空间向量及立体几何练习试题和答案解析_中学教育-高考.pdf

-z -1 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD平面 MAC，PA=PD=，AB=4 （1）求证：M 为 PB 的中点；（2）求二面角 BPDA 的大小；（3）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值 【分析】（1）设 ACBD=O，则 O 为 BD 的中点，连接 OM，利用线面平行的性质证明 OM PD，再由平行线截线段成比例可得 M 为 PB 的中点；（2）取 AD 中点 G，可得 PGAD，再由面面垂直的性质可得 PG平面 ABCD，则 PGAD，连接 OG，则 PGOG，再证明 OG AD以 G 为坐标原点，分别以 GD、GO、GP 所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐标系，求出平面 PBD与平面 PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角BPDA 的大小；（3）求出的坐标，由与平面 PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值【解答】（1）证明：如图，设 ACBD=O，ABCD 为正方形，O 为 BD 的中点，连接 OM，PD平面 MAC，PD平面 PBD，平面 PBD平面 AMC=OM，PDOM，则，即 M 为 PB 的中点；（2）解：取 AD 中点 G，-z -PA=PD，PGAD，平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD=AD，PG平面 ABCD，则 PGAD，连接 OG，则 PGOG，由 G 是 AD 的中点，O 是 AC 的中点，可得 OG DC，则 OG AD 以 G 为坐标原点，分别以 GD、GO、GP 所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐标系，由 PA=PD=，AB=4，得 D（2，0，0），A（2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（2，4，0），M（1，2，），设平面 PBD 的一个法向量为，则由，得，取 z=，得 取平面 PAD 的一个法向量为 cos=二面角 BPDA 的大小为 60；（3）解：，平面 BDP 的一个法向量为 直 线MC与 平 面BDP所 成 角 的 正 弦 值 为|cos|=|=|=值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题 2如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，BAC=90 点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2 （）求证：MN 平面 BDE；（）求二面角 CEMN 的正弦值；（）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，求线段 AH 的长 【分析】（）取 AB 中点 F，连接 MF、NF，由已知可证 MF平面 BDE，NF平面 BDE得到平面 MFN 平面 BDE，则 MN 平面 BDE；（）由 PA底面 ABC，BAC=90 可以 A 为原点，分别以 AB、AC、AP所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系求出平面 MEN 与平面 CME 的一值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角 CEMN 的余弦值，进一步求得正弦值；（）设 AH=t，则 H（0，0，t），求出的坐标，结合直线 NH 与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段 AH 的长【解答】（）证明：取 AB 中点 F，连接 MF、NF，M 为 AD 中点，MFBD，BD平面 BDE，MF平面 BDE，MF平面 BDE N 为 BC 中点，NFAC，又 D、E分别为 AP、PC 的中点，DEAC，则 NFDE DE平面 BDE，NF平面 BDE，NF平面 BDE 又 MFNF=F 平面 MFN 平面 BDE，则 MN 平面 BDE；（）解：PA底面 ABC，BAC=90 以 A 为原点，分别以 AB、AC、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 PA=AC=4，AB=2，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，设平面 MEN 的一个法向量为，由，得，取 z=2，得 由图可得平面 CME 的一个法向量为 值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -cos=二面角 CEMN 的余弦值为，则正弦值为；（）解：设 AH=t，则 H（0，0，t），直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，|cos|=|=|=解得：t=或 t=当 H 与 P 重合时直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，此时线段 AH 的长为或 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题 3如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其部）以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120 得到的，G 是的中点（）设 P 是上的一点，且 APBE，求CBP 的大小；（）当 AB=3，AD=2 时，求二面角 EAGC 的大小 值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -【分析】（）由已知利用线面垂直的判定可得 BE平面 ABP，得到 BEBP，结合EBC=120 求得CBP=30 ；（）法一、取的中点 H，连接 EH，GH，CH，可得四边形 BEGH 为菱形，取 AG 中点 M，连接 EM，CM，EC，得到 EMAG，CM AG，说明EMC为所求二面角的平面角求解三角形得二面角 EAGC 的大小 法二、以 