2023届上海市松江区高考一模数学试题.pdf

2023届松江区一模2022.12.07一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，12题第1空分，第2空3分，共54分）1 .已知集合=（一2，B=Z,则A 1 8 =2 .函数y=s i nxc o s x的最小正周期为3,已知0功，i是 虚 数 单 位.若 与2+初互为共辗复数，则S+的）=.4,记S 为等差数列储力的前项和.若2 s 3=3SZ+6,则公差=.2y=a :5.已知函数 2 +1为奇函数，则实数6 .已知圆锥 母线长为5,侧面积为2 0兀，则 此 圆 锥 的 体 积 为 （结果中保留兀）.7 .已知向量值=（5,3），=（T，2）,则方在加上 投 影 向 量 的 坐 标 为.8 .对任意x e R,不等式打一2|十卜一3|2 2。-+恒 成 立，则实数。的取值范围为A=l x|l,xeR y=l o g x+c（xe9.已 知 集 合 x-2 J.设函数 5 的 值 域 为B,若8勺A,则实数a的取值范围为2 2P F _=l（i Z 0,ZJ 0）1 0 .已知4,2是双曲线：矿 b-的左、右焦点，点M是双曲线上的任意一点（不是顶点），过片作耳 岫 的角平分线的垂线，垂足为N,线段片N的延长M F八|O N|=囱线交时%于点Q,0是坐标原点，若 6 ，则双曲线的渐近线方程为_ _ _ _ _ _ _2 61 1.动 点P的棱长为1的正方体-44CR表面上运动，且与点A的 距 离 是3,点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为1 2 .已知数列间的各项都是正数，.f*i=4（G N，刈,若数列 为严格增2 -包a=4 _数 列，则 首 项4的取值范围是，当 3时，记”一 1 ,若%方成立的充要条件为（）A.cr b2 B.a3 b3 C.ab-D.a b +1 4 .函数y=，l）e*的图象可能是（）1 5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足5,E.机2 一町=%吆”，其中星等为恤的星的亮度为仇（上 1,2）.已知太阳的星等是-2 6.7,天2 E2狼星的星等是-1.4 5,则太阳与天狼星的亮度的比值为A.I O1 0,1 B.1 0.1 C.I g l O.l D.W1 0 11 6 .已知函数 /一 以+工 尤N O,g（x）=k x+i,若函数 =/（尤）一g（x）的图像经过四个象限，则实数左的取值范围为（）A IT B.1 6,小S-6 M g,+8）三、解答题（共 78分）17.已知1 平面B C D,B C A.C DC.(-2,+o o)D.第 2 页/共16 页BDC（1）求证：平面A C。_ L平面A B C：（2）若A B =1,C D =B C =2,求直线AO与平面A B C所成角的正弦值大小.18.在三角形AB C中，内角A,B,C所对边分别 a,h,c,已知bsinA=acos B-I 6 j（1）求角B的大小；（2）若c =2 a,三角形A B C 面 积 为 空，求三角形AB C的周长；319 .某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN上，桥A8与MN平行，00为铅垂线（。在AB上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线A O上任一点。到MN的距离九（米）与。到00 的距离。（米）之间满足关系式九=a 2；山谷右侧的轮廓曲线3 0上任一点尸到MN的距离色（米）与尸到0 0的距离人（米）之间满足关系式 =-工 3 +6b；已知点B到0 0的距离为40米；M 0 F、N（1）求谷底。到桥面AB的距离和桥A5的长度;（2）计划在谷底两侧建造平行于00的桥墩C D和E R ,且C E为8 0米，其中C ,E在3上（不包括端点），桥墩E F、CD每米造价分别为上、二左万元（%0）；问：O E为多2少米时，桥墩C D和E F的总造价最低？20.已知椭圆：+亲 =1（。6 0）的长轴长为2石，离 心 率 为 半，斜率为上的直第3页/共16页线/与椭圆r有两个不同的交点A,B(1)求椭圆 方程；(2)若直线/的方程为：y =x +乙 椭 圆 上 点 关 于 直 线/的 对 称 点 N(与M不重合)在椭圆上，求 的值；(3)设尸(一2,0),直线PA与椭圆的另一个交点为C,直线P B 与椭圆的另一个交点为 D,若点C,O和点Q(一三点共线，求上的值；21.