微积分及经济学应用_高等教育-微积分.pdf

第 3 章 微积分及其经济学应用 3.1 一元函数和多元函数 在数学上，函数的定义为：如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对任意给定的x值，仅存在一个y值与其对应，则称y是x的函数，表示为)(xfy。其中x为自变量，y为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量，因此该函数称为一元函数。x能够取得的所有值的集合称为函数定义域，y能够取得的所有值的集合称为函数值域。在对经济问题的分析过程中，我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如，在商品的供求关系中，定义某种商品价格为P，需求量为DQ，供给量为SQ。那么，需求与价格的函数关系可以表示为：)(PfQD，)(PgQS。然而我们所处的经济环境是非常复杂的，每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此，采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数是在一个函数关系中函数值是由多个变量确定的，用),(21nxxxfy的形式来表示，它表示因变量y的值取决于n个自变量nxxx,21的大小。例如在消费理论的基本假设中，每个消费者都同时对多种商品有需求，“效用”取决于所消费的各种商品的数量，效用函数就可以表示为),(21nxxxfU，其中U表示消费者的效用，nxxx,21是对n种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样，生产函数常表示为),(KLfy，y为产出水平，K表示资本，L表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。Q=A*L alpha*K belta A=1;alpha=0.5;belta=0.5;欢迎下载 2 0246810051015051015资 本柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数劳 动 力产值 3.2 水平曲线 二元函数),(yxfz 的水平曲线定义为：Cyxf),(，C为常数，它表示曲面上z值为常数C的点),(yx连接而成的曲线。对于三元函数),(zyxfM，称Czyxf),(为水平曲面，它表示M值为常数C的点),(zyx连接而成的曲面。水平曲线在经济学中有重要的应用，如生产函数为),(KLfy，其中y为产出，L为劳动力，K为资金，如下图所示第一象限中的点表示正的劳动投入和资金投入的所有可能组合，且每一个点对应一个y值，所有对应5y的点（L，K）连接起来就是一条曲线，这条曲线就是一条水平曲线，经济学家将这条水平曲线称为等产量曲线，实际上这条曲线是用5y平面截曲面),(KLfy 所得曲线在KL平面的投影。自然这条曲线上所有点对应的y值为 5，如下图中，点 A、B、C、D 对应的y值皆为 5，因此将这条水平线也称为等值线、等高线，E 点则代表产出为 10 的等产量曲线，F 点则代表产出为 15 的意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 3 等产量曲线，可见越向右上方向的等产量曲线的产出值越大。KLO-ABCDEF5y10y15y生产函数的水平曲线 在消费理论中，假设消费者只消费两种商品，那么它的效用取决于这两种商品消费量的组合。如果用U表示效用，21,xx分别表示这两种商品的消费量，那么它的效用函数就是二元函数，可以表示为),(21xxUU。平面直角坐标系第一象限中的点表示出两种商品消费量的所有可能组合，平面上的每一点对应),(21xxU曲面上的一个值。如果将对应0U的点连起来就表示在效用水平为0U的情况下的一条水平曲线。经济学上将这条水平曲线称为无差异曲线或等效用曲线。3.3 极限 1.极限的定义 数列极限的定义：在数列na中，任取0，如果存在N，使得当Nn 时，Aan，则称当n趋于无穷大时，A为na的极限。表示为：Aannlim或者Aan)(n。在数列na中，na与n一一对应，因此可以将na视为定义域为正整数n的函数)(nfan。因此对数列极限的定义进行推广，就可以得到函数)(xf当x和0 xx 意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 4 极限的定义。函数极限的定义 当x时函数极限的定义：任取0，存在X，使得当Xx 时，Axf)(，那么常数A为当x时)(xf的极限，记为Axfx)(lim或者 Axf)()(x。