平面向量 教案习题_中学教育-高考.pdf

平面向量 一、向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:字母表示法:如,a b c等.几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点 O 为在坐标原点,终点 A坐标为,x y,则,x y称为OA 的坐标,记为OA=,x y.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为ab.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于 1 个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量:长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(一)运算定义 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加 法 与减法 OA+OB=OC OBOA=AB 记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)则OA OB=(x1+x2,y1+y2)OB OA=（x2-x1,y2-y1）OA+AB=OB 实 数 与向 量 的乘积 AB=a R 记a=(x,y)则a=(x,y)两 个 向量 的 数量积 cos,a ba ba b 记1122(,),(,)ax ybx y 则ab=x1x2+y1y2 (二)运算律 加法：abba (交换律);()()abcabc (结合律)实数与向量的乘积：()abab ;()aaa ;()()aa 两个向量的数量积:ab=ba;(a)b=a(b)=(ab);(a+b)c=ac+bc 注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(ab)2=222aa bb (三)运算性质及重要结论（1）平面向量基本定理:如果12,e e是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a,有且只有一对实数12,使1 122aee，称1 122ee为12,e e的线性组合。其中12,e e叫做表示这一平面内所有向量的基底;平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果1 122aee且1 122aee,那么1122 .当基底12,e e是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若 A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1)（2）两个向量平行的充要条件 符号语言：)0(/bbaba 坐标语言为：设非零向量 1122,abx yx y,则ab(x1,y1)=(x2,y2)，即1212xxyy,或 x1y2-x2y1=0,在这里,实数是唯一存在的,当a与b同向时,0；当a与b异向时,0。|=|b|a|,的大小由a及b的大小确定。因此,当a,b确定时，的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中的几何意义。（3）两个向量数量积的重要性质：22|aa 即 2|aa(求线段的长度);向线段的长度向量的表示方法字母表示法如等几何表示法用一条有向线段表示向量如等坐标表示法在平面直角坐标系中设向量的起点为在坐标原点终点坐标为则称为的坐标记为相等向量长度相等且方向相同的向量向量可以自由平移向量只有一个其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量单位向量有无数个每一个方向都有一个单位向量共线向量方向相同或相反的非零向量叫共线向量任一组共线向量都可以移到同一直线上规定与任一向量共线注共线向量又向量的数量积这些运算的定义都是自然的它们都有明显的物理学的意义几何意义其中向量的加减法运算结果仍是向量两个向量数量积运算结果是数量研究这些运算发现它们有很好地运算性质这些运算性质为我们用向量研究问题奠定cosa bab(求角度)。以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.注:两向量a,b的数量积运算结果是一个数cosab(其中,a b),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.cosb叫做向量b在a方向上的投影（如图）.数量积的几何意义是数量积a b等于a的模与b在a方向上的投影的积.如果111(,)P x y,222(,)P xy,则12PP=2121(,)xx yy,典型例题 一、平面向量的实际背景与基本概念 例题 1.如图 1，设 O 是正六边形的中心，分别写出图中与OA、OB、OC相等的向量。二、平面向量的线性运算 例题 2.如图，在平行四边形 ABCD 中，AB a，AD b，你能用 a，b 表示向量 AC，DB吗？变式 1：如图，在五边形 ABCDE 中，AB a，BC b，CD c，EAd，试用 a，b，c，d 表示向量CE和DE.变式 2：如图，在平行四边形 ABCD 中，若，OA a，OB b 则下列各表述是正确的为（）AOAOBAB BOCODAB CCD a+b DBC (a+b)变式 3：已知OA=a，OB=b,OC=c,OD=d,且四边形 ABCD 为平行四边形，则（）A.a+b+c+d=0 B.ab+cd=0 C.a+bcd=0 D.abc+d=0 D C A B D E C A B D C O A B B A C O F D E 图 1 向线段的长度向量的表示方法字母表示法如等几何表示法用一条有向线段表示向量如等坐标表示法在平面直角坐标系中设向量的起点为在坐标原点终点坐标为则称为的坐标记为相等向量长度相等且方向相同的向量向量可以自由平移向量只有一个其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量单位向量有无数个每一个方向都有一个单位向量共线向量方向相同或相反的非零向量叫共线向量任一组共线向量都可以移到同一直线上规定与任一向量共线注共线向量又向量的数量积这些运算的定义都是自然的它们都有明显的物理学的意义几何意义其中向量的加减法运算结果仍是向量两个向量数量积运算结果是数量研究这些运算发现它们有很好地运算性质这些运算性质为我们用向量研究问题奠定变式 4：在四边形 ABCD 中，若12ABCD，则此四边形是()A平行四边形 B菱形 C梯形 D矩形 例题 3如图，已知任意两个非零向量 a、b，试作OA a+b，OB a+2b，OC a+3b，你能判断 A、B、C 三点之间的位置关系吗？为什么？变式 1：已知OA a+2b，OB 2a+4b，OC 3a+6b (其中 a、b 是两个任意非零向量)，证明：A、B、C 三点共线 证明：ABOBOAa+2b，ACOCOA2a+4b，2ACAB 所以，A、B、C 三点共线 例题 4.