初中中考冲刺数学总复习《数形结合问题》（基础、提高）巩固练习、知识讲解.pdf

中 考 冲 刺：数 形 结 合 问 题 一 巩 固 练 习（基 础）【巩 固 练 习】一、选 择 题 1.（2016枣 庄）如 图，已 知 二 次 函 数 y=ax、bx+c（aW O）的 图 象 如 图 所 示，给 出 以 下 四 个 结 论:abc=O,a+b+c0,ab,4ac-b20 a+ba+c acVbc abacc b 0 a4.（2016通 辽）如 图 是 二 次 函 数 y=ax2+bx+c图 象 的 一 部 分，图 象 过 点 A（-3,0）,对 称 轴 为 直 线 x=-h 给 出 以 下 结 论:abc0 4b+cV0 若 B（-,y。、C（-,y2）为 函 数 图 象 上 的 两 点，则 yiy?2 2 当-3 W x W l 时，y20,5.某 医 药 研 究 所 开 发 了 一 种 新 药,在 试 验 药 效 时 发 现,如 果 成 人 按 规 定 剂 量 服 用,那 么 2 个 小 时 时 血 液 中 含 药 最 高,达 每 毫 升 6 微 克（1 微 克=10-3毫 克），接 着 逐 步 衰 减，10小 时 时 血 液 中 含 药 量 为 每 毫 升 3 微 克,每 毫 升 血 液 中 含 药 量 y（微 克）随 时 间 x（小 时）的 变 化 如 图 所 示,当 成 人 按 规 定 剂 量 服 药 后.（1）分 别 求 出 x W 2 和 x 2 2 时 y 与 x 的 函 数 解 析 式；（2）如 果 每 毫 升 血 液 中 含 量 为 4 微 克 或 4 微 克 以 上 时,在 治 疗 疾 病 时 是 有 效 的,那 么 这 个 有 效 时 间 有 多 长？6.图 1是 一 个 长 为 2m、宽 为 2n的 长 方 形，沿 图 中 虚 线 用 剪 刀 均 分 成 四 块 小 长 方 形，然 后 按 图 2 的 形 状 拼 成 一 个 正 方 形.（1）你 认 为 图 2 中 的 阴 影 部 分 的 正 方 形 的 边 长 等 于；（2）请 用 两 种 不 同 的 方 法 求 图 2 中 阴 影 部 分 的 面 积.（3）观 察 图 2 你 能 写 出 下 列 三 个 代 数 式 之 间 的 等 量 关 系 吗？（4）运 用 你 所 得 到 的 公 式，计 算 若 mn=-2,m-n=4,求（m+n）,的 值.（5）用 完 全 平 方 公 式 和 非 负 数 的 性 质 求 代 数 式 Y+2x+y2-4y+7的 最 小 值.7.为 发 展 电 信 事 业，方 便 用 户，电 信 公 司 对 移 动 电 话 采 取 不 同 的 收 费 方 式，其 中，所 使 用 的“便 民 卡”与“如 意 卡”在 某 市 范 围 内 每 月(30天)的 通 话 时 间 x(min)与 通 话 费 y(元)的 关 系 如 图 所 示:(1)分 别 求 出 通 话 费 y”与 通 话 时 间 x之 间 的 函 数 关 系 式;(2)请 帮 用 户 计 算,8.(长 宁 区 二 模)如 图，一 次 函 数 丫=2*-1(axO)的 图 象 与 反 比 例 函 数 y=*(kxO)的 图 象 相 交 于 A、xB 两 点 且 点 A 的 坐 标 为(2,1),点 B 的 坐 标(-1,n).(1)分 别 求 两 个 函 数 的 解 析 式；9.请 同 学 们 仔 细 阅 读 如 图 所 示 的 计 算 机 程 序 框 架 图，回 答 下 列 问 题：(1)如 果 输 入 值 为 2,那 么 输 出 值 是 多 少？(2)若 要 使 输 入 的 x 的 值 只 经 过 一 次 运 行 就 能 输 出 结 果，求 x 的 取 值 范 围；(3)若 要 使 开 始 输 入 的 x 的 值 经 过 两 次 运 行 才 能 输 出 结 果，那 么 x 的 取 值 范 围 又 是 多 少？10.观 察 如 图 所 包 含 规 律(图 中 三 角 形 均 是 直 角 三 角 形，且 一 条 直 角 边 始 终 为 I,四 边 形 均 为 正 方 形.sS2,S3,S”依 次 表 示 正 方 形 的 面 积，每 个 正 方 形 边 长 与 它 左 边 相 邻 的 直 角 三 角 形 斜 边 相 等)，再 回 答 下 列 问 题.(1)填 表：直 角 边 AB A 2 B 2 A3B3A 1 B 1A B 长 度 1 11.