2018年天津市高考理科数学试题及参考答案.pdf
第 1 页 共 22 页绝密绝密启用前启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第第 I I 卷卷注意事项：注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么()()()P ABP AP B.如果事件 A，B 相互独立，那么()()()P ABP A P B.棱柱的体积公式VSh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为 R，集合 02Axx，1Bx x，则()RAC B(A)01xx(B)01xx(C)12xx(D)02xx(2)设变量 x，y 满足约束条件5,24,1,0,xyxyxyy 则目标函数35zxy的最大值为(A)6(B)19(C)21(D)45第 2 页 共 22 页(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为(A)1(B)2(C)3(D)4(4)设xR，则“11|22x”是“31x”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知2log ea，ln2b，121log3c，则 a，b，c 的大小关系为(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab(6)将函数sin(2)5yx的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数(A)在区间35,44上单调递增(B)在区间3,4上单调递减第 3 页 共 22 页(C)在区间53,42上单调递增(D)在区间3,2 2上单调递减(7)已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B两点.设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126dd，则双曲线的方程为(A)221412xy(B)221124xy(C)22139xy(D)22193xy(8)如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD.若点 E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为(A)2116(B)32(C)2516(D)3第第卷卷注意事项注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共 12 小题，共 110 分。二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。(9)i 是虚数单位，复数67i1 2i.(10)在51()2xx的展开式中，2x的系数为.第 4 页 共 22 页(11)已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为.(12)已知圆2220 xyx的圆心为 C，直线21,2232 xtyt(t为参数)与该圆相交于 A，B 两点，则ABC的面积为.(13)已知,a bR，且360ab，则128ab的最小值为.(14)已知0a，函数222,0,()22,0.xaxaxf xxaxa x若关于x的方程()f xax恰有 2 个互异的实数解，则a的取值范围是.三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分（本小题满分 13 分）分）在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知sincos()6bAaB.（I）求角 B 的大小;（II）设 a=2，c=3，求 b 和sin(2)AB的值.(16)(本小题满分本小题满分 13 分分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？第 5 页 共 22 页（II）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率.(17)(本小题满分 13 分)如 图，ADBC且 AD=2BC，ADCD,EGAD且 EG=AD，CDFG且 CD=2FG，DGABCD平面，DA=DC=DG=2.（I）若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MNCDE平面；（II）求二面角EBCF的正弦值；（III）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长.(18)(本小题满分本小题满分 13 分分)设na是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为()nSnN，nb是等差数列.已知11a，322aa，435abb，5462abb.（I）求na和 nb的通项公式；（II）设数列nS的前 n 项和为()nT nN，（i）求nT；（ii）证明221()22()(1)(2)2nnkkkkTbbnkknN.(19)(本小题满分本小题满分 14 分分)第 6 页 共 22 页设椭圆22221xxab(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为53，点 A 的坐标为(,0)b，且6 2FBAB.（I）求椭圆的方程；（II）设直线 l：(0)ykx k与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q.若5 2sin4AQAOQPQ(O 为原点)，求 k 的值.(20)(本小题满分本小题满分 14 分分)已知函数()xf xa，()logag xx，其中 a1.（I）求函数()()lnh xf xxa的单调区间；（II）若曲线()yf x在点11(,()xf x处的切线与曲线()yg x在点22(,()x g x处的切线平行，证明122lnln()lnaxg xa；（III）证明当1eea 时，存在直线 l，使 l 是曲线()yf x的切线，也是曲线()yg x的切线.第 7 页 共 22 页参考答案：参考答案：一一、选择题选择题：本题考查基本知识和基本运算本题考查基本知识和基本运算每小题每小题 5 分，满分分，满分 40 分分（1）B（2）C（3）B（4）A（5）D（6）A（7）C（8）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 30 分分（9）4i（10）52（11）112（12）12（13）14（14）(4 8)，三三、解答题解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力满分 13 分（）解：在ABC 中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又由sincos()6bAaB，得sincos()6aBaB，即sincos()6BB，可得tan3B 又因为(0)B，可得 B=3（）解：在ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B=3，有2222cos7bacacB，故 b=7由sincos()6bAaB，可得3sin7A 因为 ac，故2cos7A 因此4 3sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA 所以，sin(2)sin2 coscos2 sinABABAB4 31133 3727214（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分 13 分学.