北京市2023年第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题（含答案解析）.pdf

北 京 市 2023年 第 一 次 普 通 高 中 学 业 水 平 合 格 性 考 试 数 学 试 题 学 校:姓 名：班 级:考 号：一、单 选 题 1.已 知 全 集。=1 2 3,4,集 合 A=1,2,则 七 4=（）A.1,3 B.2,32.不 等 式 f 0 的 解 集 是()A.x|x=O C.x|x0)3.函 数 x)=x-1的 零 点 是()A.2 B.1C.1,4 D.3,4B.x|x*OjD.xx。C.1 D.24.在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y中，角 a 以。为 顶 点，以。x 为 始 边，终 边 经 过 点（-1,1）,则 角 a 可 以 是（）5.已 知 三 棱 柱 A B C-A q G 的 体 积 为 1 2,则 三 棱 锥 A-A 4 G的 体 积 为（）A.3 B.4 C.6 D.86.已 知 sin a=则 sin(a)=()A.-1B.；C.-D.正 222 27.l g l 0 0=()A.-1 0 0 B.100 C.-2 D.28.如 图，点。为 正 六 边 形 A8CQEF的 中 心，下 列 向 量 中，与。4相 等 的 是（）C.FO D.CO9.下 列 函 数 中，在 R 上 为 增 函 数 的 是（）A.x)=x B./(x)=x2C./(x)=2x D./(x)=cosx10.已 知 向 量 0=(2/)，b=(?,2).若 漏 b，则 实 数 机=()A.0 B.2 C.4 D.611.已 知 a,b R,且+b=2.当 取 最 大 值 时，()A.a=0,h=2 B.a=2 9 b=0C.=1,b 1 D.a=ir b=312.将 函 数 y=iog2x的 图 象 向 上 平 移 1个 单 位 长 度，得 到 函 数 y=/(x)的 图 象，则 力=()A.Iog2(x+1)B.1+log,xC.log2(x-l)D.-l+log2x13.四 棱 锥 P ABC。如 图 所 示，则 直 线 PC()C.与 直 线 BQ平 行 D.与 直 线 B。是 异 面 直 线 14.在 ABC 中，a=,b=,c=0 则 N C=()A.60 B.75 C.90 D.12015.已 知 a,h e R,贝 a=力=0 是 a+b=0”的()A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 16.向 量”，6 在 正 方 形 网 格 中 的 位 置 如 图 所 示.若 网 格 中 每 个 小 正 方 形 的 边 长 为 1,则 卜-*()试 卷 第 2 页，共 7 页C.272 D.31 7.已 知 函 数“*）=而=若 y=x）的 图 象 经 过 原 点，则“X）的 定 义 域 为（）A.0,+8）B.-oo,0）C.1,+0A.2 B.1 C.-2 D.-12 0.某 校 学 生 的 体 育 与 健 康 学 科 学 年 成 绩 s 由 三 项 分 数 构 成，分 别 是 体 育 与 健 康 知 识 测 试 分 数“，体 质 健 康 测 试 分 数 6 和 课 堂 表 现 分 数 C,计 算 方 式 为 s=a x 2 0%+匕 x 4 0%+c x 4 0%.学 年 成 绩 s 不 低 于 8 5时 为 优 秀，若 该 校 4 名 学 生 的 三 项 分 数 如 下：a b c甲 85 85 90乙 90 85 80丙 85 80 85T 85 80 90则 体 育 与 健 康 学 科 学 年 成 绩 为 优 秀 的 学 生 是（）A.甲 和 乙 B.乙 和 丙 C.丙 和 丁 D.甲 和 丁二、填 空 题 21.已 知 复 数 Z2=l+2i,z2=2-i,则 Z|+z 2=.22.在 A B C 中，a=2,ZA=30,则 一-=_.sin B三、双 空 题 23.