北京市2021-2022八下期末试题汇编第一章-三角形的证明解答题（提升题）.pdf

第 一 章-三 角 形 的 证 明 解 答 题（提 升 题）-2022-2023学 年 北 师 大 版 八 年 级 数 学 下 册 培 优 练【北 京 市 2021-2022八 下 期 末 试 题 汇 编】一、解 答 题 1.（2022秋 北 京 海 淀 八 年 级 统 考 期 末）在“W C中，?B 9 0?,。为 B C延 长 线 上 一 点，点 E 为 线 段 AC,8 的 垂 直 平 分 线 的 交 点，连 接 EA,EC,ED.图 1 图 2 图 3（1）如 图 1,当 NBAC=50。时，则；（2）当 ZBAC=60。时，如 图 2,连 接 A O,判 断 即 的 形 状，并 证 明；如 图 3,直 线 C F与 E D交 于 点 F,满 足 NCFD=/C 4.P 为 直 线 C F上 一 动 点.当 P E-P O 的 值 最 大 时，用 等 式 表 示 PE,P 3 与 A B之 间 的 数 量 关 系 为,并 证 明.2.（2022秋 北 京 西 城 八 年 级 统 考 期 末）对 于 面 积 为 S的 三 角 形 和 直 线/,将 该 三 角 形 沿 直 线/折 叠，重 合 部 分 的 图 形 面 积 记 为 S。，定 义/不 为 该 三 角 形 关 于 直 线/的 对 称 度.如 图，将 面 积 为 S的 沿 直 线/折 叠，重 合 部 分 的 图 形 为。七，将 COE的在 平 面 直 角 坐 标 系 X。)，中，点 A(0,3),8(3,0),C(3,0).(1)过 点 M(m,0)作 垂 直 于 x轴 的 直 线 4,当 m=1 时，AA 8 C 关 于 直 线 4的 对 称 度 的 值 是：若 A A 8 C 关 于 直 线 4的 对 称 度 为 1,则 根 的 值 是(2)过 点 M0,)作 垂 直 于)，轴 的 直 线 4,求 A B C 关 于 直 线 4 的 对 称 度 的 最 大 值.(3)点 P(4,0)满 足 AP=5,点。的 坐 标 为(3 0),若 存 在 直 线，使 得 A A P。关 于 该 直 线 的 对 称 度 为 1,写 出 所 有 满 足 题 意 的 整 数 f的 值.3.(2022秋 北 京 石 景 山 八 年 级 统 考 期 末)点 P 为 等 边 小 B C 的 边 4 8 延 长 线 上 的 动 点,点 B 关 于 直 线 P C 的 对 称 点 为 D,连 接 AD.图 1 图 2(1)如 图 1,若 BP=AB=2,依 题 意 补 全 图 形，并 直 接 写 出 线 段 A O 的 长 度；(2)如 图 2,线 段 交 P C 于 点 E,设 NBCP=a,求 N A C 的 度 数；求 证：AE=CE+DE.4.(2022秋 北 京 昌 平 八 年 级 统 考 期 末)若 A A B C 和 A A O E 均 为 等 腰 三 角 形，且 AB=A C=A D=A E,当 N A B C 和 N A O E 互 余 时，称 A B C 与 A A O E 互 为“底 余 等 腰 三 角 形”,A B C 的 边 B C 上 的 高 A/Z叫 做 A D E 的“余 高”.(1)如 图 1,A B C 与 A A O E 互 为“底 余 等 腰 三 角 形”.若 连 接 HD,CE,判 断 A A B D 与 A C E 是 否 互 为“底 余 等 腰 三 角 形”:(填“是”试 卷 第 2 页，共 7 页或“否”）;当 NBAC=90。时，若 A AOE的“余 高 6，则。E=；当 0。/8 4（?180。时，判 断 O E与 之 间 的 数 量 关 系，并 证 明；（2）如 图 2,在 四 边 形 ABC。中，N 4 8 C=6 0。，DALBA,DC1BC,K DADC.画 出 0 4 8 与 4 O C D,使 它 们 互 为“底 余 等 腰 三 角 形”；若 O C D 的“余 高”长 为 小 则 点 A 到 B C 的 距 离 为（用 含 fl的 式 子 表 示）.5.（2022秋 北 京 大 兴 八 年 级 统 考 期 末）在 平 面 直 角 坐 标 系 X。），中，对 于 点 P 给 出 如 下 定 义：点 P 到 图 形 上 各 点 的 最 短 距 离 为 4,点 P 到 图 形 G 上 各 点 的 最 短 距 离 为 若 4=%,就 称 点 P 是 图 形 G1和 图 形 G,的 一 个“等 距 点”.