2023年山东省烟台市中考数学真题含解析.pdf

2023 年烟台市初中学业水平考试数学试题年烟台市初中学业水平考试数学试题一、选择题一、选择题1.23的倒数是（）A.23B.23C.32D.322.下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（）A.4B.6C.8D.123.下列四种图案中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.4.下列计算正确的是（）A.2242aaaB.32626aaC.235aaaD.824aaa5.不等式组321,23mm的解集在同一条数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.6.如图，对正方体进行两次切割，得到如图所示的几何体，则图几何体的俯视图为（）A.B.C.D.7.长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大6 月 6 日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取 8 名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（）A.甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数B.甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数C.甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差D.甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差8.如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上若小球停在阴影部分的概率为1P，停在空白部分的概率为2P，则1P与2P的大小关系为（）A.12PPB.12PPC.12PPD.无法判断9.如图，抛物线2yaxbxc的顶点A的坐标为1,2m，与x轴的一个交点位于 0 合和 1 之间，则以下结论：0abc；20bc；若图象经过点 123,3,yy，则12yy；若关于x的一元二次方程230axbxc无实数根，则3m其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.410.如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为 1 个单位长度，以点 P 为位似中心作正方形123PA A A，正方形456,PA A A，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A的顶点坐标分别为123,0,2,1,1,0PAA，32,1A，则顶点100A的坐标为（）A.31.34B.31,34C.32,35D.32,0二、填空题二、填空题11.“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位目前，北斗定位服务日均使用量已超过 3600 亿次3600 亿用科学记数法表示为_12.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知1 102，则2的度数为_13.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点 A，B，C，D，连接AB，则BAD的度数为_14.如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：按键的结果为 4；按键的结果为 8；按键的结果为0.5；按键的结果为 25以上说法正确的序号是_15.如图，在直角坐标系中，A与x轴相切于点,B CB为A的直径，点C在函数(0,0)kykxx的图象上，D为y轴上一点，ACD的面积为 6，则k的值为_16.如图 1，在ABC中，动点P从点A出发沿折线ABBCCA匀速运动至点A后停止设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图 2 是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则ABC的高CG的长为_三、解答题三、解答题17.先化简，再求值：2695222aaaaa，其中a是使不等式112a成立的正整数18.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为_；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有_人；（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率19.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义某电力部门在一处坡角为30的坡地新安装了一架风力发电机，如图 1某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图 2 为测量示意图已知斜坡CD长 16 米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45，利用无人机在点A的正上方 53 米的点B处测得P点的俯角为18，求该风力发电机塔杆PD的高度（参考数据：sin180.309，cos180.951，tan180.325）20.【问题背景】如图 1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：分别以点,B C为圆心，以大于12BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；将ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q【问题提出】在矩形ABCD中，53ADAB，求线段CQ的长【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ，如图 2经过推理、计算可求出线段CQ的长；方案二：将ABO绕点O旋转180至RCO处，如图 3经过推理、计算可求出线段CQ的长请你任选其中一种方案求线段CQ的长21.