知识要点-空间直角坐标系_中学教育-中考.pdf

.专业.第 5 讲 空间直角坐标系 知识梳理 1.右手直角坐标系 右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；已知点的坐标),(zyxP作点的方法与步骤（路径法）：沿x轴正方向（0 x时）或负方向（0 x时）移动|x个单位，再沿y轴正方向（0y时）或负方向（0y时）移动|y个单位，最后沿x轴正方向（0z时）或负方向（0z时）移动|z个单位，即可作出点 已知点的位置求坐标的方法：过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于CBA,，点CBA,在x轴、y轴、z轴的坐标分别是cba,，则),(cba就是点P的坐标 2、在x轴上的点分别可以表示为),0,0(),0,0(),0,0,(cba，在坐标平面xOy，xOz，yOz的点分别可以表示为),0(),0,(),0,(cbcaba;3、点),(cbaP关于x轴的对称点的坐标为),(cba 点),(cbaP关于y轴的对称点的坐标为),(cba；点),(cbaP关于z轴的对称点的坐标为),(cba；点),(cbaP关于坐标平面xOy的对称点为),(cba；点),(cbaP关于坐标平面xOz的对称点为),(cba；点),(cbaP关于坐标平面yOz的对称点为),(cba；点),(cbaP关于原点的对称点),(cba。4.已知空间两点),(),(222111zyxQzyxP，则线段PQ的中点坐标为.专业.)2,2,2(212121zzyyxx 5空间两点间的距离公式 已知空间两点),(),(222111zyxQzyxP，则两点的距离为221221221)()()(|zzyyxxPQ，特殊地,点),(zyxA到原点O的距离为222|zyxAO;5以),(000zyxC为球心,r为半径的球面方程为2202020)()()(rzzyyxx 特殊地,以原点为球心,r为半径的球面方程为2222rzyx 重难点突破 重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式 难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系 重难点:在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用 1借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系 问题 1：点),(cbaP到y轴的距离为 解析借助长方体来思考，以点PO,为长方体对角线的两个顶点，点),(cbaP到y轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为22ca 2将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系 问题 2：对于任意实数,x y z，求222222(1)(2)(1)xyzxyz 的最小值 解析在空间直角坐标系中，222222(1)(2)(1)xyzxyz 表示空间点(,)x y z到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的线段长，所以222222(1)(2)(1)xyzxyz 的最小值为6。3利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题 指食指中指已知点的坐标作点的方法与步骤路径法沿轴正方向时或负方向时移动个单位再沿轴正方向时或负方向时移动个单位最后沿轴正方向时或负方向时移动个单位即可作出点已知点的位置求坐标的方法过作三个平面分别与轴轴关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于原点的对称点已知空间两点则线段的中点坐标为专业空间两点为球心为半径的球面方程为重难点突破重点了解空间直角坐标系会用空间直角坐标系表示点的位置会推导和使用空间两点间的距离公式难点借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比认识空间点的对称及坐标间的关系重难点在空.专业.(1)判断两条相交直线是否垂直(2)判断空间三点是否共线(3)得到一些简单的空间轨迹方程 热点考点题型探析 考点 1:空间直角坐标系 题型 1:认识空间直角坐标系 例 1（1）在空间直角坐标系中，ya表示 （）Ay轴上的点 B过y轴的平面 C垂直于y轴的平面 D平行于y轴的直线（2）在空间直角坐标系中，方程xy 表示 A在坐标平面xOy中，1，3 象限的平分线 B平行于z轴的一条直线 C经过z轴的一个平面 D平行于z轴的一个平面【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中,方程1x表示所有横坐标为 1 的点的集合 解析（1）ya表示所有在y轴上的投影是点)0,0(a的点的集合，所以ya表示经过点)0,0(a且垂直于y轴的平面 （2）方程xy 表示在任何一个垂直于z轴的一个平面，1，3 象限的平分线组成的集合【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系 (2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如：经过点)0,0,(a且垂直于x轴的平面上的点都可表示为),(zya 题型 2:空间中点坐标公式与点的对称问题 例 2 点),(cbaP关于z轴的对称点为1P，点1P关于平面xOy的对称点为2P，则2P的坐标为 【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系 解析因点P和1P关于z轴对称,所以点P和1P的竖坐标相同,且在平面xOy的射影关于指食指中指已知点的坐标作点的方法与步骤路径法沿轴正方向时或负方向时移动个单位再沿轴正方向时或负方向时移动个单位最后沿轴正方向时或负方向时移动个单位即可作出点已知点的位置求坐标的方法过作三个平面分别与轴轴关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于原点的对称点已知空间两点则线段的中点坐标为专业空间两点为球心为半径的球面方程为重难点突破重点了解空间直角坐标系会用空间直角坐标系表示点的位置会推导和使用空间两点间的距离公式难点借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比认识空间点的对称及坐标间的关系重难点在空.