元（左）；问：O，E为多少米时，桥墩CD和EF的总造价最低？【答案】（1）谷底到 桥 面 的 距 离 为 16 0米，桥 N8 的长度为120米（2）当石为 20米时，桥墩8与 EF的总造价最低.【解析】7 .八 2=-/+6b D D _ 1 Z：n【分析】（1）作出辅助线，将 6 =4 0 代入解析式-800,求出“4一1。0,从而,OA2=160,得到。到 桥 面 的 距 离 为 =16 米，由 4 ,求出 =8,从而求出的长度为120米；1 ,1 ,EF=160+X3-6X CD=X2+4X（2）建立平面直角坐标系，表达出8 0040,设桥墩CD与所的总造价为/（X）万元，得到/（）的解析式，求导后得到/（X）的单调性及极值，最值情况，求出为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.【小 问1详解】设 的,网,C R,g都与 N垂直，4,与Q,片是相应的垂足,BB.=一一X403+6X40=160由条件知：当 8=40米时，8 00 米，即4=16 0米,所以。到桥面4 B的距离为。=16 0米，OA2 160由4,解得：4 =8 0米，所以 48 =04+。8 =8 0+40=120米，所 以 桥 的 长 度 为120米；以。为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系X。，如图所示:1 3 ,设&W）1（0,40）则 为“丽1+6、E尸=16 0-%=16 0+X3-6X2 8 00,因为CE=8 0,所以C=8 0-x,设。（-8 0,乂），则凹小O r7,C=16 0-y.=16 0-（8 0-x）2 -x2+4x所以 40V 7 40,设桥墩CO与EF的总造价为/（X）万元，f （x）=416 0+-x，-6 x|+-x2+4x|则 I 8 00 J 2 I 40）=x3-x2+16 0 j(Ox(8 00 8 0令/(x)=0,得x=20,当x e(0,20)时，r(x)0,故/(x)在x=20处取得极小值，也是最小值，所以当O E为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.二 +与=l(a b 0)r-20.已知椭圆：夕 的长轴长为2M3,离 心 率 为3,斜率为左的直线/与椭圆有两个不同的交点力,B(1)求椭圆的方程；(2)若直线/的方程为：P=X+L椭圆上点 12 2 J关于直线/的对称点N (与M不重合)在椭圆上，求/的值；(3)设尸(一2，),直线PN与椭圆的另一个交点为C,直线尸8与椭圆的另一个交点。(-二为D,若点C,。和 点V 4 三点共线，求左的值；X2 2 _,r+y=i【答案】(1)3(2)2(3)2【解析】【分析】(1)利用题给条件求得久b的值，即可求得椭圆的方程；(2)先求得点“关于直线 的对称点N的坐标，并代入椭圆的方程，即可求得/的值；(3)先利用设而不求的方法求得点0,。的坐标，再利用向量表示点C,。和点。三点共线，进而求得人的值【小 问1详解】1 +彳=1(60)r 椭圆。b 的长轴长为2,3,离 心 率 为3,c _y6,_则。=6,a 3,则c=V ,则6=Ja=,求函数g（）的解析式;由+,整理得(1 +3左2 2濡+124x+1 2 k-3=0X 2 +%=一12行1 +3代12月则则1 +36以=%/-7-12,%.4 4/+7,则 I 42 +7 42+7 J-_-7X l-1 2t7 y,_ _ =1%_ _ 1(4x,+7 14X1+7 2J(4(4X1+7)4X1+7 2?_ f-7x2-12 7%_ _ 1 为_ _114工2 +7 454X2+7 2)4(4x2+7)54x2+7 2?由点C,。和 点I 4 2J三点共线，可得3=0（3）设集合X是实数集R的非空子集，如果正实数。满足：对任意王、/eX,都有后 一 区 ，设称。为集合X的一个“阈度”；记集合H=1 13 1 +3 1 1月f T 一4一试问集合，存 在“阈度”吗？若存在,求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由;【答案（1）/（）=/g()=/当I(2)2 4（3）Le-e）【解析】7 G）=/（%）【分析】（1）由 ，（一1）二1 可求得左、b的值，进而可得出函数/（X）的解析式；（2）对 分奇数和偶数两种情况讨论，求出 的表达式，根 据=/（）可得出g（）的表达式；（3）分”为奇数、偶数两种情况讨论，求出、卬关于”的表达式，求出卬的取值范围,可得出。的取值范围，即可得出集合“阈度”的取值范围.【小 问1详解】山 r斗/6）=/+6 nil f（x k eb+b解：因为/，则I ，若/（x）=/（x）,即*+=%*，解得贝/G）=e、，因 为/（一l）=e 一可得b =l,因此，/G）=e，【小问2详解】7 7 +1士皿 _/?=2 w-1 (w G N *)3n=o解：当为奇数时，设 ),则 23+3 1 3-1,1 /、3/7 1此时4=人=/(3加-2)=e 3 T=e=k ,此时8()=丁;当 为偶数时，设 =2 (/GN*),则“一=5-,此时，-*1)=婢一经，此时g()=与综上所述，g()V?【小问3 详解】3+(7)4解：),3(w+l)-1 f p3(m+l)2 计 1 _ f_ p3 2 计 2 _ _ 3十 _ _3w-l.3/M&*因为，2 i e,i2m e,其中加EN ,所以，数列 的奇数项构成以e,为首项，公比为e3的等比数列,数 列 中 的 偶 数 项 构 成 以e，为首项，公比为,的等比数列,(e 2+d)e2-1T=-当为偶数时，”e3-1此时，卬随着的增大而增大，则e-e3-lT 当为奇数时，p2 3 3(”+1)A 3(+1)L-1 -厂T e3-lu,_%_ _ _ /_ 八 3+(-1)丁 e 竽2 4 /1e2+1 W -此时，卬随着 的增大而增大，则e e3-l.e3-l-1因此，当 2 1且 e N*,1 e2+e3卬的值在区间 e e-l j内,则 e -11 e4 4-1e e4-e ,4 _，故集合“阈度”的取值范围是Le -e ）.【点睛】关键点点睛：本 题 第（3）问考查集合“阈度”的取值范围，解题的关键在于对分奇数、偶数两种情况讨论，求出观关于的表达式，结合数列的单调性求出卬的取值范围，进而根据题中定义求出集合”“阈度”.