第五讲不等式_中学教育-高考.pdf

学习必备 欢迎下载 数学专题（五）不 等 式 高考风向标 不等式的概念和性质，2 元均值不等式不等式的证明（比较法、分析法、综合法）不等式的解法（一元一次、一元二次、一元高次、分式、绝对值不等式）不等式的综合应用（求最值、求参数的取值范围、解答实际问题）典型题选讲 例 已知（0 x，0y）是直线21xyk 与圆22223xykk的交点，则当00 x y取最小值时，则实数k的值等于（）（A）422 （B）422 （C）1 （D）3 讲解：由交点满足方程，便得 002220021,23.xykxykk 对第个等式两边平方后减去第个等式，立即得出 220023643(1)1x ykkk 故当00 x y取最小值12时，实数k对于的值等于，应该选 C 点评:此题是一道解析几何面孔呈现的代数最值问题，解答中建立函数00()x yf k，而()f k是二次函数，其求最值的方法自然就想到了是配方法！例 设不等式 2x1m(x21)对满足|m|2 的一切实数 m 的取值都成立，求 x 的取值范围 讲解：令 f(m)2x1m(x21)(1x2)m2x1，可看成是一条直线（由|m|2 知它实质是一条线段），且使|m|2 的一切实数都有 2x1m(x21)成立 所以 (2)0,f(2)0,f 即 222x2x10,2x2x30,学习必备 欢迎下载 即 1313x,221717xx,22 或 所以 213x217 点评：没有函数，构造函数，巧用线段函数的单调性质解题，这充分体现了函数思想在解答数学问题中的神奇作用 例 若02,则函数224224sincos()sincossincosf的最大值是_ 讲解：由对称性，可以猜想：当sincos时，函数()f取得最大值43于是，就将求最值问题转化为不等式证明问题了 令22sin,cosab，,abt 则.410，t由,1 ba得 ,2122abba .3133abba于是 3422babbaa ,01140154443143213444334332222223322222222abababbabaababababbaabbabaabbababababbaa 这是显然成立的，故当,ab即4时，max4(),3f 应填4.3 点评：换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题，而猜想最值又将问题转化为不等式证明应用分析法是证明不等式的有效方法之一，它可以化生为熟、化繁为简 例 某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防，规定每人每天早晚八时各服一片，现知该药片每片含药量为 220 毫克，若人的肾脏每 12 小时从体内滤出这种药的 60，在体内的残留量超过 386 毫克，就将产生副作用.()某人上午八时第一次服药，问到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留多少？()长期服用的人这种药会不会产生副作用？合法不等式的解法一元一次一元二次一元高次分式绝对值不等式不等式的综合应用求最值求参数的取值范围解答实际问题典型题选讲例已知是直线与圆的交点则当取最小值时则实数的值等于讲解由交点满足方程便得对第个等式两边最值问题解答中建立函数而是二次函数其求最值的方法自就想到了是配方法例设不等式对满足的一切实数的取值都成立求的取值范围讲解令可看成是一条直线由知它实质是一条线段且使的一切实数都有成立所以即学习必备欢迎下载用例若则函数的最大值是讲解由对称性可以猜想当时函数取得最大值于是就将求最值问题转化为不等式证明问题了令则由得于是这是显然成立的故当即时应填点评换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题而猜想最值又将问学习必备 欢迎下载 讲解：（1）设人第n次服药后，药在体内的残留量为na毫克.则4.1220%)601(220,220121aaa，2.343%)601(22023aa，（2）由)2)(31100(4.0311004.022011naaaannnn可得，31100na是一个以数311001a为首项，0.4 为公比的等比数列，04.0)31100(3110011nnaa，38631100na，不会产生副作用 点评：本题是一道数列与不等式综合的应用性问题，它紧密结合人们的生活实际，是一道既考知识，又考能力的好问题 例 已知 a0，函数 f(x)=ax bx2()当 b0 时，若对任意 xR 都有 f(x)1，证明 a2b；()当 b1 时，证明对任意 x0,1,都有|f(x)|1 的充要条件是 b-1a2b；()当 