某 校 初 一 年 级 共 有 三 个 班，为 了 解 课 外 阅 读 情 况，随 机 抽 取 部 分 学 生 调 查 他 们 一 周 的 课 外 阅 读 时 长（单 位：小 时），整 理 数 据 得 到 下 表：1班 8 9 10 11 11 152 班 7 7 8 9 9 11 123 班 5 7 9 9 9 10 14 设 样 本 中 1班 数 据 的 均 值 为-2 班 数 据 的 均 值 为 外，则 从 外（填“”或 V”）；设 样 本 中 2班 数 据 的 方 差 为 s；,3班 数 据 的 方 差 为 s；,则$学（填”或 四、填 空 题 24.如 图，在 正 方 体 ABCD-A B Q 中，。是 正 方 形 A B C D 及 其 内 部 的 点 构 成 的 集 合.给 出 下 列 三 个 结 论:VPwC,A,PA.2 w d P/B,C.VPwC,A/与 B Q 不 垂 直.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是 试 卷 第 4 页，共 7 页五、解 答 题 25.已 知 函 数/(x)=l+sin2x.求 x)的 最 小 正 周 期；(2)求/(x)的 最 大 值，并 写 出 相 应 的 一 个 x 的 值.26.已 知 y=x)是 定 义 在 区 间-2,2 上 的 偶 函 数，其 部 分 图 像 如 图 所 示.(2)补 全 y=/(x)的 图 像，并 写 出 不 等 式/(的*1 的 解 集.六、填 空 题 27.阅 读 下 面 题 目 及 其 解 答 过 程.如 图，在 直 三 棱 柱 A B C-A耳 G 中，ABJ.AC,D,E分 别 为 BC,A 4 的 中 点.(1)求 证：D E/平 面 A A C G；(2)求 证：ABIDE.解：(1)取 A G 的 中 点 凡 连 接 EF,F C,如 图 所 示.在 A A耳 G 中，E,尸 分 别 为 A,A C的 中 点，所 以 E F/B C，EF=B.由 题 意 知，四 边 形 B乃 C四 为.因 为。为 8 c 的 中 点，所 以。C/B C，DC=3 G.所 以 所 OC,EF=DC.所 以 四 边 形 OCFE为 平 行 四 边 形，所 以 DE/CF.又，匚 平 面 4 人。；，所 以，D E/平 面 AACC-(2)因 为 ABC-4 8 c 为 直 三 棱 柱，所 以 AA，平 面 A8C.又 A 8 u平 面 A 8 C,所 以.因 为 A B/A C,且 AAI AC=A,所 以.又 C F u平 面 AACG，所 以 A 8_L B.因 为，所 以 AB_LDE.以 上 题 目 的 解 答 过 程 中，设 置 了 五 个 空 格，如 下 的 表 格 中 为 每 个 空 格 给 出 了 两 个 选 项，其 中 只 有 一 个 符 合 逻 辑 推 理.请 选 出 符 合 逻 辑 推 理 的 选 项，并 填 写 在 答 题 卡 的 指 定 位 置(只 需 填 写“A”或 B”).试 卷 第 6 页，共 7 页 空 格 序 号 选 项 A.矩 形 B.梯 形 A,小 仁 平 面 AACC|B.Q E u 平 面 4ACC|A BC LA,A B A B 1 AiA A.A fi工 平 面 AACG B.B C/平 面 AACG A.DE=CF B.DEHCF七、解 答 题 2 8.给 定 正 整 数 1 2,设 集 合 用=（占,七,）忖 0,1/=1,2,，耳.对 于 集 合 M 的 子 集 A,若 任 取 A 中 两 个 不 同 元 素（加 为，%），（2,，z j,有 y+2+y=Z|+Z2+Z*,且 y+Z|,y2+z2,.然+Z 中 有 且 只 有 一 个 为 2,则 称 A具 有 性 质 P.当 左=2时，判 断 4=（1,0）,（。,1）是 否 具 有 性 质 P；（结 论 无 需 证 明）（2）当=3时，写 出 一 个 具 有 性 质 P 的 集 合 4（3）当=4时，求 证：若 A 中 的 元 素 个 数 为 4,则 A不 具 有 性 质 P.参 考 答 案:I.D【分 析】根 据 补 集 的 定 义 计 算 即 得.【详 解】因 为 U=1,2,3,4,A=1,2,所 以 d A=3,4：故 选：D.2.B【分 析】由 二 次 函 数 的 性 质，解 二 次 不 等 式.【详 解】当 x=0时，x2=0；当 x*0 时，x2 0，所 以 不 等 式 x2 0 的 解 集 是 x|x*0.