等差数列前n项和教学设计_中学教育-高考.pdf
学习必备 欢迎下载 等 差 数 列 前 n 项 和【教学目标】一、知识与技能 1、借助几何图形，通过直观感知，能自觉获得等差数列的前n项和公式的推导思路；理解公式的推导过程，再次感受数形结合的思想。2、理解公式，能用公式解决简单的问题；通过公式运用进一步体会方程的思想；让学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法；进一步加深对等差数列的认识。二、过程与方法 1、启发式教学。从三角形图案入手，以高斯算法引入，设计了很多“想一想”、“试一试”、“探究”，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。2、探究式学习。从高斯算法到倒序相加法，从特殊数列到一般数列求和，从公式的认识到运用，都是以学生探究为主，老师适当指导，总结。三、情感态度与价值观 1、让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。2、培养学生良好的思维习惯，以及为科学勇于创新、不懈努力的探索精神。【教学重点、难点】重点：探索等差数列的前 n 项和公式的推导并获得思路；掌握公式，学会用公式解决简单的问题；体会等差数列的性质、公式与方程的联系。难点：等差数列前 n 项和公式推导思路的获得。解决办法:以三角图案入手，得自高斯算法的启发，设计一个“试一试”，借助几何图形的变化得到“倒”的思路。【教学用具】实物投影仪，多媒体软件，电脑【教学过程】一、情景引入:1、（播放媒体资料）印度泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100 层（见图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？即:1+2+3+100=？少年高斯是如何快速地得出了结论的呢？高斯用的是首尾配对的方法。特点：首项与末项的和：1100101，第 2 项与倒数第 2 项的和：299 101，第 3 项与倒数第 3 项的和：398 101，第 50 项与倒数第 50 项的和：5051101，于是所求的和是：101505050。S100=1+2+3+100=10150=5050 2、试一试：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形。平行四边形中的每行宝石的个数均为101 个，共 100 行。有什么启发？1+2 +3 +98 +99 +100 学习必备 欢迎下载 100+99 +98+3 +2 +1 1+2+3+100=（100+1）1002=5050 想一想：1、你能用一个字说出高斯算法的巧妙之处吗？（配）2、你能用一个字说出第二种算法的巧妙之处吗？（倒）点出方法：倒序相加 二、推进新课 1、探究 1：求 1 到 n 的正整数之和 即：sn=1 23n 123(1)(1)(2)212(1)(1)(1)(1)2nnnnnsnnsnnnsnnnn ns 2、看谁算得快：如图一堆钢管有多少根？56789=25)95(=35 3、探究 2：那么，对于一般的等差数列，又该如何去求它的前 n 项和？即：ns=a1+a2+a3+an 证法 1：利用定义可得：)1()()1()(111dnadaaSdnadaaSnnnnn 两式相加可得：)(21nnaanS 即2)(1nnaanS 证法 2：1231211121(2)(1)aaaaaaaaaaaSaaaSnnnnnnnnn（1）+（2）可得：2)(1nnaanS 2)(1nnaanS 公式变形：将dnaan)1(1代入可得：dnnnaSn2)1(1 综上所述：等差数列求和公式为：dnnnaaanSnn2)1(2)(11 和公式的推导思路理解公式的推导过程再次感受数形结合的思想理解公式能用公式解决简单的问题通过公式运用进一步体会方程的思想让学生进一步体会从特殊到一般再从一般到特殊的思想方法进一步加深对等差数列的认识二过程主动发现问题得到公式推导的思路并能自觉地得到解决办法指导学生合情推理加深认识正确运用探究式学习从高斯算法到倒序相加法从特殊数列到一般数列求和从公式的认识到运用都是以学生探究为主师适当指导总结三情感态度与以及为科学勇于创新不懈努力的探索精神教学重点难点重点探索等差数列的前项和公式的推导并获得思路掌握公式学会用公式解决简单的问题体会等差数列的性质公式与方程的联系难点等差数列前项和公式推导思路的获得解决办法学习必备 欢迎下载 4、认识公式：（1）、用梯形面积公式记忆等差数列前 n 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 n 项和的两个公式.（2）、公式特点：（1）相同点：都需知道 a1与 n （2）不同点：第一个还需知道 an，第二个还需知道 d。