2019年湖南省高考文科数学试题及答案.pdf

-1-绝密绝密启用前启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设3i12iz，则z=A2B3C2D12已知集合1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB，则UBA A1,6B1,7C6,7D1,6,73已知0.20.32log 0.2,2,0.2abc，则AabcBacbCcabDbca4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（5120.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能是-2-A165 cmB175 cmC185 cmD190cm5函数 f(x)=2sincosxxxx在，的图像大致为ABCD6某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是A8 号学生B200 号学生C616 号学生D815 号学生7tan255=A23B2+3C23D2+38已知非零向量 a，b 满足a=2b，且（ab）b，则 a 与 b 的夹角为A6B3C23D569如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入-3-AA=12ABA=12ACA=112ADA=112A10双曲线 C：22221(0,0)xyabab的一条渐近线的倾斜角为 130，则 C 的离心率为A2sin40B2cos40C1sin50D1cos5011ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinAbsinB=4csinC，cosA=14，则bc=A6B5C4D312已知椭圆 C 的焦点为12(1,0),(1,0)FF，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点.若22|2|AFF B，1|ABBF，则 C 的方程为A2212xyB22132xyC22143xyD22154xy二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线2)3(exyxx在点(0,0)处的切线方程为_14记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若13314aS，则 S4=_15函数3()sin(2)3cos2f xxx的最小值为_16已知ACB=90，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为3，那么 P 到平面 ABC 的距离为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，-4-每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n adbcKab cd ac bdP（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818（12 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 S9=a5（1）若 a3=4，求an的通项公式；（2）若 a10，求使得 Snan的 n 的取值范围19（12 分）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点.-5-（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离20（12 分）已知函数 f（x）=2sinxxcosxx，f（x）为 f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若 x0，时，f（x）ax，求 a 的取值范围21.（12 分）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，AB=4，M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切（1）若 A 在直线 x+y=0 上，求M 的半径；（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，MAMP为定值？并说明理由（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221141txttyt，（t 为参数），以坐标原点 O 为极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为2cos3 sin110（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值-6-23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca2019年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学文科数学参考答案参考答案一、选择题1C2C3B4B5D6C7D8B9A10D11A12B二、填空题13y=3x1458154162三、解答题17解：-7-（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6（2）22100(40 2030 10)4.76250 50 70 30K由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18解：（1）设 na的公差为d由95Sa 得140ad由a3=4得124ad于是18,2ad 因此 na的通项公式为102nan（2）由（1）得14ad，故(9)(5),2nnn ndand S.由10a 知0d，故nnSa等价于21110 0nn，解得1n10所以n的取值范围是|110,nnnN19解：（1）连结1,BC ME.因为M，E分别为1,BB BC的中点，所以1 MEBC，且112MEBC.又因为N为1AD的中点，所以112NDAD.由题设知11=ABDC，可得11=BCAD，故=MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED.又MN 平面1C DE，所以MN平面1C DE.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，1DEC C，所以DE平面1C CE，故DECH.从而CH平面1C DE，故CH的长即为C到平面1C DE的距离，-8-由已知可得CE=1，C1C=4，所以117C E，故4 1717CH.从而点C到平面1C DE的距离为4 1717.20解：（1）设()()g xfx，则()cossin1,()cosg xxxxg xxx.当(0,)2x时，()0g x；当,2x时，()0g x，所以()g x在(0,)2单调递增，在,2单调递减.又(0)0,0,()22ggg，故()g x在(0,)存在唯一零点.所以()fx在(0,)存在唯一零点.（2）由题设知(),()0faf，可得a0.由（1）知，()fx在(0,)只有一个零点，设为0 x，且当00,xx时，()0fx；当0,xx时，()0fx，所以()f x在00,x单调递增，在0,x单调递减.又(0)0,()0ff，所以，当0,x时，()0f x.-9-又当0,0,ax时，ax0，故()f xax.因此，a的取值范围是(,0.21 解：（1）因为M过点,A B，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线+=0 x y上，且,A B关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线yx上，故可设(,)M a a.因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为|2|ra.由已知得|=2AO，又MOAO，故可得2224(2)aa，解得=0a或=4a.故M的半径=2r或=6r.（2）存在定点(1,0)P，使得|MAMP为定值.理由如下：设(,)M x y，由已知得M的半径为=|+2|,|=2rxAO.由于MOAO，故可得2224(2)xyx，化简得M的轨迹方程为24yx.因为曲线2:4C yx是以点(1,0)P为焦点，以直线1x 为准线的抛物线，所以|=+1MP x.