知识点六(重积分)_高等教育-微积分.pdf

1 二重积分（1）求二重积分的一般步骤为 画出积分区域的草图D，并写出积分域；根据积分区域与被积函数的特点选取适当的坐标系.一般地，当二重积分的被积函数 22,yf x yxyx中含有或等因子时，以及积分域为以原点为中心的圆域、扇域，或过原点而中心在坐标轴上的圆域，利用极坐标来计算往往会更加简便；根据积分区域与被积函数的特点选取适当的积分次序.二重积分化为二次积分（也称累次积分）后，其本质是进行二次定积分的计算，对先积分的变量求定积分时，后积分的变量应视为一个常数.直角坐标系下定限口诀可归纳为：后积先定限，上限与下限，均应为常限；限内划条线，先交下限写，后交上限见.（2）注意根据积分区域D的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算.如果D关于x轴对称，(,)f x y为y的奇（偶）函数，则 10,(,)(,)(,),(,)2(,),(,)(,)(,),DDf x yyf xyf x yf x y dxdyf x y dxdyf x yyf xyf x y 为 的奇函数，即为 的偶函数，即 其中1D为D中0 x 的部分.如果D关于y轴对称，(,)f x y为y的奇（偶）函数，则 20,(,)(,)(,),(,)2(,),(,)(,)(,),DDf x yxfx yf x yf x y dxdyf x y dxdyf x yxfx yf x y 为 的奇函数，即为 的偶函数，即 其中2D为D中0y 的部分.如果D关于原点对称，(,)f x y为y的奇（偶）函数，则 30,(,),(,)(,),(,)2(,),(,),(,)(,),DDf x yx yfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyf x yx yfxyf x y 为的奇函数，即为的偶函数，即其中3D为D中0 x 的部分，也可为D中0y 的部分.如果D关于直线yx对称，则 欢迎下载 145 (,)(,)DDf x y dxdyf y x dxdy.（3）被积函数为分段函数（包括绝对值函数、取极值函数）时，要利用积分区域的可加性，正确划分积分区域，以确定被积函数的表达式.2三重积分（1）计算三重积分注意选择积分顺序问题：“先单后重”与“先重后单”积分法.回顾化成累次积分的顺序是先对某一个变量，例如z，做一次单积分，然后再做关于另外两个变量x与y 的一个二重积分，即 21,d d dd d,dxyzx yzx yDfx y zx y zx yfx y zz 其实，上式中的二重积分与单积分的次序是可以交换的，即可把它写成 21,d d dd,d dzccDfx y zx y zzfx y zx y 其中zD是把z暂时固定，过点(0,0,)z且垂直于zz 轴的平面截域所得到的截面域.对后一个等式我们可以这样来理解，把等式的左端看作是以(,)f x y z 为密度的物质立体的质量，右端看作是把物质立体切成薄片，然后把所有薄片的质量相加.（2）根据积分域和被积函数的特点选择适当的坐标系.一般地，下列情形适用柱面坐标求三重积分：积分域的边界为圆柱面、圆锥面、旋转抛物面或投影域 D为圆域，被积函数含有22yx 的因子.而若积分域的边界为球面或圆锥面，)(,222zyxzyxf，则利用球面坐标求三重积比较方便.但要记住：化为柱面坐标时，要把zyxf,换成cos,sin,fz，dd d dd d dVx y zz；化为球面坐标时，要把zyxf,换成sincos,sinsin,cosf rrr，2dsin d d dVrr.（3）注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性计算三重积分.