已 知 点 A（6,0）,8（0,6）.（1）在 点 0（-6,0）,E（3,0）,F（0,3）中，是 点 A和 点。的“等 距 点”；（2）在 点 G（-2,-1）,H（2,2）,/（3,6）中，是 线 段 和 OB 的“等 距 点”；（3）点 C（m,0）为 x 轴 上 一 点，点 尸 既 是 点 A和 点 C 的“等 距 点”，又 是 线 段 OA和 0 8的“等 距 点”.当 加=8时，是 否 存 在 满 足 条 件 的 点 P,如 果 存 在 请 求 出 满 足 条 件 的 点 P 的 坐 标，如 果 不 存 在 请 说 明 理 由；若 点 P 在 q A B 内，请 直 接 写 出 满 足 条 件 的 m 的 取 值 范 围.6.（2022秋 北 京 昌 平 九 年 级 统 考 期 末）已 知/PO Q=120。，点 A,8 分 别 在 OP,OQ上，OAOB,连 接 A B,在 AB上 方 作 等 边 A B C,点。是 8。延 长 线 上 一 点，且 AB=AO,连 接 AD（1）补 全 图 形；（2）连 接。C,求 证：Z C O P=Z C O Q；（3）连 接 CO,C O交。尸 于 点 凡 请 你 写 出 一 个 N D 4B的 值，使 C）=0 8+0 C一 定 成 立，并 证 明 A0 B Q备 用 图 7.（2022秋 北 京 房 山 八 年 级 统 考 期 末）如 图，ZAOS=6 0%点 C、。分 别 在 射 线。4、O B 上,且 满 足 OC=4.将 线 段 0 c 绕 点。顺 时 针 旋 转 60。，得 到 线 段。E.过 点 E作 O C的 平 行 线，交 0 8 反 向 延 长 线 于 点 F.（1）根 据 题 意 完 成 作 图；（2）猜 想。尸 的 长 并 证 明；（3）若 点 M 在 射 线 O C上，且 满 足。加=3,直 接 写 出 线 段 M E的 最 小 值.8.（2022春 北 京 大 兴 八 年 级 统 考 期 末）对 于 平 面 直 角 坐 标 系 xO y中 的 点 P 和 四 边 形 OA B C,给 出 如 下 定 义：若 在 四 边 形 OA8C上 存 在 一 点。使 得 P,Q 两 点 间 的 距 离 小 于 或 等 于 1,则 称 P 为 四 边 形 OABC的“关 联 点”.如 图，已 知 点 A（G,3）,8（2后,0）,C（6,-3）.试 卷 第 4 页，共 7 页 在 点 0(0,2),(3,-2),尸(5,3)中,四 边 形 Q4BC的 关 联 点 是 _：点 G 为 直 线/：y=依-(6 5)(k x 0)上 一 点.若 直 线/：尸 丘-(辰-5)(心 0)过 点。(0,2),点 G 是 四 边 形 0ABC的 关 联 点，求 点 G 的 横 坐 标 的 取 值 范 围；若 直 线/：y=h-(&-5)(k/0)上，不 存 在 点 G 是 四 边 形 OABC的 关 联 点，直 接 写 出 k 的 取 值 范 围.9.(2022秋 北 京 海 淀 八 年 级 统 考 期 末)在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y中，点 尸，。分 别 在 线 段。8 上，如 果 存 在 点“使 得。且 NMPQ=NAOB(点 M,P,。逆 时 针 排 列)，则 称 点”是 线 段 尸 2 的“关 联 点”如 图 1.点 M 是 线 段 尸。的“关 联 点”.如 图 2,已 知 点 4 4,4),8(8,0),点 尸 与 点 A重 合.当 点。是 线 段 0 B 中 点 时，在 M(4,2),历 2(6,2)中，其 中 是 线 段 PQ的“关 联 点 的 是 已 知 点 M(8,4)是 线 段 PQ的“关 联 点”，则 点 Q 的 坐 标 是(2)如 图 3,已 知。4=0 3=4,ZAOB=60.当 点 P 与 点 A重 合，点。在 线 段。3 上 运 动 时(点。不 与 点。重 合)，若 点 M 是 线 段 PQ的“关 联 点”，求 证：B M/O A；当 点 尸，Q分 别 在 线 段。4,。8 上 运 动 时，直 接 写 出 线 段 PQ的“关 联 点”M 形 成 的 区域 的 周 长.10.（2022秋 北 京 怀 柔 八 年 级 统 考 期 末）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 点（0,加），直 线/是 过 点 M 且 垂 直 于 轴 的 直 线，点 尸（4 关 于 直 线/的 轴 对 称 点 Q，连 接 P Q,过。