某 报 社 为 了 了 解 读 者 对 该 报 社 一 种 报 纸 四 个 版 面 的 认 可 情 况，对 读 者 做 了 一 次 问 卷 凋 查，要 求 读 者 选 出 自 己 最 喜 欢 的 一 个 版 面，并 将 调 查 结 果 绘 制 成 如 下 的 统 计 图，请 你 根 据 图 中 提 供 的 信 息 解 答 下 列 问 题.(1)在 这 次 活 动 中 一 共 调 查 了 多 少 读 者？(2)在 扇 形 统 计 图 中，计 算 第 一 版 所 在 扇 形 的 圆 心 角 度 数;(3)请 你 求 出 喜 欢 第 四 版 的 人 数，并 将 条 形 统 计 图 补 充 完 整.200015001000500【答 案 与 解 析】、选 择 题 1.【答 案】C；【解 析】:二 次 函 数 y二 ax，bx+c图 象 经 过 原 点，.c=0,.abc=O.正 确;时，y 0,.,.a+b+c 0,，不 正 确；:抛 物 线 开 口 向 下，.3 0,；抛 物 线 的 对 称 轴 是 x=-且，二-L=卫，b b,.正 确：二 次 函 数 y=ax2+bx+c图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点，/.b2-4 a c 0,4ac-b0,.正 确；综 上 可 得，正 确 结 论 有 3 个：.2.【答 案】I)；二、填 空 题 3.【答 案】；4.【答 案】；【解 析】由 图 象 可 知，a 0,b 0,.*.a b c 0,故 错 误.抛 物 线 与 x 轴 有 两 个 交 点，.b 2-4 a c 0,故 正 确.抛 物 线 对 称 轴 为 x=-1,与 x 轴 交 于 A(-3,0),.抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 为(1,0),a+b+c=O,；.b=2a,c-3a,.,.4b+c=8a-3 a=5 a 0,故 正 确.2aVB y,),C(-,y2)为 函 数 图 象 上 的 两 点，点 C离 对 称 轴 近，.2 丫 2,故 错 误,2 2由 图 象 可 知，-3 W x W l时，y 0,故 正 确.；.正 确.三、解 答 题 5.【答 案 与 解 析】解：(1)当 x 把(2,6),(10,3)代 入 上 式，得 3 27；.x 2 2 时，y=x+,8 44(2)把 y=4 代 入 y=3 x,得 xi=33 27 22把 y=4 代 入 y-x+得 xz=8 4 3则 X2-XI=6(小 时).答：这 个 有 效 时 间 为 6 小 时.6.【答 案 与 解 析】解：(1)由 图 可 知，阴 影 部 分 小 正 方 形 的 边 长 为：m-n；(2)根 据 正 方 形 的 面 积 公 式，阴 影 部 分 的 面 积 为(m-n)还 可 以 表 示 为(m+n)-4mn；(3)根 据 阴 影 部 分 的 面 积 相 等，(nrn)=(m+n)2-4mn；(4),/mn=-2,m-n=4,(m+n)J(m-n)2+4mn=42+4X(-2)=16-8=8；(5)x3+2x+y2-4y+7,=x2+2x+l+y2-4y+4+2=(x+1)2+(y-2)2+2,:(x+1)220,(y-2)20,(x+1)z+(y-2)222,.当 x=T,y=2时，代 数 式 x2+2x+y2-4y+7的 最 小 值 是 2.故 答 案 为：(1)m-n；(2)(m-n)(m+n)J-4mn；(3)(m-n)J=(m+n)-4mn.(4)8(5)最 小 值 是 2.7.【答 案 与 解 析】解：设 yi=kx+b,将(0,29),(30,35)代 入,解 得 k=,，b=29,.*.yF-x+29,5 5又 24X60X30=43200(min)(属 于 隐 含 条 件).*.y,=|x+29(0WxW43200),同 样 求 得 y2=-x(0 x43200)；-2(2)当 yi=yz时，x+29=一 x，5 2x=96；3当 yi y2时,1 1 2x+29 96.5 2 32所 以，当 通 话 时 间 等 于 96min时，两 种 卡 的 收 费 一 致,32当 通 话 时 间 小 于 96min时，“如 意 卡 便 宜”，32当 通 话 时 间 大 于 96min时，“便 民 卡”便 宜.38.