专业.原点对称,故点1P的坐标为),(cba,又因点1P和2P关于平面xOy对称,所以点2P坐标为),(cba 【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例2中可以直接得出点2P为点),(cbaP关于原点的对称点,故坐标为),(cba【新题导练】1已知正四棱柱1111ABCDAB C D的顶点坐标分别为(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)ABD，1(0,0,5)A，则1C的坐标为 。解析正四棱柱1111ABCDAB C D过点 A 的三条棱恰好是坐标轴，1C的坐标为（2，2，5）2平行四边形ABCD的两个顶点的的坐标为)3,2,3(),3,1,1(BA，对角线的交点为)4,0,1(M，则顶点 C 的坐标为 ,顶点 D 的坐标为 解析由已知得线段AC的中点为M,线段BD的中点也是M,由中点坐标公式易得)5,1,3(C，)11,2,1(D 3已知(4,3,1)M，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则（）Aabc Bcba Ccab Dbca 解析借助长方体来思考,a、b、c分别是三条面对角线的长度。5,17,10cba，选 C 考点 2：空间两点间的距离公式 题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题 例 3 如图：已知点(1,1,0)A，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PAAB恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由。【解题思路】转化为距离问题，即证明222PBABPA X A Y B O Z P 指食指中指已知点的坐标作点的方法与步骤路径法沿轴正方向时或负方向时移动个单位再沿轴正方向时或负方向时移动个单位最后沿轴正方向时或负方向时移动个单位即可作出点已知点的位置求坐标的方法过作三个平面分别与轴轴关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于原点的对称点已知空间两点则线段的中点坐标为专业空间两点为球心为半径的球面方程为重难点突破重点了解空间直角坐标系会用空间直角坐标系表示点的位置会推导和使用空间两点间的距离公式难点借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比认识空间点的对称及坐标间的关系重难点在空.专业.解析设),0,0(cP)0,0(bB，对于Oz轴正半轴上任意一点P，假设在Oy轴上存在一点B，使得PAAB恒成立，则222PBABPA 222222222)0()0()00()00()1()01()0()10()10(cbbc即22)1(3bb，解得：2b 所以存在这样的点B，当点B为(0,2,0)时，PAAB恒成立【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。【新题导练】4已知(,5,21),(1,2,2)A xxxBxx，当,A B两点间距离取得最小值时，x的值为（）A19 B87 C 87 D1914 解析75)78(14191214)33()23()1(|22222xxxxxxAB 当x87时，|AB取得最小值 5已知球面222(1)(2)(3)9xyz，与点(3,2,5)A，则球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是 。解析球心6),3,2,1(ACC，球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是 9 和 3 6已知三点(1,1,2),(1,2,1),(,0,3)ABC a，是否存在实数a，使 A、B、C 共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。解析 222(1 1)(12)(21)14AB ，2222(1)(10)(23)(1)2ACaa ，2222(1)(20)(13)(1)20BCaa，因为BCAB，所以，若,A B C三点共线，有BCACAB或ACBCAB，指食指中指已知点的坐标作点的方法与步骤路径法沿轴正方向时或负方向时移动个单位再沿轴正方向时或负方向时移动个单位最后沿轴正方向时或负方向时移动个单位即可作出点已知点的位置求坐标的方法过作三个平面分别与轴轴关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于原点的对称点已知空间两点则线段的中点坐标为专业空间两点为球心为半径的球面方程为重难点突破重点了解空间直角坐标系会用空间直角坐标系表示点的位置会推导和使用空间两点间的距离公式难点借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比认识空间点的对称及坐标间的关系重难点在空.专业.若BCACAB，整理得：2518190aa，此方程无解；若ACBCAB，整理得：2518190aa，此方程也无解。所以不存在实数a，使 A、B、C 共线。抢分频道 基础巩固训练 1将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将x轴与y轴，x轴与z轴所成的角画成（）A090 B0135 C045 D075 解析：选 B 2.