作 垂 直 于 y轴 的 直 线 与 射 线 交 于 点 P,则 P称 为 P 点 的 M 中 心 对 称 点.y.A-4-3-!_ 1 1 L I _-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 x图 1y,A5-4-3-2-1-5 4-3-2-甲 1 2 3 4 5 6.V-2-3-4-备 用 图（1）如 图 1,当 m=1,尸（2,3）时。点 坐 标 为,P 点 坐 标 为（2）若 P 点 的 M 中 心 对 称 点 为 尸（-1,3）,NQPM=45。，则 加=，P 点 的 坐 标 为;在（1）中，在 APQP内 部（不 含 边 界）存 在 点 M 使 点 N 到 PQ和 的 距 离 相 等,则 N 点 横 坐 标 n 的 取 值 范 围 是.11.（2022秋 北 京 丰 台 八 年 级 期 末）在 平 面 中，对 于 点 M,N,P,若 Z M P N=90。,且,PM=P N,则 称 点 P 是 点 M 和 点 N 的“垂 等 点”.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，备 用 图 2 已 知 点 M(-3,2),点 N(L0),则 点 4(0,3),巴（-2,-1）,二（-5,-2）中 是 点 M 和 点 是 的“垂 等 点”的 是 试 卷 第 6 页，共 7 页（2汜 知 点 4-4,0）,8（0,与 S 0）.若 在 第 二 象 限 内 存 在 点 C,使 得 点 B是 点 A 和 点 C 的 垂 等 点，写 出 点 C 的 坐 标（用 含。的 式 子 表 示），并 说 明 理 由；当 b=4 时，点。，点 E 是 线 段 AO,3。上 的 动 点（点。，点 E 不 与 点 A,B,。重 合）.若 点 尸 是 点。和 点 E 的“垂 等 点”，直 接 写 出 点 尸 的 纵 坐 标，的 取 值 范 围.12.（2022秋 北 京 怀 柔 八 年 级 统 考 期 末）康 康 同 学 在 研 究 等 边 三 角 形，如 图 1,已 知 UWC是 等 边 三 角 形，。为 BC边 的 中 点，E 为 中 线 A。上 一 点（E 不 可 取 A 点，可 取。点），点 E 关 于 直 线 A C的 对 称 点 是 点 F.连 接 AF,E F,B F.图 1 图 2 备 用 图 在 图 1 中 补 全 图 形；他 发 现 E 点 在 中 线 4 5 上 运 动 时，4亦 是 一 种 特 殊 三 角 形.请 你 回 答 曲 是 _ 三 角 形；利 用 图 1证 明 这 个 结 论.（2）康 康 同 学 发 现 当 E 点 在 中 线 A上 运 动 时，BF的 长 度 也 有 规 律 的 变 化.当 即 为 最 大 值 时，在 图 2 中 画 出 点 尸，并 连 接 A E 3 E B/与 A C交 于 点 P.按 要 求 画 出 图 形；在 川 上 存 在 一 点。，使 P2+2 C的 值 最 小，猜 想 这 最 小 值 _ BP（填,=）;证 明 的 结 论.（3）在 边 A C上 存 在 一 点 同 时 满 足 8 0-M E的 值 最 大 且 3 M+M E的 值 最 小，则 此 时 M C与 A C的 数 量 关 系 是.参 考 答 案：1.(1)80；(2)AED是 等 边 三 角 形；(3)P E PD=2A B.【分 析】(1)根 据 垂 直 平 分 线 性 质 可 知 4E=EC=a，再 结 合 等 腰 三 角 形 性 质 可 得 Z E4C=ZECA,NEDC=N E C D,利 用 平 角 定 义 和 四 边 形 内 角 和 定 理 可 得 AAED=2ZACB,由 此 求 解 即 可；(2)根 据(1)的 结 论 求 出 NAD=2NACB=60。即 可 证 明 AEO是 等 边 三 角 形；(3)根 据 利 用 对 称 和 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边，找 到 当 P E-尸。的 值 最 大 时 的 P 点 位 置,再 证 明 对 称 点 评 与 两 点 构 成 三 角 形 为 等 边 三 角 形，利 用 旋 转 全 等 模 型 即 可 证 明 A C D E D D,从 而 可 知 P E-P D=P E-9=9=A C,再 根 据 30。直 角 三 角 形 性 质 可 知 AC=2M 即 可 得 出 结 论.