0b1 时，讨论：对任意 x0,1,都有|f(x)|1 的充要条件 讲解()对已知二次函数应用配方法，得 22()()24aaf xb xbb，当 xR 时，f(x)max=ba42，于是，对任意 xR 都有 f(x)1 f(x)max=ba421 a2b 合法不等式的解法一元一次一元二次一元高次分式绝对值不等式不等式的综合应用求最值求参数的取值范围解答实际问题典型题选讲例已知是直线与圆的交点则当取最小值时则实数的值等于讲解由交点满足方程便得对第个等式两边最值问题解答中建立函数而是二次函数其求最值的方法自就想到了是配方法例设不等式对满足的一切实数的取值都成立求的取值范围讲解令可看成是一条直线由知它实质是一条线段且使的一切实数都有成立所以即学习必备欢迎下载用例若则函数的最大值是讲解由对称性可以猜想当时函数取得最大值于是就将求最值问题转化为不等式证明问题了令则由得于是这是显然成立的故当即时应填点评换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题而猜想最值又将问学习必备 欢迎下载()用 f(x)max、f(x)min表示 f(x)在0,1上的最大值、最小值，则对任意 x0,1,都有|f(x)|1 当且仅当maxmin()1,()1,f xf x （*）而 f(x)=-b(x2)2ba+ba42，（x0,1）当 2ba时，0ba21，f(x)max=ba42，f(x)min=f(0)或 f(1)；当 2b1,f(x)max=f(1)，f(x)min=f(0)于是(*)212,1,4(0)01,(1)1,bbaabffab 且 或12,(1)1,(0)01.bbafabf 且 b-1a2b或 xb-1a2b 故对任意 x0,1,都有|f(x)|1 的充要条件是 b-1a2b()由()的解答知，对任意 x0,1,都有|f(x)|1 当且仅当 22001,1,4(0)01,(1)1,bababffab 且 或201,(1)1,(0)01.babfabf 且 0a2b 或 2bab+1 0ab+1 合法不等式的解法一元一次一元二次一元高次分式绝对值不等式不等式的综合应用求最值求参数的取值范围解答实际问题典型题选讲例已知是直线与圆的交点则当取最小值时则实数的值等于讲解由交点满足方程便得对第个等式两边最值问题解答中建立函数而是二次函数其求最值的方法自就想到了是配方法例设不等式对满足的一切实数的取值都成立求的取值范围讲解令可看成是一条直线由知它实质是一条线段且使的一切实数都有成立所以即学习必备欢迎下载用例若则函数的最大值是讲解由对称性可以猜想当时函数取得最大值于是就将求最值问题转化为不等式证明问题了令则由得于是这是显然成立的故当即时应填点评换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题而猜想最值又将问学习必备 欢迎下载 故当 0b1 时，对任意 x0,1，都有|f(x)|1 的充要条件为 03）是ABC 边 AC 的中点 合法不等式的解法一元一次一元二次一元高次分式绝对值不等式不等式的综合应用求最值求参数的取值范围解答实际问题典型题选讲例已知是直线与圆的交点则当取最小值时则实数的值等于讲解由交点满足方程便得对第个等式两边最值问题解答中建立函数而是二次函数其求最值的方法自就想到了是配方法例设不等式对满足的一切实数的取值都成立求的取值范围讲解令可看成是一条直线由知它实质是一条线段且使的一切实数都有成立所以即学习必备欢迎下载用例若则函数的最大值是讲解由对称性可以猜想当时函数取得最大值于是就将求最值问题转化为不等式证明问题了令则由得于是这是显然成立的故当即时应填点评换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题而猜想最值又将问学习必备 欢迎下载 （1）设点 B 的横坐标为 t，ABC 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式)(tfS；（2）求函数)(tfS 的最大值，并求出相应的点 C 的坐标 讲解：先引如点 A，B 的坐标，再逐步展开解题思维（1）设 B()tt，32，A()tt，32，10(，t，M 是ABC 边 AC 的中点，则 )3(2)3(2212222tmttmtSSA B M，Sf tt mtt()()()23012 （2）C xy()00，M（1，m）是ABC 边 AC 的中点 002200122323.2xtxtytymtm，点，Ctmt()2232 当39 m时，Stmttmtmtmm432363349222222()()()当且仅当2236tmt，即3mt 时，S 