矩阵知识点_高等教育-微积分.pdf
学习必备 欢迎下载 矩阵 定义 由m n个数1,2,;1,2,ijaim jn排成的m行n列的数表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为m 行 n 列矩阵。简称m n矩阵，记作111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa，简记为 m nijijm nAAaa，,m nA这个数称为 的元素 简称为元。几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于 n 的矩阵 A。记作：An。行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB同型,且对应元素相等。记作：AB 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是 1，其它元素都是 0，记作：En(不引起混淆时，也可表示为 E)3 正交矩阵 定义 6：A是一个 n 阶实矩阵，若，则称为正交矩阵。定理：设 A、B都是 n 阶正交矩阵，则 (1)或 (2)(3)也是正交矩阵(4)也是正交矩阵。定理：n 阶实矩阵 A是正交矩阵A的列（行）向量组为单位正交向量组。注：n 个 n 维向量，若长度为 1，且两两正交，责备以它们为列（行）向量构成的矩阵一定是正交矩阵。注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。1、上述形如13、512128363836232128、2332441mn、2313242414mn这样的矩形数表叫做矩阵。EAATA1A1ATAA 1)(1TAA即AB学习必备 欢迎下载 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量12,na aa称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12nbbb 称为列向量；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为mn阶矩阵，mn阶矩阵可记做m nA，如矩阵13为2 1阶矩阵，可记做2 1A；矩阵512128363836232128为3 3阶矩阵，可记做3 3A。有时矩阵也可用A、B等字母表示。3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个mn阶矩阵m nA中的第i（im）行第j（jn）列数可用字母ija表示，如矩阵512128363836232128第 3 行第 2 个数为3221a。4、当一个矩阵中所有元素均为 0 时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000为一个2 3阶零矩阵。5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行（列），可称此方阵为n阶方阵，如矩阵512128363836232128、2332441mn均为三阶方阵。在一个n阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为 1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001为 2 阶单位矩阵，矩阵100010001为 3 阶单位矩阵。6、如果矩阵A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为AB。矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n矩阵ijijAaBb和，那么矩阵A与B的和记作AB，规定为111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本 P33）元几种特殊的矩阵方阵行数与列数都等于的矩阵记作行列矩阵只有一行列的矩阵也称行列向量同型矩阵两矩阵的行数相等列数也相等相等矩阵同型且对应元素相等记作零矩阵元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同对角阵不在主对角实矩阵若定理设都是阶正交矩阵则则称为正交矩阵或即也是正交矩阵也是正交矩阵定理阶实矩阵是正交矩阵的列行向量组为单位正交向量组注个维向量若长度为且两两正交责备以它们为列行向量构成的矩阵一定是正交矩阵注意矩阵列数可以不同上述形如这的矩形数表叫做矩阵学习必备欢迎下载在矩阵中水平方向排列的数组成的向量称为行向量垂直方向排列的数组成的向量称为列向量由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵阶矩阵可记做如矩阵为阶矩阵学习必备 欢迎下载 矩阵加法的运算规律 1 A BBA ；2A BCABC 1112121222113,()nnijijm nm nmmmnaaaaaaAaAaaaa 设矩阵记，A称为矩阵A的负矩阵 40,AAA BAB 。数与矩阵相乘（矩阵的数量乘法）,AAA数 与矩阵 的乘积记作或规定为111212122211,nnmmmnaaaaaaAAAAAaaa数 与矩阵 的乘积记作或规定为 数乘矩阵的运算规律（设A B、为m n矩阵，,为数）1AA；2AAA；3A BAB。矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘 设(b)ijB 是一个m s矩阵，(b)ijB 是一个s n矩阵，那么规定矩阵 A与矩阵 B的乘积是一个m n矩阵(c)ijC，其中12121122jjiii sijiji ss jsjbba aaa ba ba bb 1si kk jka b，1,2,;1,2,im jn，并把此乘积记作CAB 行矩阵a11a12与列矩阵b11b21的乘法规则为a11a12b11b21a11b11a12b21，二阶矩阵a bc d与列矩阵xy的乘法规则为a bc dxyaxbycxdy.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律 元几种特殊的矩阵方阵行数与列数都等于的矩阵记作行列矩阵只有一行列的矩阵也称行列向量同型矩阵两矩阵的行数相等列数也相等相等矩阵同型且对应元素相等记作零矩阵元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同对角阵不在主对角实矩阵若定理设都是阶正交矩阵则则称为正交矩阵或即也是正交矩阵也是正交矩阵定理阶实矩阵是正交矩阵的列行向量组为单位正交向量组注个维向量若长度为且两两正交责备以它们为列行向量构成的矩阵一定是正交矩阵注意矩阵列数可以不同上述形如这的矩形数表叫做矩阵学习必备欢迎下载在矩阵中水平方向排列的数组成的向量称为行向量垂直方向排列的数组成的向量称为列向量由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵阶矩阵可记做如矩阵为阶矩阵学习必备 欢迎下载 规则：A m *s*Bi *n=cm *n 行1*列1 行2*列2 行1*列2 第 1 行乘以第 1 列、第 1 行乘以第 2 列，如此类推 矩阵乘法的运算规律 1AB CA BC；2ABA BAB 3 A BCABAC，BC ABA CA 4m nn nm mm nm nAEEAA 矩阵的幂乘：若 A是 n 阶方阵，则称 Ak为 A的 k 次幂，即kkAA AA个，并且mkm kA AA，kmmkAA,m k为正整数。规定：A0E 注意 矩阵不满足交换律，即ABBA，kkkABA B（但也有例外）转置矩阵 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A，如122458A，142528TA。转置矩阵的运算性质 1TTAA；2TTTABAB；3TTAA；4TTTABB A。方阵的行列式 由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作A或det A（记住这个符号）注意 方阵：行数与列数都等于 n 的矩阵 A。记作：An。矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是 n2个数按一定方式排成的数表，而 n 阶行列式则是这些数按元几种特殊的矩阵方阵行数与列数都等于的矩阵记作行列矩阵只有一行列的矩阵也称行列向量同型矩阵两矩阵的行数相等列数也相等相等矩阵同型且对应元素相等记作零矩阵元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同对角阵不在主对角实矩阵若定理设都是阶正交矩阵则则称为正交矩阵或即也是正交矩阵也是正交矩阵定理阶实矩阵是正交矩阵的列行向量组为单位正交向量组注个维向量若长度为且两两正交责备以它们为列行向量构成的矩阵一定是正交矩阵注意矩阵列数可以不同上述形如这的矩形数表叫做矩阵学习必备欢迎下载在矩阵中水平方向排列的数组成的向量称为行向量垂直方向排列的数组成的向量称为列向量由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵阶矩阵可记做如矩阵为阶矩阵学习必备 欢迎下载 一定的运算法则所确定的一个数。运算性质 1TAA；2nAA；(3)ABA BB ABA 单位矩阵 在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1,我们称这种矩阵为单位矩阵它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为 1 以外全都为 0。记为：In或 En，也可以标记为 I或者 E 对于单位矩阵，有 AE=EA=A 对角矩阵 对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵。对角线上的元素可以为 0 或其他值。三角矩阵 以主对角线划分，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵 它的下三角(不包括主对角线)的元素均为常数 0。下三角矩阵 与上三角矩阵相反，它的主对角线上方均为常数 0，如图所示。实对称矩阵 如果有 n 阶矩阵 A，其各个元素都为实数，矩阵 A 的转置等于其本身(AT=A)，则称 A 为实对称矩阵。元几种特殊的矩阵方阵行数与列数都等于的矩阵记作行列矩阵只有一行列的矩阵也称行列向量同型矩阵两矩阵的行数相等列数也相等相等矩阵同型且对应元素相等记作零矩阵元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同对角阵不在主对角实矩阵若定理设都是阶正交矩阵则则称为正交矩阵或即也是正交矩阵也是正交矩阵定理阶实矩阵是正交矩阵的列行向量组为单位正交向量组注个维向量若长度为且两两正交责备以它们为列行向量构成的矩阵一定是正交矩阵注意矩阵列数可以不同上述形如这的矩形数表叫做矩阵学习必备欢迎下载在矩阵中水平方向排列的数组成的向量称为行向量垂直方向排列的数组成的向量称为列向量由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵阶矩阵可记做如矩阵为阶矩阵学习必备 欢迎下载 如果有 n 阶矩阵 A，其各个元素都为实数，且 aij=aji i,j=1,2,.,n（即 这里 T 表示转置），则称 A 为实对称矩阵。