【答 案 与 解 析】解：(1)一 次 函 数 y=ax-1(a=0)的 图 象 与 反 比 例 函 数 y=K(k#0)的 图 象 相 交 于 A、B 两 点 且 点 A 的 x坐 标 为(2,1),1=23-1 亭，解 得 a=llk=2一 次 函 数 的 解 析 式 是 y=x-1,反 比 例 函 数 的 解 析 式 是 y=2X(2)当 x=0 时,y=-1,S 三 角 形 AOB二 1 又|一 1卜 2+xl-llxl-2 2=1+12二 32-9.【答 案 与 解 析】解：(1)依 据 题 中 的 计 算 程 序 列 出 算 式：3X2+1,V 3X 2+1=7,79,如 果 输 入 值 为 2,那 么 输 出 值 是 22.(2)依 题 意，有 3x+l9,Q解 得 x 2；3(3)依 题 意，有 3x+l 93(3%+1)+1-9C Q解 得 二)。+=V?=2；由 此 可 以 推 断:A、B”=G,直 角 边 A)B.A2B2 A3B3 A1B1.AnBn长 度 1V 22-J n(2)S.=(V2)2=2,S2=(/3)2=3,S3=2=4,S F(石)J5,S=（Jn+）2=n+l；由 S1+S2+S3+S4+,+s=4 6 5 可 得：1+2+3+4+5+n=465-（1+n）Xn=4652解 得：n=-31（不 合 题 意 舍 去）或 n=30,故：n=30.1 L【答 案 与 解 析】解：（1）这 次 活 动 中 一 共 调 查 了 500 10%=5000（人）；（2）第 一 版 所 在 扇 形 的 圆 心 角 度 数=360 X（1-20%-40%-10%）=108；（3）喜 欢 第 四 版 的 人 数 是：5000X20%=1000（人）,如 下 图 所 示:中 考 冲 刺：数 形 结 合 问 题 一 巩 固 练 习（提 高）【巩 固 练 习】一、选 择 题 1.（2016黄 冈 模 拟）如 图 1为 深 50cm的 圆 柱 形 容 器，底 部 放 入 一 个 长 方 体 的 铁 块，现 在 以 一 定 的 速 度 向 容 器 内 注 水，图 2 为 容 器 顶 部 离 水 面 的 距 离 y（cm）随 时 间 t（分 钟）的 变 化 图 象，则（）A.注 水 的 速 度 为 每 分 钟 注 入 型 cm高 水 位 的 水 3B.放 人 的 长 方 体 的 高 度 为 30cmC.该 容 器 注 满 水 所 用 的 时 间 为 21分 钟 D.此 长 方 体 的 体 积 为 此 容 器 的 体 积 的 工 202.若 用（a）、（b）、（c）、（d）四 幅 图 像 分 别 表 示 变 量 之 间 的 关 系，请 按 图 像 所 给 顺 序，将 下 面 的、对 应 顺 序.小 车 从 光 滑 的 斜 面 上 滑 下（小 车 的 速 度 与 时 间 的 关 系）一 个 弹 簧 不 挂 重 物 到 逐 渐 挂 重 物（弹 簧 长 度 与 所 挂 重 物 的 重 量 的 关 系）运 动 员 推 出 去 的 铅 球（铅 球 的 高 度 与 时 间 的 关 系）小 杨 从 A 到 B 后，停 留 一 段 时 间，然 后 按 原 速 度 返 回（路 程 与 时 间 的 关 系）正 确 的 顺 序 是（）A.B.C.D.二 填 空 题 3.如 图，一 种 电 子 游 戏，电 子 屏 幕 上 有 一 正 六 边 形/宛 小，点 一 沿 直 线 4?从 右 向 左 移 动，当 出 现 点 一 与 正 六 边 形 六 个 顶 点 中 的 至 少 两 个 顶 点 距 离 相 等 时，就 会 发 出 警 报，则 直 线 1 6 上 会 发 出 警 报 的 点 P有 个.4.（2015秋 江 阴 市 期 中）如 图 1,圆 的 周 长 为 4 个 单 位.在 该 圆 的 4 等 分 点 处 分 别 标 上 字 母 m、n、p、q.如 图 2,先 将 圆 周 上 表 示 p 的 点 与 数 轴 原 点 重 合，然 后 将 该 圆 沿 着 数 轴 的 负 方 向 滚 动，则 数 轴 上 表 示-2014的 点 与 圆 周 上 重 合 的 点 对 应 的 字 母 是.5.（2016鄂 州 一 模）如 图 所 示,E 为 矩 形 ABCD的 边 AD上 一 点,动 点 P、Q 同 时 从 点 B 出 发，点 P沿 折 线 BE-ED-DC运 动 到 点 C 时 停 止，点 Q 沿 BC运 动 到 点 C 时 停 止，它 们 运 动 的 速 度 都 是 1cm/秒，设 P、Q 同 时 出 发 t 秒 时，BPQ的 面 积 为 ycm,已 知 y 与 t 的 函 数 关 系 图 象 如 图（2）,当 1=时，ABE与 BQP相 似.