B 为坐标原点，分别以 BE，BP，BA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系求出 A，E，G，C 的坐标，进一步求出平面 AEG 与平面 ACG 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 EAGC 的大小【解答】解：（）APBE，ABBE，且 AB，AP平面 ABP，ABAP=A，BE平面 ABP，又 BP平面 ABP，BEBP，又EBC=120 ，因此CBP=30 ；（）解法一、取的中点 H，连接 EH，GH，CH，EBC=120 ，四边形 BECH 为菱形，AE=GE=AC=GC=取 AG 中点 M，连接 EM，CM，EC，则 EMAG，CM AG，EMC 为所求二面角的平面角 值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -又 AM=1，EM=CM=在BEC中，由于EBC=120 ，由余弦定理得：EC2=22+22222cos120=12，因此EMC 为等边三角形，故所求的角为 60 解法二、以 B 为坐标原点，分别以 BE，BP，BA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，3），C（1，0），故，设为平面 AEG 的一个法向量，由，得，取 z1=2，得；设为平面 ACG 的一个法向量，由，可得，取 z2=2，得 cos=二面角 EAGC 的大小为 60 值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题 4 如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形，AF=2FD，AFD=90 ，且二面角 DAFE与二面角 CBEF 都是 60 （）证明平面 ABEF平面 EFDC；（）求二面角 EBCA 的余弦值 【分析】（）证明 AF平面 EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF平面 EFDC；（）证明四边形 EFDC 为等腰梯形，以 E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面 BEC、平面 ABC 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角 EBCA 的余弦值【解答】（）证明：ABEF为正方形，AFEF AFD=90 ，AFDF，DFEF=F，AF平面 EFDC，值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -AF平面 ABEF，平面 ABEF平面 EFDC；（）解：由 AFDF，AFEF，可得DFE为二面角 DAFE的平面角；由 ABEF为正方形，AF平面 EFDC，BEEF，BE平面 EFDC 即有 CEBE，可得CEF为二面角 CBEF 的平面角 可得DFE=CEF=60 ABEF，AB平面 EFDC，EF平面 EFDC，AB平面 EFDC，平面 EFDC平面 ABCD=CD，AB平面 ABCD，ABCD，CDEF，四边形 EFDC 为等腰梯形 以 E为原点，建立如图所示的坐标系，设 FD=a，则 E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），=（0，2a，0），=（，2a，a），=（2a，0，0）设平面 BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，1）值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -设平面 ABC 的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，4）设二面角 EBCA 的大小为，则 cos=，则二面角 EBCA 的余弦值为 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键 5如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E，F分别在 AD，CD 上，AE=CF=，EF交于 BD 于点 H，将DEF沿 EF折到DEF的位置，OD=（）证明：DH平面 ABCD；（）求二面角 BDAC 的正弦值 【分析】（）由底面 ABCD 为菱形，可得 AD=CD，结合 AE=CF 可得 EFAC，值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -再由 ABCD 是菱形，得 ACBD，进一步得到 EFBD，由 EFDH，可得 EFDH，然后求解直角三角形得 DHOH，再由线面垂直的判定得 DH平面 ABCD；（）以 H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面 ABD与平面 ADC 的一个法向量，设二面角二面角 BDAC 的平面角为，求出|cos|则二面角 BDAC 的正弦值可求【解答】（）证明：ABCD 是菱形，AD=DC，又 AE=CF=，则 EFAC，又由 ABCD 是菱形，得 ACBD，则 EFBD，EFDH，则 EFDH，AC=6，AO=3，又 AB=5，AOOB，OB=4，OH=1，则 DH=D H=3，|OD|2=|OH|2+|D H|2，则 DHOH，又 OH EF=H，DH平面 ABCD；（）解：以 H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，AB=5，AC=6，值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -B（5，0，0），C（1，3，0），D（0，0，3），A（1，3，0），设平面 ABD的一个法向量为，由，得，取 x=3，得 y=4，z=5 同理可求得平面 ADC 的一个法向量，设二面角二面角 BDAC 的平面角为，则|cos|=二面角 BDAC 的正弦值为 sin=【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题 6 在三棱柱 ABCA1B1C1中，CA=CB，侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形，点 E，F 分别在线段 AA1、A1B1上，且 AE=，A1F=，CEEF（）证明：平面 ABB1A1平面 ABC；（）若 