广州市高二数学竞赛试题_中学教育-竞赛题.pdf
20XX 年广州市高二数学竞赛试题 考生注意：1用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；2不准使用计算器；3考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分.一、选择题：本大题共 4 小题，每题 6 分，满分 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.1.设集合2220,1,12Mx xxNy yxx ,则有()A.MN B.NM C.MN D.MN 2已知等差数列na的前n项和为nS,且6135,143aS,则公差d的值为()A.10 B.8 C.6 D.4 3.方程 2111xy 所表示的曲线是 A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆 4.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设向量m,a b，n,bc a，则m/n是2AB的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 二、填空题:本大题共 6 小题，每题 6 分，满分 36 分.5已知3sin45，则sin 2的值为 *.6已知向量a=2,3，b=1,2，若向量m anb与向量a2b共线（,m nR，且0n)，则mn的值为 *.7.在区间1,3和1,2上分别取一个数,记为,a b,则方程22221xyab表示焦点在x轴上并且离心 率小于12的椭圆的概率为 *.8.三棱锥ABCD的所有棱长均为1,顶点A在底面BCD上的正投影为点H,点M在AH上,且 使90BMC,则AM的长为 *.9已知函数 lg1fxx，若1ab，且 f af b，则ab的取值范围是 *.10.对于任意两个正数,x y,定义运算“”如下：xyaxbycxy，其中,a b c为常数.DMNCBAS已知123,234，并且存在一个非零实数d，使得对于任意实数x都有2xdx，则d的值为 *.三、解答题:本大题共 5 小题，满分 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(本小题满分 15 分)已知函数 coscossin0f xxxaxa的最大值为32.(1)求a的值;(2)若524f ,求3f的值.12.(本小题满分 15 分)如图,在三棱锥SABC中,SA平面ABC,90ABC,2,4SABCAB,M,N D分别是,SC AB BC的中点.(1)求证:MNAB;(2)求二面角SNDB的余弦值;(3)求点M到平面SND的距离.13.(本小题满分 20 分)已知平面内的动点P到点1,02F的距离比它到直线32x 的距离小1，记动点P的轨迹为 曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若直线10 xy 与曲线C相交于A、B两点,问在曲线C上是否存在点Q,使QAB为等边 三角形?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.14.(本小题满分 20 分)卷满分分一选择题本大题共小题每题分满分分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的设集合则有已知等差数列的前项和为则公差的值为且方程所表示的曲线是一个圆两个圆半个圆两个半圆的内角的对边分别为设向量则的值为已知向量向量与向量共线且则的值为在区间和上分别取一个数记为则方程率小于的椭圆的概率为表示焦点在轴上并且离心三棱锥的所有棱长均为顶点在底面上的正投影为点点在上且使则的长为已知函数且则的取值范围是对大题共小题满分分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分已知函数求的值的最大值为若求的值本小题满分分如图在三棱锥中平面分别是的中点求证求二面角的余弦值求点到平面的距离本小题满分分已知平面内的动点已知数列na的前n项和为nS,对任意nN*都有11nnaSaa（a为常数，0,1aa）.(1)求数列na的通项公式;（2）令1nnnSba，若数列nb为等比数列，求a的值；(3)在满足(2)的条件下,记11111nnncaa,设数列nc的前n项和为nT,求证:124nTn.15.(本小题满分 20 分)已知函数 21ln,(,2fxx g xaxbx a bR).（1）当2b 时，求函数 h xf xg x的单调区间；（2）设函数 f x的图象1C与函数 g x的图象2C交于不同两点P、Q，过线段PQ的中 点作x轴的垂线分别交1C、2C于点M、N，试判断1C在点M处的切线与2C在点N 处的切线是否平行，并说明理由.