2017年甘肃省全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版).pdf

第 1页（共 29页）2017 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标（新课标）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）=（）A1+2iB12iC2+iD2i2（5 分）设集合 A=1，2，4，B=x|x24x+m=0若 AB=1，则 B=（）A1，3B1，0C1，3D1，53（5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏B3 盏C5 盏D9 盏4（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A90B63C42D365（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最小值是（）A15B9C1D9第 2页（共 29页）6（5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种B18 种C24 种D36 种7（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩8（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（）A2B3C4D59（5 分）若双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（）第 3页（共 29页）A2BCD10（5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为（）ABCD11（5 分）若 x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，则 f（x）的极小值为（）A1B2e3C5e3D112（5 分）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则（+）的最小值是（）A2BCD1二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13（5 分）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次X 表示抽到的二等品件数，则 DX=14（5 分）函数 f（x）=sin2x+cosx（x0，）的最大值是15（5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则=16（5 分）已知 F 是抛物线 C：y2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点，则|FN|=三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根题为选考题，考生根据要求作答据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。17（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）=8sin2（1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC 的面积为 2，求 b第 4页（共 29页）18（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=第 5页（共 29页）19（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，E 是 PD 的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角 MABD 的余弦值20（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：+y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足=（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x=3 上，且=1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线l 过 C 的左焦点 F第 6页（共 29页）21（12 分）已知函数 f（x）=ax2axxlnx，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x0）22（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为cos=4（1）M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|OP|=16，求点P 的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为（2，），点 B 在曲线 C2上，求OAB 面积的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23已知 a0，b0，a3+b3=2证明：（1）（a+b）（a5+b5）4；（2）a+b2第 7页（共 29页）2017 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）=（）A1+2iB12iC2+iD2i【考点】A5：复数的运算菁优网版 权所有【专题】11：计算题【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位 i 的幂运算性质，求出结果【解答】解：=2i，故选：D【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数2（5 分）设集合 A=1，2，4，B=x|x24x+m=0若 AB=1，则 B=（）A1，3B1，0C1，3D1，5【考点】1E：交集及其运算菁优网版 权所有【专题】34：方程思想；4O：定义法；5J：集合【分析】由交集的定义可得 1A 且 1B，代入二次方程，求得 m，再解二次方程可得集合 B【解答】解：集合 A=1，2，4，B=x|x24x+m=0若 AB=1，则 1A 且 1B，可得 14+m=0，解得 m=3，第 8页（共 29页）即有 B=x|x24x+3=0=1，3故选：C【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题3（5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏B3 盏C5 盏D9 盏【考点】89：等比数列的前 n 项和菁优网版 权所有【专题】34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列【分析】设塔顶的 a1盏灯，由题意an是公比为 2 的等比数列，利用等比数列前 n 项和公式列出方程，能求出结果【解答】解：设塔顶的 a1盏灯，由题意an是公比为 2 的等比数列，S7=381，解得 a1=3故选：B【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用4（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）第 9页（共 29页）A90B63C42D36【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版 权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，即可求出几何体的体积【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，V=3210326=63，故选：B【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最小值是（）第 10页（共 29页）A15B9C1D9【考点】7C：简单线性规划菁优网版 权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可【解答】解：x、y 