当0 xx 时函数极限的定义：任取0，存在0，使得当00 xx时，Axf)(，那么常数A为当0 xx 时)(xf的极限，记为Axfxx)(lim0或者Axf)()(0 xx。2.左极限与右极限 当x从0 x的左侧（即小于0 x的方向）趋向于0 x（记为0 xx），若此时)(xf有极限A，则称A为当0 xx时的左极限。记为Axfxx)(lim0或者Axf)()(0 xx。当x从0 x的右侧（即大于0 x的方向）趋向于0 x（记为0 xx），若此时)(xf有极限A，则称A为当0 xx时的右极限。记为Axfxx)(lim0或者Axf)()(0 xx。3.极限的运算法则 定理：如果Axfxx)(lim0，Bxgxx)(lim0，且 A，B 有限则(1)BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000(2)ABxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000(3)(lim)(lim00 xfcxcfxxxx(4)nxxnxxxfxf)(lim)(lim00 4.两个重要的极限 (1)1sinlim0 xxx，(2)exxx)11(lim 3.4 连续复利 连续复利的计算，是函数极限在经济学的经典应用。假设一个人将a元存入银行，银意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 5 行年利率为r，若利息按复利计息，每年计算一次，则年底时他的存款总额为)1(ra。如果银行改为半年计算一次利息，年利率不变，则半年的利率为2r，则年底时，他的存款总额应为2)21(ra元。当银行每年计息n次，可以推得，年底时存款总额应为nnra)1(元。当银行在年内连续计息时，即n时，年底存款总额为nnnra)1(lim元。对其求极限可以得到：rrrnnrrnnnnaenranranra)1(lim)1(lim)1(lim 因此，在连续计息的情况下，年底时这个人的存款的余额为rae元。我们可以将其推广到存款多年的情况，在连续计息时，第二年年底的存款余额为rrraeeae2元，则可以得出t年末的存款余额为trae元。因此，连续复利时，本金为a元，年利率为r，则t年末的资金余额为：traeFV 元。同样可以得到，t年末的资金a元，在连续复利的情况下，贴现值为：traePV。3.5 一元函数的导数 1.一元函数导数的定义：设)(xfy 为定义在集合D上的一元函数，Dx 0，则函数在0 x点处的导数定义为：00)()(lim00 xxxfxfdxdyxxxx或xxfxxfxfx)()(lim)(0000 2.导数的四则运算法则：设函数)(xf和)(xg都在x点可导，则这两个函数的和、差、积、商均在x点可导。(1)()(xcfxcf(c为常数)；(2)()()()(xgxfxgxf；意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 6(3)()()()()()(xgxfxgxfxgxf；(4)()()()()()()(2xgxgxfxgxfxgxf，0)(xg 3复合函数的导数链式法则 设函数)()(xgfxh是和)(xgu 的复合函数，且函数)(xgu 在x点处可导，)(ufy 在u点处可导，则有)()()()(xgxgfxgfxh 或dxdududydxdy（链式法则）3.6 二元函数求偏导 3.6.1 二元函数的一阶偏导数 二元函数的偏导数的定义为：设函数),(yxfz 在点),(00yx的一个邻域有定义，当y固定在0y而x在0 x处有增量x时，如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz 在点),(00yx的对x的偏导数，记作),(00yxxz，),(00yxxf，),(00yxzx或),(00yxfx 类似地，函数),(yxfz 在点),(00yx处对y的偏导数定义为 yyxfyyxfy),(),(lim00000 记作),(00yxyz，),(00yxyf，),(00yxzy或),(00yxfy 如果函数),(yxfz 在定义域D内每一点),(yx对x的偏导数都存在，那么这个偏导数是x、y的函数，它就称为对x的偏导数函数。记作xz，xz，),(yxfx 类似地，可以定义对自变量y的偏导数函数，yz，yz，),(yxfy 意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 7 在),(yxfz 求偏导数时，实际上和一元函数求导方法相同，求xf时，只要把 y 看作常量而对x求导数；求yf时，只要把x看作常量而对y求导数。