三、解 答 题 6.将 如 图 所 示 的 长 方 体 石 块（a 6 c）放 入 一 圆 柱 形 水 槽 内，并 向 水 槽 内 匀 速 注 水，速 度 为 ycm：/s,直 至 注 满 水 槽 为 止.石 块 可 以 用 三 种 不 同 的 方 式 完 全 放 入 水 槽 内，如 图 所 示.a在 这 三 种 情 况 下，水 槽 内 的 水 深/(cm)与 注 水 时 间 t(s)的 函 数 关 系 如 上 图 卜 6 所 示.根 据 图 象 完 成 下 列 问 题：(1)请 分 别 将 三 种 放 置 方 式 的 示 意 图 和 与 之 相 对 应 的 函 数 关 系 图 象 用 线 连 接 起 来：(2)水 槽 的 高 h=c m；石 块 的 长&=cm；宽 b=c m；高 c=c m；(3)求 图 5 中 直 线 切 的 函 数 关 系 式；(4)求 圆 柱 形 水 槽 的 底 面 积 S.7.在 数 学 活 动 中，小 明 为 了 求;+/+*+盘 的 值(结 果 用 表 示)，设 计 如 图 1所 示 的 几 何 图 形.(1)请 你 利 用 这 个 几 何 图 形 求+5+5+&(2)请 你 利 用 图 2,再 设 计 一 个 能 求,+-的 值 为 2的 值 的 几 何 图 形.8.(2015秋 北 京 校 级 期 中)如 图 所 示，在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，A B C 的 顶 点 B 是 y轴 正 半 轴 上 一 个 定 点，D 是 B O 的 中 点.点 C 在 x轴 上，A 在 第 一 象 限，且 满 足 AB=AO,N 是 x 轴 负 半 轴 上 一 点，Z BCN=Z BAO=a.(1)当 点 C 在 x 轴 正 半 轴 上 移 动 时，求 NBCA；(结 果 用 含 a 的 式 子 表 示)(2)当 某 一 时 刻 A(20,17)时，求 OC+BC的 值；(3)当 点 C 沿 x轴 负 方 向 移 动 且 与 点 0 重 合 时，a=,此 时 以 A 0 为 斜 边 在 坐 标 平 面 内 作 一 个 R 3 AOE(E不 与 D 重 合)，则 N A E D 的 度 数 的 所 有 可 能 值 有.(直 接 写 出 结 果)9.阅 读 材 料，解 答 问 题.利 用 图 象 法 解 一 元 二 次 不 等 式：X2-2 X-3 0.解：设 y=x?-2 x-3,则 y是 x 的 二 次 函 数.a口。，.抛 物 线 开 口 向 上.又,当 y=0 时，x2-2x-3=0,解 得 x i=-l,x?=3.由 此 得 抛 物 线 y=x2-2x-3 的 大 致 图 象 如 图 所 示.观 察 函 数 图 象 可 知：当 x 3时，y0.2.X-2x-30 的 解 集 是：x3.(1)观 察 图 象，直 接 写 出 一 元 二 次 不 等 式：X?-2x-3 0(画 出 草 图).10.(1)夜 晚，小 明 在 路 灯 下 散 步.已 知 小 明 身 高 1.5米，路 灯 的 灯 柱 高 4.5 米.如 图 1,若 小 明 在 相 距 10米 的 两 路 灯 A B、CD之 间 行 走(不 含 两 端)，他 前 后 的 两 个 影 子 长 分 别 为 FM=x米，FN=y米，试 求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式，并 指 出 自 变 量 x 的 取 值 范 围？有 言 道：形 影 不 离.其 原 意 为：人 的 影 子 与 自 己 紧 密 相 伴，无 法 分 离.但 在 灯 光 下，人 的 速 度 与 影 子 的 速 度 却 不 是 一 样 的！如 图 2,若 小 明 在 灯 柱 PQ前，朝 着 影 子 的 方 向(如 图 箭 头)，以 0.8米/秒 的 速 度 匀 速 行 走，试 求 他 影 子 的 顶 端 R在 地 面 上 移 动 的 速 度.（2）我 们 知 道，函 数 图 象 能 直 观 地 刻 画 因 变 量 与 自 变 量 之 间 的 变 化 关 系.相 信，大 家 都 听 说 过 龟 兔 赛 跑 的 故 事 吧.现 有 一 新 版 龟 兔 赛 跑 的 故 事：由 于 兔 子 上 次 比 赛 过 后 不 服 气，于 是 单 挑 乌 龟 再 来 另 一 场 比 赛，不 过 这 次 路 线 由 乌 龟 确 定 比 赛 开 始，在 同 一 起 点 出 发，按 照 规 定 路 线，兔 子 飞 驰 而 出，极 速 奔 跑,直 至 跑 到 一 条 小 河 边，遥 望 着 河 对 岸 的 终 点，兔 子 呆 坐 在 那 里，一 时 不 知 怎 么 办.