的最大值是mm94，此时点 C 的坐标是32322mmm，当 m9 时，)(tfS 在区间（0，1）上是增函数，证明如下：合法不等式的解法一元一次一元二次一元高次分式绝对值不等式不等式的综合应用求最值求参数的取值范围解答实际问题典型题选讲例已知是直线与圆的交点则当取最小值时则实数的值等于讲解由交点满足方程便得对第个等式两边最值问题解答中建立函数而是二次函数其求最值的方法自就想到了是配方法例设不等式对满足的一切实数的取值都成立求的取值范围讲解令可看成是一条直线由知它实质是一条线段且使的一切实数都有成立所以即学习必备欢迎下载用例若则函数的最大值是讲解由对称性可以猜想当时函数取得最大值于是就将求最值问题转化为不等式证明问题了令则由得于是这是显然成立的故当即时应填点评换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题而猜想最值又将问学习必备 欢迎下载 设2212121211 2201()()2()3()ttf tf tttmtt tt ，则 0101121 2tt t，0122t，3)(30222121tttt，又3m，0)(3222121ttttm 又tt120，0)()(21 tftf，)()(21tftf，)(tfS 在（0，1）上为增函数，故1t时，62)1(maxmfS，此时)323(mC，点评：本题是笔者自编的一道试题，曾作为陕西省高三的会考试题此题的解答如果改为应用导数知识，其解法就要简洁的多了，请读者不妨一试 例 8 过点)0,1(P作曲线kxyC:（),0(x，Nk，1k）的切线切点为1Q，设1Q点在x轴上的投影是点1P；又过点1P作曲线C的切线切点为2Q，设2Q点在x轴上的投影是点2P；依此下去，得到一系列点,21nQQQ，设点nQ的横坐标是na（1）求证：nnkka)1(，Nn；（2）求证：11knan；（3）求证：kkainii21（注：121niniaaaa ）讲解：（）对kyx求导数，得/1kykx 若切点是(,)knnnQaa，则切线方程是1()kknnnyakaxa 当1n 时，切线过点(1,0)P，即11110(1)kkakaa，得11kak；当1n 时，切线过点11(,0)nnPa，即110()kknnnnakaaa，得11nnakak 合法不等式的解法一元一次一元二次一元高次分式绝对值不等式不等式的综合应用求最值求参数的取值范围解答实际问题典型题选讲例已知是直线与圆的交点则当取最小值时则实数的值等于讲解由交点满足方程便得对第个等式两边最值问题解答中建立函数而是二次函数其求最值的方法自就想到了是配方法例设不等式对满足的一切实数的取值都成立求的取值范围讲解令可看成是一条直线由知它实质是一条线段且使的一切实数都有成立所以即学习必备欢迎下载用例若则函数的最大值是讲解由对称性可以猜想当时函数取得最大值于是就将求最值问题转化为不等式证明问题了令则由得于是这是显然成立的故当即时应填点评换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题而猜想最值又将问学习必备 欢迎下载 所以数列na是首项为1kk，公比为1kk的等比数列，nnkka)1(，Nn（）应用二项式定理，得 1()(1)11nnnkakk 0122011111()()111111nnnnnnnnnCCCCCCkkkkk 至少2项 （）记121121nnnnnSaaaa，则2311121nnnknnSkaaaa ，两式相减，得 121121111111(1)nnnnknSkaaaaaaa ，111()1111nnkkkkSkkkk，故 2nSkk 点评：本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点，在解答时，需要较强的思维能力和排除万难的吃苦精神 针对性演练 1 已知ba,是正实数，则不等式组,xyabxyab 是不等式组,xayb成立的（）（A）充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分且必要条件 (D)既不充分又不必要条件 2 若 a,bR则|a|1，|b|1，是|a+b|+|a-b|2成立的 （）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 3 已知不等式 m2(cos2 5)m4sin2 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 （A）0 m 4（B）1 m 4 （C）m 4 或 x 0（D）m 1 或 m 0 