3.6.2 二元函数高阶偏导数 设函数),(yxfz 在定义域D内具有偏导数),(yxfx，),(yxfy，那么在D内),(yxfx，),(yxfy都是x、y的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数),(yxfz 的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：),(22yxfxzxzxxx，),(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx，),(22yxfyzyzyyy 类似地，可以定义三阶、四阶以及n阶偏导数，二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，在二阶偏导数计算中引出一个重要定理：杨格定理 如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数xyz2，yxz2在区域 D内连续，那么自该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。杨格定理说明在求导时不必关心求导的顺序。3.7 多元函数的求导 二元函数偏导数的概念可以推广到多元的情况，定义为：xxxxxfxxxxxfxxxffninixn),(),(lim),()(2121021x多元偏导数的计算并不需要引入新的方法。因为在函数中仅有一个自变量在变化，其他各个自变量都是固定的，所以，在计算时只需要将其他自变量看作常量，对变动的自变量运用一元函数求导法则计算即可。二元函数的杨格定理也可以直接推广到多元函数 意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 8 如果n元函数),(21nxxxf对于ix的一阶偏导数函数是连续的，则有 ijjixxfxxf)()(22xx 对于多元函数的求导有一个重要的向量和矩阵，称为梯度向量和海赛（Hessian）矩阵 定义 n元函数),()(21nxxxffx对于ix的一阶偏导数构成的n维列向量称为梯度向量，记为)(xf，即)()()(1xxxnfff，其中iixff)()(xx n元函数),()(21nxxxffx的所有二阶偏导数组成的矩阵称为)(xf的海赛（Hessian）矩阵，记为)(xH：即)()()()()()()(1221111xxxxxxxnnnnnffffffH 其中jiijxxff)()(xx2，根据杨格定理，jiijff，故)(xH为对称矩阵。3.8 隐函数 3.8.1 定义 我们将方程0),(21nxxxyF确定的函数关系，称为隐函数，既对于任意一组变量),(21nxxxX，相应地总有满足方程0),(21nxxxyF的唯一的y值存在，那么就称方程0),(21nxxxyF确定了一个隐函数1。1隐函数不一定能写为 y=f(x)的形式，因此按照函数“设 x 和 y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 9 把隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如将方程0),(21nxxxyF解出),(21nxxxFy，就把隐函数化成显函数。要注意的是方程0),(yxF能确定隐函数，一 般并 不都能 从方 程中 解出y，并用 自变 量x的 算式 来表示。对 于方 程.0sin21yxy可以证明确实存在一个定义在),(上的函数)(xf，使得,0)(sin21)(xfxxf但这函数)(xf却无法用x的算式来表达。3.8.2 隐函数经济问题的应用 在经济问题分析中，需要计算隐函数的导数和偏导数。例如，经济学中的一个内生变量 y 和一组外生变量nxxx,21常满足一个方程 0),(21nxxxyF 在一定条件（或一定经济背景）下，对某给定区域给定上述变量，由方程0),(21nxxxyF可确定唯一的内生变量 y 的值。我们需要研究外生变量ix的变化如何影响内生变量 y 的变化，即需要求内生变量关于外生变量的偏导数xy/，用作经济理论的分析。3.8.3 隐函数定理 3.8.3.1 一个方程的情形 隐函数存在惟一性定理 若函数),(yxF满足下列条件：（1）函数),(yxF在以0P),(00yx为内点的某一区域2RD 上连续；（2）0),(00yxF（通常称为初始条件）；（iii）在D内存在连续的偏导数 yxFy,；（3）00,yxFy0，则在点0P的某邻域DPU)(0内，方程 yxF,=0 惟一地确定一个定义 则在某区间),(00 xx内的函数（隐函数）)(xfy，使得 若对于 D 中的每个值 x，变量 y 按照一定的法则有一个确定的值 y 与之对应，称变量 y 为变量 x 的函数，记作 y=f(x).”