2019年上海市高考数学真题试卷(含解析).pdf

绝密绝密启用前启用前20192019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意考生注意1.1.本场考试时间本场考试时间 120120 分钟，试卷共分钟，试卷共 4 4 页，满分页，满分 150150 分，答题纸共分，答题纸共 2 2 页页.2.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置题纸指定位置.3.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位不得错位.在试卷上作答一在试卷上作答一律不得分律不得分.4.4.用用 2B2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、选择题：（本大题共（本大题共 1212 题，题，1-61-6 题每题题每题 4 4 分，分，7-127-12 题每题题每题 5 5 分，分，共共 5454 分）分）1.已知集合,32,AB、，则BA_.2.已知Cz且满足iz51，求z_.3.已知向量)2,0,1(a，)0,1,2(b，则a与b的夹角为_.4.已知二项式521x，则展开式中含2x项的系数为_.5.已知x、y满足002xyxy，求23zxy的最小值为_.6.已知函数 fx周期为1，且当01x，2logf xx，则)23(f_.7.若xyR、，且123yx，则yx的最大值为_.8.已知数列 na前n项和为nS，且满足2nnSa，则5S _.9.过24yx的焦点F并垂直于x轴的直线分别与24yx交于AB、，A在B上方，M为抛物线上一点，OMOA2 OB，则_.10.某三位数密码锁，每位数字在90数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_.11.已知数列 na满足1nnaa（Nn），,nnP n a在双曲线12622yx上，则1limnnnP P_.12.已知 21,01f xa xax，若0aa，f x与x轴交点为A，f x为曲线L，在L上任意一点P，总存在一点Q（P异于A）使得APAQ且APAQ，则0a _.二.选择题（本大题共（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13.已知直线方程02cyx的一个方向向量d可以是（）A.)1,2(B.)1,2(C.)2,1(D.)2,1(14.一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A.1B.2C.4D.815.已知R，函数 26sinfxxx，存在常数Ra，使得f xa为偶函数，则可能的值为（）A.2B.3C.4D.516.已知)tan(tantan.存在在第一象限，角在第三象限；存在在第二象限，角在第四象限；A.均正确；B.均错误；C.对，错；D.错，对；三.解答题（本大题共（本大题共 5 5 题，共题，共 7676 分）分）17.（本题满分 14 分）如图，在长方体1111ABCDABC D中，M为1BB上一点，已知2BM，4AD，3CD，15AA.（1）求直线1AC与平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面1AMC的距离.18.（本题满分 14 分）已知 11f xaxx)(Ra.（1）当1a 时，求不等式 11f xf x 的解集；（2）若1,2x时，f x有零点，求a的范围.19.（本题满分 14 分）如图，ABC为海岸线，AB为线段，BC为四分之一圆弧，39.2BDkm，22BDC，68CBD，58BDA.（1）求BC长度；（2）若40ABkm，求D到海岸线ABC的最短距离.（精确到0.001km）20.（本题满分 16 分）已知椭圆22184xy，12,F F为左、右焦点，直线l过2F交椭圆于A、B两点.（1）若AB垂直于x轴时，求AB；（2）当190F AB时，A在x轴上方时，求,A B的坐标；（3）若直线1AF交y轴于M，直线1BF交y轴于N，是否存在直线l，使MNFABFSS11，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分 18 分）数列 na有100项，1aa，对任意2,100n，存在,1,1niaad in，若ka与前n项中某一项相等，则称ka具有性质P.（1）若11a，求4a可能的值；（2）若 na不为等差数列，求证：na中存在满足性质P；（3）若 na中恰有三项具有性质P，这三项和为C，使用,a d c表示12100aaa.上海市 2019 届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共（本大题共 1212 题，题，1-61-6 题每题题每题 4 4 分，分，7-127-12 题每题题每题 5 5 分，分，共共 5454 分）分）1.已知集合,32,AB、，则BA_.【思路分析】然后根据交集定义得结果【解析】：根据交集概念，得出：)3,2(.【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2.已知Cz且满足iz51，求z_.【思路分析】解复数方程即可求解结果【解析】：iz51，iiiiiz261265)5)(5(551.【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础3.已知向量)2,0,1(a，)0,1,2(b，则a与b的夹角为_.【思路分析】根据夹角运算公式babacos求解【解析】：52552cosbaba.【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础4.已知二项式521x，则展开式中含2x项的系数为_.【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含2x项的的项，再求系数【解析】：rrrrrrrxCxCT55555121)2(令25r，则3r，2x系数为402235C.【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础5.已知x、y满足002xyxy，求23zxy的最小值为_.【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当0 x，2y时，6minz.【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6.