已知四边形 ABCD，点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，求证：EFHG 变式 1：已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F，求证：2ABDCEF.三、平面向量的基本定理及坐标表示 例题 5.已知 a=(4，2)，b=(6，y)，且 a/b，求 y 变式 1：与向量 a=(12，5)平行的单位向量为（）A1251313，-B1251313，-C12513 13，或1251313，-D12513 13，或1251313，-变式 2：已知 a(1,2)，b,1x，当 a+2b 与 2ab 共线时，x值为（）A1 B2 C13 D12 四、平面向量的数量积 例题 6.已知|a|6，|b|4 且 a 与 b 的夹角为60，求(a+2b)(a3b)变式 1：已知向量 a 和 b 的夹角为 60，|a|3，|b|4，则（2a b）a 等于 （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 变式 2：在ABC中，已知|AB|=4，|AC|=1，SABC=3，则ABAC等于（）b a D C E F A B 向线段的长度向量的表示方法字母表示法如等几何表示法用一条有向线段表示向量如等坐标表示法在平面直角坐标系中设向量的起点为在坐标原点终点坐标为则称为的坐标记为相等向量长度相等且方向相同的向量向量可以自由平移向量只有一个其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量单位向量有无数个每一个方向都有一个单位向量共线向量方向相同或相反的非零向量叫共线向量任一组共线向量都可以移到同一直线上规定与任一向量共线注共线向量又向量的数量积这些运算的定义都是自然的它们都有明显的物理学的意义几何意义其中向量的加减法运算结果仍是向量两个向量数量积运算结果是数量研究这些运算发现它们有很好地运算性质这些运算性质为我们用向量研究问题奠定A.2 B.2 C.2 D.4 例题 7.已知 A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明 综合练习：一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）1、下列物理量不是向量的是 ()A速度 B质量 C加速度 D位移 2、将向量a，b的起点放在一起，则从a的终点到b的终点的向量是()A a+b Bab Cba D0 3、已知 A(3,4),B(5,7),则 AB ()A（8，3）B（8，3）C（8，3）D（8，3）4、已知 P(1,2),Q(5,4),则线段 PQ 的中点坐标为 ()A（3，3）B（3，3）C（2，1）D（2，1）5、化简MNMPQNPQ ()AMN2 BPN2 CMQ2 DNP2 6、已知 6,5,60aba b 则ab ()A30 B20 C15 D10 7、已知 a(1,2),b(3,5),则的值为ab ()A13 B7 C7 D11 8、与向量（3,5）垂直的向量是 ()A（3，5）B（3，5）C（3，5）D（3，5）9、在平行四边形 ABCD 中，点 A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),则点 D 坐标为 （）A（7，2）B（1，0）C（7，2）D（1，0）10、已知a(1,3),b(x,1),且a/b，则 x=()A3 B13 C3 D13 11、已知bababa,)3,5(,)5,1(则的坐标正确的是 （）A)4,3(,)1,2(ba B)3,4(,)2,1(ba 向线段的长度向量的表示方法字母表示法如等几何表示法用一条有向线段表示向量如等坐标表示法在平面直角坐标系中设向量的起点为在坐标原点终点坐标为则称为的坐标记为相等向量长度相等且方向相同的向量向量可以自由平移向量只有一个其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量单位向量有无数个每一个方向都有一个单位向量共线向量方向相同或相反的非零向量叫共线向量任一组共线向量都可以移到同一直线上规定与任一向量共线注共线向量又向量的数量积这些运算的定义都是自然的它们都有明显的物理学的意义几何意义其中向量的加减法运算结果仍是向量两个向量数量积运算结果是数量研究这些运算发现它们有很好地运算性质这些运算性质为我们用向量研究问题奠定C)4,3(,)1,2(ba D)8,7(,)2,1(ba 12、已知a=(1,2),b=(1,x),若ab,则 x 等于 ()A21 B.21 C.2 D.2 二、填空题（每小格 2 分，共 18 分）1、如果a3b0,则a与b的关系是 .2、已知a=（1，2），b=（3，y）：（1）若a/b 则 y=.（2）若ab则 y=.3、已知a=(1,5),b=(2,6)则：（1）11ab24 .（2）(a2b)(2 ab).4、已知点 A（1，2），B（-1,3），且AC3BC，则点C 的坐标为（）5,、化简：112a3b6a4a2b24 .6、已知2 ax3 bx,则x .7、已知(3,4)(5,2),AB、则AB .三、解答题（共 46 分）1、化简：(每小题 5 分，共 10 分)（1）CABACDDB （2）13 a-2b2 3ab9a-6b3 2、已知)4,3(),1,5(ba，求bababa23,坐标（9 分）向线段的长度向量的表示方法字母表示法如等几何表示法用一条有向线段表示向量如等坐标表示法在平面直角坐标系中设向量的起点为在坐标原点终点坐标为则称为的坐标记为相等向量长度相等且方向相同的向量向量可以自由平移向量只有一个其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量单位向量有无数个每一个方向都有一个单位向量共线向量方向相同或相反的非零向量叫共线向量任一组共线向量都可以移到同一直线上规定与任一向量共线注共线向量又向量的数量积这些运算的定义都是自然的它们都有明显的物理学的意义几何意义其中向量的加减法运算结果仍是向量两个向量数量积运算结果是数量研究这些运算发现它们有很好地运算性质这些运算性质为我们用向量研究问题奠定3、设 a=(2，6),b=(x,3x)且3ab 24 求 x 的值（9 分）4、已知,2,2baba,夹角为 45，求baba,（9 分）5、已知点 A（3，-6），B（-5,2），C（6，-9），求证：A，B，C 三点共线。（9 分）向线段的长度向量的表示方法字母表示法如等几何表示法用一条有向线段表示向量如等坐标表示法在平面直角坐标系中设向量的起点为在坐标原点终点坐标为则称为的坐标记为相等向量长度相等且方向相同的向量向量可以自由平移向量只有一个其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量单位向量有无数个每一个方向都有一个单位向量共线向量方向相同或相反的非零向量叫共线向量任一组共线向量都可以移到同一直线上规定与任一向量共线注共线向量又向量的数量积这些运算的定义都是自然的它们都有明显的物理学的意义几何意义其中向量的加减法运算结果仍是向量两个向量数量积运算结果是数量研究这些运算发现它们有很好地运算性质这些运算性质为我们用向量研究问题奠定