反对称矩阵，对称矩阵的元素 A(i,j)=A(j,i).反对称矩阵定义是：A=-AT（A 的转置前加负号）它的第行和第列各数绝对值相等，符号相反。于是，对于对角线元素，A(i,i)=-A(i,i),有 2A（i,i)=0，在非偶数域中，有 A（i,i)=0，即反对称矩阵对角线元素为零(此性质只在非偶数域中成立。在偶数域中，由于 1+1=0，反对称矩阵的对角线元素不一定为 0）。对称矩阵 设 A为 n 阶方阵，如果满足 A=AT，即,1,2,ijjiaai jn那么 A称为对称阵。说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果TAA 则称矩阵A为反对称的。即反对称矩阵 A=（aij）中的元素满足 aijaji，i，j=1，2，n 逆矩阵 定义 对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B,使得 ABBAE则说矩阵 A是可逆的，并把矩阵 B称为A的逆矩阵。1AA的逆矩阵记作，1AB即。说明 1 A，B互为逆阵，A=B-1 2 只对方阵定义逆阵。3.若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的。伴随矩阵 行列式A的各个元素的代数余子式ijA所构成的如下矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA称为矩阵 A的伴随矩阵。性质 AAA AA E（易忘知识点）元几种特殊的矩阵方阵行数与列数都等于的矩阵记作行列矩阵只有一行列的矩阵也称行列向量同型矩阵两矩阵的行数相等列数也相等相等矩阵同型且对应元素相等记作零矩阵元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同对角阵不在主对角实矩阵若定理设都是阶正交矩阵则则称为正交矩阵或即也是正交矩阵也是正交矩阵定理阶实矩阵是正交矩阵的列行向量组为单位正交向量组注个维向量若长度为且两两正交责备以它们为列行向量构成的矩阵一定是正交矩阵注意矩阵列数可以不同上述形如这的矩形数表叫做矩阵学习必备欢迎下载在矩阵中水平方向排列的数组成的向量称为行向量垂直方向排列的数组成的向量称为列向量由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵阶矩阵可记做如矩阵为阶矩阵学习必备 欢迎下载 定理 1 矩阵 A可逆的充分必要条件是0A，并且当 A可逆时，有1*1AAA（重要）(2)设 A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵 B，使得 BAABE，则称矩阵 A 可逆，或称矩阵 A 是可逆矩阵，并且称 B 是 A的逆矩阵(3)(性质 1)设 A是一个二阶矩阵，如果 A是可逆的，则 A的逆矩阵是唯一的A 的逆矩阵记为 A1(4)(性质 2)设 A，B 是二阶矩阵，如果 A，B 都可逆，则 AB也可逆，且(AB)1B1A1.奇异矩阵与非奇异矩阵 当0A 时，A称为奇异矩阵，当0A 时，A称为非奇异矩阵。即0AAA可逆为非奇异矩阵。推论 若(A=E)ABE 或B，则1BA 求逆矩阵方法*1(1)|021(3)|AAAAAA先求并判断当时逆阵存在；（）求；求。逆矩阵的运算性质 1111,AAAA若 可逆 则亦可逆 且 1112,0,AAAA若 可逆 数则可逆 且。1113,A BABABB A若为同阶方阵且均可逆 则亦可逆 且()。114,TTTAAAA若 可逆 则亦可逆 且。115,AAA若 可逆 则有。1.对于n阶矩阵A：*AAA AA E 无条件恒成立；2.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABBA 矩阵的初等变换（1）互换矩阵的两行；元几种特殊的矩阵方阵行数与列数都等于的矩阵记作行列矩阵只有一行列的矩阵也称行列向量同型矩阵两矩阵的行数相等列数也相等相等矩阵同型且对应元素相等记作零矩阵元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同对角阵不在主对角实矩阵若定理设都是阶正交矩阵则则称为正交矩阵或即也是正交矩阵也是正交矩阵定理阶实矩阵是正交矩阵的列行向量组为单位正交向量组注个维向量若长度为且两两正交责备以它们为列行向量构成的矩阵一定是正交矩阵注意矩阵列数可以不同上述形如这的矩形数表叫做矩阵学习必备欢迎下载在矩阵中水平方向排列的数组成的向量称为行向量垂直方向排列的数组成的向量称为列向量由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵阶矩阵可记做如矩阵为阶矩阵学习必备 欢迎下载（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。以上任意矩阵可经过有限次初等行变换化为阶梯型矩阵 初等行变换 1()ijrr对调两行，记作。20()ikrk以数乘以某一行的所有元素，记作。3()ijkrkr把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。一个矩阵成为阶梯型矩阵,需满足两个条件：（1）如果它既有零行,又有非零行,则零行在下,非零行在上.（2）如果它有非零行,则每个非零行的第一个非零元素所在列号自上而下严格单调上升.阶梯型矩阵的基本特征：如果所给矩阵为阶梯型矩阵则矩阵中每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零.