的定义，隐函数不一定是“函数”，而是“方程”。总的说来，函数都是方程，但方程却不一定是函数。意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 10 00yxf,当),(00 xxx时，)()(,(0PUxfx且0)(,xfxF；xf在),(00 xx内连续.例 如 方 程 为.0)(),(22222yxyxyxF由 于0)0,0(F，F与yyxyFy2)(422均连续，故满足定理条件(1)(2)(3)但因0)0,0(yF，致使在原点的无论怎样小的邻域内都不可能存在唯一的隐函数 隐函数可微性定理 （1）设),(yxF满足隐函数存在唯一性定理中的条件)3()1(，又设在 D 内还存在连续的偏导数),(yxFy，则由方程0),(yxF所确定的隐函数在)(xfy 在其定义域),(00 xx内有连续导函数，且.),(),()(yxFyxFxfdxdyyx （2）设三元函数),(zyxF满足隐函数存在唯一性定理中的条件)3()1(，又设在3RD 内还存在连续的偏导数),(zyxFz，则由方程0),(zyxF所确定的隐函数在),(yxfz 在其定义域内有连续偏导函数，且,),(),(zyxFzyxFxzzx),(),(zyxFzyxFyzzy 3.8.3.2 方程组的情况 我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数，而且增加方程的个数。例如，考虑方程组 这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此该方程组就有可能确定两个二元函数。在这种情况下，我们可以由函数 F、G 的性质来断定由该方程组所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质，我们有下面的定理。方程组的隐函数定理 设函数),(vuyxF，),(vuyxG满足下列条件（1）在点00000(,)P xy u v的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数；（2）0),(0000vuyxF，0),(0000vuyxG；（3）函数vuGF,对的偏导数所组成的函数行列式(或雅可比行列式)0),(0),(vuyxGvuyxF意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 11 0),(),(vuvuGGFFvuGFJ，在点00000(,)P xy u v 则方程组0),(vuyxF，0),(vuyxG在点0P的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),(yxvvyxuu，满足条件),(000yxuu，),(000yxvv 并有偏导数公式 ),(),(1vxGFJxu ，),(),(1xuGFJxv ),(),(1vyGFJyu ，),(),(1yuGFJxv 3.8.4 隐函数求导例子 根据以上三个定理，可对隐函数进行求导。例 1 设2sinyexyx，求dxdy.解 设 2sin),(yexyyxFx，因为yxyxFexyyFyxx2cos,cos 所以yxyxexyyFFdxdyxyx2coscos 例 2 设方程0yvxu，1xvyu，求偏导数yvxvyuxu,解 将所给方程的两边对x求偏导数并移项，得 vxuxxuyuxuyxux 在022yxxyyxF条件下，2222yxyvxuyxxvyuxu；2222yxxvyuyxvyuxxv 同理，方程的两边对y求偏导数，解方程组得 意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 12 22yxyuxvyu，22yxyvxuyv 例 3 假设方程0),(LKQF隐含地定义了一个生产函数),(LKfQ，让我们求出表示与函数 F 相关的边际物质产品KMPP和LMPP的方法。因为边际产品仅为偏导数KQ和LQ,我们可应用隐函数法则并写出：QKKFFKQMPP 和 QLLFFLQMPP.此外，我们还可由方程0),(LKQF得到另一个偏导数 KLFFLK.它的经济含义是：当劳动力 L 发生变化时，为了保持产量不变，资本 K 的变化。