CACB，求直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值 值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -【分析】（I）取 AB 的中点 D，连结 CD，DF，DE计算 DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出 DEEF，由三线合一得 CDAB，故而 CD平面 ABB1A1，从而平面 ABB1A1平面 ABC；（II）以 C 为原点建立空间直角坐标系，求出和平面 CEF 的法向量，则直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值等于|cos|【解答】证明：（I）取 AB 的中点 D，连结 CD，DF，DE AC=BC，D 是 AB 的中点，CDAB 侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形，AE=，A1F=A1E=，EF=，DE=，DF=，EF2+DE2=DF2，DEEF，又 CEEF，CEDE=E，CE平面 CDE，DE平面 CDE，EF平面 CDE，又 CD平面 CDE，CDEF，又 CDAB，AB平面 ABB1A1，EF平面 ABB1A1，AB，EF为相交直线，CD平面 ABB1A1，又 CDABC，平面 ABB1A1平面 ABC 值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -（II）平面 ABB1A1平面 ABC，三棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面 ABC CACB，AB=2，AC=BC=以 C 为原点，以 CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则 A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，2）=（，0，2），=（，0，），=（，2）设平面 CEF的法向量为=（x，y，z），则，令 z=4，得=（，9，4）=10，|=6，|=sin=直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值为 【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题 值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -7如图，在四棱锥中 PABCD，PA平面 ABCD，ADBC，ADCD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2 （1）求证：ABPC；（2）在线段 PD 上，是否存在一点 M，使得二面角 MACD 的大小为 45，如果存在，求 BM 与平面 MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由【分析】（1）利用直角梯形的性质求出 AB，AC 的长，根据勾股定理的逆定理得出 ABAC，由 PA平面 ABCD 得出 ABPA，故 AB平面 PAC，于是 ABPC；（2）假设存在点 M，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出 M 到平面 ABCD的距离从而确定 M 的位置，利用棱锥的体积求出 B 到平面 MAC 的距离 h，根据勾股定理计算 BM，则即为所求角的正弦值【解答】解：（1）证明：四边形 ABCD 是直角梯形，AD=CD=2，BC=4，AC=4，AB=4，ABC 是等腰直角三角形，即 ABAC，PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB，值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -AB平面 PAC，又 PC平面 PAC，ABPC（2）假设存在符合条件的点 M，过点 M 作 MN AD 于 N，则 MN PA，MN 平面 ABCD，MN AC 过点 M 作 MG AC 于 G，连接 NG，则 AC平面 MNG，ACNG，即MGN 是二面角 MACD 的平面角 若MGN=45，则 NG=MN，又 AN=NG=MN，MN=1，即 M 是线段 PD 的中点 存在点 M 使得二面角 MACD 的大小为 45 在三棱锥 MABC 中，VMABC=SABCMN=，设点 B 到平面 MAC 的距离是 h，则 VBMAC=，MG=MN=，SMAC=2，=，解得 h=2 在ABN中，AB=4，AN=，BAN=135 ，BN=，BM=3，BM 与平面 MAC 所成角的正弦值为=值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -【点评】本题考查了项目垂直的判定与性质，空间角与空间距离的计算，属于中档题 8如图，在各棱长均为 2 的三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 A1ACC1底面 ABC，A1AC=60 （1）求侧棱 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小；（2）已知点 D 满足=+，在直线 AA1上是否存在点 P，使 DP平面 AB1C？若存在，请确定点 P 的位置，若不存在，请说明理由 【分析】（1）推导出 A1O平面 ABC，BOAC，以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，利用向量法能求出侧棱 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值（2）假设存在点 P 符合题意，则点 P 的坐标可设为 P（0，y，z），则 利用向量法能求出存在点 P，使 DP平面 AB1C，其坐标为（0，0，），即恰好为 A1点【解答】解：（1）侧面 A1ACC1底面 ABC，作 A1OAC 于点 O，A1O平面 ABC 又ABC=A1AC=60 ，且各棱长都相等，AO=1，OA1=OB=，BOAC（2 分）值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -故以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 