【详 解】解：(1).点 E 为 线 段 AC,8 的 垂 直 平 分 线 的 交 点，Z.AE=EC=ED,：.ZEAC=ZE C A,NEDC=A E C D,Z E A C+/E D C=ZA C E+NECD=ZA C D,ZEA C+ZED C+ZA C D+ZAED=360,2ZAC D+ZAED=360。，,/ZA CD+ZA CB=180,二 ZAED=2Z A C B,.在 M BC 中，?B 90?,ABAC=50,：.ZACB=40,ZAED=2ZACB=S0,故 答 案 为:80.(2)结 论：4 E D是 等 边 三 角 形.证 明：I 在 中，?B 90?,ZBAC=60,二 ZAC5=30,由(1)得：Z A D-2Z A C B=60,AE=EC=ED,是 等 边 三 角 形.结 论：P E-P D=2 A B.证 明：如 解 图 1,取。点 关 于 直 线 A尸 的 对 称 点 连 接 尸。、P D；答 案 第 1页，共 3 7页EABDD解 图 1/.PD=PD,：P E-P D E D,等 号 仅 P、E、仪 三 点 在 一 条 直 线 上 成 立,如 解 图 2,P、E、D0三 点 在 一 条 直 线 上，由（1）得：ZC4E+ZED C-ZAC D,XV NCFD=NCAE,：.ZCFD+ZCDE=ZACD,X V ZACD+ZACB=80,ZCFD+NCDE+ZPCD=180,/PC D=NACB=30。，点。、点 次 是 关 于 直 线 AF的 对 称 点，CD=CD,NDCD=2ZPCD=60。，.DCD是 等 边 三 角 形，A CD=D U,ZCDD=6O0,：即 是 等 边 三 角 形，：.AD=ED,ZAD=60。，ZADC+Z.DDA=ZC/DA+NEDD,：.ZADCZEDD,答 案 第 2 页，共 3 7页在 AAC 和 中,AD=ED-ZADC=ZEDD,CD=DD：.ACD SEEDD(SAS)：.A C-E D,:Piy=PD,:*PE-PD=PE-PD=ED=AC,在 AABC 中，?B 90?,ZACB=30,：.A C-2A B,PE-PD=2AB【点 睛】本 题 是 三 角 形 综 合 题，主 要 考 查 了 等 腰 三 角 形、等 边 三 角 形 的 性 质 和 判 定，全 等 三 角 形 性 质 和 判 定 等 知 识 点，解 题 关 键 是 利 用 对 称 将 依-尸。转 化 为 三 角 形 三 边 关 系 找 到 P的 位 置，并 证 明 对 称 点 屏 与 AO两 点 构 成 三 角 形 为 等 边 三 角 形.7 12.(1)+0；(2)-；(3)4 或 1 或-9【分 析】(1)作 图，求 出 疆 班=2,再 根 据 定 义 求 值 即 可；通 过 数 形 结 合 的 思 想 即 可 得 到，=0;(2)根 据 求 ABC关 于 直 线 4的 对 称 度 的 最 大 值，即 是 求 小 最 大 值 即 可；(3)存 在 直 线，使 得 AAP。关 于 该 直 线 的 对 称 度 为 1,即 转 变 为 APQ是 等 腰 三 角 形，需 要 分 类 进 行 讨 论，分 AP=AQ；AP=PQ=5.A Q=P Q,同 时 需 要 满 足 f的 值 为 整 数.【详 解】解：(1)当，w=l时，根 据 题 意 作 图 如 下：答 案 第 3 页，共 3 7页 0 4=OC=3,，心 4OC为 等 腰 直 角 三 角 形，CE=DE=2,*S 旧“DEC=-X2 X 2=2,根 据 折 叠 的 性 质，SQ D E=2，A B C=x6x3=9,2 2.A fiC关 于 直 线 4的 对 称 度 的 值 是：9故 答 案 是：4;如 图：答 案 第 4 页，共 37页 ABC关 于 直 线 4的 对 称 度 为 1,故 答 案 是：0;(2)过 点 M0,)作 垂 直 于 y轴 的 直 线 4,要 使 得 ABC关 于 直 线 4 的 对 称 度 的 最 大 值,则 需 要 使 得 最 大，如 下 图：3根 据=j,可 得 瓦。为“8C 的 中 位 线,答 案 第 5 页，共 37页:.ED=BC=3,21 3 9 S q比 9 ABC关 于 直 线/,的 对 称 度 的 最 大 值 为：鼻=!;9-34（3）若 存 在 直 线，使 得 AAP。关 于 该 直 线 的 对 称 度 为 1,即 AP。为 等 腰 三 角 形 即 可，当 AP=AQ时，APQ为 等 腰 三 角 形，如 下 图：.QO=QO=4,=4；当 AP=PQ=5时，4P。