若对任意的长方体A，都存在一个与A等高的长方体B，使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于k，则k的取值范围是（）合法不等式的解法一元一次一元二次一元高次分式绝对值不等式不等式的综合应用求最值求参数的取值范围解答实际问题典型题选讲例已知是直线与圆的交点则当取最小值时则实数的值等于讲解由交点满足方程便得对第个等式两边最值问题解答中建立函数而是二次函数其求最值的方法自就想到了是配方法例设不等式对满足的一切实数的取值都成立求的取值范围讲解令可看成是一条直线由知它实质是一条线段且使的一切实数都有成立所以即学习必备欢迎下载用例若则函数的最大值是讲解由对称性可以猜想当时函数取得最大值于是就将求最值问题转化为不等式证明问题了令则由得于是这是显然成立的故当即时应填点评换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题而猜想最值又将问学习必备 欢迎下载 （A）0k （B）10k （C）1k（D）1k 不等式|x2x6|3x 的解集是（）（A）（3，）（B）（，3）（3，）（C）（，3）（1，）（D）（，3）（1，3）（3，）6是否存在常数c，使得不等式yxyyxxcyxyyxx2222对任意正实数x、y恒成立？证明你的结论 7 已知),(42)(2Rcbacbxaxxf（）当0a时，若函数 f(x)的图象与直线xy均无公共点，求证;4142 bac（）时43,4 cb对于给定的负数8a，有一个最大的正数 M（a），使得5|)(|)(,0 xfaMx时都有，问 a 为何值时，M(a)最大，并求出这个最大值 M(a)，证明你的结论 8 设(1,2,3,4)ix i 为正实数，满足 11212312341,5,14,30,xxxxxxxxxx 求1234111234Uxxxx 的最大值 9 已知函数xaaxxf1)()(Ra （1）证明函数)(xfy 的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；（2）当1 ax，2a时，求证：2)(xf，2；（3）我们利用函数)(xfy 构造一个数列nx，方法如下：对于给定的定义域中的1x，令)(12xfx，)(23xfx，)(1nnxfx，在上述构造数列的过程中，如果ix（i2，3，4，）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果ix不在定义域中，构造数列的过程停止 如果可以用上述方法构造出一个常数列nx，求实数 a 的取值范围；如果取定义域中任一值作为1x，都可以用上述方法构造出一个无穷数列nx，求实数合法不等式的解法一元一次一元二次一元高次分式绝对值不等式不等式的综合应用求最值求参数的取值范围解答实际问题典型题选讲例已知是直线与圆的交点则当取最小值时则实数的值等于讲解由交点满足方程便得对第个等式两边最值问题解答中建立函数而是二次函数其求最值的方法自就想到了是配方法例设不等式对满足的一切实数的取值都成立求的取值范围讲解令可看成是一条直线由知它实质是一条线段且使的一切实数都有成立所以即学习必备欢迎下载用例若则函数的最大值是讲解由对称性可以猜想当时函数取得最大值于是就将求最值问题转化为不等式证明问题了令则由得于是这是显然成立的故当即时应填点评换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题而猜想最值又将问学习必备 欢迎下载 a 的值 参考答案：B2C3C4D5D 6当yx 时，由已知不等式得32c 下面分两部分给出证明：先证3222yxyyxx，此不等式)2)(2(2)2(3)2(3yxyxyxyyxx 222yxxy，此式显然成立；再证3222yxyyxx，此不等式)2)(2(2)2(3)2(3yxyxyxyyxx xyyx222，此式显然成立 综上可知，存在常数32c，是对任意的整数x、y，题中的不等式成立 7（）)(xf的图象与 y=x 无公共点.22222224,(21)40.