故 选：B3.C【分 析】根 据 零 点 的 定 义 求 解.【详 解】令/(x)=x l=0,则 x=l；故 选：C.4.C【分 析】根 据 广 义 角 的 定 义 角 和 正 切 函 数 值 求 解.1 QjT【详 解】由 题 意 tan a=A=-l,并 且 点(一 1,1)在 第 二 象 限，=；故 选：C.5.B【分 析】由 棱 锥 体 积 公 式 可 知，棱 锥 的 体 积 是 等 底 等 高 的 棱 柱 体 积 的 g,计 算 即 可.【详 解】三 棱 锥 A-A B C与 三 棱 柱 ABC-A与 G 等 底 等 高，则 三 棱 锥 4-A B C的 体 积 是 三 棱 柱 A8C-4 8 体 积 的 g,即 三 棱 锥 A-4 8 的 体 积 为 4.故 选：B6.A【分 析】根 据 诱 导 公 式 求 解 即 可.【详 解】由 诱 导 公 式 得 sin(-a)=-s i n a,答 案 第 1页，共 8 页故 选：A.7.D【分 析】根 据 对 数 运 算 规 则 计 算.【详 解】lglOO=lglO2=21glO=2；故 选：D.8.A【分 析】根 据 相 等 向 量 的 定 义 即 可 得 答 案.【详 解】解：因 为 相 等 向 量 是 指 长 度 相 等 且 方 向 相 同 的 向 量,0 为 正 六 边 形 ABCOE/的 中 心，所 以 与 Q 4模 相 等 求 且 方 向 相 同，所 以 是 相 等 向 量，故 A 正 确；E。与 0 A只 是 模 相 等 的 向 量，故 B 错 误；尸。与 0 A只 是 模 相 等 的 向 量，故 C 错 误；C。与。4 只 是 模 相 等 的 向 量，故 D 错 误.故 选：A.9.C【分 析】利 用 初 等 函 数 的 单 调 性 即 可 求 解.【详 解】对 于 A,由 一 次 函 数 的 性 质 知，因 为 左=-1 0,所 以/(x)=-x 在 R 上 为 减 函 数,故 A 错 误；对 于 B f(x)=x2,由 于 2)=一 2),所 以 F(x)=V 在 R 上 不 单 调,故 B 错 误；对 于 C,由 指 数 函 数 的 性 质 知，/(x)=2 在 R 上 为 增 函 数，故 C 正 确；对 于 D,由 余 弦 函 数 知，/(x)=8 s x 在 R 上 不 单 调，故 D 错 误.故 选：C.10.C【分 析】利 用 平 面 向 量 共 线 的 坐 标 表 示 可 得 出 关 于 实 数 m 的 等 式，解 之 即 可.【详 解】因 为 向 量。=(2,1),6=(?,2)且。力，则=2x2=4.故 选：C.11.C答 案 第 2 页，共 8 页【分 析】由 题 意 可 得 a=2-b,ab=-(b-1)2,由 二 次 函 数 的 性 质 即 可 得 必 取 最 大 值 时 的 条 件，从 而 即 可 得 答 案.【详 解】解：因 为。+6=2,所 以 a=2-6,所 以，乃=(2-勿 6=-从+2人=1-(6-1)2,所 以 当 6=1时，而 有 最 大 值 1,此 时 a=2 8=1.故 选：C.12.B【分 析】根 据 函 数 平 移 变 换 进 行 求 解 即 可.【详 解】将 函 数 y=log?x的 图 象 向 上 平 移 1个 单 位 长 度，得 到 函 数 V=l+log2X.故 选：B.13.D【分 析】根 据 异 面 直 线 的 定 义 即 可 求 解.【详 解】根 据 异 面 直 线 的 定 义，不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 叫 做 异 面 直 线，可 以 判 断 直 线 尸 C与 直 线 AZ)、直 线 8。是 异 面 直 线.故 选：D.14.D【分 析】运 用 余 弦 定 理 求 解.【详 解】由 余 弦 定 理 得：c o s e二 一 c2=匕 g,0 C 1 8 0/.C=120lab 2 x lx l 2故 选：D.15.A【分 析】根 据“充 分 必 要 条 件”的 定 义 求 解.【详 解】如 果。=0,则 有+。=0,是 充 分 条 件；如 果。+人=0,贝!J有。=-5,但 不 能 推 出 a=6=0,比 如 a=l,A=T+8=0,不 是 必 要 条 件；所 以“a=0”是 Q+A=O”的 充 分 不 必 要 条 件；故 选：A.