2023届福州高三第三次模拟考试数学试卷含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷考生须知：1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一个正三角形的三个顶点都在双曲线尤2+?=1的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数。的取值范 围 是（）A.（3,+oo）B.C.卜-石）D.（00,3）2.已知双曲线C：-4 =1（4O力0）,。为坐标原点，耳、尺为其左、右焦点，点G在C的渐近线上，F.G OG,a b且 遥IOG|=|GK I，则该双曲线的渐近线方程为（）A.y=x B.y=+-x C.y=x D.y=5/2x2 23.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则 56846可用算筹表示为（）1 2 3 4 5 6789I II III Illi H ill T U H 皿 纵 式_ _ _ =姿 J_ 工 工 横 式中国古代的算筹数码A-lllllIIIIT -lllllT c.T lllllD-lllllllll4.设集合A=1,2,6,8=-2,2,4,C=x e/?|2 x 6 ,贝!（A B）C=（）A.2 B.1,2,4）C.1,2,4,6)D.xe R|-1 x55 .已知复数z =U,则之的虚部是（）1-1A.i B.-i C.-16 .已 知 a,bR,3+ai=b-（2a-l）i,则（）A.b=3a B.b=6a C.b=9az、z.7 .复数4在复平面内对应的点为（2,3）*2=2+i,则（z?1 8.1 8.八 1 8.A.-F z B.-1 C.-1 +z5 5 5 5 58.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A.y=x+2 B.y=sinx C.y=x-xJD.1D.b=12a）5D.y =2*9.函数/(幻=皿+王咨土在 2%,()u(0,2汨上的图象大致为()x 2 0cD.1 1.已知数列 4中，q=2/(4+a)=4+L N ,若对于任意的。1 一 2,2 ,cN*,不等式巴 以 2*+m 1 恒成立，则实数，的取值范围为()+1A.(oo,2 u l,+oo)c.(,-l u 2,+oo)B.(oo,2 u2,+oo)D.-2,21 2 .已知函数/(x)=Asi n(O,0O,O e的部分图象如图所示，则/3兀()A /2-y/b V2+6 0y/6-y/2 V6+V24 4 4 2二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3 .已知函数/(x)=c osx-I og 2(2 x +l)+or(ae 7?)为偶函数，贝!=.1 4 .二项式_ L 的展开式中.一项 的 系 数 为.1 5 .函数.f(x)=6(4 4)+x 1 的 值 域 为.1 6 .若(/-21-3)”的展开式中所有项的系数之和为2 5 6,则=,含/项 的 系 数 是 (用数字作答).三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .(1 2 分)已知矩形纸片A B C D中，A B =6,AD=i 2,将矩形纸片的右下角沿线段MN 折叠，使矩形的顶点B 落在矩形的边A。上，记该点为E,且折痕MN 的两端点M,N 分别在边AB,8 c上.设N MN 6=，,N =/,A EMN 的面积为S.c(1)将/表示成。的函数，并确定。的取值范围；(2)求/的最小值及此时si n6的值；(3)问当，为何值时，A EMN的面积S取得最小值？并求出这个最小值.1 8.（1 2 分）如图，在三棱柱 A 5 C-A/1 G 中，Ai AY f f i ABC,Z ACB=90,A C=C B=CtC=l,M,N分别是 A3,A C的中点.(1)求证：直线MN L平面AC3 i；(2)求 点G到平面Bi M C的距离.1 9.(1 2 分)已 知/(x)=2|x+l|,g(x)=|x-3|.解/(x)g(x)；(2)若|2 a耳4 1,证明：/(a)+g24.2 0.(1 2分)某省新课改后某校为预测2 0 2 0届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三(1)班到高三(5)班随机抽取5 0人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.(1)根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.(2)已知该省甲市2020届高考考生人数为4 万，假 设 以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.(0 若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8 名学生达到本科线的概率(结果精确到0.01)；(i i)已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(0 =+/。0)与 抛 物 线 丁=2%交于不同两点4、B,直线2 4、与抛物线的另一交点分别为两点C、D,连接C O,点 P 关于直线C D 的对称点为点。，连接A。、B Q.(1)证明：AB/CD.(2)若仅2 4 6 的面积S 2 1-r,求/的取值范围.22.(10分)已知函数/(x)=l-2 G sinxco sx-2 cos2x+机在R 上的最大值为3.(1)求?的值及函数/()的单调递增区间；(2)若锐角AABC中角A、B、。所对的边分别为a、b、c,且/(A)=0,求的取值范围.C参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】因为双曲线分左右支，所以0),将其代入双曲线可解得.【详解】因为双曲线分左右支，所以。0),将其代入双曲线方程得：3(l+o2+a(-r)2=l,_-2即1 由，0得a v 3.一 +13故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.D【解析】根据Q G J_ O G,先确定出G居,G。的长度，然后利用双曲线定义将6|OG|=|GKI转 化 为 的 关 系 式，化简后可得到2的值，即可求渐近线方程.a【详解】如图所示：又 因 为 何。