中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶 孙子算经、周髀算经是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣某书店的孙子算经单价是周髀算经单价的34，用 600 元购买孙子算经比购买周髀算经多买 5 本（1）求两种图书的单价分别为多少元？（2）为等备“314 数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共 80 本，且购买的周髀算经数量不少于孙子算经数量的一半由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售求两种图书分别购买多少本时费用最少？22.如图，在菱形ABCD中，对角线,AC BD相交于点,EO经过,A D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AGGD（1）求证：AB是O的切线；（2）已知O的半径与菱形的边长之比为5:8，求tanADB的值23.如图，点C为线段AB上一点，分别以,AC BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰ACD和等腰BCE，且ACBE 在线段EC上取一点F，使EFAD，连接,BF DE（1）如图 1，求证：DEBF；（2）如图 2，若2ADBF，的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长24.如图，抛物线25yaxbx与x轴交于,A B两点，与y轴交于点,4C AB 抛物线的对称轴3x 与经过点A的直线1ykx交于点D，与x轴交于点E（1）求直线AD及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M，使得ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B为圆心，画半径为 2 的圆，点P为B上一个动点，请求出12PCPA的最小值2023 年烟台市初中学业水平考试数学试题年烟台市初中学业水平考试数学试题一、选择题一、选择题1.23的倒数是（）A.23B.23C.32D.32【答案】D【解析】【分析】根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数解答【详解】解：23132 ，23的倒数是32，故选：D【点睛】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为 1，是解题的关键2.下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（）A.4B.6C.8D.12【答案】C【解析】【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可【详解】解：A、42，与2不是同类二次根式，不符合题意；B、6与2不是同类二次根式，不符合题意；C、82 2，与2是同类二次根式，符合题意；D、122 3，与2不是同类二次根式，不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式3.下列四种图案中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有 B，故选：B【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形4.下列计算正确的是（）A.2242aaaB.32626aaC.235aaaD.824aaa【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则逐项排查即可解答【详解】解：A.2222aaa，故该选项不正确，不符合题意；B.32628aa，故该选项不正确，不符合题意；C.235aaa，故该选项正确，符合题意；D.826aaa，故该选项不正确，不符合题意故选：C【点睛】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是解题的关键5.不等式组321,23mm的解集在同一条数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”【详解】解：32123mm解不等式得：m1解不等式得：1m 将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，故选：A【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键6.如图，对正方体进行两次切割，得到如图所示的几何体，则图几何体的俯视图为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱AE的投影为点 E，棱AB的投影为线段BE，棱AD的投影为线段ED，棱AC的投影为正方形BCDE的对角线，该几何体的俯视图为：，故选：A【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视图7.长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大6 月 6 日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取 8 名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（）A.甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数B.甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数C.甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差D.甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差【答案】D【解析】【分析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可【详解】甲班视力值分别为：4.7,5.0,4.7,4.8,4.7,4.7,4.6,4.4；从小到大排列为：4.4,4.6,4.7,4.7,4.7,4.7,4.8,5.0；中位数为4.74.7=4.72，平均数为14.44.64.74.74.74.74.85.0=4.78；极差为5.04.40.6方差为222221=0.30.10.10.3=0.0258S甲；乙班视力值分别为：4.8,4.7,4.7,5.0,4.6,4.5,4.9,4.4；从小到大排列为：4.4,4.5,4.6,4.7,4.7,4.8,4.9,5.0，中位数为4.74.7=4.72平均数为14.44.54.64.74.74.84.95.0=4.78；极差为5.04.40.6方差为22222221=0.30.20.10.10.20.3=0.0358S甲；甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故 D 选项正确故选：D【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位数，极差，方差的定义是解题的关键8.如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上若小球停在阴影部分的概率为1P，停在空白部分的概率为2P，则1P与2P的大小关系为（）A.12PPB.12PPC.12PPD.无法判断【答案】B【解析】【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解【详解】解：如图所示，连接AEBD，交于 O，由题意得，ABCD，分别是正方形四条边的中点，点 O 为正方形的中心，AOBFAODCSS四边形四边形，根据题意，可得扇形OAB的面积等于扇形CAD的面积，AOBFOABAODCAOCSSSS四边形扇形四边形扇形，阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半12PP，故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解题的关键9.如图，抛物线2yaxbxc的顶点A的坐标为1,2m，与x轴的一个交点位于 0 合和 1 之间，则以下结论：0abc；20bc；若图象经过点 123,3,yy，则12yy；若关于x的一元二次方程230axbxc无实数根，则3m其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据图象，分别得出 a、b、c 的符号，即可判断；根据对称轴得出ab，再根据图象得出当1x 时，0yabc，即可判断；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断；将方程230axbxc移项可得23axbxc，根据该方程无实数根，得出抛物线2yaxbxc与直线3y 没有交点，即可判断【详解】解：该抛物线开口向下，a0，该抛物线的对称轴在 y 轴左侧，0b，该抛物线于 y 轴交于正半轴，0c，0abc，故正确，符合题意；1,2Am，该抛物线的对称轴为直线122bxa=-=-，则ab，当1x 时，yabc，把ab得：当1x 时，2ybc，由图可知：当1x 时，0y，20bc，故不正确，不符合题意；该抛物线的对称轴为直线12x ，13,y到对称轴的距离为15322，23,y到对称轴的距离为17322，该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，5722，12yy，故正确，符合题意；将方程230axbxc移项可得23axbxc，230axbxc无实数根，抛物线2yaxbxc与直线3y 没有交点，1,2Am，3m故正确综上：正确的有：，共三个故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质10.如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为 1 个单位长度，以点 P 为位似中心作正方形123PA A A，正方形456,PA A A，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A的顶点坐标分别为123,0,2,1,1,0PAA，32,1A，则顶点100A的坐标为（）A.31.34B.31,34C.32,35D.32,0【答案】A【解析】【分析】根据图象可得移动 3 次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律323nAnn，【详解】解：121A ，412A，70 3A，1014A，L，323nAnn，1003 342，则34n，1003134A，故选：A【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律二、填空题二、填空题11.“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位目前，北斗定位服务日均使用量已超过 3600 亿次3600 亿用科学记数法表示为_【答案】113.6 10【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10na 的形式，其中110a，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同【详解】解：3600 亿360000000000，用科学记数法表示为113.6 10故答案为：113.6 10【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为10na 的形式，其中110a，n 为整数，正确确定 a 的值以及 n 的值是解决问题的关键12.