思维导引幻方与数阵教案_小学教育-小学学案.pdf

学习必备 欢迎下载 幻方和数阵图 幻方 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。需要掌握的幻方填写方法主要有：1、奇数阶幻方 n 为奇数(n=3，5，7，9，11)(n=2k+1，k=1，2，3，4，5)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：把 1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的 n n-1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。口诀：1 居首行正中央,依次右上莫相忘 上出格时往下放,右出格时往左放.排重便往自下放,右上出格一个样 2、双偶阶幻方 n 为偶数，且能被 4 整除(n=4，8，12，16，20)(n=4k，k=1，2，3，4，5)先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。先看看 4 阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：学习必备 欢迎下载 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。这里，n n+1=44+1=17；把 1 换成 17-1=16；把 6 换成 17-6=11；把 11 换成 17-11=6 换完后就是一个四阶幻方。（见右上图）对于 n=4k 阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按 4*4 把它划分成 k*k个方阵。因为 n 是 4 的倍数，一定能用 4*4 的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作 4 阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。(做了解即可)1.请你将 311 这 9 个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。线的几个数之和都相等具有这种性质的图表称为幻方我国古代称为河图洛书又叫纵横图需要掌握的幻方填写方法主要有奇数阶幻方为奇数奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法填写方法是这样把或最小的数放在第么就把它放在底行仍然要放在右一列如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列仍然要放在上一行如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内如果这个忘上出格时往下放右出格时往左放排重便往自下放右上出格一个样双偶阶幻方为偶数且能被整除先说明一个定义互补如果两个数字的和等于幻方最大数和最小数的和即称为互补先看看阶幻方的填法将数字从左到右从上到下按顺序填学习必备 欢迎下载 2.请你将 125 这 25 个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行五个数的和相等。若将上一题的数字换成 226，请你试着填一填。3.你能不能试着将 149 这 49 个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行七个数的和相等 线的几个数之和都相等具有这种性质的图表称为幻方我国古代称为河图洛书又叫纵横图需要掌握的幻方填写方法主要有奇数阶幻方为奇数奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法填写方法是这样把或最小的数放在第么就把它放在底行仍然要放在右一列如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列仍然要放在上一行如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内如果这个忘上出格时往下放右出格时往左放排重便往自下放右上出格一个样双偶阶幻方为偶数且能被整除先说明一个定义互补如果两个数字的和等于幻方最大数和最小数的和即称为互补先看看阶幻方的填法将数字从左到右从上到下按顺序填学习必备 欢迎下载 数阵图 经典精讲 数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积得和得代数式，即数阵图关系线（关系区域）上喝的中和，这个合适关系线（关系区域）的个数的整数倍。第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和。第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相互关系，找出问题关键，类型一：封闭类型的数阵图【例1】将 16 六个自然数分别填入下图的内，使三角形每边上的三数之和都等于 11.【分析】此图是封闭 33 图，因为每条边上的和都为 11，那么三条边上的数字之和为 11 333，而1+2+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于 33-21=12，在 16 中选 3 个和为 12 的数，且其中任意两个的线的几个数之和都相等具有这种性质的图表称为幻方我国古代称为河图洛书又叫纵横图需要掌握的幻方填写方法主要有奇数阶幻方为奇数奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法填写方法是这样把或最小的数放在第么就把它放在底行仍然要放在右一列如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列仍然要放在上一行如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内如果这个忘上出格时往下放右出格时往左放排重便往自下放右上出格一个样双偶阶幻方为偶数且能被整除先说明一个定义互补如果两个数字的和等于幻方最大数和最小数的和即称为互补先看看阶幻方的填法将数字从左到右从上到下按顺序填学习必备 欢迎下载 和不等于 11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。