为 等 腰 三 角 形，当 Q在 尸 右 侧 时，如 下 图:,J=l;答 案 第 6 页，共 37页同 理，当。在 P 左 侧 时，r=-9 当 A Q=P。时，AP。为 等 腰 三 角 形，如 下 图:设 OQ=x,则 PQ=4 r,根 据 勾 股 定 理：P Q=A Q=lx2+32.(4-X)2=X2+9,解 得：尤=7(，O7.=-(不 是 整 数，舍 去)，O综 上：满 足 题 意 的 整 数 f的 值 为：4 或 1或-9.【点 睛】本 题 考 查 了 三 角 形 的 折 叠，对 称 类 新 概 念 问 题、等 腰 三 角 形 的 性 质、勾 股 定 理，解 题 的 关 键 是 读 懂 题 干 信 息,搞 懂 对 称 度 的 概 念,再 结 合 数 形 结 合 及 分 类 讨 论 的 思 想 进 行 求 解.3.(1)AD=23.(2)NAEC=60。；证 明 见 解 析.【分 析】(1)连 接。P,B D,可 证 明 ABP。为 等 边 三 角 形，再 结 合 等 腰 三 角 形 的 性 质 和 三 角 形 外 角 的 性 质 证 明/8A D=N B D 4=30。，可 得/AZ)P=90。，利 用 勾 股 定 理 即 可 得 出 结 论；(2)连 接 BO与 C P交 于 F,连 接 D C,利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 和 三 角 形 内 角 和 定 理 求 得/C 3 8 和 N C D 4,从 而 可 求 得 N 4 D B,根 据 轴 对 称 图 形 对 应 点 连 接 线 段 被 对 称 轴 垂 直 平 分、三 角 形 内 角 和 定 理、对 顶 角 相 等 可 求 得 N A E C的 度 数；连 接 8 E,在 A E上 截 取 GE=CE,可 证 明 GCE为 等 边 三 角 形 和 ACG也 8 C E,结 合 等 量 代 换 即 可 证 明 结 论.【详 解】解：(1)补 全 图 形 如 下，连 接。P，BD,答 案 第 7 页，共 3 7页 ABC为 等 边 三 角 形，/A8C=60。，4B=BC=2,又；N B C P+/BPC=/ABC=6。,BC=BP,：.NBCP=NBPC=30,点 B 关 于 直 线 P C的 对 称 点 为 D,：.BP=DP,NBPC=NDPC=30。,：.ZBPD=60,BPD为 等 边 三 角 形，:.NDBP=60,DP=BD=BP=AB=2,：.NBAD=NBDA,又,:ZB A D+Z BDA=Z DBP=60,：.ZBAD=ZBDA=30,：.ZADP=90,AD=J A尸-。尸=A B+B P-D P。=V42-22=2 G.(2)如 下 图 所 示，连 接 8。与 C P 交 于 凡 连 接。C,由（1）可 知 NACB=60,AC=BC,点 B 关 于 直 线 P C的 对 称 点 为 D,：.BC=CD=AC,ZDCP=Z B C P=a,ZCFD=90,/S A=/C W J 80。-Z A 8 J 8。-（2。+6。）=6。_,2 2答 案 第 8 页，共 37页ZADB=ZCDB-ZCDA=(90-a)-(60-a)=30,，ZAEC=NFED=90-ZADB=60,如 下 图，连 接 B E,在 AE上 截 取 GE=CE,由 得 NAEC=60。，：GE=CE,.GCE为 等 边 三 角 形，A GC=CE,ZGCE=60,由 得/ACB=60。，AC=BC,：.ZACG=ZBCE=60-ZBCG,在 4 ACG和 4 BCE中 AC=BC：ZACG=NBCE,CG=CE：.AACGAfiCE(SAS)：.AG=BE,二 点 B关 于 直 线 PC的 对 称 点 为 D,：.BE=DE,：.AEG E+AG=CE+BE=CE+DE.【点 睛】本 题 考 查 轴 对 称 的 性 质，全 等 三 角 形 的 性 质 和 判 定，等 边 三 角 形 的 性 质 和 判 定，三 角 形 外 角 和 内 角 的 性 质，等 腰 三 角 形 的 性 质，勾 股 定 理 等.（1）中 能 正 确 构 造 直 角 三 角 形 并 证 明 是 解 题 关 键；（2）中 掌 握 等 边 对 等 角 定 理，并 能 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 表 示 等 腰 三 角 形 的 底 角 是 解 题 关 键；中 掌 握 割 补 法 是 解 题 关 键.4.