(21)164161 40.,(),4161401,4.4axbxcxaxbxcbacbacbf xyxbacbacb 即无实根从而同理 由的图象与无公共点 得二式相加 得（）合法不等式的解法一元一次一元二次一元高次分式绝对值不等式不等式的综合应用求最值求参数的取值范围解答实际问题典型题选讲例已知是直线与圆的交点则当取最小值时则实数的值等于讲解由交点满足方程便得对第个等式两边最值问题解答中建立函数而是二次函数其求最值的方法自就想到了是配方法例设不等式对满足的一切实数的取值都成立求的取值范围讲解令可看成是一条直线由知它实质是一条线段且使的一切实数都有成立所以即学习必备欢迎下载用例若则函数的最大值是讲解由对称性可以猜想当时函数取得最大值于是就将求最值问题转化为不等式证明问题了令则由得于是这是显然成立的故当即时应填点评换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题而猜想最值又将问学习必备 欢迎下载 2max2416()()3.160,()31648,35,().,()835.864324451().224222028,.518,().2f xaxaaaf xaaM aaaM aaxxaM aaaaaM a 所以时此时所以是方程的较大根当且仅当时 等号成立因此当时取最大值 令 112123123412341,5,14,30,yxyxxyxxxyxxxx 则 0(1,2,3,4)iyi，112123234341,4,9,16,xyxyyxyyxyy 于是 112223411114916234Uyyyyyyy 12341111102612410.yyyy 当 1121231234123410,50,140,300,yxyxxyxxxyxxxx 即12341,4,9,16xxxx时，max10.U 9（1）设点 P（0 x，0y）是函数)(xfy 图象上一点，则0001xaaxy，合法不等式的解法一元一次一元二次一元高次分式绝对值不等式不等式的综合应用求最值求参数的取值范围解答实际问题典型题选讲例已知是直线与圆的交点则当取最小值时则实数的值等于讲解由交点满足方程便得对第个等式两边最值问题解答中建立函数而是二次函数其求最值的方法自就想到了是配方法例设不等式对满足的一切实数的取值都成立求的取值范围讲解令可看成是一条直线由知它实质是一条线段且使的一切实数都有成立所以即学习必备欢迎下载用例若则函数的最大值是讲解由对称性可以猜想当时函数取得最大值于是就将求最值问题转化为不等式证明问题了令则由得于是这是显然成立的故当即时应填点评换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题而猜想最值又将问学习必备 欢迎下载 点 P 关于（a，-1）的对称点02(xaP，)20y axxaxaaaxaxaf000001)2(12)2(，axxaxaaxy000001122，002)2(yxaf，即点P在函数)(xfy 的图象上，函数)(xfy 的图象关于点（a，-1）成中心对称图形（2）xaxaxfxf123)(2)(2)(2)2)(1()(22xaaxaxxaxa 又1 ax，2a，0)(2 xa，0)2)(1(axax，2)(xf023)(xf，23)(2xf（3）根据题意，只需 xa 时，xxf)(有实解，即xxaax 1有实解，即01)1(2axax有不等于 a 的解，0,.xa 由0)1(4)1(2aa得：a-3 或 a1，由01)1(2aaaaax01 综上 a-3 或 a1；根据题意，应满足ax 时axaax 1无实解，即ax 时1)1(2aaxa无实解，由于ax 不是方程1)1(2aaxa的解，合法不等式的解法一元一次一元二次一元高次分式绝对值不等式不等式的综合应用求最值求参数的取值范围解答实际问题典型题选讲例已知是直线与圆的交点则当取最小值时则实数的值等于讲解由交点满足方程便得对第个等式两边最值问题解答中建立函数而是二次函数其求最值的方法自就想到了是配方法例设不等式对满足的一切实数的取值都成立求的取值范围讲解令可看成是一条直线由知它实质是一条线段且使的一切实数都有成立所以即学习必备欢迎下载用例若则函数的最大值是讲解由对称性可以猜想当时函数取得最大值于是就将求最值问题转化为不等式证明问题了令则由得于是这是显然成立的故当即时应填点评换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题而猜想最值又将问学习必备 欢迎下载 对于任意Rx，1)1(2aaxa无解，a-1 合法不等式的解法一元一次一元二次一元高次分式绝对值不等式不等式的综合应用求最值求参数的取值范围解答实际问题典型题选讲例已知是直线与圆的交点则当取最小值时则实数的值等于讲解由交点满足方程便得对第个等式两边最值问题解答中建立函数而是二次函数其求最值的方法自就想到了是配方法例设不等式对满足的一切实数的取值都成立求的取值范围讲解令可看成是一条直线由知它实质是一条线段且使的一切实数都有成立所以即学习必备欢迎下载用例若则函数的最大值是讲解由对称性可以猜想当时函数取得最大值于是就将求最值问题转化为不等式证明问题了令则由得于是这是显然成立的故当即时应填点评换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题而猜想最值又将问