过 了 许 久，乌 龟 一 路 跚 跚 而 来，跳 入 河 中，以 比 在 陆 地 上 更 快 的 速 度 游 到 对 岸，抵 达 终 点，再 次 获 胜.根 据 新 版 龟 兔 赛 跑 的 故 事 情 节，请 在 同 一 坐 标 系 内（如 图 3）,画 出 乌 龟、兔 子 离 开 终 点 的 距 离 s 与 出 发 时 间 t 的 函 数 图 象 示 意 图（实 线 表 示 乌 龟，虚 线 表 示 兔 子）.小 5【答 案 与 解 析】一、选 择 题 1.【答 案】C；【解 析】设 AB的 解 析 式 为 y=kit+b“BC的 解 析 式 为 y=k2t+b2,由 题 意 得 50=b30=3 k j+b j30=3 k9+b9,解 得：，20=9 k2+b2,201=5 0k2=4,b2=35f on1+50(0 t 3)/.y=,-1t+35(3 t 21)oA、当 0 W t W 3 时，注 水 的 速 度 为 每 分 钟 注 入 空 cm高 水 位 的 水，3当 3VtW21时，注 水 的 速 度 为 每 分 钟 注 入 c m 高 水 位 的 水；3B、由 图 象 知，那 样 放 置 在 圆 柱 体 容 器 内 的 长 方 体 的 高 为 50-30=20cm；C、令 y=0,则-至 035=0,解 得：x=21,.该 容 器 注 满 水 的 时 间 为 21秒.3D、设 每 秒 钟 的 注 水 量 为 mem：.则 下 底 面 中 未 被 长 方 体 覆 盖 部 分 的 面 积 是：处 强=心 里(cm2),3 20圆 柱 体 的 底 面 积 为：01+-g2=(21-3)!0笳.21-3 30二 者 比 为 包:迎 1：4,.长 方 体 底 面 积：圆 柱 体 底 面 积=3：4.20 5圆 柱 高：长 方 体 高=20：50=2：5,.长 方 体 体 积：圆 柱 体 体 积=6：20=3：10,圆 柱 体 的 体 积 为 长 方 体 容 器 体 积 的 卫；10故 选 C.2.【答 案】A；二、填 空 题 3.【答 案】5.【解 析】如 图，分 别 以 一 顶 点 为 定 点，连 接 其 与 另 一 顶 点 的 连 线，在 此 图 形 中 根 据 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 可 知，CD BE AF,ED FC AB,EF AD BC,EC/7FB,AE BD,AC/7FD,根 据 垂 直 平 分 线 的 性 质 及 正 六 边 形 的 性 质 可 知，相 互 平 行 的 一 组 线 段 的 垂 直 平 分 线 相 等，在 这 五 组 平 行 线 段 中，AE、BD与 AB垂 直，其 中 垂 直 平 分 线 必 与 AB平 行，故 无 交 点.故 直 线 AB上 会 发 出 警 报 的 点 P 有：CD、ED、EF、EC、AC的 垂 直 平 分 线 与 直 线 AB的 交 点，共 五 个.4.【答 案】m；【解 析】解：由 题 意 可 得，q、m、n、p 第 一 次 在 数 轴 上 对 应 的 点 为-1、-2、-3、-4,即 每 四 个 为 一 个 循 环，.2014+4=503.2数 轴 上 表 示-2014的 点 与 圆 周 上 重 合 的 点 对 应 的 字 母 是 m.故 答 案 为：m.5.【答 案】二 29秒：4【解 析】由 图 象 可 知，BC=BE=5,AB=4,AE=3,DE=2,ABE与 aBap相 似，点 E 只 有 在 CD上，且 满 足 至.昱 丝,AB AE 4 3；.t=(BE+ED+DQ)+1=5+2+(4-H)=21.4 4三、解 答 题 6.【答 案 与 解 析】(1)(1)图 1 与 图 4 相 对 应，图 2 与 图 6 相 对 应，图 3 与 图 5 相 对 应；(2)10；a=10；b=9；c=6.(3)由 题 意 可 知 C 点 的 坐 标 为(45,9),D 点 的 坐 标 为(53,10),设 直 线 CD的 函 数 关 系 式 为 h=kt+b,.J9=45k+b,10=53%+b解 得 k=，41 27直 线 CD的 函 数 关 系 式 为 h=-t+；8 8(4)石 块 的 体 积 为 abc=540cnf,根 据 图 4 和 图 6 可 得：105-540 _(10-6)5 3-53-21-解 得 S=160(cm2).7.