满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，由解得 A（6，3），则 z=2x+y 的最小值是：15故选：A【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力6（5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种B18 种C24 种D36 种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版 权所有【专题】11：计算题；49：综合法；5O：排列组合【分析】把工作分成 3 组，然后安排工作方式即可【解答】解：4 项工作分成 3 组，可得：=6，安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，第 11页（共 29页）可得：6=36 种故选：D【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力7（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩【考点】F4：进行简单的合情推理菁优网版 权所有【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D第 12页（共 29页）【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题8（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（）A2B3C4D5【考点】EF：程序框图菁优网版 权所有【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，K 值，当 K=7 时，程序终止即可得到结论【解答】解：执行程序框图，有 S=0，K=1，a=1，代入循环，第一次满足循环，S=1，a=1，K=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=1，K=3；满足条件，第三次满足循环，S=2，a=1，K=4；第 13页（共 29页）满足条件，第四次满足循环，S=2，a=1，K=5；满足条件，第五次满足循环，S=3，a=1，K=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=1，K=7；K6 不成立，退出循环输出 S 的值为 3故选：B【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础9（5 分）若双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（）A2BCD【考点】KC：双曲线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合菁优网版 权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x2）2+y2=4 的圆心（2，0），半径为：2，双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得 e2=4，即 e=2故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力第 14页（共 29页）10（5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为（）ABCD【考点】LM：异面直线及其所成的角菁优网版 权所有【专题】31：数形结合；4O：定义法；5G：空间角【分析】【解法一】设 M、N、P 分别为 AB，BB1和 B1C1的中点，得出 AB1、BC1夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出 AC、MQ，MP 和MNP 的余弦值即可【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁【解答】解：【解法一】如图所示，设 M、N、P 分别为 AB，BB1和 B1C1的中点，则 AB1、BC1夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，），可知 MN=AB1=，NP=BC1=；作 BC 中点 Q，则PQM 为直角三角形；PQ=1，MQ=AC，ABC 中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+1221（）=7，AC=，MQ=；在MQP 中，MP=；在PMN 中，由余弦定理得第 15页（共 29页）cosMNP=；又异面直线所成角的范围是（0，AB1与 BC1所成角的余弦值为【解法二】如图所示，补成四棱柱 ABCDA1B1C1D1，求BC1D 即可；BC1=，BD=，C1D=，+BD2=，DBC1=90，cosBC1D=故选：C【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题第 16页（共 29页）11（5 分）若 x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，则 f（x）的极小值为（）A1B2e3C5e3D1【考点】6D：利用导数研究函数的极值菁优网版 权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出 a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可【解答】解：函数 f（x）=（x2+ax1）ex1，可得 f（x）=（2x+a）ex1+（x2+ax1）ex1，x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，可得：f（2）=（4+a）e3+（42a1）e3=0，即4+a+（32a）=0解得 a=1可得 f（x）=（2x1）ex1+（x2x1）ex1，=（x2+x2）ex1，函数的极值点为：x=2，x=1，当 x2 或 x1 时，f（x）0 函数是增函数，x（2，1）时，函数是减函数，x=1 时，函数取得极小值：f（1）=（1211）e11=1故选：A【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力12（5 分）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则（+）的最小值是（）A2BCD1【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版 权所有第 17页（共 29页）【专题】31：数形结合；4R：转化法；5A：平面向量及应用【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可【解答】解：建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点，则 A（0，），B（1，0），C（1，0），设 P（x，y），则=（x，y），=（1x，y），=（1x，y），则（+）=2x22y+2y2=2x2+（y）2当 x=0，y=时，取得最小值 2（）=，故选：B【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13（5 分）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次X 表示抽到的二等品件数，则 DX=1.96【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版 权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则 DX=npq=np（1p）=1000.020.98=1.96第 18页（共 29页）故答案为：1.96【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键14（5 分）函数 f（x）=sin2x+cosx（x0，）的最大值是1【考点】HW：三角函数的最值菁优网版 权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出【解答】解：f（x）=sin2x+cosx=1cos2x+cosx，令 cosx=t 且 t0，1，则 