5、公式应用：例 1：求等差数列-10，-6，-2，2，前 10 项的和。变式题：等差数列-10，-6，-2，2，前多少项和是 54？解：设题中的等差数列为na，前 n 项为nS 则54,4)10()6(,101nSda 由公式可得5442)01(10nnn 解之得：3,921 nn（舍去）等差数列-10，-6，-2，2前 9 项的和是 54 思考：其实，在求和公式、通项公式中共有首项a1、公差 d、项数 n、末项an、前 n 项和sn五个元素，如果已知其中（三个），联列方程（组），就可求其余（两个）。（知三求二）练习一：1、根据下列条件，求相应的等差数列前 n 项的和 （1）a1=100，d=2，n=50（2）a1=4，a8=18，n=8;（3）a1=14.5，d=0.7，an=32 2、已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，求其前 n 项和的公式.例 2、已知一等差数列有 12 项，a3+a10=4，求s12 （能力提高）练习二：1、已知一等差数列中a5=10，则s9=（C ）A、45 B、60 C、90 D、120 2、已知一等差数列中a3+a6+a9=6，则s11=（B ）A、11 B22 C、0 D、22、想一想：1、等差数列第 k 项与倒数第 k 项的和等于（首末两项的和 ）2、等差数列有奇数项，那么前n 项和等于（中间项乘以项数 ）公式的变式：2)(2)(2)(1121naanaanaasknknnn 和公式的推导思路理解公式的推导过程再次感受数形结合的思想理解公式能用公式解决简单的问题通过公式运用进一步体会方程的思想让学生进一步体会从特殊到一般再从一般到特殊的思想方法进一步加深对等差数列的认识二过程主动发现问题得到公式推导的思路并能自觉地得到解决办法指导学生合情推理加深认识正确运用探究式学习从高斯算法到倒序相加法从特殊数列到一般数列求和从公式的认识到运用都是以学生探究为主师适当指导总结三情感态度与以及为科学勇于创新不懈努力的探索精神教学重点难点重点探索等差数列的前项和公式的推导并获得思路掌握公式学会用公式解决简单的问题体会等差数列的性质公式与方程的联系难点等差数列前项和公式推导思路的获得解决办法学习必备 欢迎下载 三、课堂小结：1、回顾公式的推导，从特殊到一般是我们研究问题的一般方法；2、倒序相加的方法，数形结合的思想；3、掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用。四、作业布置：1、预习新课 2、书面作业：课本 46 页，习题 2.3 A 组 第 2、3 题【板书设计】【教学设计说明】一、情景引入 1、以三角形图案开始，高斯算法引入，激发学生的兴趣。2、因为高斯算法与倒序相加法有一段距离，我设计了一个“试一试”：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？目的是想让同学们从图形变化入手，从感性上体会“倒”的巧妙，启发同学的思维，为自然过渡到“倒序相加法”作准备。我认为这个设计有“四两拨千斤”之效。二、两个探究 1、探究 1，从特殊数列入手，让学生更好地体会“倒序相加法”的优点。2、“看谁算得快”是为了联系“梯形”图形，启发同学的思维，也是加深倒序法的感性认识。3、探究 2：公式的推导，要求学生自觉地应用“倒序相加法”。从情景引入到探究 1、2，到公式的认识，无不体现了“数形结合”的思想。三、例题及习题的选择 例 1 及变式题到例 2 有一定梯度，例 2 有点活，都反映了公式的特点，达到理解公式、自如地运用公式的目的。练习一是基本运用，体现了一定的梯度，第二题是书本的例题，要鼓励学生用多种解法。练习二体现了公式的灵活运用，更要突出解选择题的方法技巧。练习题包含了三种题型，训练全面；能很好地让学生的能力得到逐步提升。整个教学过程都体现了从“一般到特殊，再从特殊到一般”的认知规律。2008-12 课题：等差数列前 n 项的和 公式：an=a1+（n-1）d 2)(1nnaanS dnnna2)1(1 推导过程 例 1 例 2 和公式的推导思路理解公式的推导过程再次感受数形结合的思想理解公式能用公式解决简单的问题通过公式运用进一步体会方程的思想让学生进一步体会从特殊到一般再从一般到特殊的思想方法进一步加深对等差数列的认识二过程主动发现问题得到公式推导的思路并能自觉地得到解决办法指导学生合情推理加深认识正确运用探究式学习从高斯算法到倒序相加法从特殊数列到一般数列求和从公式的认识到运用都是以学生探究为主师适当指导总结三情感态度与以及为科学勇于创新不懈努力的探索精神教学重点难点重点探索等差数列的前项和公式的推导并获得思路掌握公式学会用公式解决简单的问题体会等差数列的性质公式与方程的联系难点等差数列前项和公式推导思路的获得解决办法