卷满分分一选择题本大题共小题每题分满分分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的设集合则有已知等差数列的前项和为则公差的值为且方程所表示的曲线是一个圆两个圆半个圆两个半圆的内角的对边分别为设向量则的值为已知向量向量与向量共线且则的值为在区间和上分别取一个数记为则方程率小于的椭圆的概率为表示焦点在轴上并且离心三棱锥的所有棱长均为顶点在底面上的正投影为点点在上且使则的长为已知函数且则的取值范围是对大题共小题满分分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分已知函数求的值的最大值为若求的值本小题满分分如图在三棱锥中平面分别是的中点求证求二面角的余弦值求点到平面的距离本小题满分分已知平面内的动点20XX 年广州市高二数学竞赛试题 参考答案与评分标准 说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：每小题 6 分，满分 24 分。1A 2C 3D 4C 二、填空题：每小题 6 分，满分 36 分。5725 612 72 334 866 94,103 三、解答题：满分 90 分。11.(1)解:coscossinf xxxax2cossincosxaxx 11cos 2sin 222axx 11sin 2cos 222axx 211sin 222ax (其中1tana).函数 f x的最大值为32 2113222a ,解得3a.(2)解:由(1)知 1sin 262f xx.524f ,15sin624,得3sin64.3f1sin 2362 1sin2232 卷满分分一选择题本大题共小题每题分满分分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的设集合则有已知等差数列的前项和为则公差的值为且方程所表示的曲线是一个圆两个圆半个圆两个半圆的内角的对边分别为设向量则的值为已知向量向量与向量共线且则的值为在区间和上分别取一个数记为则方程率小于的椭圆的概率为表示焦点在轴上并且离心三棱锥的所有棱长均为顶点在底面上的正投影为点点在上且使则的长为已知函数且则的取值范围是对大题共小题满分分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分已知函数求的值的最大值为若求的值本小题满分分如图在三棱锥中平面分别是的中点求证求二面角的余弦值求点到平面的距离本小题满分分已知平面内的动点HEFDMNCBAS 1cos 232 2112sin62 2311 242 38.12.(1)证明:取AC的中点E,连接,ME NE.则/MESA,又SA平面ABC,ME 平面ABC.AB 平面ABC,MEAB.,N E分别为,AB AC的中点,/NEBC.90ABC,即ABBC,NEAB.,MENEE ME平面,MNE NE 平面,MNE AB 平面MNE.MN 平面MNE,MNAB.解:过A作AFDN且与DN的延长线相交于点F,连接SF.由三垂线定理知,SFA是二面角SNDA的平面角,也是二面角SNDB的平面角的补角,在 Rt DBN中，225NDDBNB，5sin5DBDNBND.在 Rt AFN中，AFAN52 5sin255ANF.在 Rt SAF中，22SFSAAF2 305，6cos6AFAFSSF.二面角SNDB的余弦值为66.(2)解:过点A作AHSF于H,由(2)知平面SAF 平面SND,且平面SAF平面SNDSF,AH 平面SND.AH的长为点A到平面SND的距离.在 Rt AFN中，SA AFAHSF63.卷满分分一选择题本大题共小题每题分满分分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的设集合则有已知等差数列的前项和为则公差的值为且方程所表示的曲线是一个圆两个圆半个圆两个半圆的内角的对边分别为设向量则的值为已知向量向量与向量共线且则的值为在区间和上分别取一个数记为则方程率小于的椭圆的概率为表示焦点在轴上并且离心三棱锥的所有棱长均为顶点在底面上的正投影为点点在上且使则的长为已知函数且则的取值范围是对大题共小题满分分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分已知函数求的值的最大值为若求的值本小题满分分如图在三棱锥中平面分别是的中点求证求二面角的余弦值求点到平面的距离本小题满分分已知平面内的动点点M是SC的中点,点M到平面SND的距离是点C到平面SND的距离的12倍./ACND,/AC平面SND.点C到平面SND的距离等于点A到平面SND的距离.点M到平面SND的距离是66.13.(1)解法 1:点P到点1,02F的距离比到直线32x 的距离小1，点P到点1,02F的距离与它到直线12x 的距离相等。点P的轨迹是以点1,02F为焦点，直线12x 为准线的抛物线.曲线C的方程为22yx.解法 2:设点P的坐标为,x y,依题意得,2213122xyx .当32x 时,得221122xyx,化简得22yx.