【例2】将 16 填入左下图的六个中，是三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围。162435 163254 254163 435162 【分析】设三角形三个顶点的数字之和为s，因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将 1 至 6 加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍，于是有（1+2+3+4+5+6）+s=3k，化简后为213Sk。由于s是三个数之和，故最小为 1+2+3=6，最大为 4+5+6=15，由此求出 912k。s和k有四组取值：96ks 109ks 1112ks 1215ks 通过实验，每组取值都相应一种填数方法（见右上图）。像例题中的数阵图，它的各边相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”天这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系方式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。一般地，有m条边，每条有n个数的图形称为封闭型（或辐射型或复合型）mn图，封闭型mn图有m个重叠数，重叠次数都是 1 次。对于封闭型数阵图，因为重叠一次，所以：已知各数之和+重叠之和=每边各数之和边数 类型二：辐射类型的数阵图【例3】将 17 这七个数字，分别填入图中各个内，使每条线段上的三个内数的和相等。线的几个数之和都相等具有这种性质的图表称为幻方我国古代称为河图洛书又叫纵横图需要掌握的幻方填写方法主要有奇数阶幻方为奇数奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法填写方法是这样把或最小的数放在第么就把它放在底行仍然要放在右一列如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列仍然要放在上一行如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内如果这个忘上出格时往下放右出格时往左放排重便往自下放右上出格一个样双偶阶幻方为偶数且能被整除先说明一个定义互补如果两个数字的和等于幻方最大数和最小数的和即称为互补先看看阶幻方的填法将数字从左到右从上到下按顺序填学习必备 欢迎下载 【分析】设中心内填a，由于三条线上的数字和相加应是 3 的倍数，其中a一共加了 3 次，所以1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a一定是3的倍数。而28391，那么2a3的余数应该是2，因此，1,a，4 或 7.（1）当1,a 28+2=30，30310，10-1=9，除中心外，其它两数的和应是 9，只要把 2，3，4，5，6，7，六个数按“和”是 9 分成三组填入相应的，内就可以了。填法如图（1）（2）当4a 时，28+8=36，36312。填法如图（2）当7a 时，28+14=42，42314。填法如图（3）【例4】把 10 至 20 这 11 个数分别填入下图的各圆圈内，是每条线上 3 个圆内所填的和都相等。如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。分析：将五条边上的和相加，得数一定是5的倍数，其中中间的数被重复计算了5次，而10+11+12+20=165.所以中间的数必须是 5 的倍数，才能使在中间的数多被计算了 4 次后，综合仍能被 5 整除。所以中间的数只能是 10、15、20.。线的几个数之和都相等具有这种性质的图表称为幻方我国古代称为河图洛书又叫纵横图需要掌握的幻方填写方法主要有奇数阶幻方为奇数奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法填写方法是这样把或最小的数放在第么就把它放在底行仍然要放在右一列如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列仍然要放在上一行如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内如果这个忘上出格时往下放右出格时往左放排重便往自下放右上出格一个样双偶阶幻方为偶数且能被整除先说明一个定义互补如果两个数字的和等于幻方最大数和最小数的和即称为互补先看看阶幻方的填法将数字从左到右从上到下按顺序填学习必备 欢迎下载 像例题中的数阵图，它的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解。辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即1m，对于辐射型数阵图，有已知各数之和+重叠数重叠次数=直线上各数之和直线条数。类型三：复合型的数阵图【例5】下图中有三个正三角形，将 19 填入它们顶点处的九个种，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个的每条直线上的四数之和也相等。【分析】每个正三角形顶点的三数之和为（1+2+9）315,每条直线上的三数之和为（45+15）320。