2018年湖南省高考理科数学试题及答案.pdf

2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。）1、设 z=，则z=（）A.0B.C.1D.22、已知集合 A=x|x2-x-20，则CRA=（）A、x|-1x2B、x|-1x2C、x|x2D、x|x-1x|x 23、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记 S Sn n为等差数列a an n的前 n 项和，若 3S S3 3=S S2 2+S S4 4，a a1 1=2，则 a a5 5=（）A、-12B、-10C、10D、125、设函数f（x）=x+（a-1）x+ax.若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x6、在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB?=（）A.34AB?-14AC?B.14AB?-34AC?C.34AB?+14AC?D.14AB?+34AC?建设前经济收入构成比例建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例建设后经济收入构成比例7、某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图。圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（）A.2 17B.2 5C.3D.28.设抛物线 C：y=4x 的焦点为 F，过点（-2，0）且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM?FN?=()A.5B.6C.7D.89.已知函数 f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是()A.-1，0）B.0，+）C.-1，+）D.1，+）10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为。在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1，p2，p3，则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p311.已知双曲线 C：-y y=1=1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则MN=()A.32B.3C.D.412.已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若 x，y 满足约束条件则 z=3x+2y 的最大值为.14.记 Sn为数列an的前 n 项和.若 Sn=2an+1，则 S6=.15.从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）16.已知函数 f（x）=2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是.三.解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。17.（12 分）在平面四边形 ABCD 中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5.（1）求 cosADB；（2）若DC=，求BC.18.（12 分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.（1）证明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.19.（12 分）设椭圆 C：+y y=1=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为（2，0）.（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）设 O 为坐标原点，证明：OMA=OMB.20、（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20 件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P（0P1），且各件产品是否为不合格品相互独立。（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（P），求 f（P）的最大值点。（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的作为 P 的值，已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用。（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21、（12 分）已知函数.（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）存在两个极值点 x1,x2,证明：.（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 C的方程为 y=kx+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为+2cos-3=0.（1）求 C的直角坐标方程:（2）若 C与 C有且仅有三个公共点，求 C的方程.23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 f（x）=x+1-ax-1.（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（2）若 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围.绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1C2B3A4B5D6A7B8D9C10A11B12A二、填空题13614631516163 32三、解答题17解：（1）在ABD中，由正弦定理得sinsinBDABAADB.由题设知，52,sin45sinADB所以2sin5ADB.由题设知，90ADB，所以223cos1255ADB.（2）由题设及（1）知，2cossin5BDCADB.在BCD中，由余弦定理得2222cos2258252 2525.BCBDDCBD DCBDC 所以5BC.18解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF 平面PEF.又BF 平面ABFD，所以平面PEF 平面ABFD.（2）作PHEF，垂足为H.由（1）得，PH 平面ABFD.以H为坐标原点，HFuuu r的方向为 y 轴正方向，|BFuuu r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由（1）可得，DEPE.又2DP，1DE，所以3PE.又1PF，2EF，故PEPF.可得32PH，32EH.则(0,0,0)H，3(0,0,)2P,3(1,0)2D ，33(1,)22DP uuu r，3(0,0,)2HP uuu r为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为，则334sin|43|HP DPHPDPuuu r uuu ruuu ruuu r.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.19解：（1）由已知得(1,0)F，l的方程为1x.由已知可得，点 A 的坐标为2(1,)2或2(1,)2.所以 AM 的方程为222yx 或222yx.（2）当 l 与 x 轴重合时，0OMAOMB .当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为(1)(0)yk xk，11(,)A x y，22(,)B xy，则12x，22x，直线 MA，MB 的斜率之和为121222MAMByykkxx.由11ykxk，22ykxk得12121223()4(2)(2)MAMBkx xk xxkkkxx.将(1)yk x代入2212xy得2222(21)4220kxk xk.所以，22121222422,2121kkxxx xkk.则3331212244128423()4021kkkkkkx xk xxkk.从而0MAMBkk，故 MA，MB 的倾斜角互补.所以OMAOMB.综上，OMAOMB.20解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为221820()C(1)f ppp.因此2182172172020()C 2(1)18(1)2C(1)(1 10)fpppppppp.令()0fp，得0.1p.当(0,0.1)p时，()0fp；当(0.1,1)p时，()0fp.所以()f p的最大值点为00.1p.（2）由（1）知，0.1p.（）令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB，20225XY，即4025XY.所以(4025)4025490EXEYEY.（）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.由于400EX，故应该对余下的产品作检验.21解：（1）()f x的定义域为(0,)，22211()1axaxfxxxx .（）若2a，则()0fx，当且仅当2a，1x 时()0fx，所以()f x在(0,)单调递减.（）若2a，令()0fx得，242aax或242aax.当2244(0,)(,)22aaaaxU时，()0fx；当2244(,)22aaaax时，()0fx.所以()f x在24(0,)2aa，24(,)2aa单调递减，在2244(,)22aaaa单调递增.（2）由（1）知，()f x存在两个极值点当且仅当2a.由于()f x的两个极值点1x，2x满足210 xax，所以121x x，不妨设12xx，则21x.由于12121221212121222()()lnlnlnln2ln11221f xf xxxxxxaaaxxx xxxxxxx ，所以1212()()2f xf xaxx等价于22212ln0 xxx.设函数1()2lng xxxx，由（1）知，()g x在(0,)单调递减，又(1)0g，从而当(1,)x时，()0g x.所以22212lnxxx 0，即1212()()2f xf xaxx.22解：（1）由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22(1)4xy.（2）由（1）知2C是圆心为(1,0)A，半径为2的圆.由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l.由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点.当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故43k 或0k.经检验，当0k 时，1l与2C没有公共点；当43k 时，1l与2C只有一个公共点，2l与2C有两个公共点.当2l与2C只有一个公共点时，A到2l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故0k 或43k.经检验，当0k 时，1l与2C没有公共点；当43k 时，2l与2C没有公共点.综上，所求1C的方程为4|23yx.23解：（1）当1a 时，()|1|1|f xxx，即2,1,()2,11,2,1.xf xxxx 故不等式()1f x 的解集为1|2x x.（2）当(0,1)x时|1|1|xaxx成立等价于当(0,1)x时|1|1ax 成立.若0a，则当(0,1)x时|1|1ax；若0a，|1|1ax 的解集为20 xa，所以21a，故02a.综上，a的取值范围为(0,2.