科网（）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人（）（i）解：随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3P（X=k）=34337CCCkk（k=0，1，2，3）所以，随机变量 X 的分布列为X0123第 8 页 共 22 页P13512351835435随机变量 X 的数学期望11218412()0123353535357E X （ii）解：设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 A=BC，且 B 与 C 互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故 P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=67所以，事件 A 发生的概率为67（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分 13 分依题意，可以建立以 D 为原点，分别以DA，DC，DG的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得 D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，32，1），N（1，0，2）（）证明：依题意DC=（0，2，0），DE=（2，0，2）设 n0=(x，y，z)为平面 CDE 的法向量，则0000DCDE，nn即20220yxz，不妨令 z=1，可得 n0=（1，0，1）又MN=（1，32，1），可得00MN n，又因为直线 MN平面 CDE，所以 MN平面 CDE（）解：依题意，可得BC=（1，0，0），(12 2)BE ，CF=（0，1，2）设 n=（x，y，z）为平面 BCE 的法向量，则00BCBE ，nn即0220 xxyz，不妨令 z=1，可得 n=（0，1，1）第 9 页 共 22 页设 m=（x，y，z）为平面 BCF 的法向量，则00BCBF ，mm即020 xyz ，不妨令 z=1，可得 m=（0，2，1）因此有 cos=3 10|10m nm n，于是 sin=1010所以，二面角 EBCF 的正弦值为1010（）解：设线段 DP 的长为 h（h0，2），则点 P 的坐标为（0，0，h），可得(12)BPh ，易知，DC=（0，2，0）为平面 ADGE 的一个法向量，故22cos5BP DCBP DCBP DCh ，由题意，可得225h=sin60=32，解得 h=330，2 所以线段DP的长为33.（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前 n 项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分.（I）解：设等比数列na的公比为 q.由1321,2,aaa可得220qq.因为0q，可得2q，故12nna.设等差数列nb的公差为 d，由435abb，可得134.bd由5462abb，可得131316,bd从而11,1,bd故.nbn所以数列na的通项公式为12nna，数列nb的通项公式为.nbn（II）（i）由（I），有1 2211 2nnnS，故1112(1 2)(21)2221 2nnnkknnkkTnnn.（ii）证明：因为第 10 页 共 22 页11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21kkkkkk+kT+bbkkkkkkkkkkkk，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212nnnnkkkkTbbkknnn.（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分 14 分（）解：设椭圆的焦距为 2c，由已知知2259ca，又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可得，FBa，2ABb，由6 2FBAB，可得 ab=6，从而 a=3，b=2所以，椭圆的方程为22194xy（）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）由已知有y1y20，故12sinPQAOQyy 又因为2sinyAQOAB，而OAB=4，故22AQy由5 2sin4AQAOQPQ，可得 5y1=9y2由方程组22194ykxxy，消去 x，可得12694kyk易知直线 AB 的方程为 x+y2=0，由方程组20ykxxy，消去 x，可得221kyk由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=23 94k，两边平方，整理得25650110kk，解得12k，或1128k 所以，k 的值为111228或（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14 分.（I）解：由已知，()lnxh xaxa，有()lnlnxh xaaa.令()0h x，解得 x=0.由 a1，可知当 x 变化时，()h x，()h x的变化情况如下表：第 11 页 共 22 页x(,0)0(0,)()h x0+()h x极小值所以函数()h x的单调递减区间(,0)，单调递增区间为(0,).（II）证明：）证明：由()lnxfxaa，可得曲线()yf x在点11(,()xf x处的切线斜率为1lnxaa.由1()lng xxa，可得曲线()yg x在点22(,()x g x处的切线斜率为21lnxa.因为这两条切线平行，故有121lnlnxaaxa，即122(ln)1xx aa.两边取以 a 为底的对数，得212log2log ln0axxa，所以122lnln()lnaxg xa.（III）证明：证明：曲线()yf x在点11(,)xx a处的切线 l1：111ln()xxyaaaxx.曲线()yg x在点22(,log)axx处的切线 l2：2221log()lnayxxxxa.要证明当1eea 时，存在直线 l，使 l 是曲线()yf x的切线，也是曲线()yg x的切线，只需证明当1eea 时，存在1(,)x ，2(0,)x，使得 l1和 l2重合.学*科网即只需证明当1eea 时，方程组1112121lnln1lnloglnxxxaaaxaax aaxa有解，由得1221(ln)xxaa，代入，得111112lnlnln0lnlnxxaax aaxaa.因此，只需证明当1eea 时，关于 x1的方程有实数解.设函数12lnln()lnlnlnxxau xaxaaxaa，即要证明当1eea 时，函数()yu x存在零点.2()1(ln)xu xaxa，可知(,0)x 时，()0u x；(0,)x时，()u x单调递减，又(0)10u，21(ln)2110(ln)auaa，故存在唯一的 x0，且 x00，使得0()0u x，即第 12 页 共 22 页0201(ln)0 xax a.