当32x 时,得221522xyx 得52x 化简得2660yx,得1x,矛盾.曲线C的方程为22yx.(2)解:设A、B的坐标分别为 1122,x yxy,线段AB的中点为00,D xy.由210,2.xyyx 消去x,得2220yy.12122,2yyy y .12012yyy,0012xy.点 2,1D.卷满分分一选择题本大题共小题每题分满分分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的设集合则有已知等差数列的前项和为则公差的值为且方程所表示的曲线是一个圆两个圆半个圆两个半圆的内角的对边分别为设向量则的值为已知向量向量与向量共线且则的值为在区间和上分别取一个数记为则方程率小于的椭圆的概率为表示焦点在轴上并且离心三棱锥的所有棱长均为顶点在底面上的正投影为点点在上且使则的长为已知函数且则的取值范围是对大题共小题满分分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分已知函数求的值的最大值为若求的值本小题满分分如图在三棱锥中平面分别是的中点求证求二面角的余弦值求点到平面的距离本小题满分分已知平面内的动点 21212114AByyy y2 6.假设曲线C上存在点Q,使QAB为等边三角形,设点33,Q x y,由DQAB,得331112yx ,即3330 xy .又33133 222xyDQAB,得3316xy .由333330,16xyxy 或333330,16.xyxy 解得335,2,xy或331,4,xy 点Q的坐标为 5,2或1,4.点 5,2或1,4 不在曲线C上,曲线C上不存在点Q,使QAB为等边三角形.14.(1)解:当1n 时,11111aaSaa,解得1aa,当2n 时,111111nnnnnaaaSSaaaa,整理得1nnaaa.数列na是首项为a,公比为a的等比数列.1nnnaaaa.(2)解:由(1)得 11nnaSaa,则1nnnSba 2111naaaaa.32123221212,1aaabbbaaa.由221 3bbb,得 2322212121aaaaaa,解得12a.又12a 时,2nnb,显然数列nb为等比数列，故12a.卷满分分一选择题本大题共小题每题分满分分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的设集合则有已知等差数列的前项和为则公差的值为且方程所表示的曲线是一个圆两个圆半个圆两个半圆的内角的对边分别为设向量则的值为已知向量向量与向量共线且则的值为在区间和上分别取一个数记为则方程率小于的椭圆的概率为表示焦点在轴上并且离心三棱锥的所有棱长均为顶点在底面上的正投影为点点在上且使则的长为已知函数且则的取值范围是对大题共小题满分分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分已知函数求的值的最大值为若求的值本小题满分分如图在三棱锥中平面分别是的中点求证求二面角的余弦值求点到平面的距离本小题满分分已知平面内的动点(3)证明:由(2)知12a,故12nna .11111nnncaa11222121nnnn 111112121nn 11122121nn 12222121nnn.当2n 时,1222121nnn 112211221242 21nnnnn.12222121iniii1212nii131112211412n .11221244nTnn .15.（1）解：2b，h xf xg x21ln22xaxx，函数 h x的定义域为0,.21212axxhxaxxx .当0a 时，12xhxx，令 0,h x 得102x；令 0,h x 得12x.函数 h x的单调递增区间为10,2，单调递减区间为1,2.当0a 时，令 0,h x 得2210axxx，0,x 2210axx.44a.卷满分分一选择题本大题共小题每题分满分分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的设集合则有已知等差数列的前项和为则公差的值为且方程所表示的曲线是一个圆两个圆半个圆两个半圆的内角的对边分别为设向量则的值为已知向量向量与向量共线且则的值为在区间和上分别取一个数记为则方程率小于的椭圆的概率为表示焦点在轴上并且离心三棱锥的所有棱长均为顶点在底面上的正投影为点点在上且使则的长为已知函数且则的取值范围是对大题共小题满分分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分已知函数求的值的最大值为若求的值本小题满分分如图在三棱锥中平面分别是的中点求证求二面角的余弦值求点到平面的距离本小题满分分已知平面内的动点 （）当0，即1a 时，得2210axx，故 0,h x 函数 h x的单调递增区间为0,.（）当0，即1a 时，方程2210axx 的两个实根分别为 1244112aaxaa，211axa.若10a ，则120,0 xx，此时，当 10,xx时，0,h x 当1,xx时，0h x.