将 19 九个数分为三个一组，且每组三个数的和为 15 只有如下两种分法：（1）1，5，9；2，6，7；3，4，8；（2）1，6，8；2，4，9；3，5，7；对于（1），中心小正三角形三个顶点数为 1，5，9 时，可得中间图的解；对于（2），中心小三角形三个顶点数为 3，5，7 时，可得右上图的解。【例6】将 19 填入下图的九个内，使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且 7，8，9 依次位于小、中、大圆周上。线的几个数之和都相等具有这种性质的图表称为幻方我国古代称为河图洛书又叫纵横图需要掌握的幻方填写方法主要有奇数阶幻方为奇数奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法填写方法是这样把或最小的数放在第么就把它放在底行仍然要放在右一列如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列仍然要放在上一行如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内如果这个忘上出格时往下放右出格时往左放排重便往自下放右上出格一个样双偶阶幻方为偶数且能被整除先说明一个定义互补如果两个数字的和等于幻方最大数和最小数的和即称为互补先看看阶幻方的填法将数字从左到右从上到下按顺序填学习必备 欢迎下载 【分析】每个圆周和每条直线上三数之和应为 15，其中有 9 的只有 9+1+5和 9+2+4.分别对应右上图的两个解。像例题中的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”，我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键字。类型四：其他类型的数阵图【例7】如下图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写地，请找出规律，并求出x所代表的数。【分析】经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的和得一半。比如：（26+18）222.(3026)228.(2430)227.所以18172x，16x。经检验，16和 24 相加除以 2，也恰好等于 20.【拓展】找规律求x 线的几个数之和都相等具有这种性质的图表称为幻方我国古代称为河图洛书又叫纵横图需要掌握的幻方填写方法主要有奇数阶幻方为奇数奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法填写方法是这样把或最小的数放在第么就把它放在底行仍然要放在右一列如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列仍然要放在上一行如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内如果这个忘上出格时往下放右出格时往左放排重便往自下放右上出格一个样双偶阶幻方为偶数且能被整除先说明一个定义互补如果两个数字的和等于幻方最大数和最小数的和即称为互补先看看阶幻方的填法将数字从左到右从上到下按顺序填学习必备 欢迎下载 【分析】经观擦，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的差的 2 倍。比如：（26-18）216。（30-26）212。因为 52 22624，所以 262450 x。经检验，（50-18）2=64.【例 8】将 110 分别填入图中，使得每个小三角形 3 个顶点上数字之和为图中所表示的数值。图【分析】先确定中间 5 个重复数，它们的和为（20+16+12+13+10）（1+2+10）=16，所以中间 5 个重复只能是 1，2，3，4，6 的组合。又因为有一个和为 20，相应三角形上的三个数只能只能是 4，6，10，逐一试验，答案如右上图。【例 9】能否将数 0，1，2，9 分别填入下图的各个圆圈中，使得各阴影三角形的 3 个顶点上的数之和相等？图 线的几个数之和都相等具有这种性质的图表称为幻方我国古代称为河图洛书又叫纵横图需要掌握的幻方填写方法主要有奇数阶幻方为奇数奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法填写方法是这样把或最小的数放在第么就把它放在底行仍然要放在右一列如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列仍然要放在上一行如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内如果这个忘上出格时往下放右出格时往左放排重便往自下放右上出格一个样双偶阶幻方为偶数且能被整除先说明一个定义互补如果两个数字的和等于幻方最大数和最小数的和即称为互补先看看阶幻方的填法将数字从左到右从上到下按顺序填学习必备 欢迎下载 【分析】0+9=45，45中心数=3 个阴影三角形的 3 个顶点上的数字之和，所以中心数必须是 3 的倍数，只能是 0，13，6，9.枚举法实验，中心数只能是 3，6，答案如右上图。【例 10】图中有大、中、小 3 个正方形，组成了 8 个三角形。现在先把 1，2，3，4 分别填在大正方形的4 个顶点上，再把 1，2，3，4 分别填在中正方形的 4 个顶点上，最后把 1，2，3，4 分别填在小正方形的4 个顶点上。（1）能否使 8 个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由。（2）能否使 8 个三角形顶点上数字之和各不相同？给出填数方法：如果不能，请说明理由。【分析】（1）不能，如果能，则 8 个三角形顶点和的总数和应该是 8 的倍数，但是这个综合有三组 1、2、3、4 组成，其中一组数被计算三次，一组数被计算两次，一组数仅被计算一次，因此该总和的值为 6(1234)60 ，不是 8 的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使 8 个三角形顶点上数字之和都相等。