点(3,4,5)P在yoz平面上的投影点1P的坐标是 （）A(3,0,0)B(0,4,5)C(3,0,5)D(3,4,0)解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选 B 3.三棱锥ABCO 中，)3,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,0,0(CBAO此三棱锥的体积为（）A1 B2 C 3 D 6 解析 OCOBOA,两两垂直，13212131 ABCOV 4（2007 模拟）设点 B 是点 A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点，则|AB|等于()A10 B10 C38 D38 解析 A 点 A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点为)5,3,2(B,10)5(5)3(3)22(222AB 5（2007 年模拟）点)3,2,1(P关于y轴的对称点为1P，P关于平面xOz的对称点为2P，则|21PP=指食指中指已知点的坐标作点的方法与步骤路径法沿轴正方向时或负方向时移动个单位再沿轴正方向时或负方向时移动个单位最后沿轴正方向时或负方向时移动个单位即可作出点已知点的位置求坐标的方法过作三个平面分别与轴轴关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于原点的对称点已知空间两点则线段的中点坐标为专业空间两点为球心为半径的球面方程为重难点突破重点了解空间直角坐标系会用空间直角坐标系表示点的位置会推导和使用空间两点间的距离公式难点借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比认识空间点的对称及坐标间的关系重难点在空.专业.解析)3,2,1(1P，)3,2,1(2P，56|21PP 6正方体不在同一表面上的两顶点 P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），则正方体的体积是 解析 QP,不共面，PQ为正方体的一条对角线，34PQ，正方体的棱长为 4，体积为 64 综合提高训练 7空间直角坐标系中，到坐标平面xOy，xOz，yOz的距离分别为 2，2，3 的点有 A.1 个 B.2 个 C.4 个 D.8 个 解析：8 个。分别为（3，2，2）、（3，2，-2）、（3，-2，2）、（3，-2，-2）、（-3，2，2）、（-3，2，-2）、（-3，-2，2）、（-3，-2，-2）8（2007 昌乐模拟）三角形ABC的三个顶点的坐标为)4,1,6(),3,2,4(),11,2,1(CBA，则ABC的形状为（）A正三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形 解析 C 89)311()22()41(|222AB75)411()12()64(|222AC14)43()12()64(|222BC 222ABBCAC 9(2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系xyzO 中有一点)2,1,1(A，点B是平面xOy的直线1yx上的动点，则BA,两点的最短距离是（）A6 B234 C3 D 217 解析因为点 B 在xoy平面的直线1xy 上，故可设点 B 为(,1,0)xx，所以217)21(2922)20()2()1(22222xxxxxAB，指食指中指已知点的坐标作点的方法与步骤路径法沿轴正方向时或负方向时移动个单位再沿轴正方向时或负方向时移动个单位最后沿轴正方向时或负方向时移动个单位即可作出点已知点的位置求坐标的方法过作三个平面分别与轴轴关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于原点的对称点已知空间两点则线段的中点坐标为专业空间两点为球心为半径的球面方程为重难点突破重点了解空间直角坐标系会用空间直角坐标系表示点的位置会推导和使用空间两点间的距离公式难点借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比认识空间点的对称及坐标间的关系重难点在空.专业.所以当21时，AB 取得最小值234，此时点 B 为)0,21,21(。10如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；（2）当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时，探究PQ的最小值；解析由已知(,0),(0,0),(0,),(0,0,)A a aCaDa aBa，（1）当点P为对角线AB的中点时，点P坐标为(,)2 2 2a a a，设(0,)Qa z，则22()22aaPQz，当2az 时，PQ取到最小值为22a，此时Q为CD的中点。（2）当点Q为棱CD的中点时，点Q的坐标为(0,)2aa，设:AP ABk，则(1)Pxak，(1)Pyak，Pzak，所以P点的坐标为(1),(1),)ak ak ak，所以22213()22aPQak，当12k，即P为AB的中点时，PQ取到最小值22a。B X A C Y D Z O Q P 指食指中指已知点的坐标作点的方法与步骤路径法沿轴正方向时或负方向时移动个单位再沿轴正方向时或负方向时移动个单位最后沿轴正方向时或负方向时移动个单位即可作出点已知点的位置求坐标的方法过作三个平面分别与轴轴关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于坐标平面的对称点为点关于原点的对称点已知空间两点则线段的中点坐标为专业空间两点为球心为半径的球面方程为重难点突破重点了解空间直角坐标系会用空间直角坐标系表示点的位置会推导和使用空间两点间的距离公式难点借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比认识空间点的对称及坐标间的关系重难点在空