函数 h x的单调递增区间为11,aa，单调递减区间为110,aa.若0a，则120,0 xx，此时，当 20,xx时，0,h x 当2,xx时，0,h x.函数 h x的单调递增区间为110,aa，单调递减区间为11,aa.综上所述，当0a 时，函数 h x的单调递增区间为110,aa，单调递减区间 为11,aa；当10a 时，函数 h x的单调递增区间为11,aa，单调递减区间为 110,aa；当1a 时，函数 h x的单调递增区间为0,，无单调递减区间.（2）证法 1：设点P、Q的坐标分别是 112212,0 x yxyxx.则点M、N的横坐标为122xxx.1C在点M处的切线斜率为12112212xxxkxxx，卷满分分一选择题本大题共小题每题分满分分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的设集合则有已知等差数列的前项和为则公差的值为且方程所表示的曲线是一个圆两个圆半个圆两个半圆的内角的对边分别为设向量则的值为已知向量向量与向量共线且则的值为在区间和上分别取一个数记为则方程率小于的椭圆的概率为表示焦点在轴上并且离心三棱锥的所有棱长均为顶点在底面上的正投影为点点在上且使则的长为已知函数且则的取值范围是对大题共小题满分分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分已知函数求的值的最大值为若求的值本小题满分分如图在三棱锥中平面分别是的中点求证求二面角的余弦值求点到平面的距离本小题满分分已知平面内的动点 2C在点N处的切线斜率为1212222xxxa xxkaxbb.假设1C在点M处的切线与2C在点N处的切线平行，则12kk，即121222a xxbxx，则212221211222xxaxxb xxxx 2222112121lnln22aaxbxxbxyyxx .21221121ln1xxxxxx.设21xtx，则 21ln,11tttt.（*）令 21ln,11th tttt，则 22211411th ttttt.1t，0h t.h t在1,上单调递增.10h th，即 21ln1ttt，这与（*）式矛盾，假设不成立.1C在点M处的切线与2C在点N处的切线不平行.证法 2：设点P、Q的坐标分别是 112212,0 x yxyxx.则点M、N的横坐标为122xxx.1C在点M处的切线斜率为12112212xxxkxxx，2C在点N处的切线斜率为1212222xxxa xxkaxbb.卷满分分一选择题本大题共小题每题分满分分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的设集合则有已知等差数列的前项和为则公差的值为且方程所表示的曲线是一个圆两个圆半个圆两个半圆的内角的对边分别为设向量则的值为已知向量向量与向量共线且则的值为在区间和上分别取一个数记为则方程率小于的椭圆的概率为表示焦点在轴上并且离心三棱锥的所有棱长均为顶点在底面上的正投影为点点在上且使则的长为已知函数且则的取值范围是对大题共小题满分分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分已知函数求的值的最大值为若求的值本小题满分分如图在三棱锥中平面分别是的中点求证求二面角的余弦值求点到平面的距离本小题满分分已知平面内的动点 假设1C在点M处的切线与2C在点N处的切线平行，则12kk，即121222a xxbxx，则212221211222xxaxxb xxxx 2222112121lnln22aaxbxxbxyyxx .122121lnln2xxxxxx.10 x，2221111 ln21xxxxxx.设21xtx，则 1 ln21,1tttt.（*）令 1 ln21,1h ttttt，则 1ln1h ttt.221111lntttttt 00t，1lntt在1,上单调递增.1lnln1 11tt .1ln10h ttt .函数 h t在1,上单调递增.10h th，即 1 ln21ttt，这与（*）式矛盾，假设不成立.1C在点M处的切线与2C在点N处的切线不平行.卷满分分一选择题本大题共小题每题分满分分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的设集合则有已知等差数列的前项和为则公差的值为且方程所表示的曲线是一个圆两个圆半个圆两个半圆的内角的对边分别为设向量则的值为已知向量向量与向量共线且则的值为在区间和上分别取一个数记为则方程率小于的椭圆的概率为表示焦点在轴上并且离心三棱锥的所有棱长均为顶点在底面上的正投影为点点在上且使则的长为已知函数且则的取值范围是对大题共小题满分分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分已知函数求的值的最大值为若求的值本小题满分分如图在三棱锥中平面分别是的中点求证求二面角的余弦值求点到平面的距离本小题满分分已知平面内的动点