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知1 102，则2的度数为_【答案】78#78度【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解【详解】解：如图所示，依题意，ABDC，2BCD，1 180BCD，1 102，180178BCD 278 故答案为：78【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键13.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点 A，B，C，D，连接AB，则BAD的度数为_【答案】52.5【解析】【分 析】如 图：连 接,OA OB OC OD AD AB，由 题 意 可 得：OAOBOCOD，502525AOB，然后再根据等腰三角形的性质求得65OAB、25OAD，最后根据角的和差即可解答【详解】解：如图：连接,OA OB OC OD AD AB，由题意可得：OAOBOCOD，502525AOB,15525130AOD，118077.52OABAOB，1180252OADAOB，52.5OABABADO D故答案为52.5【点睛】本题主要考查了角的度量、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用等腰三角形的性质是解答本题的关键14.如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：按键的结果为 4；按键的结果为 8；按键的结果为0.5；按键的结果为 25以上说法正确的序号是_【答案】【解析】【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可【详解】解：按键的结果为3644；故正确，符合题意；按键的结果为3424 ；故不正确，不符合题意；按键的结果为sin 4515sin300.5；故正确，符合题意；按键的结果为2132102；故不正确，不符合题意；综上：正确的有故答案为：【点睛】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义15.如图，在直角坐标系中，A与x轴相切于点,B CB为A的直径，点C在函数(0,0)kykxx的图象上，D为y轴上一点，ACD的面积为 6，则k的值为_【答案】24【解析】【分析】设,kC aa，则,kOBa ACa，则122kACBCa，根据三角形的面积公式得出162ACDSAC OB，列出方程求解即可【详解】解：设,kC aa，A与x轴相切于点B，BCx轴，,kOBa ACa，则点 D 到BC的距离为 a，CB为A的直径，122kACBCa，16224ACDkkSaa，解得：24k，故答案为：24【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征16.如图 1，在ABC中，动点P从点A出发沿折线ABBCCA匀速运动至点A后停止设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图 2 是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则ABC的高CG的长为_【答案】7 32#732【解析】【分析】过点A作AQBC于点Q，当点P与Q重合时，在图 2 中F点表示当12ABBQ时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，勾股定理求得AQ，然后等面积法即可求解【详解】如图过点A作AQBC于点Q，当点P与Q重合时，在图 2 中F点表示当12ABBQ时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，7BC，4,3BQQC在Rt ABQ中，8,4ABBQ2222844 3AQABBQ1122ABCSAB CGAQBC，7 4 37 382BCAQCGAB,故答案为：7 32【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键三、解答题三、解答题17.先化简，再求值：2695222aaaaa，其中a是使不等式112a成立的正整数【答案】33aa；12【解析】【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数 a 的值，再代入数据计算即可【详解】解：2695222aaaaa23225222aaaaaa2234522aaaa232233aaaaa33aa，解不等式112a得：3a，a 为正整数，1a，2，3，要使分式有意义20a，2a，当3a 时，552320223aa，3a，把1a 代入得：原式1 311 32【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算18.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为_；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有_人；（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率【答案】（1）见解析（2）14.4；200（3）13【解析】【分析】（1）根据C的人数除以占比得到总人数，进而求得B的人数，补全统计图即可求解；（2）根据D的占比乘以360得到圆心角的度数，根据1000乘以选择A的人数的占比即可求解；（3）根据列表法求概率即可求解【小问 1 详解】解：总人数为1428%50（人）选择B大学的人数为50 10 142816 ，补全统计图如图所示，【小问 2 详解】在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为236014.450，选择 A 大学的大约有101000=20050（人）故答案为：14.4；200【小问 3 详解】列表如下，甲乙ABCAAAABACBBABBBCCCACBCC共有 9 种等可能结果，其中有 3 种符合题意，甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为13【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小19.