特点（每个阶梯只有一行；元素不为 0 的行（非零行）的第一个非零元素的列标随着行标增大而严格增大（列标一定不小于行标）；元素全为 0 的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行）任意矩阵可经过有限次初等行变换化为阶梯型矩阵 若矩阵 A 满足两条件：（1）零行（元素全为 0 的行）在最下方；（2）非零首元（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增，则称此矩阵 A为阶梯形矩阵。初等变换求逆矩阵：（1）求逆矩阵：1(|)|A EE A初等行变换或1AEEA 初等列变换。（2）求 A-1B：A(,)(,),rA BE P即1(|)|A BE A B 行，则 P=A-1B。或1EABBA 初等列变换.元几种特殊的矩阵方阵行数与列数都等于的矩阵记作行列矩阵只有一行列的矩阵也称行列向量同型矩阵两矩阵的行数相等列数也相等相等矩阵同型且对应元素相等记作零矩阵元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同对角阵不在主对角实矩阵若定理设都是阶正交矩阵则则称为正交矩阵或即也是正交矩阵也是正交矩阵定理阶实矩阵是正交矩阵的列行向量组为单位正交向量组注个维向量若长度为且两两正交责备以它们为列行向量构成的矩阵一定是正交矩阵注意矩阵列数可以不同上述形如这的矩形数表叫做矩阵学习必备欢迎下载在矩阵中水平方向排列的数组成的向量称为行向量垂直方向排列的数组成的向量称为列向量由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵阶矩阵可记做如矩阵为阶矩阵学习必备 欢迎下载 矩阵的秩 矩阵的秩 任何矩阵m nA，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）矩阵的秩 在矩阵 A中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式(如果存在的话)全等于 0，那么 D称为矩阵 A的最高阶非零子式。数 r 称为矩阵 A的秩，记作 R(A).规定零矩阵的秩，R(0)=0.说明 1.矩阵 Amn，则 R(A)min m,n;2.R(A)=R(AT);3.R(A)r 的充分必要条件是至少有一个 r 阶子式不为零;4.R(A)r 的充分必要条件是所有 r+1 阶子式都为零.满秩和满秩矩阵 矩阵ijm nAa，若()R Am，称 A为行满秩矩阵；若()R An，称 A为列满秩矩阵；,(),AnR AnA若 为 阶方阵 且则称 为满秩矩阵。()nAR An若 阶方阵 满秩，即 0A；1A必存在；A为非奇异阵；,.nnAEAE必能化为单位阵即 矩阵秩的求法 定理 1 矩阵 A经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若 AB，则 R(A)=R(B)。矩阵 Amn，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是 A的秩。A初等行变换阶梯形矩阵形 B 那么R(A)阶梯形矩阵形 B的主元的个数。矩阵秩的性质总结(1)0()min,m nR Am n(2)()()TR AR A 元几种特殊的矩阵方阵行数与列数都等于的矩阵记作行列矩阵只有一行列的矩阵也称行列向量同型矩阵两矩阵的行数相等列数也相等相等矩阵同型且对应元素相等记作零矩阵元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同对角阵不在主对角实矩阵若定理设都是阶正交矩阵则则称为正交矩阵或即也是正交矩阵也是正交矩阵定理阶实矩阵是正交矩阵的列行向量组为单位正交向量组注个维向量若长度为且两两正交责备以它们为列行向量构成的矩阵一定是正交矩阵注意矩阵列数可以不同上述形如这的矩形数表叫做矩阵学习必备欢迎下载在矩阵中水平方向排列的数组成的向量称为行向量垂直方向排列的数组成的向量称为列向量由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵阶矩阵可记做如矩阵为阶矩阵学习必备 欢迎下载 (3),ABR AR B若则()()PQR PAQR A(4)若、可逆，则(5)max(),()(,)()()()(,)()1.R A R BR A BR AR BBbR AR AR Ab特别当为非零列向量时，有(6)()()()R ABR AR B(7)()min(),().R ABR A R B(8),()().m nn lABOR AR Bn若则(9)AB=OAB=O设，若 为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。元几种特殊的矩阵方阵行数与列数都等于的矩阵记作行列矩阵只有一行列的矩阵也称行列向量同型矩阵两矩阵的行数相等列数也相等相等矩阵同型且对应元素相等记作零矩阵元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同对角阵不在主对角实矩阵若定理设都是阶正交矩阵则则称为正交矩阵或即也是正交矩阵也是正交矩阵定理阶实矩阵是正交矩阵的列行向量组为单位正交向量组注个维向量若长度为且两两正交责备以它们为列行向量构成的矩阵一定是正交矩阵注意矩阵列数可以不同上述形如这的矩形数表叫做矩阵学习必备欢迎下载在矩阵中水平方向排列的数组成的向量称为行向量垂直方向排列的数组成的向量称为列向量由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵阶矩阵可记做如矩阵为阶矩阵