y=t2+t+=（t）2+1，当 t=时，f（t）max=1，即 f（x）的最大值为 1，故答案为：1【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题15（5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则=【考点】85：等差数列的前 n 项和；8E：数列的求和菁优网版 权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】利用已知条件求出等差数列的前 n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得 a2=2，数列的首项为 1，公差为 1，Sn=，=，第 19页（共 29页）则=21+=2（1）=故答案为：【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力16（5 分）已知 F 是抛物线 C：y2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点，则|FN|=6【考点】K8：抛物线的性质菁优网版 权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出 M 坐标，然后求解即可【解答】解：抛物线 C：y2=8x 的焦点 F（2，0），M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点，可知 M 的横坐标为：1，则 M 的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2=6故答案为：6【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根题为选考题，考生根据要求作答据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。17（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）=8sin2（1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC 的面积为 2，求 b【考点】GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理菁优网版 权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知 A+C=B，再利用诱导公式化简 sin第 20页（共 29页）（A+C），利用降幂公式化简 8sin2，结合 sin2B+cos2B=1，求出 cosB，（2）由（1）可知 sinB=，利用勾面积公式求出 ac，再利用余弦定理即可求出 b【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，sinB=4（1cosB），sin2B+cos2B=1，16（1cosB）2+cos2B=1，16（1cosB）2+cos2B1=0，16（cosB1）2+（cosB1）（cosB+1）=0，（17cosB15）（cosB1）=0，cosB=；（2）由（1）可知 sinB=，SABC=acsinB=2，ac=，b2=a2+c22accosB=a2+c22=a2+c215=（a+c）22ac15=361715=4，b=2【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题18（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：第 21页（共 29页）（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=【考点】B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征；BL：独立性检验菁优网版 权所有【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；（2）完成 22 列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据频率分布直方图即可求得其中位数第 22页（共 29页）【解答】解：（1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50kg”，由 P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于 50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）5=0.62，故 P（B）的估计值 0.62，新养殖法的箱产量不低于 50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）5=0.66，故 P（C）的估计值为，则事件 A 的概率估计值为 P（A）=P（B）P（C）=0.620.66=0.4092；A 发生的概率为 0.4092；（2）22 列联表：箱产量50kg箱产量50kg总计旧养殖法6238100新养殖法3466100总计96104200则 K2=15.705，由 15.7056.635，有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg 的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）5=0.34，箱产量低于 55kg 的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）5=0.680.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35（kg）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题19（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面第 23页（共 29页）ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，E 是 PD 的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角 MABD 的余弦值【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版 权所有【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角【分析】（1）取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，通过证明 CEBF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可（2）利用已知条件转化求解 M 到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角 MABD 的余弦值即可【解答】（1）证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，因为 E 是 PD 的中点，所以 EFAD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，BCAD，BCEF 是平行四边形，可得 CEBF，BF平面 PAB，CE平面 PAB，直线 CE平面 PAB；（2）解：四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，E 是 PD 的中点取 AD 的中点 O，M 在底面 ABCD 上的射影 N 在 OC 上，设 AD=2，则 AB=BC=1，OP=，PCO=60，直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，第 24页（共 29页）可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作 NQAB 于 Q，连接 MQ，ABMN，所以MQN 就是二面角 MABD 的平面角，MQ=，二面角 MABD 