A（0，1，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，1，0），=（0，1，），=（），=（0，2，0）（4 分）设平面 AB1C 的法向量为，则，取 x=1，得=（1，0，1）设侧棱 AA1与平面 AB1C 所成角的为，则 sin=|cos，|=|=，侧棱 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为（6 分）（2）=，而，=（2，0，0），又B（），点 D（，0，0）假设存在点 P 符合题意，则点 P 的坐标可设为 P（0，y，z），DP平面 AB1C，=（1，0，1）为平面 AB1C 的法向量，由=，得，y=0（10 分）又 DP平面 AB1C，故存在点 P，使 DP平面 AB1C，其坐标为（0，0，），即恰好为 A1点（12 分）值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 9在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D 是AA1的中点，BD 与 AB1交于点 O，且 CO 平面 ABB1A1（）证明：平面 AB1C平面 BCD；（）若 OC=OA，AB1C 的重心为 G，求直线 GD 与平面 ABC 所成角的正弦值 【分析】（）通过证明 AB1BD，AB1CO，推出 AB1平面 BCD，然后证明平面 AB1C平面 BCD（）以 O 为坐标原点，分别以 OD，OB1，OC 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 求出平面 ABC 的法向量，设直线 GD 与平面 ABC 所成角，利用空间向量的数量积求解直线 GD 与平面 ABC 所成角的正弦值即可【解答】（本小题满分 12 分）解：（）ABB1A1为矩形，AB=2，D 是 AA1的中点，BAD=90 ，值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -从而，ABD=AB1B，（2 分），从而 AB1BD（4 分）CO 平面 ABB1A1，AB1平面 ABB1A1，AB1CO，BDCO=O，AB1平面 BCD，AB1平面 AB1C，平面 AB1C平面 BCD（6 分）（）如图，以 O 为坐标原点，分别以 OD，OB1，OC 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 在矩形 ABB1A1中，由于 ADBB1，所以AOD 和B1OB 相似，从而 又，G 为AB1C 的重心，（8 分）设平面ABC的法向量为，由可得，令 y=1，则 z=1，所以（10 分）设直线GD与平面ABC所成角，则值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -=，所以直线 GD 与平面 ABC 所成角的正弦值为（12 分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力 10在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=2，将ABD 沿 BD 折起，使得点 A折起至 A，设二面角 ABDC 的大小为 （1）当=90 时，求 AC 的长；（2）当 cos=时，求 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值 【分析】（1）过 A 作 BD 的垂线交 BD 于 E，交 DC 于 F，连接 CE，利用勾股定理及余弦定理计算 AE，CE，由 AECE得出 AC；（2）利用余弦定理可得 AF=，从而得出 AF平面 ABCD，以 F 为原点值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -建立坐标系，求出和平面 ABD 的法向量，则 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值为|cos|【解答】解：（1）在图 1 中，过 A 作 BD 的垂线交 BD 于 E，交 DC 于 F，连接CE AB=4，AD=2，BD=10 ，BE=8，cosCBE=在BCE中，由余弦定理得 CE=2=90 ，AE平面 ABCD，AECE|A C|=2（2）DE=2 tanFDE=，EF=1，DF=当即 cosAEF=时，AE2=A F2+EF2，AFE=90 又 BDAE，BDEF，BD平面 AEF，BDAF AF平面 ABCD 以 F 为原点，以 FC 为 x 轴，以过 F 的 AD 的平行线为 y 轴，以 FA为 z 轴建立空间直角坐标系如图所示：A（0，0，），D（，0，0），B（3，2，0），C（3，0，0）=（0，2，0），=（4，2，0），=（，0，）设平面 ABD 的法向量为=（x，y，z），则，令 z=1 得=（，2，1）值分析设则为的中点连接利用线面平行的性质证明再由平行线截线段成比例可得为的中点取中点可得再由面面垂直的性质可得平面则连接则再证明以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系求出平面与平面的一个法向量面所成角的正弦值解答证明如图设为正方形为的中点连接平面平面平面平面则即为的中点解取中点平面平面且平面平面平面则连接则由是的中点是的中点可得则以为坐标原点分别以所在直线为轴距离空间直角坐标系由得设平面的一为点评本题考查线面角与面面角的求法训练了利用空间向量求空间角属中档题如图在三棱锥中底面点分别为棱的中点是线段的中点求证平面求二面角的正弦值已知点在棱上且直线与直线所成角的余弦值为求线段的长分析取中点连接-z -cos=BC 与平面 ABD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查了空间角与空间距离的计算，空间向量的应用，属于中档题 11如图，由直三棱柱 ABCA1B1C1和四棱锥 DBB1C1C 构成的几何体中，BAC=90 ，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面 CC1D平面 ACC1A1（）求证：ACDC1；（）若 M 为 DC1的中点，求证：AM平面 DBB1；（）在线段 BC 上是否存在点 P，使直线 DP 与平面 BB1D 所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由 【分析】（）证明 ACCC1，得到 AC平面 CC1D，即可证明 ACDC1（）易得BAC=90 ，建立空间直角坐标系 Axyz，依据已知条件可