已知定义在R上 的 函 数/(另=/+(e 是自然对数的底数)满足/(x)=/(x),且/(1)=1,删除无穷数列/、/、./、L、./、L 中的第3 项、第6 项、L、第 3项、L、(n e N,n l),余下的项按原来顺序组成一个新数列*“,记数列*“前项和为(1)求函数/(x)的解析式；(2)已知数列乩 的通项公式是f.=/(g 5),e N,n ,求函数g()的解析式；(3)设集合X 是实数集R的非空子集，如果正实数。满足：对任意为、x2eX,都有xt-x2 lk试问集合”存 在“阈度”吗？若存在，J 3 1+3.(-1)”f T 一-4 一求出集合H “阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由：第 4 页/共16 页2023届松江区一模2022.12.07一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，12题第1空分，第2空3分，共54分）1,已知集合=H R ,B =Z ,则【答案】-1,0,1）2 .函数y =s i n x c o s x的最小正周期为【答案】兀3 .已知i是虚数单位.若a-i与2+4互为共轨复数，则.【答案】3 +4/4.记S“为等差数列 4 的 前 项 和.若2 s3=3 5 2 +6,则公差d=.【答案】225 .已知函数y =a-为奇函数，则实数。=2+1【答案】I6 .已知圆锥 母线长为5,侧面积为2 0兀，则 此 圆 锥 的 体 积 为 （结果中保留兀）.【答案】16 n7 .已知向量 =（5,3）,石=（一1,2）,则在B上 的 投 影 向 量 的 坐 标 为.【答案】信,|）8.对任意xeR,不等式k一2|+上一3隹 勿2+a恒成立，则实数”的取值范围为【答案】-蒋 .9 .已 知 集 合 人=卜|三2 1,.R1.设 函 数y =l%x+4 XG夕的 值 域 为B,若B c A,则实数4的取值范围为【答案】（4,5 2 210.己知耳，K是双曲线：今 一 方 =l（a 0,b 0）的左、右焦点，点M是双曲线r上的任意一点（不是顶点），过片作/晒的角平分线的垂线，垂足为N,线段6N的延长第5页/共16页Iff I线交M鸟于点Q，。是坐标原点，若|O N|=q&,则双曲线的渐近线方程为【答案】y =2缶H.动点P的棱长为1的正方体ABCOABC 2表面上运动，且与点A的 距 离 是 竽，点户的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为【答案】亚 式612.已知数列 4 的各项都是正数，区,一a,T=a“（N*,2 1）,若数列 a,为严格增2 （-1广数 列，则 首 项q的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _,当q =彳 时，记 包=一，若3%-1人 6成立的充要条件为（）A.a2 b2 B.a3 hab+【答案】B1 4 .函数y =(f -l)e*的图象可能是()C.ci b D.第6页/共1 6页【答案】C1 5 .在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足机2-町 二 耳 但 石 匕 其中星等为 我的星的亮度为&(&=1,2).已知太阳的星等是-2 6.7,天狼星的星等是-1.4 5,则太阳与天狼星的亮度的比值为A.I O1 0 B.1 0.1 C.I g l O.l D.1 O-1 0 1【答案】AT I Y J -4 f|x+2|,x0,g(x)=A x+l,若函数 y =/(x)-g(x)的图像经过四个象限，则实数攵的取值范围为()A.12,1 B,1 6,J(-o o,-6)U ,+ooJ【答案】A三、解答题(共78分)C.(-2,+oo)D.1 7 .已知AB 上平面B C D,B C L C D(1)求证：平面AC。_ L平面AB C；(2)若 A B =1,C D=B C =2,求直线AO与平面AB C所成角的正弦值大小.【答案】(D证明见解析.【解析】【分析】(1)先证明。，平面AB C,再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直.(2)证明NC4。即 为 直 线 与 平 面 AB C所成的角，然后解三角形即可求得该角大小.【小 问 1 详解】第 7页/共1 6 页/AB _ Z 平面 BCD CD u 平面 BCD,：,AB _L CD）又 BCJ_C。且ABc3C=B,A B,3Cu平面ABC,：.CD平面 ABC,V CDu平面 ACD,.平面ACO，平面ABC.【小问2详解】平面 ABC,A Cu 平面 A B C,则。