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义某电力部门在一处坡角为30的坡地新安装了一架风力发电机，如图 1某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图 2 为测量示意图已知斜坡CD长 16 米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45，利用无人机在点A的正上方 53 米的点B处测得P点的俯角为18，求该风力发电机塔杆PD的高度（参考数据：sin180.309，cos180.951，tan180.325）【答案】该风力发电机塔杆PD的高度为 32 米【解析】【分析】过点 P 作PFAB于点 F，延长PD交AC延长线于点 E，先根据含30角直角三角形的性质得出8DE，设PDx米，则8PEPDDEx米，进而得出8AEx米，证明四边形FAEP为矩形，则8PFAEx米，8AFPEx米，根据线段之间的和差关系得出45BFABAFsx米，最后根据tan18BFPF，列出方程求解即可【详解】解：过点 P 作PFAB于点 F，延长PD交AC延长线于点 E，根据题意可得：AB、PD垂直于水平面，30DCE，45PAC，18GBP，PEAE，16CD 米，1116822DECD（米），设PDx米，则8PEPDDEx米，45PAC，PEAE，8tan45PEAEx米，ABAE，PEAE，PFAB，四边形FAEP为矩形，8PFAEx米，8AFPEx米，53AB 米，53845BFABAFxx米，18GBP，18BPF，tan18BFPF，即450.3258xx，解得：32x，答：该风力发电机塔杆PD的高度为 32 米【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤20.【问题背景】如图 1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：分别以点,B C为圆心，以大于12BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；将ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q【问题提出】在矩形ABCD中，53ADAB，求线段CQ的长【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ，如图 2经过推理、计算可求出线段CQ的长；方案二：将ABO绕点O旋转180至RCO处，如图 3经过推理、计算可求出线段CQ的长请你任选其中一种方案求线段CQ的长【答案】线段CQ的长为2512【解析】【分 析】方 案 一：连 接OQ，由 翻 折 的 不 变 性，知3APAB，2.5OPOB，证 明HLQPOQCO，推出PQCQ，设PQCQx，在RtADQ中，利用勾股定理列式计算求解即可；方案二：将ABO绕点O旋转180至RCO处，证明OAQR，推出QAQR，设CQx，同方案一即可求解【详解】解：方案一：连接OQ，如图 2四边形ABCD是矩形，3ABCD，5ADBC，由作图知12.52BOOCBC，由翻折的不变性，知3APAB，2.5OPOB，90APOB，2.5OPOC，90QPOC，又OQOQ，HLQPOQCO，PQCQ，设PQCQx，则3AQx，3DQx，在RtADQ中，222ADQDAQ，即222533xx，解得2512x，线段CQ的长为2512；方案二：将ABO绕点O旋转180至RCO处，如图 3四边形ABCD是矩形，3ABCD，5ADBC，由作图知12.52BOOCBC，由旋转的不变性，知3CRAB，BAOR，90BOCR，则9090180OCROCD，DCR、共线，由翻折的不变性，知BAOOAQ，OAQR，QAQR，设CQx，则3QAQRx，3DQx，在RtADQ中，222ADQDAQ，即222533xx，解得2512x，线段CQ的长为2512【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题21.中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶 孙子算经、周髀算经是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣某书店的孙子算经单价是周髀算经单价的34，用 600 元购买孙子算经比购买周髀算经多买 5 本（1）求两种图书的单价分别为多少元？（2）为等备“314 数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共 80 本，且购买的周髀算经数量不少于孙子算经数量的一半由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售求两种图书分别购买多少本时费用最少？【答案】（1）周髀算经单价为 40 元，则孙子算经单价是 30 元；（2）当购买周髀算经27 本，孙子算经53 本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为 2316 元【解析】【分析】（1）设周髀算经单价为 x 元，则孙子算经单价是34x元，根据“用 600 元购买孙子算经比购买周髀算经多买 5 本”列分式方程，解之即可求解；（2）根据购买的周髀算经数量不少于孙子算经数量的一半列出不等式求出 m 的取值范围，根据 m的取值范围结合函数解析式解答即可【小问 1 详解】解：设周髀算经单价为 x 元，则孙子算经单价是34x元，依题意得，600600534xx，解得40 x，经检验，40 x 是原方程的解，且符合题意，340304，答：周髀算经单价为 40 元，则孙子算经单价是 30 元；【小问 2 详解】解：设购买的周髀算经数量 m 本，则购买的孙子算经数量为80m本，依题意得，1802mm，解得2263m，设购买周髀算经和孙子算经的总费用为 y（元），依题意得，40 0.830 0.8 8081920ymmm，80k，y 随 m 的增大而增大，当27m 时，有最小值，此时8 2719202316y （元），802753（本）答：当购买周髀算经27 本，孙子算经53 本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为 2316 元【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出 y 与 x 之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键22.