【答 案 与 解 析】(1)设 总 面 积 为：1,最 后 余 下 的 面 积 为：,2故 几 何 图 形 的 值 为：(+*+摄+&+羡 的 值 为 1一.故 答 案 为：1-.2(2)如 图 1217F121211r8.【答 案 与 解 析】解：(1)过 A 分 别 作 AMLBC 于 E,AFLx 轴 于 F,则/AMB=NAF0=90,设 AO 与 BC 交 于 点 P,在 aABP 和 COP 中，ZBA0=ZBCN,NBPA=NCP0,/.ZABP=ZC0P,即 NABM=NA0F,在 ABM和 aAOP中，NAMB=NAF0 Z ABM=Z AOFAB=AO.,.ABMAAOF(AAS),，AM=AF,，CA 平 分 NBCF,NBCA=/N B C F-ZBCN=a,二 ZBCM=180-a,ZBCA=90-5 a；2(2)V AABMAAOF,AACMAACF,，BM=OF,CM=CF,VOC+BC=OC+BM+CM,.*.0C+BC=0C+0F+CF=20F,VA(20,17),，0F=20,.0C+BC=40；(3)当 点 C 沿 x 轴 负 方 向 移 动 且 与 点 0 重 合 时，V x 轴 与 y 轴 垂 直，a=90,此 时 以 A0为 斜 边 在 坐 标 平 面 内 作 一 个 RlZkAOE(E不 与 D 重 合)，则/AED的 度 数 的 所 有 可 能 值 有 ZAED=45 或 135.故 答 案 为：90；45或 135.9.【答 案 与 解 析】解:(1)-lx0,抛 物 线 开 口 向 上.又 V 当 y=0 时，x?T=0,解 得 Xi=T,x2=l.由 此 得 抛 物 线 y-x2-l的 大 致 图 象 如 图 所 示.观 察 函 数 图 象 可 知：当 x l 时，y0.解:(1)VEF/7AB,/.ZMEF=ZA,ZMFE=ZB./.MEFAMAB.叽 E F J 5 JO AB T 5 3.壬 J,MB=3x BF=3x-x=2x.M B 3同 理,DF=2y.VBD=10,A2x+2y=10,y=x+5,当 EF接 近 AB时，影 长 FM接 近 0；当 EF接 近 CD时，影 长 FM接 近 5,OVxVl,3AB 如 图 2 所 示，设 运 动 时 间 为 t 秒 VEF/7PQ,A ZREF=ZRPQ,ZRFE=ZRQP,AAREFARPQ,.RE_EF_1.5_1RP_PQ_4.5-3APE_2而 qVEE,RR,/PEE=/PRR,/PE E=/PR.PEE PRR,EE _PERR，-RP.0.8t_2RR，-3ARR,=1.2t，子=号=1.2（米/秒）/子=Pb（2）如 图 3 所 示.cN F M Dr勘）,则 EE=FF=0.8t,R,9=1.2（米/秒）中 考 冲 刺：数 形 结 合 问 题 一 知 识 讲 解(基 础)责 编：常 春 芳【中 考 展 望】1.用 数 形 结 合 的 思 想 解 题 可 分 两 类：(1)利 用 几 何 图 形 的 直 观 性 表 示 数 的 问 题，它 常 借 用 数 轴、函 数 图 象 等；(2)运 用 数 量 关 系 来 研 究 几 何 图 形 问 题，常 常 要 建 立 方 程(组)或 建 立 函 数 关 系 式 等.2.热 点 内 容：在 初 中 教 材 中，“数”的 常 见 表 现 形 式 为：实 数、代 数 式、函 数 和 不 等 式 等，而“形”的 常 见 表 现 形 式 为：直 线 型、角、三 角 形、四 边 形、多 边 形、圆、抛 物 线、相 似、勾 股 定 理 等.在 直 角 坐 标 系 下，一 次 函 数 图 象 对 应 一 条 直 线，二 次 函 数 的 图 像 对 应 着 一 条 抛 物 线，这 些 都 是 初 中 数 学 的 重 要 内 容.【方 法 点 拨】数 形 结 合：就 是 通 过 数 与 形 之 间 的 对 应 和 转 化 来 解 决 数 学 问 题,它 包 含“以 形 助 数”和“以 数 解 形”两 个 方 面.利 用 它 可 使 复 杂 问 题 简 单 化，抽 象 问 题 具 体 化,它 兼 有“数 的 严 谨”与“形 的 直 观”之 长，是 优 化 解 题 过 程 的 重 要 途 径 之 一,是 一 种 基 本 的 数 学 方 法.