因此，此偏导数所描述的 K 和 L 的变化实质上是一种“补偿”变化，从而使产出 Q 维持在某一特定水平不变，因而这种变化属于沿着等产量曲线上的移动，该等产量曲线以 K 为纵轴，L 为横轴绘制。实际上，导数LK表示等产量线斜率，它在正常情况下为负。而LK则是两种投入的边际技术替代率。例4 设xyuvyxvu33，求xu和xv，yu和yv.解 令 xyuvvuyxGyxvuvuyxF33),(),(则xyvuvyxuGGFFvuGFJvuvu2222933),(),(而 xvvxvGGFFvxGFvxvx32331),(),(vyuyvuGGFFxuGFxuxu22313),(),(意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 13 xuvvuxGGFFvyGFvyvy22331),(),(yuuyuGGFFyuGFyuyu32313),(),(从而 22393),(),(1vuxyxvvxGFJxu，22293),(),(1vuxyvyuxuGFJxv 22393),(),(1vuxyxuvvyGFJyu，22293),(),(1vuxyyuyuGFJyu 事实上，对具体题目可以不用该公式计算，而直接用隐函数方程两边同时求偏导解方程组的方法来做。3.9 边际、弹性和增长率 3.6.1 边际（Marginality）在经济学研究中许多重要的概念是用导数来描述的，数学上的导数概念对应经济学上的边际概念，利用导数进行经济分析，简称边际分析。经常用到的边际量有边际收入、边际成本、边际产量、边际利润等。在经济学上对于函数)(xfy 在0 x点的边际定义为：)()1(00 xfxf，记为)(0 xMf 边际的数值可以用)(0 xf近似的代替，虽然一阶导数的概念和边际的概念不同，但是为了边际计算的简单性，经济学家在计算边际数值时仍然采用一阶导数的数值代替。例 设某商品的总成本函数为1262)(2QQQC，求200Q时的边际成本 解按照边际的概念求200Q时的边际成本为：88)20()21(CC 200Q时的一阶导数值为：86)20(C 可见用导数计算出的数值和边际定义计算出的数值不同，但比较接近边际数值。对于多元函数),(21nxxxfy关于ix的边际的定义为：意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 14),(),1,(),(212121nninxxxfxxxxfxxxMf，边际表示在其他变量均不发生改变的情况下，第i个变量增加一个单位因起函数值的变化。对于多元函边际数值的计算可以用偏导近似代替。如当消费者消费n种商品时，其效用函数为),(21nxxxUU，如果其中第i种商品的消费量发生改变，其边际效用为：innixxxxUxxxMU),(),(2121 例 3.1 给定生产函数7.03.096LKQ，求边际产出KMPP和LMPP。解：对生产函数两边取对数可得：LKQln7.0ln3.096lnln 由此可以得到：7.0)(8.283.0lnlnKLKQKdQdKQdKdQMPPK 3.0)(2.677.0lnlnLKLQLdQdLQdLdQMPPL 定理 两个函数乘积的弹性等于两个函数弹性的和；两个函数商的弹性等于两个函数弹性的差；两个符合函数的弹性等于两个函数弹性的乘积，即 设)(),(xguufy，则uxyuyx。3.6.2 弹性(Elasticity)函数)(xfy 关于0 x的弹性定义为 00lnlnxxyxdxdyyxxdyd，表示当x由0 x增加一个百分比时，y的增加或减少的百分比。当1yx时，称y关于x弹性不足或缺乏弹性，此时y变动的百分率小于x变动的百分率。当1yx时，称y关于x弹性充足或富有弹性，此时y变动的百分率大于x变动的百分率。意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 15 当1yx时，称y关于x为单位弹性，此时y变动的百分率等于x变动的百分率。n元函数),(21nxxxfy对ix的弹性定义为：yxxyEiiyxi，由于采用偏导数来定义故对于多元函数称为偏弹性。由弹性的定义可以看到，弹性表示自变量x的变化的百分率引起因变量y变化的百分率的比值，是无量纲的。例 3.2 某种商品的需求函数为)(PQQ，Q为该商品的需求量，P为商品价格，则收益PQR。讨论其需求价格弹性。求其边际收益可以得到：)1(dPdQQPQdPdQPQdPdR 因为它的需求价格弹性为dPdQQPQp，且通常情况下，0dPdQ，因此，代入可得：)1(QdPdR。当1时，0dPdR，此时收益是价格的减函数，如果降低商品价格，能够提高收益。