（1）是；2石；叱=2 4/；见 解 析；（2）见 解 析；3“【分 析】（1）连 接 8。、C E,根 据 四 边 形 内 角 和 为 360。，求 出 NABE+NAEC=90。，即 可 得 出 答 案；答 案 第 9 页，共 3 7页 当 NBAC=90。时，5 c是 等 腰 直 角 三 角 形，故/A 8 C=4 5。，求 出 A B,由 此 可 知 AD=A B,ZAE=90-4 5=4 5,得 出 V E 是 等 腰 直 角 三 角 形，故 可 求 出。E；过 点 A 作 AF1O E 交 OE 于 点 F,故 D F=E F,Z A D F+Z D A F=90,推 出 ZA阳=ND4F,根 据 4 4 s证 明 由 全 等 三 角 形 的 性 质 得 AH=D F,即 可 求 出。E 与 A H的 关 系；(2)连 接 B。，取 B。中 点 为 点。，连 接 A。、C O即 可；过 点。作。例，4 5交 于 点 M,过 点 A 作 A N J.3 C交 于 点 N,故 0 M=a,由 NA3C=60得 出/O 3 M=30。，求 出 OB=2“，BM=yJOB2-O M2=y/Sa-推 出 人 8=2岛，在 RfV4VB 中 由 勾 股 定 理 即 可 求 出 AN.【详 解】(1)E图 1 如 图 1,连 接 BO、CE,?AB=A C A D=AE,：.ZABC=ZACB,Z A D E=ZA E D,Z A B D=Z A D B,ZACE=ZAEC,:ZABC+ZAD E=90,：.ZACB+ZAED=90,.四 边 形 BCCE的 内 角 和 为 360。，/.ZABD+NAEC=（360。-90。-90。）+2=90,二 ABD与/XACE互 为“底 余 等 腰 三 角 形”，故 答 案 为：是；当 NB4C=90。时，U R C是 等 腰 直 角 三 角 形，ZABC=45,答 案 第 10页，共 3 7页A H=y/5,:BH=加，4 8=J(右)2+(6)2=M,AABC与 VADE互 为“底 余 等 腰 三 角 形”，A AD=AB=V10,ZArE=9 0-4 5o=45,VAOE是 等 腰 直 角 三 角 形，；D E=J(9)2+(洞 2=2逐,故 答 案 为：26；过 点 A 作 A F 1D E交 O E于 点 R 故。尸=石 尸，Z A D F+N D A F=90,/Z A B H+Z A D F=90Q f/.ZABH=ZDAF,在 AHB与 中，Z A H B=Z D F A=90v/A B H=Z D A F,AB=DA：.aA H B=D F A(A A S),A H=D F,:D E=D F+E F=2 D F,D E=2 A H；(2)如 图 2,连 接 3。，取 5。中 点 为 点 0,连 接 4 0、CO,答 案 第 11页，共 3 7页V D A Y B A,D C.L B C,：ABAD,BCD都 是 直 角 三 角 形，OA=OB=OD=OC,在 RtYBAD 与 RtABCD 中，(AD=CDB D=B D9：.RtABAD w Ri/X BC D,：.ZABD=ACBD=-/A B C=30,2ZADB=ZCDB=-ZADC=-(360-90-90-60)=60,2 2 ZO BA+ZODC=30+60=90,所 作 图 形 能 使 Q 4 5与 互 为“底 余 等 腰 三 角 形”；过 点。作 OMLAB交 于 点 M,过 点 A作 A N，8 c 交 于 点 N,故。M=。，AM=B M=A B9?ZABC=60,ZOBA/=30,：.O B=2OM=2a,BM OB?-O M?=吗，*AB=2 6 c l,在 RfVAVB 中，ZABN=6O09 ZAA=90,/B A N=30。,8N=岛，AN=ylAB2-B N2=J(2岛,_(岛 产=3 a，故 答 案 为:3 a.【点 睛】本 题 考 查 几 何 图 形 的 综 合 应 用，主 要 涉 及 到 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质、等 腰 三 角 形 的 性 质、多 边 形 的 内 角 和、直 角 三 角 形 的 性 质 以 及 勾 股 定 理 等，掌 握“底 余 等 腰 三 角 形”的 定 义 是 解 题 的 关 键.5.