数 形 结 合 解 题 基 本 思 路：“数”和“形”是 数 学 中 两 个 最 基 本 的 概 念，每 一 个 几 何 图 形 中 都 蕴 含 着 与 它 们 的 形 状、大 小、位 置 密 切 相 关 的 数 量 关 系；反 之，数 量 关 系 又 常 常 可 以 通 过 几 何 图 形 做 出 直 观 地 反 映 和 描 述.数 形 结 合 的 实 质 就 是 将 抽 象 的 数 学 语 言 与 直 观 的 图 形 结 合 起 来，使 抽 象 思 维 和 形 象 思 维 结 合 起 来,在 解 决 代 数 问 题 时,想 到 它 的 图 形,从 而 启 发 思 维,找 到 解 题 之 路；或 者 在 研 究 图 形 时,利 用 代 数 的 知 识,解 决 几 何 的 问 题.实 现 了 抽 象 概 念 与 具 体 图 形 的 联 系 和 转 化，化 难 为 易，化 抽 象 为 直 观.特 别 是 二 次 函 数，不 仅 是 学 生 学 习 的 难 点 之 一，同 时 也 使 数 形 结 合 的 思 想 方 法 在 中 学 数 学 中 得 到 最 充 分 体 现.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，二 次 函 数 图 象 的 开 口 方 向、顶 点 坐 标、对 称 轴 以 及 与 坐 标 轴 的 交 点 等 都 与 其 系 数 a,b,c 密 不 可 分.事 实 上，a 的 符 号 决 定 抛 物 线 的 开 口 方 向,b 与 a 一 起 决 定 抛 物 线 的 对 称 轴 的 位 置，c 决 定 了 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 位 置，与 a、b 一 起 决 定 抛 物 线 顶 点 坐 标 的 纵 坐 标，抛 物 线 图 形 的 平 移，只 是 顶 点 坐 标 发 生 变 化，其 实 从 代 数 的 角 度 看 是 b、c 的 有 关 变 化.在 日 常 的 数 学 学 习 中 应 注 意 养 成 数 形 相 依 的 观 念，有 意 识 培 养 数 形 结 合 思 想，形 成 数 形 统 一 意 识，提 高 解 题 能 力.“数 缺 形 时 少 直 观，形 缺 数 时 难 入 微.”总 之，要 把 数 形 结 合 思 想 贯 穿 在 数 学 学 习 中.数 与 形 及 其 相 互 关 系 是 数 学 研 究 的 基 本 内 容.【典 型 例 题】类 型 一、利 用 数 形 结 合 探 究 数 字 的 变 化 规 律 C 1.如 图 所 示，把 同 样 大 小 的 黑 色 棋 子 摆 放 在 正 多 边 形 的 边 上，按 照 这 样 的 规 律 摆 下 去，则 第 个 图 形 需 要 黑 色 棋 子 的 个 数 是 _.【思 路 点 拨】首 先 计 算 几 个 特 殊 图 形，发 现：数 出 每 边 上 的 个 数，乘 以 边 数，但 各 个 顶 点 的 重 复 了 一 次，应 再 减 去.第 1 个 图 形 是 2X3-3,第 2 个 图 形 是 3X4-4,第 3 个 图 形 是 4X5-5,按 照 这 样 的 规 律 摆 下 去，则 第 n 个 图 形 需 要 黑 色 棋 子 的 个 数 是(n+1)(n+2)-(n+2)=n、2n.【答 案 与 解 析】第 1个 图 形 是 三 角 形，有 3 条 边，每 条 边 上 有 2 个 点，重 复 了 3 个 点，需 要 黑 色 棋(2X3-3)个；第 2 个 图 形 是 四 边 形，有 4 条 边，每 条 边 上 有 3 个 点，重 复 了 4 个 点，需 要 黑 色 棋 子(3X4-4)个;第 3 个 图 形 是 五 边 形，有 5 条 边，每 条 边 上 有 4 个 点，重 复 了 5 个 点，需 要 黑 色 棋 子(4X5-5)个;按 照 这 样 的 规 律 摆 下 去，则 第 n 个 图 形 需 要 黑 色 棋 子 的 个 数 是(n+1)(n+2)-(n+2)=n(n+2).故 答 案 为 n(n+2)=n+2n.【总 结 升 华】这 样 的 试 题 从 最 简 单 的 图 形 入 手.找 出 图 形 中 黑 点 的 个 数 与 第 n 个 图 形 之 间 的 关 系，找 规 律 需 要 列 出 算 式，一 律 采 用 原 题 中 的 数 据，不 要 用 到 计 算 出 来 的 结 果 来 找 规 律.举 一 反 三：【变 式】用 棋 子 按 下 列 方 式 摆 图 形，依 照 此 规 律，第 n 个 图 形 比 第(n-1)个 图 形 多 一 枚 棋 子.