CL AC,ZCAD即为直线AO与平面ABC所成的角，；CD=BC=2,BC1CD,;.NBCD=9 0，；.BD=2也，又4 8 1平面BCD,B D u平面BCQ,AB_L8D,而 A3=l,AD=Vi+8=3，CD 2.*在 RtZACD 中，sin NCAD=一,AD 371又 NC4OH0,2故线AO与平面ABC所成角的正弦值为|.18.在三角形ABC中，内角A,B,C所 对 边 分 别 为,c,已知bsin A=。8 5（8一2）；（1）求角3的大小；（2）若c=2 a,三角形ABC 面 积 为 空，求三角形ABC的周长；3TT【答案】（1）B=-243+2【解析】【分析】由正弦定理得加inA=asinb,代入sinA=acos（8弋）化简可得8=：.（2）利用面积公式可得 =2叵，c=2a=巫,再根据余弦定理求解8=2进而可得边3 3长.【小 问1详解】a b,4 （八 兀、在 ABC中，由正弦定理-=-，可得加inA=asin3,又由加inA=acos|6-二，sinA sinB 1 6 J第8页/共16页（兀、得 tzsinB=acos B 一-,I 6J即 sirf?=c（）sB j,sinB立cos6+sin 8，可得2 2又因为B e（0,兀），可得8=1.【小问2详解】由题意，acsin B =,故冠 义，即4=故c=2a=4y,由余弦2 3 2 3 3 3逑1 X,，解得0=2.3 J 2故三角形ABC的周长为2叵+拽+2=2括+23 319.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN上，桥A 3与MN平行，0 0 为铅垂线（。在A 5上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线A0上任一点。到M N的距离 （米）与。到0 0 的距离a（米）之间满足关系式九=4 ；山谷右侧的轮廓曲线5 0上任一点尸到M N的距离生（米）与F到0 0 的距离b（米）之间满足关系式%=-工。3 +6b.已知点B到0 0,的距离为40米；（1）求谷底。到桥面A B的距离和桥A B的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于0 0 的桥墩C D和E F，且CE为80米，其中C,E在3上（不包括端点），桥墩E F、CO每米造价分别为左、万%万 元（人0）；问：OE为多少米时，桥墩CO和E E的总造价最低？【答案】（D谷底。到桥面AB的距离为160米，桥AB的长度为120米（2）当。E为20米时，桥 墩CQ与EF的总造价最低.【解析】【分析】（1）作出辅助线，将b=4（）代入解析式刈=-工 +6力，求出3 4=1 6 0,从而第9页/共16页得到。到桥面A B的距离为。0 =16 0米，由二=16 0,求出。/=80,从而求出A B4 0的长度为12 0米；1 ,1,(2)建立平面直角坐标系，表达出政=16 0+X3-6X,C D =一一X2+4X,设桥墩800 4 0C Q与E F的总造价为“X)万元，得到/(x)的解析式，求导后得到了(元)的单调性及极值,最值情况，求出O E为2 0米时，桥 墩C D与E尸的总造价最低.【小 问1详解】设A4,B综C。,都与MN垂直，A,综 ，耳是相应的垂足，由条件知：当。8=4 0米时，BB=-X4 03+6X4 0=16 0X，即 A4,=16 0米，所以。到 桥 面 的 距 离 为。0 =16 0米,由 1-。4=1 60,解得：0/=8()米，4 0所以 4 8 =0/+0 3 =80+4 0=12 0米,所以桥A B的长度为12 0米;【小问2详解】以。为原点，00所在直线为)轴建立平面直角坐标系X 0 Y,如图所示:设尸(x,%)，x e(0,4 0),贝|J 必=一-x3+6 x,800 F=16 0-y,=16 0+V-6 x,2 800因为C E =8 0,所以 O C=8()x,设。(x-80,y),则 凹=片(804，所以 C D =16 0 y =16 0焉(80 x)2 =-x2+4x,设桥墩C D与E F的总造价为/(x)万元，第10页/共16页、则/(力=4 16 0+砺x3-6%+三3女|-x2+4 x724 0+1 6 0(0 x 则 c=/2，则 Z?=-Ja2 c2 J3 2-1a 3r2则椭圆的方程为L +V=1；3【小问2 详解】则设椭圆上点M关于直线/的对称点N(s,)13+s 2=22 21n _23s+一2，解之得n-tI 2由N 在椭圆上,整理得2/-5/+2=0,解之得=?或 f=22当f=2 时1 ,与 与 点 M 重合，舍去.