（2）能，见右上图。【例 11】如图十奥林匹克的五环标志，其中,a b c d e f g h i处分别填入整数 1 至 9，如果每个圆环内所填的个数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？图 【分析】计算五个圈内个数之和的和，其中,b d f h被计算了两遍，所以这个和是 1+2+3+4+5+6+7+8+9+bdfh ，而这个和一定能被 5 整除，所以,b d f h中填入大数时能使这个和取得最大值，最大是 6、7、8、9 各圆圈内的和也取得 15，由于 15=6+9=7+8,所以满足条件的所有数无法配成 15，当和为 14 时可以找出满足条件的填法，所以和最大为 14，当,b d f h取 1、2、3、4 时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值 11.线的几个数之和都相等具有这种性质的图表称为幻方我国古代称为河图洛书又叫纵横图需要掌握的幻方填写方法主要有奇数阶幻方为奇数奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法填写方法是这样把或最小的数放在第么就把它放在底行仍然要放在右一列如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列仍然要放在上一行如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内如果这个忘上出格时往下放右出格时往左放排重便往自下放右上出格一个样双偶阶幻方为偶数且能被整除先说明一个定义互补如果两个数字的和等于幻方最大数和最小数的和即称为互补先看看阶幻方的填法将数字从左到右从上到下按顺序填学习必备 欢迎下载【例 12】将 19 分别填入小三角形（每个小三角形只填一个数），要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？【分析】1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，用s表示靠近大三角形三条边的五个数的和。因为有三个小三角形所填的数在求和时只用了一次（用,a b c来表示这三个数），其余均用了两次，于是，452()3abcs 。要使s尽可能大，只要abc 尽可能小。所以abc 1236 ，于是 90-6=3s，s=28。剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么：4+8=12；6+7=13；5+9=14.经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一。【例 13】在下图的七个圆圈内填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x是多少？【分析】为了便于说明问题，我们用字母表示各个圆圈内所表示的数。如中间图所示。根据题意，我们观察，因为每一条直线上的三个数种，当中的数是两边的两个数的平均数。所以可以得出：(1317)215D 。还可以得出以下三式：(15)2CB ，(13)2AB ，(17)2CA 将上述三个算式进行变形，变成下面三个算式：215CB ，2A=13+B ，217CA 用式减去式得出：222,CA1,CA，1CA，将1CA 代入式得到：2(1)17,15.AAA 则16C，因此 16(13)2x，所以19x。【例 14】在下列各图中，分别从 18 中选择六个数填入口内，使得按顺时针方向计算的各关系式成立：图 线的几个数之和都相等具有这种性质的图表称为幻方我国古代称为河图洛书又叫纵横图需要掌握的幻方填写方法主要有奇数阶幻方为奇数奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法填写方法是这样把或最小的数放在第么就把它放在底行仍然要放在右一列如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列仍然要放在上一行如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内如果这个忘上出格时往下放右出格时往左放排重便往自下放右上出格一个样双偶阶幻方为偶数且能被整除先说明一个定义互补如果两个数字的和等于幻方最大数和最小数的和即称为互补先看看阶幻方的填法将数字从左到右从上到下按顺序填学习必备 欢迎下载 【分析】（方法一）除了只有四种可能：8 42，632,824 和623，其余后两种情况乘法式了将无法满足，前两种情况对应着如右上图两种填法。（方法二）小于 10 且能表示成两个不同的数的乘积的数只有 6 和 8，如此可确定左下角的数为 2，左上角和右下角的数可以是 6 和 8，左边和下边对应填上 3 和 6，剩下 1、5、7 如此即可试出结果。线的几个数之和都相等具有这种性质的图表称为幻方我国古代称为河图洛书又叫纵横图需要掌握的幻方填写方法主要有奇数阶幻方为奇数奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法填写方法是这样把或最小的数放在第么就把它放在底行仍然要放在右一列如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列仍然要放在上一行如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内如果这个忘上出格时往下放右出格时往左放排重便往自下放右上出格一个样双偶阶幻方为偶数且能被整除先说明一个定义互补如果两个数字的和等于幻方最大数和最小数的和即称为互补先看看阶幻方的填法将数字从左到右从上到下按顺序填