由此可得()u x在0(,)x上单调递增，在0(,)x 上单调递减.()u x在0 xx处取得极大值0()u x.因为1eea，故ln(ln)1a ，所以0000002012lnln12lnln22lnln()ln0lnln(ln)lnlnxxaaau xax aaxxaaxaaa.下面证明存在实数 t，使得()0u t.由（I）可得1lnxaxa，当1lnxa时，有2212lnln12lnln()(1ln)(1ln)(ln)1lnlnlnlnaau xxaxaxaxxaaaa ，所以存在实数 t，使得()0u t 因此，当1eea 时，存在1(,)x ，使得1()0u x.所以，当1eea 时，存在直线 l，使 l 是曲线()yf x的切线，也是曲线()yg x的切线.选择填空解析一一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为 R，集合，则A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.第 13 页 共 22 页本题选择 B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设变量 x，y 满足约束条件则目标函数的最大值为A.6B.19C.21D.45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：，可得点 A 的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择 C 选项.点睛：求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为第 14 页 共 22 页A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：，结果为整数，执行，此时不满足；，结果不为整数，执行，此时不满足；，结果为整数，执行，此时满足；跳出循环，输出.本题选择 B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证4.设，则“”是“”的第 15 页 共 22 页A.充分而不必要条件B.必要而不重复条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择 A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知，则 a，b，c 的大小关系为A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：，据此可得：.本题选择 D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确6.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减第 16 页 共 22 页C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择 A 选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知双曲线的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点.设A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得 A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得 b 的值，之后求解 a 的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c0），则，由可得：，第 17 页 共 22 页不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择 C 选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可.8.如图，在平面四边形 ABCD 中，.若点 E 为边 CD 上的动点，则的最小值为A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，第 18 页 共 22 页点 在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择 A 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用20182018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷天津卷)数数学学(理工类理工类)第第卷卷注意事项注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。第 19 页 共 22 页2.本卷共 12 小题，共 110 分。二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。9.i 是虚数单位，复数_.【答案】4i【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则得：.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.在的展开式中，的系数为_.【答案】【解析】分析：由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到 r 的值，然后求解的系数即可.详解：结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解11.已知正方体的棱长为 1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为_.【答案】【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.第 20 页 共 22 页详解：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，顶点到底面四边形的距离为，由四棱锥的体积公式可得：.点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知圆的圆心为 C，直线(为参数)与该圆相交于 A，B 两点，则的面积为_.【答案】【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.详解：由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法13.已知，且，则的最小值为_.【答案】【解析】分析：由题意首先求得 a-3b 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由可知，且：，因为对于任意 x，恒成立，第 21 页 共 22 页结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误14.已知，函数若关于 的方程恰有 2 个互异的实数解，则的取值范围是_.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：第 22 页 共 22 页(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点
