第二十三届 “希望杯”全国数学邀请赛初一第二试 含答案_中学教育-竞赛题.pdf

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 初一 第 2 试 上午 9：00 至 11：00 得分 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。1.下面四个命题：（1）若两个角是同旁内角，则这两个角互补。（2）若两个角互补，则这两个角是同旁内角。（3）若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补。（4）若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角。其中错误的命题的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2.若两位自然数ab的质数，且交换数字后的两位数ba也是质数，则称ab为绝对质数，于是两位数中的所有绝对质数的乘积的个位数是（）（A）1 （B）3 （C）7 （D）9 3.如图 1，将边长为 4cm的等边ABC沿边 BC向右平移 2cm得DEF，DE与 AC交于点 G，则 ABCABFDSS:四边形（）（A）3：2 （B）2：1 （C）5：2 （D）3：1 4.有理数cba,在数轴上的位置如图 2 所示，O为原点，则代数式 ccaabba（）（A）ca23 （B）caba2（C）ba2 （D）a3 5.The perimeter of a triangle is 18,while each side is an integer,if the longest side is not a prime number,then the number of such triangle is()（A）4 （B）5 （C）6 （D）7（英汉小词典：perimeter of a triangle 三角形的周长；prime number 质数）6.77 可以表示成)2(nn个连续自然数的和，则n的值 的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 7.如图 3，ABC中，90 BCA，点 E在边 CA上，点 D和 F在边 BA上，若 BC=CD=DE=EF=FA，则 A（）（A）20 （B）18 （C）15 （D）12 8.已知 x,y 是非负整数，且使3421yx是整数，那么这样的数对(x,y)有（）个。（A）1 （B）2 （C）3 （D）2012 9.身高两两不同的 30 个学生面向老师站成一排，其中恰有 11 个学生高于自己左侧相邻的同学，那么高于自己右侧相邻同学的学生有（）人。（A）11 （B）12 （C）18 （D）19 10.若 x+y=3,xy=-1,则55yx（）（A）33（B）231 （C）123 （D）312 二、填空题（每小题 4 分，共 40 分）11.计算：201120132011201220132011201223 12.已知ABC中，AB=2，BC=9，若 AC的长是奇数，则 AC=13.若自然数 x 除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，则 x 除以 15 所得余数是 14.If mnyx2324 and nmyx627 are similar terms,then nmnm)(=15.如图 4，在四边形 ABCD 中，AD/BC，点 E在 AD上，点 F、G在BC上，并且 AE=ED=BF=FG=GC，以 A、B、C、D、E、F、G这 7 个点中的三个顶点的三角形中面积最小的三角形有 个；面积最大的三角形有 个。16.用黑、白两种颜色的11正方形瓷砖，按图 5 所示的方式铺地板；（图（1）中有53块瓷砖，以后各图都比前前一个加铺52块瓷砖），则有 2014 块黑色瓷砖的是图 5 中的第 个图。17.图 6 是用若干个同样的小正方体拼成的立体的俯视图，若此立体最高有三层，则此立体最少有 个小正方体，最多有 个小正方体。18.1900 年以后出生的人，他出生年份的最后两个数字组成的两位数（如果末两位数字为 00 或 01，则看成两位数00或01，其余类推），加上这个人今年的年龄数，所得的结果是 或 。（注：今年的年龄数=2012-出生年份）19.已知正 n 边形nnAAAAA1321的面积是 60，若四边形121kkAAAA是一个面积为 20 的矩形，则这个正 n 边形的一个内角是 度。20.xxxxxP301312151)(345，则)2()2(31PP 正确的请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内下面四个命题若两个角是同旁内角则这两个角互补若两个角互补则这两个角是同旁内角若两个角不是同旁内角则这两个角不互补若两个角不互补则这两个角不是同旁内角有绝对质数的乘积的个位数是如图将边长为的等边沿边向右平移得与交于点则四边形有理数在数轴上的位置如图所示为原点则代数式三角形的周长质数英汉小词典可以表示成个续自然数的和则的值的个数是如图中点在边上点和在边高于自己左侧相邻的同学那么高于自己右侧相邻同学的学生有人若则二填空题每小题分共分计算已知中若的长是奇数则若自然数除以余除以余除以余则除以所得余数是如图在四边形中点在上点在上并且以这个点中的三个顶点的三角三、解答题 每题都要写出推算过程 21.(本题满分 10 分)已知cba,都是整数，如果对任意整数 x，代数式cbxax2的值都能被 3 整除。证明：abc可被 27 整除。22.（本题满分 15 分）某公司以每吨 500 元的价格收购了 100 吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价是1000 元。