G|=|G K|,所 以 网OG|=|GR,所 以 西0可=阿2 +6匐,所以6 1 0 G l=GF2+F2F,所以6 a2=2+4 c 2+x 2 c x c os(1 8()oN GE耳),=b2+4c2+2bx2cx 所以。2 =2,2=&,所以渐近线方程为y =JI x.故选：D.【点睛】本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.3.B【解析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案.【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示,.5 6 84 6用算筹表示应为：纵 5 横 6 纵 8 横 4 纵 6,从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为8 中的.故选：B.【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题.4.B【解析】直接进行集合的并集、交集的运算即可.【详解】解：A u B =-2,l,2,4,6；.,.（A u B）n C =l,2,4.故选：B.【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.5.C【解析】化简复数，分子分母同时乘以1 +进而求得复数？，再求出I，由此得到虚部.【详解】z i z i 所以z的虚部为一L1-z故选：C【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轨复数的虚部，属于基础题.6.C【解析】两复数相等，实部与虚部对应相等.【详解】由 3+由=匕一（2。一1,3=1得 ,，即。=彳，b=l.a=l-2a 3:.b=9a.故选：C.【点睛】本题考查复数的概念，属于基础题.7.B【解析】_ z,求得复数4,结合复数除法运算，求得 的值.【详解】z.2+3;易知1 2 +3i,W J-=-(2+3i)(-2-i)(-2+z)(-2-z)(2+3i)(-2-i)5-1-8/5_585故选：B【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.8.C【解析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A.y=x+2,值域为R,非奇非偶函数，排除;B.y=sinx,值域为-1,1 ,奇函数，排除；C.y =x-d,值域为R,奇函数，满足；D.y=r,值域为(0,+a),非奇非偶函数，排除；故选：C.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.9.A【解析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；【详解】解：依题意，/(r)=sin(-x)+丑?砥 旦=胆+cosx=,故函数/(x)为偶函数，图象关于)轴-%20 x 20对称，排 除 C；2 9宜一jr而/(万)=一会 0,排除 D.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.10.A【解析】1 1由=J7 o 排除选项。；彳_；)=_0排除选项。；由函数/G)有无数个零点，排除选项/3,从而可得结果.【详解】!_j由0=0,可排除选项D/()=0可排除选项C;由心)=。可得6=k,k ez,即函数/(.V)有无数个零点，可排除选项/3,故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及-0 +/-0；一 +8,一 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11.B【解析】an+,an 1先根据题意，对原式进行化简可得=+1 n/i(/7+1)式 也 3恒成立,+1【详解】由题，“(4+1-。“)=4,+1=也 +|=(n +l)a +lH n%+i a,_ _ 1 1即 1 一 /17?+1 n+n H+1由累加法可得：餐=(餐 一4+|+1 +1 n J n n-1 J即&I L=H _ K O 1K +j+2=3-+l yn T i +1 J n)I 2)对于任意的a e -2,21,n w N*,不等式巴 L 0 f t 0 r 2 r-l可得，2 2或r 4-2故 选B【点睛】本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用,出通项公式和后面的转化函数，属于难题.12.A【解析】1 1 ,然后利用累加法求得a上-3-一1，然后不等再利用函数性质解不等式即可得出答案.HN-3所以函数的值域为 3,+8）故答案为：3,+8）【点睛】本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。16.4108【解 析】卜2 一 2x-3)”的展开式中所有项的系数之和为2 5 6,，4=2 5 6,1 =4，(F _ 2x 3)=(J _ 2x -3)4=(x 3y*(x +1?，二/项 的 系 数 是 C：(3+C：x (-3)4+C(-3)=108,故 答 案 为(1)4,(2)108.三、解答 题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。】九/二悬/卧。sin*,/的 最 小 值 为 竽.Y时，面 积S取最 小值为8百【解 析】(1)NE NM =Z M N B =0,Z E M A =20，利用三角函数定义分别表示N B,MB,ME,AM,且4 0 +MB=6,即可得到B N =-12s i n。c o s。3/关 于。的解析式；，即 可 得 到。的范围;c o s-0(2)由(1)，若 求，的最小值 即 求s i n O c o s?。的最大值,即可求面2。4 6的最大值,设为尸(6)=豆112%054。,令x =c o s2。，则 尸 3)=(1-x)f,即 可 设g(x)=(1-x)x?,利用导函数判断函数的单调性，即 可 求 得g(x)的最大值，进而求解;1 ,(3)由题,S =/-s i n 6c o s，X9-2s i n d c o s e l l Z 4)4 s i n-c o s 6/-T T n t=C O S2 e -0 c o s 28+/s i n 6=6,6 3所以/=-=-s i n 8(c o s 2。