设(,)f x y z在 有 界 闭 区 域连 续，若关 于xy平 面 对 称（(,)(,)x y zx yz ），则 坐标系一般地当二重积分的被积函数或等因子时以及积分域为以原点为中心的圆域扇域或中含有过原点而中心在坐标轴上的圆域利用极坐标来计算往往会更加简便根据积分区域与被积函数的特点选取适当的积分次序二重积分化为二直角坐标系下定限口诀可归纳为后积先定限上限与下限均应为常限限内划条线先交下限写后交上限见注意根据积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算如果关于轴对称为的奇偶函数为的奇函数即为的偶函数即为中的部分数为的奇函数即为的偶函数即为中的部分也可为中的部分如果关于直线对称欢迎下载被积函数为分段函数包括绝对值函数取极值函数时要利用积分区域的可加性正确划分积分区域以确定被积函数的表达式三重积分计算三重积分注意 欢迎下载 146 10,(,)(,)(,),(,)2(,),(,)(,)(,),f x y zzf x yzf x y zf x y z dVf x y z dVf x y zzf x yzf x y z 为 的奇函数，即为 的偶函数，即其中1|0z z .若关于yz平面（或zx）平面，(,)f x y z关于x（或y）为奇函数或偶函数有类似的结果.3.重积分的应用 （1）几何方面的应用 求几何体的体积(,)dDVf x y，或dvV.曲面的面积 设曲面的方程为 ,xyxoyzf x yDff且存在着连续的，则曲面的面积 221()()d dxyDSffx y.其中曲面的面积元素22d1d dxySffx y.（2）物理方面的应用 求质量 01 平面薄片的质量(,)d,DMx y 其中(,)x y是平面薄片在点(,)x y的面密度.02 空间非均匀密度物体的质量为(,)d.Mx y zv 其中(,)x y z是非均匀物体在点(,)x y z处的密度.求重心 01平面薄片的重心坐标为(,)d(,)d,.(,)d(,)dyxDDDDxx yyx yMMxyMMx yx y 其中(,)x y是平面薄片在点(,)x y的面密度.坐标系一般地当二重积分的被积函数或等因子时以及积分域为以原点为中心的圆域扇域或中含有过原点而中心在坐标轴上的圆域利用极坐标来计算往往会更加简便根据积分区域与被积函数的特点选取适当的积分次序二重积分化为二直角坐标系下定限口诀可归纳为后积先定限上限与下限均应为常限限内划条线先交下限写后交上限见注意根据积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算如果关于轴对称为的奇偶函数为的奇函数即为的偶函数即为中的部分数为的奇函数即为的偶函数即为中的部分也可为中的部分如果关于直线对称欢迎下载被积函数为分段函数包括绝对值函数取极值函数时要利用积分区域的可加性正确划分积分区域以确定被积函数的表达式三重积分计算三重积分注意 欢迎下载 147 02 空间物体的重心 111(,)d,(,)d,(,)d,xxx y zv yyx y zv zzx y zvMMM 其中(,)x y z是非均匀物体在点(,)x y z处的密度，(,)dMx y zv 求转动惯量 01 平面薄片x轴和对y轴的转动惯量分别为 22(,)d,(,)d.xyDDIyx yIxx y 其中(,)x y是平面薄片在点(,)x y的面密度.02 空间物体对三个坐标轴的转动惯量分别为 222222()(,)d,()(,)d,()(,)d.xyzIyzx y zvIzxx y zvIxyx y zv 其中(,)x y z是非均匀物体在点(,)x y z处的密度.坐标系一般地当二重积分的被积函数或等因子时以及积分域为以原点为中心的圆域扇域或中含有过原点而中心在坐标轴上的圆域利用极坐标来计算往往会更加简便根据积分区域与被积函数的特点选取适当的积分次序二重积分化为二直角坐标系下定限口诀可归纳为后积先定限上限与下限均应为常限限内划条线先交下限写后交上限见注意根据积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算如果关于轴对称为的奇偶函数为的奇函数即为的偶函数即为中的部分数为的奇函数即为的偶函数即为中的部分也可为中的部分如果关于直线对称欢迎下载被积函数为分段函数包括绝对值函数取极值函数时要利用积分区域的可加性正确划分积分区域以确定被积函数的表达式三重积分计算三重积分注意