该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示：工艺 每天可加工药材的吨数 出口率 售价（元/吨）粗加工 14 80%5000 精加工 6 60%11000 受市场影响，该公司必须在 10 开内将这批药材加工完毕，现有 3 种方案：（A）全部粗加工：（B）尽可能多地精加工，剩余的直接在市场上销售；（C）部分粗加工，部分精加工，恰好 10 天完成。问：哪个方案获得的利润最大？是多少？23.（本题满分 15 分）有一系列数，前两个数是 1，2，从第三个数起，每个数都等于它前面相邻的两个数的和的个位数字，请回答以下问题：（1）在这列数中能否依次出现相邻的 2，0，1，2 这四个数？说明理由；（2）这列数中的第 2012 个数字是什么？说明理由。正确的请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内下面四个命题若两个角是同旁内角则这两个角互补若两个角互补则这两个角是同旁内角若两个角不是同旁内角则这两个角不互补若两个角不互补则这两个角不是同旁内角有绝对质数的乘积的个位数是如图将边长为的等边沿边向右平移得与交于点则四边形有理数在数轴上的位置如图所示为原点则代数式三角形的周长质数英汉小词典可以表示成个续自然数的和则的值的个数是如图中点在边上点和在边高于自己左侧相邻的同学那么高于自己右侧相邻同学的学生有人若则二填空题每小题分共分计算已知中若的长是奇数则若自然数除以余除以余除以余则除以所得余数是如图在四边形中点在上点在上并且以这个点中的三个顶点的三角参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A B C B B C C 二、填空题 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案-2010 9 14 12 17；3 671 8；18 112；12 150 6 三、解答题 21.设cbxaxxP2)(，则cP)0(，因为对任意整数 x，代数式的值都能被 3 整除，所以c|3。这里，c|3的意义是：c 被 3 整除，或 3 整除 c。又因为cbaPcbaP)1(,)1(，所以cbacba|3,|3 从而)1()1(|3 PP，即b2|3 由于（3，2）=1 所以b|3 又因为)1()1(|3PP 所以)22(|3ca 由于（3，2）=1 所以)(|3ca 上面已经证明了c|3 所以a|3 因为cba|3,|3,|3 所以abc|27 正确的请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内下面四个命题若两个角是同旁内角则这两个角互补若两个角互补则这两个角是同旁内角若两个角不是同旁内角则这两个角不互补若两个角不互补则这两个角不是同旁内角有绝对质数的乘积的个位数是如图将边长为的等边沿边向右平移得与交于点则四边形有理数在数轴上的位置如图所示为原点则代数式三角形的周长质数英汉小词典可以表示成个续自然数的和则的值的个数是如图中点在边上点和在边高于自己左侧相邻的同学那么高于自己右侧相邻同学的学生有人若则二填空题每小题分共分计算已知中若的长是奇数则若自然数除以余除以余除以余则除以所得余数是如图在四边形中点在上点在上并且以这个点中的三个顶点的三角22.因为每吨药材的收购价是 500 元，所以 100 吨药材的收购费用是 500100=50000（元）（1）若 100 吨药材全部被粗加工，则所需加工的时间是 10014=10750（天）可获得的利润是 500010080%-50000=350000（元）（2）若尽可能多地精加工，剩余的直接在市场上销售，则 10 天可精加工的药材量是 610=60（吨）于是精加工部分可获得 110006060%=396000（元）剩余 100-60=40（吨）的药材直接在市场上销售，100040=40000（元）两项合计可得利润 396000+40000-50000=386000（元）（3）若部分精加工，部分精加工，且恰好 10 天完成，则不妨设粗加工 x 天，则 14x+6(10-x)=100 解得 x=5 于是这种方案共可获得利润 1450.8 5000+650.6 11000-50000=428000(元)综上，第三个方案获得的利润最大，是 428000 元。23.（1）否。假设能出现，则因为 2+0=2，而 2 不等于 1，于是矛盾，故不会有 2，0，1，2 连续出现的情形。（2）注意到数串出现的只是 0 到 9 的数字，其中 5 个奇数，5 个偶数，所以不同的（奇，偶）对共有 55=25 对，因此，根据抽屉原理，（奇，偶）对在这无穷数串中必定会重复出现，此后成周期循环，我们通过实验找规律 发现，第 61 个数等于第 1 个数，第 62 个数等于第 2 个数，以下各数以 60 为周期循环出现。因为 201260=3332，所以这列数中的第 2012 个数字等于第 32 个数字，即 8.正确的请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内下面四个命题若两个角是同旁内角则这两个角互补若两个角互补则这两个角是同旁内角若两个角不是同旁内角则这两个角不互补若两个角不互补则这两个角不是同旁内角有绝对质数的乘积的个位数是如图将边长为的等边沿边向右平移得与交于点则四边形有理数在数轴上的位置如图所示为原点则代数式三角形的周长质数英汉小词典可以表示成个续自然数的和则的值的个数是如图中点在边上点和在边高于自己左侧相邻的同学那么高于自己右侧相邻同学的学生有人若则二填空题每小题分共分计算已知中若的长是奇数则若自然数除以余除以余除以余则除以所得余数是如图在四边形中点在上点在上并且以这个点中的三个顶点的三角