(1)点 民(2)点，；(3)存 在，点 P 的 坐 标 为(7,7)；6加 0,再 由 点 P 是 点 4和 点 C 的“等 距 点”，可 得 AF=CL,从 而 得 到(x 8+/=(%6)2+/,即 可 求 解；答 案 第 12页，共 3 7页 根 据 点 P是 线 段 0 A和 0 8 的“等 距 点”，点 P在 NAOB的 角 平 分 线 上，可 设 点 P(a,a)且 a 0,根 据。4=0 8,可 得 OP平 分 线 段 A 8,再 由 点 P在 AOAB内，可 得()a=6-(-6)=12,AE=6-3=3,AF=/(6-0)2+(0-3)2=3A/5,0 D=6,OE=3,OF=3,：.AE=OE,.点 E(3,0)是 点 A 和 点 O 的“等 距 点”；(2)根 据 题 意 得：线 段 0 A在 x轴 上，线 段 0 8 在 y轴 上，.点 G(-2,-l)到 线 段 0 A 的 距 离 为 1,至 I 线 段 O B 的 距 离 为 2,点”(2,2)到 线 段 0 A的 距 离 为 2,到 线 段 0 B 的 距 离 为 2,点/(3,6)到 线 段 0 A的 距 离 为 6,到 线 段 0 B 的 距 离 为 3,.点(2,2)到 线 段 0 4 的 距 离 和 到 线 段 0 B 的 距 离 相 等，/.点“(2,2)是 线 段 0 A和 0 B 的“等 距 点”；(3)存 在，点 P的 坐 标 为(7,7),理 由 如 下：点 尸 是 线 段 0 A和 0 B的“等 距 点”，且 线 段 0 A在 x 轴 上，线 段。3 在)，轴 上，.可 设 点 P(x,x)且 x0,.,点 P 是 点 A 和 点 C的“等 距 点”,AP2=C P-,；点 C(8,0),4(6,0),/.(x-8)-+x2=(x-6)2+x2,解 得：x=7,点 尸 的 坐 标 为(7,7)；如 图，答 案 第 13页，共 3 7页.点 P 在 N A 0 8的 角 平 分 线 上,且 线 段 OA在 x 轴 上，线 段 OB在 y 轴 上,可 设 点 尸(a,)且”0,V A(6,0),3(0,6)./.OA=OB=6O P平 分 线 段 A8,.点 P 在 AOAB内,当 点 P 位 于 AB上 时，此 时 点 尸 为 A 8的 中 点,此 时 点 P 的 坐 标 为 6+0 6+0,即(3,3),0 a.AP2=C P-,.点 C(m,0),4(6,0),(-A7j)2+a2=(-6)2+a2整 理 得：2(?-6)。=(?+6)(加 一 6),当 旭=6 时，点 C(6,0),此 时 点 C、4 重 合，贝！J”=6(不 合 题 意，舍 去),当 件 6 时，a=4-6/.0 3,解 得：-6/n0,2即 若 点 P 在 AOAB内，满 足 条 件 的 m 的 取 值 范 围 为-6 m 0.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 平 面 直 角 坐 标 系 内 两 点 间 的 距 离，点 到 坐 标 轴 的 距 离，等 腰 三 角 形 答 案 第 1 4页，共 3 7页的 性 质，角 平 分 线 的 判 定 等 知 识，理 解 新 定 义，利 用 数 形 结 合 思 想 解 答 是 解 题 的 关 键.6.(1)见 解 析；(2)见 解 析；(3)ZDAB=50,见 解 析【分 析】(1)依 据 题 意 作 出 相 应 图 形 即 可；(2)在 8Q 上 截 取 BE=AO,连 接 CE,由 等 边 三 角 形 的 性 质 得，CACB,ZACB=60由 同 角 的 补 角 相 等 得 NCAO=NCBE,由 SAS证 得 A CAO和 C8E全 等，即 可 得 证；(3)由 ND4B=150。，DA=AB,得 NAOB=NAB=15。，由 等 边 三 角 形 性 质，可 得 Z CAB=Z CBA=ZACB=60,故/CAZ)=150。，由 等 边 对 等 角 得/AZ)C=/AC=15。，由 此 NDBC=NDCB=75。,由 等 角 对 等 边 得 DB=OC 再 由 NPOQ=120。，ZB)C=30,得 ZDFO=90,等 量 代 换 即 可 得 证.【详 解】解：(1)如 图 所 示：(2)证 明 如 下:在 BQ 上 截 取 BE=AO,连 接 CE,D O B E Q ABC为 等 边 三 角 形，：.CA=CB,ZACB=60,：Z P O Q=120,，/C4O+/CBO=180,：ZCBO+ZCBESO,：.ZCAO=ZCBE,CA=CB在 CAO 和 CBE 中，-NCA。