答 案 第 3 页，共 8 页16.B【分 析】运 用 坐 标 计 算 向 量 的 模.【详 解】由 图 形 可 知：=(3,1),/?=(1,2),.,.a-Z?=22+(-1)-=75；故 选：B.17.A【分 析】利 用 点 在 函 数 的 图 象 上 及 偶 次 根 式 有 意 义 即 可 求 解.【详 解】因 为 函 数 的 图 象 经 过 原 点，所 以 JO+a=0,解 得。=0,所 以 函 数/(X)的 解 析 式 为 f(x)=4.要 使/(x)=正 有 意 义，只 需 要 x20,所 以.“X)的 定 义 域 为 0,+).故 选：A.18.A【分 析】根 据 古 典 概 型 概 率 公 式 计 算.【详 解】验 证 码 的 最 后 一 个 数 字 有 10种 不 同 结 果，其 中 奇 数 占 5 种，所 以 收 到 的 验 证 码 的 最 后 一 个 数 字 是 奇 数 的 概 率 为 3.故 选：A19.D【分 析】分 段 函 数，分 别 求 函 数 在 两 个 定 义 区 间 内 的 最 小 值，即 可 得 到 函 数 最 小 值.【详 解】当 X 4 0 时，/(x)=W=1,x=0,/(x)有 最 小 值 1；当 x 0 时，/(X)=X2-2 X=(X-1)2-1,X=,f(x)有 最 小 值-1；所 以 的 最 小 值 是-1.故 选：D20.D【分 析】根 据 题 目 提 供 的 公 式 分 别 计 算 甲 乙 丙 丁 的 s值，按 照“优 秀”的 定 义 求 解.【详 解】由 题 意，甲 的 s值=85 x 20%+85x40%+90 x 40%=87；答 案 第 4 页，共 8 页2 一 b故!一 而 万,所 以 蓊 乙 的 S 值=90 x20%+85 x 40%+80 x40%=84；丙 的 s 值=85 X 20%+80X 40%+85X40%=83；丁 的 s 值=85 X 20%+80X 40%+90X 40%=85；其 中 s值 大 于 等 于 85的 是 甲 和 丁；故 选：D.21.3+i#i+3【分 析】利 用 复 数 的 加 法 法 则 即 可 求 国【详 解】因 为 z?=l+2i,z2=2-i,所 以 Z1+Zz=l+2i+2-i=3+i.故 答 案 为：3+i.22.4【分 析】利 用 正 弦 定 理 直 接 求 解 即 可.【详 解】由 正 弦 定 理 可 得，=二 sin A sin B故 答 案 为：4.23.，：-7设 样 本 中 3 班 数 据 的 均 值 为 外，则 3=(5+7+9+9+9+10+14)=9,7所 以$=g(-2)2+(-2)2+(-l)2+O2+O2+22+32=y,s；=j(-4)2+(-2)2+02+02+02+12+52=y,所 以 s；:.24.【分 析】(1)A4J平 面 A8C。，即 可 判 断.；(2)利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 证 明 线 线 平 行,即 可 判 断.(3)利 用 线 面 垂 直 的 判 定 证 明 平 面 A 8 G R,过 A 作 平 面 A B G R 的 平 行 面 答 案 第 5 页，共 8 页与 平 面 43CD的 交 线 在 正 方 形 A8C。外，即 可 判 断.【详 解】对 于，4 4 _ 1平 面 4 8。，寸。，4 尸 2 4 4,故 正 确；对 于，当 户 到 达。点 时，P/BXC,.d B/O C,A 向=O C,，A向 C。是 平 行 四 边 形,D/BtC,.AtP/BtC,.-.3P eQ,A P 与 C,故 正 确；对 于，BQ J_BG，B|C _LAB,;.BC _ L平 面 A8GR过 片 作 平 面 A8G。的 平 行 面 AtBtEF与 平 面 ABC。的 交 线 EF在 正 方 形 ABCD外,.-.V PeQ,A P与 B C不 垂 直，故 正 确；故 答 案 为：.2 5.兀；冗 最 大 值 为 2,相 应 的 一 个 x 的 值 为;.4【分 析】(1)根 据 周 期 公 式 即 得；(2)根 据 正 弦 函 数 的 性 质 即 得.