已知函数 f x周期为1，且当01x，2logf xx，则)23(f_.【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转23到已知范围01x内，代入函数解析式即可【解析】：121log)21()23(2 ff.【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题7.若xyR、，且123yx，则yx的最大值为_.【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有yx的式子求解【解析】：法一：yxyx212213，892232xy；法二：由yx231，yyyyxy32)23(2（230 y），求二次最值89maxxy.【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题8.已知数列 na前n项和为nS，且满足2nnSa，则5S _.【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列.【解析】：由)2(2211naSaSnnnn得：121nnaa（2n）na为等比数列，且11a，21q，1631211)21(1 155S.9.过24yx的焦点F并垂直于x轴的直线分别与24yx交于AB、，A在B上方，M为抛物线上一点，OMOA2 OB，则_.【思路分析】根据等式建立坐标方程求解【解析】：依题意求得：)2,1(A，)2,1(B，设M坐标),(yxM有：)4,22()2,1()2()2,1(),(yx，代入xy42有：)22(416即：3.【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题10 某三位数密码锁，每位数字在90数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_.【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.【解析】：法一：100271031923110CCCP（分子含义：选相同数字选位置选第三个数字）法二：100271013310110PCP（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题11.已知数列 na满足1nnaa（Nn），,nnP n a在双曲线12622yx上，则1limnnnP P_.【思路分析】利用点在曲线上得到1nnP P关于 n 的表达式，再求极限.【解析】：法一：由12822nan得：)16(22nan，)16(2,(2nnPn，)16)1(2,1(21nnPn，利用两点间距离公式求解极限。1limnnnP P332法二（极限法）：当n时，nP1nP与渐近线平行，1nnPP在x轴投影为 1，渐近线倾斜角满足：33tan，所以3326cos11nnPP.【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题12.已知 21,01f xa xax，若0aa，fx与x轴交点为A，fx为曲线L，在L上任意一点P，总存在一点Q（P异于A）使得APAQ且APAQ，则0a _.【思路分析】【解析】：【归纳与总结】二.选择题（本大题共（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13.已知直线方程02cyx的一个方向向量d可以是（）B.)1,2(B.)1,2(C.)2,1(D.)2,1(【思路分析】根据直线的斜率求解.【解析】：依题意：)1,2(为直线的一个法向量，方向向量为)2,1(，选D.【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题14.一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）B.1B.2C.4D.8【思路分析】根据直线的斜率求解.【解析】：依题意：34123121V，32213122V，选B.15.已知R，函数 26sinfxxx，存在常数Ra，使得f xa为偶函数，则可能的值为（）B.2B.3C.4D.5【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验f xa的奇偶性，选C；法二：)(sin)6()(2axaxaxf，若)(axf为偶函数，则6a，且)6(sinxw也为偶函数（偶函数偶函数=偶函数），k26，当1k时，4，选 C.16.已知)tan(tantan.存在在第一象限，角在第三象限；存在在第二象限，角在第四象限；B.均正确；B.均错误；C.对，错；D.错，对；【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令31tan和31tan，求tan看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选D.法二：解：tantantantan1tantan 设tan,tanxy ，则原式可化为1xyxyxy ，整理得 2210 x yyxx ，以y为主元，则要使方程有解，需使 2332144210 xxxxx 有解，令 32421fxxxx ，则 212220fxxx 恒成立函数 32421fxxxx 在R上单调递减，又 010,140ff 存在 00,1x 使 00fx，当0 xx 时 0fx 设方程 2210 x yyxx 的两根分别为12,yy，当0 x 时，12122110,0 xyyy yxx ，故必有一负根，对；当00 xx时，12122110,0 xyyy yxx ，故两根均为负根，错；选 D.三.解答题（本大题共 5 题，共 76 分）17.（本题满分 14 分）如图，在长方体1111ABCDABC D中，M为1BB上一点，已知2BM，4AD，3CD，15AA.（1）求直线1AC与平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面1AMC的距离.【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平面的法向量求解.【解析】：（1）依题意：ABCDAA面1，连接AC，则CA1与平面ABCD所成夹角为CAA1；51AA，54322AC，CAA1为等腰直角，41 CAA；直线1AC与平面ABCD的夹角为4.