因为|=|=+2(+1)=1MAMP rMP xx，所以存在满足条件的定点P.22解：（1）因为221111tt，且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx.l的直角坐标方程为23110 xy.（2）由（1）可设C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，）.C上的点到l的距离为4cos11|2cos2 3sin11|377.当23 时，4cos113取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.-10-23解：（1）因为2222222,2,2abab bcbc caac，又1abc，故有222111abbccaabcabbccaabcabc.所以222111abcabc.（2）因为,a b c为正数且1abc，故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)a b b c a c3(2)(2)(2)abbcac=24.所以333()()()24abbcca.-11-选择填空解析1.设312izi，则z（）A.2B.3C.2D.1答案：C解析：因为3(3)(1 2)1 712(12)(1 2)5iiiiziii所以z 2217()()55 22.已知集合7,6,5,4,3,2,1U，5432，A，7632，B，则ACBU（）A.6,1B.7,1C.7,6D.7,6,1答案：C解析：7,6,5,4,3,2,1U，5432，A，则761，ACU，又7632，B，则76，ACBU，故选 C.3.已知2log 0.2a，0.22b，0.30.2c，则（）A.abcB.acbC.cabD.bca-12-答案：B解答：由对数函数的图像可知：2log 0.20a；再有指数函数的图像可知：0.221b，0.300.21c，于是可得到：acb.4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215（618.0215称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是215.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为cm105，头顶至脖子下端的长度为cm26，则其身高可能是（）A.cm165B.cm175C.cm185D.cm190答案：B解析：方法一：设头顶处为点A，咽喉处为点B，脖子下端处为点C，肚脐处为点D，腿根处为点E，足底处为F，tBD，215，根 据 题 意 可 知BDAB,故tAB；又tBDABAD)1(，DFAD，故tDF1；所以身高tDFADh2)1(，将618.0215代入可得th24.4.根据腿长为cm105，头顶至脖子下端的长度为cm26可得ACAB，EFDF；-13-即26t，1051t，将618.0215代入可得4240 t所以08.1786.169 h，故选 B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm26可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是215（618.0215称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm42；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm68，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215 可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm178，与答案cm175更为接近，故选 B.5.函数2sin()cosxxf xxx在,的图像大致为（）A.B.C.D.答案：D-14-解答：2sin()cosxxfxxx 2sincosxxxx()f x，()f x为奇函数，排除 A.又22sin4222()02cos22f，排除 C，22sin()01cosf，排除 B，故选 D.6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）.A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生答案：C解答：从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为106(099,)nnnN，可得出616号学生被抽到.7.tan255（）A.23 B.23 C.23D.23答案：D解析：因为tan255tan(18075)tan75 tan45tan30tan(4530)1tan45tan30 化简可得tan25523-15-8.已知非零向量a，b满足|2|ba，且bba)(，则a与b的夹角为（）A.6B.3C.32D.65答案：B解答：|2|ba，且bba)(，0)(bba，有0|2bba，设a与b的夹角为，则有0|cos|2bba，即0|cos|222 bb，0)1cos2(|2b，0|b，21cos，3，故a与b的夹角为3，选B.9.右图是求112+12+2的程序框图，图中空白框中应填入（）A.12AAB.12AAC.112AA D.112AA答案：A解答：-16-把选项代入模拟运行很容易得出结论选项 A 代入运算可得1=12+12+2A，满足条件，选项 B 代入运算可得1=2+12+2A,不符合条件，选项 C 代入运算可得12A,不符合条件，选项 D 代入运算可得11+4A,不符合条件.10.双曲线)0,0(12222babyaxC：的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为（）A.40sin2B.40cos2C.50sin1D.50cos1答案：D解答：根据题意可知130tanab，所以50cos50sin50tanab，离心率50cos150cos150cos50sin50cos50cos50sin1122222222abe.11.ABC的 内 角,A B C的 对 边 分 别 为,a b c，已 知sinsin4 sinaAbBcC，1cos4A ，则bc（）A.6B.5C.4D.3答案：A解答：由正弦定理可得到：222sinsin4 sin4aAbBcCabc，即2224acb，又由余弦定理可得到：2221cos24bcaAbc，于是可得到6bc-17-12.已知椭圆C的焦点坐标为1(1,0)F，2(1,0)F，过2F的直线与C交于A，B两点，若222AFF B，1ABBF，则C的方程为（）A.2212xyB.22132xyC.22143xyD.22154xy答案：B解答：由222AFF B，1ABBF，设2F Bx，则22AFx，13BFx，根据椭圆的定义21212F BBFAFAFa，所以12AFx，因此点A即为椭圆的下顶点，因为222AFF B，1c 所以点B坐标为3(,)2 2b，将坐标代入椭圆方程得291144a，解得223,2ab，故答案选 B.13.曲线23()xyxx e在点(0,0)处的切线方程为.答案：3yx解答：23(21)3()xxyxexx e 23(31)xxxe，结合导数的几何意义曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率3k，-18-切线方程为3yx.14.记nS为等比数列 na的前n项和，若11a，334S，则4S.答案：58解析：11a，312334Saaa设等比数列公比为q211134aa qa q12q 所以4S 5815函数3()sin(2)3cos2f xxx的最小值为_答案：4解答：23()sin(2)3coscos23cos2cos3cos12f xxxxxxx ，因为cos 1,1x，知当cos1x 时()f x取最小值，则3()sin(2)3cos2f xxx的最小值为416.已知90ACB，P为平面ABC外一点，2PC，点P到ACB两边,AC BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为.答案：2解答：如图，过P点做平面ABC的垂线段，垂足为O，则PO的长度即为所求，再做,PECB PFCA，由线面的垂直判定及性质定理可得出,OECB OFCA，在Rt PCF中，由2,3PCPF，可得出1CF，同理在Rt PCE中可得出1CE，结合90ACB，,OECB OFCA可 得 出1OEOF，2OC，222POPCOC-19-