当1时，0dPdR，此时收益是价格的减函数，如果提高商品价格，能够提高收益。进一步，根据需求函数)(PQQ，取其反函数可以求得价格函数为)(QPP，则)(QQPR，其边际收益为：)11()1(PdQdPPQPdQdPQPdQdRMR 在经济学中，厂商生产的均衡条件为：MCMR，从而)11(PMC，将其变形可得：11MCP 这个公式可以作为厂商定价的依据。根据这个公式我们可以发现，在边际成本一定的情况下，需求价格弹性越大价格就越低，需求价格弹性越小价格就越高，因此，垄断企业在具有不同价格弹性的市场，产品的定价不同。例 3.3 设 某 个 消 费 者 关 于n种 商 品 的 需 求 函 数 为),(21YPPPfxnii 意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 16),2,1(ni，其中nPPP,21分别为n种商品的价格，Y为该消费者的收入。求：(1)第i种商品的需求价格弹性；(2)第i种商品需求关于第j种商品的价格的交叉价格弹性；(3)第i种商品的需求收入弹性。解：(1)第i种商品的需求价格弹性可表示为iiiipxxPPxii,。(2)需求的交叉价格弹性，用来描述一种商品的需求量对另外一种商品价格变化的灵敏度，可表示为ijjijijiPxxPPxPxPxji,(ji)。则第i种商品需求关于第j种商品的价格的交叉价格弹性为ijjiPxxPPxji,(ji)。(3)商品的需求收入弹性表示一种商品的需求量对收入变化的敏感程度。第i种商品的需求收入弹性为：iiYxxYYxi,3.6.3 增长率(Growth rate)设y是t的函数且)(tfy，则在0t时刻y的增长率定义为：00lnttttyyydtydr 定理 给定两个可导函数)(tfu，)(tgv，用vur，vur，uvr，vur/分别表示两个函数和、差、积、商的增长率，则 （1）vuuvrrr（2）vuvurrr/（3）vuvurvuvrvuur（4）vuvurvuvrvuur 例 3.4 若货币需求dM是国民收入)(tYY 及利息率)(tii 的函数，求证：dM增长率可以表成Yr与ir的加权之和，其中权数分别为dM对Y与i的弹性。意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的效用是对种商品的费量这个函数称为效用函数同样生产函数常表示为为产出水平表示资本表示劳 欢迎下载 17 证明：由于)(),(titYfMd，由增长率的定义，应用全导数公式可以得到：iiMYYMdddddddddMrrdtdiiiMMidtdYYYMMYdtdiiMdtdYYMMdtdMMrddd11)(11 即dM的增长率可以表示成Yr与ir的加权之和，其权重分别为dM对Y与i的弹性。3.10 水平曲线的分析（1）边际递减规律 经济学家认为生产函数是增函数，因此0Lf、0Kf，又认为投入要素的边际生产率是递减的，就是随着要素投入量的增加，总产量增加，但是边际产量是不断减少的，即0,0KKLLff，这条规律称边际递减规律。如果生产函数是一元函数，则该函数是凹函数。（2）边际替代率分析 对于生产函数),(KLfy 来讲，水平曲线上点的位置虽不同但是却有相同的产量，如何来解释这一现象呢？如下图所示，从 A点到 B 点的移动分为两步，由 A点减少资金量K，保持劳动力L不变垂直移动到 C 点，再由 C 点增加劳动力L，保持资金量K不变移动到 B点，从 A点到 C点产出量y的改变量为 A点的资金边际产量乘以资金减少量，记作KfK，从 C点到 B点产出量y的改变量为 B点的劳动力边际产量乘以劳动力增加量，记作LfL，由于 A点和 B点y的量并没有改变，因此有 KfyK+LfL0 当0,0KL时，上式就成为全微分形式，0dKfdLfKL 即 KLffdLdK 21 从几何上来看dLdK是水平曲线的斜率，因此可以看出水平曲线的斜率为生产函数的一阶偏导数之比的负值，因此方程)(LKK 与CLKLfy)(,(是等价的，当0Kf意给定的值仅存在一个值与其对应则称是的函数表示为其中为自变量为因变量由于函数关系中仅有一个自变量因此该函数称为一元函数能够取得的所有值的集合称为函数定义域能够取得的所有值的集合称为函数值域在对经济问题的为供给量为那么需求与价格的函数关系可以表示为然而我们所处的经济环境是非常复杂的每一个经济变量都要受到多种因素的影响因此采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性所以我们常常采用多元函数来研究经济问题多例如在费理论的基本假设中每个费者都同时对多种商品有需求效用取决于所费的各种商品的数量效用函数就可以表示为其中表示费者的