第 1个 第 2个 第 3个【答 案】解：设 第 n 个 图 形 的 棋 子 数 为 第 1个 图 形，SF1;第 2 个 图 形，S?=l+4；第 3 个 图 形，Sa=l+4+7；第 n 个 图 形,S=l+4+-+3n-2；第(n-1)个 图 形，S.1=l+4+-+3(n-1)-2；则 第 n 个 图 形 比 第(n-1)个 图 形 多(3n-2)枚 棋 子.类 型 二、利 用 数 形 结 合 解 决 数 与 式 的 问 题 C 2.已 知 实 数 a、b、c 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示，化 简|a+bHc-b|的 结 果 是().c a 0 bA.a+c B.-a-2b+c C.a+2b-c D.-a-c【思 路 点 拨】首 先 从 数 轴 上 a、b、c 的 位 置 关 系 可 知：c 0 且|b|a|,接 着 可 得 a+b0,c-b0,然 后 即 可 化 简 la+b-|c-b|可 得 结 果.具 体 步 骤 为：a,b,c的 具 体 位 置，在 原 点 左 边 的 小 于 0,原 点 右 边 的 大 于 0.比 较 绝 对 值 的 大 小.|a|c|V|b|.化 简 原 式 中 的 每 一 部 分，看 看 绝 对 值 内 部(二 次 根 式 中 的 被 开 方 数 的 底 数)的 性 质，若 大 于 零，直 接 提 出 来，若 小 于 零，则 取 原 数 的 相 反 数.进 行 化 简 计 算，得 出 最 后 结 果.【答 案 与 解 析】解：从 数 轴 上 a、b、c 的 位 置 关 系 可 知：ca 0 且|b|a|,故 a+b0,c-b0,即 有 Ia+bI-1c-bI=a+b+c-b=a+c.故 选 A.【总 结 升 华】此 题 主 要 考 查 了 利 用 数 形 结 合 的 思 想 和 方 法 来 解 决 绝 对 值 与 数 轴 之 间 的 关 系，进 而 考 察 了 非 负 数 的 运 用.数 轴 的 特 点：从 原 点 向 右 为 正 数，向 左 为 负 数，及 实 数 与 数 轴 上 的 点 的 对 应 关 系.非 负 数 在 初 中的 范 围 内，有 三 种 形 式：绝 对 值（|a|）,完 全 平 方 式（a土 bT，二 次 根 式（J Z（a N O）.性 质：非 负 数 有 最 小 值 是 0;几 个 非 负 数 的 和 等 于 0,那 么 每 一 个 非 负 数 都 等 于 0.类 型 三、利 用 数 形 结 合 解 决 代 数 式 的 恒 等 变 形 问 题 C 3.图 是 一 个 边 长 为（加+）的 正 方 形，小 颖 将 图 中 的 阴 影 部 分 拼 成 图 的 形 状，由 图 和 图 能 验 证 的 式 子 是()A.(，”+-(m-ri)1=4mnC.(m-n)2+2mn-tn2+n2B.(m+n)2(m2+n2)=2mnD.(m+n)(m n)=m2 n2图【思 路 点 拨】这 是 完 全 平 方 公 式 的 几 何 背 景，用 几 何 图 形 来 分 析 和 理 解 完 全 平 方 公 式 的 实 质.是 一 个 很 典 型 的“数 形 结 合”的 例 子，用 图 形 的 变 换 来 帮 助 理 解 代 数 学 中 的 枯 燥 无 味 的 数 学 公 式.根 据 图 示 可 知，阴 影 部 分 的 面 积 是 边 长 为（m+n）的 正 方 形 的 面 积 减 去 中 间 白 色 的 小 正 方 形 的 面 积（m+r?）,即 为 对 角 线 分 别 是 2m,2n的 菱 形 的 面 积.据 此 即 可 解 答.【答 案】B.【解 析】（m+n）J（m2+n2）=2mn.故 选 B.【总 结 升 华】本 题 是 利 用 几 何 图 形 的 面 积 来 验 证（m+n）2-（m W）=2mn,解 题 关 键 是 利 用 图 形 的 面 积 之 间 的 相 等 关 系 列 等 式.举 一 反 三：【变 式】如 图 1 是 一 个 长 为 2m,宽 为 2n的 长 方 形，沿 图 中 虚 线 用 剪 刀 均 分 成 四 块 小 长 方 形，然 后 按 图 2 的 形 状 拼 成 一 个 空 心 正 方 形.（1）你 认 为 图 2 中 的 阴 影 部 分 的 正 方 形 的 边 长 是 多 少？（2）请 用 两 种 不 同 的 方 法 求 出 图 2