（2）法一（空间向量）：如图建立坐标系：则：)0,0,0(A，)0,4,3(C，)5,0,0(1A，)2,0,3(M)0,4,3(AC，)5,4,3(1CA，)2,4,0(MC求平面MCA1的法向量),(zyxn：02405431zyMCnzyxCAn，得：)2,1,2(nA到平面MCA1的距离为：3102121423222nnACd法二（等体积法）：利用AMACMCAAVV11求解，求MCAS1时，需要求出三边长（不是特殊三角形），利用CabSsin21求解.【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18.（本题满分 14 分）已知 11f xaxx)(Ra.（1）当1a 时，求不等式 11f xf x 的解集；（2）若1,2x时，fx有零点，求a的范围.【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值与值域.【解析】：（1）当1a时，11)(xxxf；代入原不等式：211111xxxx；即：2111xx移项通分：0)2)(1(1xx，得：12x；（2）依题意：011)(xaxxf在2,1 x上有解参编分离：)1(1xxa，即求)1(1)(xxxg在2,1 x值域，)1(xx在2,1 x单调递增，6,2)1(xx；21,61)1(1xx，故：21,61a.【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转化与划归思想的应用19.（本题满分 14 分）如图，ABC为海岸线，AB为线段，BC为四分之一圆弧，39.2BDkm，22BDC，68CBD，58BDA.（1）求BC长度；（2）若40ABkm，求D到海岸线ABC的最短距离.（精确到0.001km）【思路分析】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形.【解析】：（1）依题意：22sin BDBC，弧BC所在圆的半径4sin BCR弧BC长度为：310.1622sin2.39141.3422222BCRkm（2）根据正弦定理：58sinsinABABD，求得：831.058sin402.39sinA，2.56A8.65582.56180ABD752.35sinABDBDDHkmCD=36.346km D 到海岸线最短距离为 35.752km.【归纳与总结】本题考查了圆弧弧长求法、正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想的应用20.（本题满分 16 分）已知椭圆22184xy，12,F F为左、右焦点，直线l过2F交椭圆于A、B两点.（1）若AB垂直于x轴时，求AB；（2）当190F AB时，A在x轴上方时，求,A B的坐标；（3）若直线1AF交y轴于M，直线1BF交y轴于N，是否存在直线l，使MNFABFSS11，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【思路分析】直接求出 A,B 坐标；利用三角形面积公式和点在曲线上建立方程；.根据面积关系MNFABFSS11转化出关于点的坐标关系，再求解出关于点直线斜率的方程.【解析】：（1）依题意：)0,2(2F，当ABx轴，则坐标)2,2(A，)2,2(B，22AB（2）法一（秒杀）：焦点三角形面积公式：44tan42tan221bSAFF；又：4221 cFF，4222121AAAFFyycS，即2Ay所以A在短轴端点，即)2,0(A直线AFl（即ABl）方程为：2xy，联立：148222yxxy，得)32,38(B.法二（常规）：依题意：设坐标),(11yxA，221AFF（注意：用点2F更方便计算）则有：21211111214),2(),2(yxyxyxAFAF又A在椭圆上，满足：1482121yx，即：)81(42121xy0)81(44212121xxAFAF，解出：01x，)2,0(AB点坐标求解方法同法一，)32,38(B.（3）设坐标),(11yxA，),(22yxB，),0(3yM，),0(4yN，直线l：2 myx（k不存在时不满足题意）则：2121212211yyyyFFSABF；43431211yyyyOFSMNF；联立方程：148222yxmyx，044)2(22myym，韦达定理：2424221221myymmyy由直线1AF方程：)2(211xxyy得M纵坐标：22113xyy；由直线1BF方程：)2(222xxyy得N纵坐标：22224xyy；若MNFABFSS11，即43212yyyy21212122112211432)4)(4()(842422222yymymyyymyymyyxyxyyy4)4)(4(21mymy，416)(421212yymyym，代入韦达定理：得：41624424222mmmmm，解出：3m 存在直线023yx或023yx满足题意.【归纳与总结】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题21.（本题满分 18 分）数列 na有100项，1aa，对任意2,100n，存在,1,1niaad in，若ka与前n项中某一项相等，则称ka具有性质P.（1）若11a，求4a可能的值；（2）若 na不为等差数列，求证：na中存在满足性质P；（3）若 na中恰有三项具有性质P，这三项和为C，使用,a d c表示12100aaa.【思路分析】根据定义式子代入即可求解4a；通过证明逆否命题证明；去掉具有 P 性质三项，求和【解析】：（1）4a可能的值为 3,5,7；（2）要证明 na中存在满足性质P，即证明：若数列 na中不存在满足性质P的项，则na为等差数列（原命题的逆否命题）显然123,(1,2)iaa aad aad i1i 时，312aada，满足性质P，不成立；2i 时，322aadad，4,1,2,3iaad i，同理1i 时，42aa不成立；2i 时，43aa所以433aadad以此类推,1,1niaad in，其中,1,2niaad in时不成立只有1in，即1nnaad成立，即 na为等差数列，即得证明：na不为等差数列，na中存在满足性质P（3）将数列中具有性质 P 的三项去掉，形成一个新数列 nb11,2,97baa n时，,1,1nibad in，且 nb中元素满足性质 P 的项，根据（2）nb为等差数列，所以1297197 96972bbbbd即1297974656bbbad又因为三项去掉和为 c，所以12100974656aaaadc【归纳与总结】本题考查新定义“性质P”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布