如图，在菱形ABCD中，对角线,AC BD相交于点,EO经过,A D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AGGD（1）求证：AB是O的切线；（2）已知O的半径与菱形的边长之比为5:8，求tanADB的值【答案】（1）见解析（2）tan2ADB【解析】【分析】（1）利用垂径定理得OFAD，利用菱形的性质得GAFBAF，利用半径相等得OAFOFA，即可证明90OAFBAF，据此即可证明结论成立；（2）设4AGGDa，由题意得:5:4OA AG，求得5OAa，由勾股定理得到3OGa，求得2FGa，利用菱形的性质求得ADBAFG，据此求解即可【小问 1 详解】证明：连接OA，AGGD，由垂径定理知OFAD，90OGAFGA，四边形ABCD是菱形，GAFBAF，90GAFAFGBAFAFG，OAOF，OAFOFA，90OAFBAFOAB，又OA为O的半径，AB是O的切线；【小问 2 详解】解：四边形ABCD是菱形，AGGD，设4AGGDa，O的半径与菱形的边长之比为5:8，在RtOAG中，:5:4OA AG，5OAa，223OGOAAGa，2FGOFOGa，四边形ABCD是菱形，BDAC，即90DEAFGA，ADBAFG，4tantan22AGaADBAFGFGa【点睛】本题考查了菱形的性质，垂径定理，切线的判定，求角的正切值，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件23.如图，点C为线段AB上一点，分别以,AC BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰ACD和等腰BCE，且ACBE 在线段EC上取一点F，使EFAD，连接,BF DE（1）如图 1，求证：DEBF；（2）如图 2，若2ADBF，的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长【答案】（1）见解析（2）22BE【解析】【分析】（1）证明CDBE，推出DCEBEF，利用SAS证明DCEFEB即可证明结论成立；（2）取CF的中点 H，连接GH，证明GH是FCD的中位线，设BEa，则122FHa，证明FGHFBE，得到GHFHBEEF，即2440aa，解方程即可求解【小问 1 详解】证明：等腰ACD和等腰BCE，ADCD，ECEB，ADCA ，ACBE，DCACBE，CDBE，DCEBEF，EFAD，EFCD，在DCE和FEB中，CDEFDCEFEBECEB，SASDCEFEB，DEBF；【小问 2 详解】解：取CF的中点 H，连接GH，点G是DE的中点，GH是FCD的中位线，11122GHCDAD，GHCD，设BEa，则111222CHEHCEBEa，2EFAD，122FHa，CDBE，GHBE，FGHFBE，GHFHBEEF，即12122aa，整理得2440aa，解得22a（负值已舍），经检验22a 是所列方程的解，且符合题意，22BE【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题24.如图，抛物线25yaxbx与x轴交于,A B两点，与y轴交于点,4C AB 抛物线的对称轴3x 与经过点A的直线1ykx交于点D，与x轴交于点E（1）求直线AD及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M，使得ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B为圆心，画半径为 2 的圆，点P为B上一个动点，请求出12PCPA的最小值【答案】（1）直线AD的解析式为1yx；抛物线解析式为265yxx（2）存在，点 M 的坐标为4,3或0,5或5,0（3）41【解析】【分析】（1）根据对称轴3x，4AB，得到点 A 及 B 的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）先求出点 D 的坐标，再分两种情况：当90DAM时，求出直线AM的解析式为1yx ，解方程组2165yxyxx ，即可得到点 M 的坐标；当90ADM时，求出直线DM的解析式为5yx ，解方程组2565yxyxx ，即可得到点 M 的坐标；（3）在AB上取点F，使1BF，连接CF，证得BFPBPBAB，又PBFABP，得到PBFABP，推出12PFPA，进而得到当点 C、P、F 三点共线时，12PCPA的值最小，即为线段CF的长，利用勾股定理求出CF即可【小问 1 详解】解：抛物线的对称轴3x，4AB，1,0,5,0AB，将()1,0A代入直线1ykx，得10k ，解得1k，直线AD的解析式为1yx；将1,0,5,0AB代入25yaxbx，得5025550abab，解得16ab，抛物线的解析式为265yxx；【小问 2 详解】存在点M，直线AD的解析式为1yx，抛物线对称轴3x 与x轴交于点E当3x 时，12yx，3,2D，当90DAM时，设直线AM的解析式为yxc ，将点 A 坐标代入，得10c，解得1c，直线AM的解析式为1yx ，解方程组2165yxyxx ，得10 xy或43xy，点 M 的坐标为4,3；当90ADM时，设直线DM的解析式为yxd ，将3,2D代入，得32d，解得5d，直线DM的解析式为5yx ，解方程组2565yxyxx ，解得05xy或50 xy，点 M的坐标为0,5或5,0综上，点 M 的坐标为4,3或0,5或5,0；【小问 3 详解】如图，在AB上取点F，使1BF，连接CF，2PB，12BFPB，2142PBAB，、BFPBPBAB，又PBFABP，PBFABP，12PFBFPAPB，即12PFPA，12PCPAPCPFCF，当点 C、P、F 三点共线时，12PCPA的值最小，即为线段CF的长，5,15 14OCOFOB ，22225441CFOCOF，12PCPA的最小值为41【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键