则/=，I 2 2；2【小问3 详解】设 A(x,，x),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则 +3 靖=3,X22+3J22=3又 P(2,0),则 勺=即 八=，直线P A的方程为丁=匕 +2)y=/:,(%+2)由,整理得(1 +3仁2)/+12匕2彳+12人2-3 =0 T+y =1则百十七=2k e 12k；-9 贝(J 也=-A X1 +3Z；1 +3 4 1、21 2 工 一又则”1 +3-1-g +2,则 为 =4x,+7,则 C-7%-12、4再+7Si第 12页/共16页令则 2 =kpB直线尸8的方程为丁=&（%+2）由，y=e（x+2）x2 2.+y=1I 3,整理得（1 +3kl）/+12&2%+12&2 3=012k；,12k；则+L际则L际r则-7%T 2-X-,-=-4%+7-7x2-12、4X2+7%4X2+7,贝 IJ 4=%4x2+7,则。则0 c =-7内-12 7,y_ _ _、4%+7 4 4玉 +7 21 M n、4（4%+7）4玉+7 2,n p f-1 2,7%_ _ 1 j 1 _ _ _ 1I 4%+7 了4%+7 2J（4（4%+7）4%+7 2?由点C,。和点。（一（,g）三点共线，可得Qd。力则1 =04（4%+7）（4%+7 2）4（4+7）（4%+7 2）整理得当凹=2（一办），则攵=上上=2当一王【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.21.已知定义在R上的函数x）=*+（e是自然对数的底数）满足x）=/（x）,且/（一1）=1，删除无穷数列/（1）、/（2）、/（3）、L、/（）、L中的第3项、第6项、L、第3项、L、（neN,nl）,余下的项按原来顺序组成一个新数列,记数列 乙前项和为7；.（1）求函数“X）的解析式；第13页/共16页(2)已知数列乩 的通项公式是=/(g()，e N,n ,求函数g()的解析式;(3)设集合X是实数集R的非空子集，如果正实数。满足：对任意不、&G X ,都有|x,-x2|l k试问集合存在“阈度”吗？若存在,3 1 +3.(-1)f T 一_4一 7求出集合”“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；【答案】(1)/(x)=ex+,(2)/、3 3 +(-1)g()=Z 4(3)4 1e 、+1,+e -e )【解析】【分析】(1)由f(x=f(x.3,，可求得左、。的值，进而可得出函数/(X)的解析式;(2)对 分奇数和偶数两种情况讨论，求出乙的表达式，根据。=/(g()可得出g()的表达式；(3)分为奇数、偶数两种情况讨论，求出(、卬关于 的表达式，求出卬的取值范围,可得出。的取值范围，即可得出集合”“阈度”的取值范围.【小 问1详解】解:因 为/(力=0+&,则/(力=以3,若/(x)=/(x)，即*+=品+，解得出=1,则 x)=e X+),因为T)=e T=l,可得。=1,因此，/(x)=e*T.【小问2详解】解：当“为奇数时，设 =则 加=苫1,3-+3 3”-1 ./、3 n-l此时&=L时=/(3相2)=e J =e 2=e 2,此时 g()=-；当为偶数时，设“=2/(/?4*),则加=,第1 4页/共1 6页3 一2 3八 一2此时，4 =/(3 m _ l)=e =e 2 ，此时 g()=-综上所述，&()=即 _3 +(1)”v 7 2 4【小问3详解】-Z 、解：/3 3 +(-1),I2 4 J3(2 1)7 p3(m+l)因为么吐=e 3,-=e 其中z e N*,L2m-c L2m所以，数列*“的奇数项构成以e?为首项，公比为e 的等比数列,数列 乙 中的偶数项构成以e 3为首项，公比为e 3的等比数列,(3n(e2+e3)e2-1卜 J(3n 当为偶数时，+e e-+e、s此时，w随着“的增大而增大，则F 4卬(土 产e e3-l此时，w随着“的增大而增大，则1 4卬 e 三+1=.e e3-le?+e，)p2 4-e3 1 p4 i因此，当2 1且e N*，w的 值 在 区 间-，内，则。2二1二 一 上=一?_ e e-1 J e3-l e e4-e第1 5页/共1 6页e4+l故集合”“阈度”的取值范围是,+8 .Le-e）【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查集合“阈度”的取值范围，解题的关键在于对分奇数、偶数两种情况讨论，求出w关于的表达式，结合数列的单调性求出卬的取值范围，进而根据题中定义求出集合”“阈度”.第1 6页/共1 6页