+1)s i n c o s-09所以/=3B N =-12s i n c o s又 B N W 1 2,3 M W 6,则，3，所以c o s 00 0 -23 P 0。；当x e g，2丁 时,g,x)0,所以g(x)在I，|上单调递增，在|,柠 叵 上单调递减，故当x =c o s2 6=2时/取最小值，此时s i n。=立，/的 最 小 值 为 述.3 3 21 ,9(3)A M V 的面积 S=/-s i n e c o s e =2X1,s i n d c o s 3 外 1 2 一 一4/所以S?81X4 L，设 t=CO S2 s i r r O c o s。1 1 2，则-r 0；当f w ,2 时,(/)4成立.【详解】(1)/(x)=2|x+l|,g(x)=|x-3|,由/(x)g(x)得2h+1|才x 3|,不等式两边平方得(2X+2)2N(X 3)2,即(3X 1)(X+5)2 0,解得x W 5或x z g.因此，不等式“X)2g(x)的解集为(-8,-5 ；,+8)；(2)|2a-Z?|l,:.-l2a-b4.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.-2 120.(1)60%；(2)(i)0.1 2(i i)-,1_ 3 7【解析】(1)利用上线人数除以总人数求解；(2)(i)利用二项分布求解；(i i)甲、乙两市上线人数分别记为X,Y,得 乂 3(40 0 0 0,0.6),K 5(360 0 0,p)利用期望公式列不等式求解【详解】(1)估计本科上线率为4+6+：)+8+5=6 0%.(2)(D记“恰 有8名学生达到本科线”为事件4,由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6,则 P(A)=x 0.68 x(l-0.6)2=x 0.364 x 0.1 6=45 x 0.0 1 68x 0.1 6 0.1 2.(i i)甲、乙两市20 20届高考本科上线人数分别记为X,Y,依题意，可得 X 8(40 0 0 0,0.6),5(360 0 0,/?).因为20 20届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以 E T 2 E X,B P 360 0 0/?40 0 0 0 x 0.6,2解得p 9又O v p v l,故p的取值范围为-J .【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.2 1.(1)见解析；(2)1 8,一 万.【解析】,2（1）设点山 普,、B，必 I，求 出 直 线 出、/归的方程，与抛物线的方程联立，求出点C、。的坐标，利72用直线A B，C D的斜率相等证明出AB/CD,（2）设点P 到直线A B、C。的距离分别为4、1 2,求出4,利用相似得出么，可得出。钻 的 边 A B上的高,并利用弦长公式计算出AB,即可得出S 关于，的表达式，结 合 不 等 式 可 解 出 实 数/的 取 值 范 围.【详解】,2、%2、(1)设点 A 吩，M、B r,y2 贝!I 即A2727直线Q 4的方程为:xV.)：由 x-2(X 7)2（y1广 2（y-1）y-2(y,-l)-2(-1),消去X 并整理得 y2 Ji2y2=2xK一12y (r=o，乂一1由韦达定理可知，ycyA=%乂yx-i 二先y T 代入直线A P 的方程，得飞2（乂-广解得cyf x、同理，可得。%、口（M T%Xy-i2y2 fJx+%2(%一2(y 炉,2 T M ly+%=2,，%=2 y 代入得 k c D22-y.+(2-y)-1?i-i22（乂一1）X-2+X 2M-2X T1因此，A B U C D x（2）设点P 到直线A B、C O 的距离分别为4、d2,则&-t正由 知 A B H C D,4.PAL阿d2P。1PDPC PDI-I-附.照=/+磕.外 附|=/+总，二 鬲xc2同理得 闸 一 回 ，.=(弘-1)(%-1)了 心 力-(%+%)+1|2，由,y=x+t.二 c ,整理得y 2 2 y +2，=0,由韦达定理得M +%=2 ,y.y2=2t9y=2xrl-r Y号=2,得 2J L(11-t 2 r)设点。到直线A B的高为h,贝|=|4 一2 d 2=正;二。磔+1|,.|A 3|=V i 7 F.J(y +%)2 _ 4 M y 2，5=#加=gx2QFx君&侬+1|=七3+忖 ,3 (3 o,解得/W-彳，因此，实数/的取值范围是-8,-5 【点睛】本题考查直线与直线平行的证明，考查实数的取值范围的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题.2 2.(1)机=1,函数/(X)的单调递增区间为k兀+j 版 +与，k e Z；(2)-2.6 3 2 c【解析】(1)运用降塞公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出机的值，再结合正弦型函数的性质求出函数/(x)的单调递增区间；(2)由(1)结合已知/(A)=0,可以求出角A的值，通过正弦定理把问题的取值范围转化为两边对角的正弦值C的比值的取值范围，结合已知A A B C是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出的取值范围.C【详解】解：/(x)=l-2 /3 s i n x c o s x-2 c o s2x+m3 sin 2x+cos 2x+m=-2 sin 2x+m6由已知2+z=3,所以，篦=1因此/(x)=-2sin2x+j+ln TT 37r令2 k 2x-2人 +，k eZ2 6 27F 9 77得 左 xk7V-，k eZ6 3jr 2 4因此函数/(x)的单调递增区间为 加+%，+，keZ(2)由已知2sin 2A+j+1=0,/.sin2A+j=由0 A(工 得22A +2上，因此2A+工=22 6 6 6 6 6兀所以A=31一 sinB sin lt+c l gcosC +gsinC 省 c sin C sin C sinC 2tanC 20 C -2因为为锐角三角形AABC,所以 。2 710B=-C ,那 么,223 2 c【点睛】本题考查了降塞公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.