=NCBE,AO=BE：./CAO/CBE(SAS),答 案 第 15页，共 37页/.CO=CE,NCOA=NCEB,：.ZCOE=ZCEBf：.ZCOP=ZCOQ；(3)ZDz4B=150,如 图：ZADB=ZABD=5 ABC为 等 边 三 角 形，NCAB=/CBA=NACB=60,A ZCAD=150,9AD=AC,：.ZADC=ZACD=15f：.NDBC=/DCB=75。,:DB=DC,NPOQ=120。，ZBC=30,ZZ）FO=90U：AD=AC,：.DF=FC：.DO=OC:DB=DO+OB,:DB=CO+OB,：.CD=OB+OC.【点 睛】此 题 考 查 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质、等 腰 三 角 形 的 判 定 和 性 质，等 边 三 角 形 的 判 定 和 性 质，以 及 添 加 辅 助 线 构 造 全 等 三 角 形，掌 握 相 应 的 判 定 和 性 质 是 解 答 此 题 的 关 键.7.（1）见 解 析；（2）D F=4,证 明 见 解 析；（3）空 2答 案 第 16页，共 3 7页【分 析】(1)根 据 题 意 作 出 图 形 即 可：(2)在 0 8 上 截 取 OP=O C,连 接 CP、CE、O E,得 出 ACOE、ACOP是 等 边 三 角 形，根 据 SAS证 明 K P D*COE,由 全 等 三 角 形 的 性 质 和 平 行 线 的 性 质 得 M F 是 等 边 三 角 形，可 得 F=OP=OC即 可；(3)过 点 时 作 怔 _10凡 连 接 C E,作 等 边 ACOE,即 当 点 E到 点 E 时，ME得 最 小 值,由/4=60得 NOME=3 0,故 可 求 出 OE、M E,即 可 得 出 ME的 最 小 值.【详 解】(1)根 据 题 意 作 图 如 下 所 示：如 图，在 OB上 截 取 OP=O C,连 接 CP、CE、OE.：DE=DC,NCDE=60。,:.ACDE是 等 边 三 角 形,：.ZDCE=60,CD=CE,V ZCOP=60,PO=OC,ACOP是 等 边 三 角 形，Zl-ZPC9=60,CP=CO,NDCE=NPCO=60,答 案 第 17页，共 37页:N 2=N 3,在(?和 CO 中，CP=CO Z2=Z3,CD=CE:ACPDNACOE(SAS),A Z 4=Z1=6O,D P=E O,Z5=60,:EF OC,Z F=ZCOD=60,F 是 等 边 三 角 形，:.EO=O F,：.PD=O F,:.OP=D F,.OC=4f/.DF=4,(3)如 图，过 点 M作 ME O E,连 接 C,作 等 边 C U E,即 当 点 E 到 点 时，M E得 最 小 值,V Z 4=60,NOME=30。,.O=g o M=|,ME1=y/OM2-OE,2=32-(1)2=,故 M E的 最 小 值 为 地.2【点 睛】本 题 考 查 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质，等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质，掌 握 相 关 知 识 点 的 答 案 第 1 8页，共 3 7页应 用 是 解 题 的 关 键.8.(1)0,E(2)-l xr 上 或 k-拒 2 2【分 析】(1)分 别 判 断 点。到 线 段 4 0 的 垂 线 的 长 度、点 E 到 线 段 B C的 垂 线 的 长 度、点 尸 到 线 段 A 8的 垂 线 的 长 度 是 否 小 于 或 等 于 1,即 可 得 到 答 案；(2)先 通 过 点)的 坐 标 计 算 出 k 的 到 直 线 的 解 析 式，再 证 明 四 边 形 0A FE是 矩 形、OAB是 等 边 三 角 形 从 而 计 算 出 点 E、尸 的 坐 标，从 而 得 到 点 G 的 横 坐 标 的 取 值 范 围；计 算 出 直 线 0 C 的 解 析 式，将 直 线 0 C 沿 着 垂 直 0 C 的 方 向 向 下 平 移 1得 到 直 线 4，通 过 在 直 线/与 4的 夹 角 范 围 外 不 存 在 四 边 形 0ABC的 关 联 点，得 到 k 的 取 值 范 围.(1)解：如 下 图 所 示，过 点 A 作 A M _ Ly轴，垂 足 为 M；过 点。作 W_L 4 V,垂 足 为 N；过 点 尸 作 切，4 5 垂 足 为 H,过 点/作