的余弦值为：=【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：+y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足=（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x=3 上，且=1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线l 过 C 的左焦点 F【考点】J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的综合菁优网版 权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆第 25页（共 29页）【分析】（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），运用向量的坐标运算，结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程；（2）设 Q（3，m），P（cos，sin），（02），运用向量的数量积的坐标表示，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为 0，即可得证【解答】解：（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），由点 P 满足=可得（xx0，y）=（0，y0），可得 xx0=0，y=y0，即有 x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2；（2）证明：设 Q（3，m），P（cos，sin），（02），=1，可得（cos，sin）（3cos，msin）=1，即为3cos2cos2+msin2sin2=1，当=0 时，上式不成立，则 02，解得 m=，即有 Q（3，），椭圆+y2=1 的左焦点 F（1，0），由=（1cos，sin）（3，）=3+3cos3（1+cos）=0可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F另解：设 Q（3，t），P（m，n），由=1，可得（m，n）（3m，tn）=3mm2+ntn2=1，又 P 在圆 x2+y2=2 上，可得 m2+n2=2，即有 nt=3+3m，第 26页（共 29页）又椭圆的左焦点 F（1，0），=（1m，n）（3，t）=3+3mnt=3+3m33m=0，则，可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为 0，考查化简整理的运算能力，属于中档题21（12 分）已知函数 f（x）=ax2axxlnx，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x0）22【考点】6D：利用导数研究函数的极值菁优网版 权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】（1）通过分析可知 f（x）0 等价于 h（x）=axalnx0，进而利用h（x）=a可得 h（x）min=h（），从而可得结论；（2）通过（1）可知 f（x）=x2xxlnx，记 t（x）=f（x）=2x2lnx，解不等式可知 t（x）min=t（）=ln210，从而可知 f（x）=0 存在两根 x0，x2，利用 f（x）必存在唯一极大值点 x0及 x0可知 f（x0），另一方面可知f（x0）f（）=【解答】（1）解：因为 f（x）=ax2axxlnx=x（axalnx）（x0），则 f（x）0 等价于 h（x）=axalnx0，求导可知 h（x）=a则当 a0 时 h（x）0，即 y=h（x）在（0，+）上单调递减，所以当 x01 时，h（x0）h（1）=0，矛盾，故 a0因为当 0 x时 h（x）0、当 x时 h（x）0，第 27页（共 29页）所以 h（x）min=h（），又因为 h（1）=aaln1=0，所以=1，解得 a=1；另解：因为 f（1）=0，所以 f（x）0 等价于 f（x）在 x0 时的最小值为 f（1），所以等价于 f（x）在 x=1 处是极小值，所以解得 a=1；（2）证明：由（1）可知 f（x）=x2xxlnx，f（x）=2x2lnx，令 f（x）=0，可得 2x2lnx=0，记 t（x）=2x2lnx，则 t（x）=2，令 t（x）=0，解得：x=，所以 t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，所以 t（x）min=t（）=ln210，从而 t（x）=0 有解，即 f（x）=0 存在两根x0，x2，且不妨设 f（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+）上为正，所以 f（x）必存在唯一极大值点 x0，且 2x02lnx0=0，所以 f（x0）=x0 x0lnx0=x0+2x02=x0，由 x0可知 f（x0）（x0）max=+=；由 f（）0 可知 x0，所以 f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以 f（x0）f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x0）22【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）第 28页（共 29页）22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为cos=4（1）M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|OP|=16，求点P 的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为（2，），点 B 在曲线 C2上，求OAB 面积的最大值【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程菁优网版 权所有【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程【分析】（1）设 P（x，y），利用相似得出 M 点坐标，根据|OM|OP|=16 列方程化简即可；（2）求出曲线 C2的圆心和半径，得出 B 到 OA 的最大距离，即可得出最大面积【解答】解：（1）曲线 C1的直角坐标方程为：x=4，设 P（x，y），M（4，y0），则，y0=，|OM|OP|=16，=16，即（x2+y2）（1+）=16，x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x2）2+y2=4（x0），点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程：（x2）2+y2=4（x0）（2）点 A 的直角坐标为 A（1，），显然点 A 在曲线 C2上，|OA|=2，曲线 C2的圆心（2，0）到弦 OA 的距离 d=，AOB 的最大面积 S=|OA|（2+）=2+【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题第 29页（共 29页）选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23已知 a0，b0，a3+b3=2证明：（1）（a+b）（a5+b5）4；（2）a+b2【考点】R6：不等式的证明菁优网版 权所有【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式【分析】（1）由柯西不等式即可证明，（2）由 a3+b3=2 转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab（）2，即可得到（a+b）32，问题得以证明【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（+）2=（a3+b3）24，当且仅当=，即 a=b=1 时取等号，（2）a3+b3=2，（a+b）（a2ab+b2）=2，（a+b）（a+b）23ab=2，（a+b）33ab（a+b）=2，=ab，由均值不等式可得：=ab（）2，（a+b）32，（a+b）32，a+b2，当且仅当 a=b=1 时等号成立【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题