【详 解】(1)因 为 x)=l+sin2x,所 以 x)的 最 小 正 周 期(2)因 为/(x)=l+sin2x,7T IT当 2x=+2E,&Z,即 x=+E,左 Z 时，sin 2x有 最 大 值 1,2 4所 以/(x)=l+sin2x的 最 大 值 为 2,此 时 x=：+E/e Z,答 案 第 6 页，共 8 页故 相 应 的 一 个 X 的 值 可 取?.426.(1)1(2)作 图 见 解 析，-2,-1 1,2【分 析】(1)根 据 偶 函 数 的 性 质 计 算；(2)根 据 偶 函 数 的 性 质 以 及 函 数 图 像 计 算.【详 解】(1)由 图 可 知，1)=1，因 为/(x)是 偶 函 数，所 以/(-1)=/(1)=1;y=/(x)的 图 像 如 上 图，不 等 式“X)21的 解 集 为-2,7 1,2；综 上，/(-1)=1,“X)的 解 集 为-2,-1 1,2,27.(1)A；A；(2)B；A；B【分 析】根 据 逻 辑 推 理 过 程，结 合 直 棱 柱 的 性 质、线 面 平 行(垂 直)的 判 定 或 性 质 确 定 各 空 格 应 补 充 的 条 件.【详 解】根 据 直 棱 柱 的 结 构 特 征 及 给 定 的 条 件 知：结 论 为 四 边 形 B田 C G 为 矩 形，填 A；由 线 面 平 行 的 判 定 条 件，条 件 中 缺。平 面 A A C G，填 A；由 线 面 垂 直 的 性 质 知：结 论 为 AB 1 4 4，填 B；由 线 面 垂 直 的 判 定 知：结 论 为 转 工 平 面 A A C G，填 A；根 据 尸 及 所 得 结 论 为/W_LE,条 件 成 为 D E U C F,填 B.故 答 案 为：A,A,B,A,B28.(1)A不 具 有 性 质 P；叱(1,1,(1,0,1)；答 案 第 7 页，共 8 页(3)证 明 见 解 析.【分 析】(1)根 据 题 设 新 定 义 即 可 判 断；(2)根 据 定 义 即 可 写 出；(3)若 A 中 的 元 素 个 数 为 4,假 设 A 具 有 性 质 P,设%+%+%+%=4+2 2+23+2 4=机，然 后 根 据 条 件 推 出 矛 盾，进 而 即 得.【详 解】根 据 题 设 定 义 可 知 A=(1,0),(0)不 具 有 性 质 P;(2)当=3 时，A=(1,1,0),(1,0,1),1+1+0=1+0+1,且 1+1,1+0,0+1 中 有 且 只 有 一 个 为 2,满 足 性 质 P；(3)当 我=4 时，若 A 中 的 元 素 个 数 为 4,假 设 A 具 有 性 质 P,即 任 取 A 中 两 个 不 同 元 素(%,%，%，%)，(Z),z2,z3,z4)有 y+必+%+%=4+22+23+24，y+Z1,y2+z2,y3+z3,X.+Z4 中 有 且 只 有 一 个 为 2.设 y+%+%+丫 4=4+Z2+Z3+z4=旭；则 相 0,1,2,3,4.当，=1 时，由 得 A=(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),不 满 足，矛 盾.当 帆=2 时，由 得 A=(1,1,0,0),(1,0,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1),由 得(1,1,0,0)与(0,0,1,1)不 同 时 在 A 中；(1,0,1,0)与(0,1,0,1)不 同 时 在 A 中；(1,0,0,1)与(0,1,1,0)不 同 时 在 4 中，所 以 A 中 元 素 个 数 至 多 为 3,矛 盾.当 根=3 时，由 得 A=(1,1,1,0),(1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1),不 满 足，矛 盾.当 机=0 或 加=4 时，不 满 足 A 中 的 元 素 个 数 为 4,矛 盾.所 以 假 设 不 成 立，即 A 不 具 有 性 质 尸.【点 睛】数 学 中 的 新 定 义 题 目 解 题 策 略：仔 细 阅 读，理 解 新 定 义 的 内 涵；根 据 新 定 义,对 对 应 知 识 进 行 再 迁 移.答 案 第 8 页，共 8 页