北京市2020年4月高考数学模拟试卷(答案解析).pdf

北 京 市 2020年 4 月 高 考 数 学 模 拟 试 卷（考 试 时 间：120分 钟 试 卷 满 分：150分）姓 名 班 级 考 号 注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号 等 填 写 在 答 题 卡 和 试 卷 指 定 位 置 上.2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效.3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.第 一 部 分（选 择 题，共 4 0分）一、选 择 题：本 题 共 10小 题，每 小 题 4 分，共 40分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1,已 知 集 合 A/=dx2-3x0,7V=xllx7,则 A/I N=()A.jell x3)B,xll x3)c,x10 x 7 D,x10 x 7【答 案】A【解 析】集 合 M=trlx2-3x()=xlx(x-3)()=x 10 x 3),故 M I N=xllx15 B.15 C.E2 15 D.F2 151【答 案】C【解 析】表 示 圆 的 充 要 条 件 是 2+（1 1-4 X 4 0,即 E 2 15.故 选 C.4.已 知 f（x）=ax2+bx是 定 义 在 a-1,2a 上 的 偶 函 数，那 么 a+b的 值 是 1 1A.B.-3 31 1C.D.2 2【答 案】B【解 析】根 据 偶 函 数 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称，且 f（x）是 定 义 在 a-1,2a 上 的 偶 函 数，1 1得 a-l=-2a,解 得 a=q,又 f（-x）=f（x）,.*.b=0,*.a+b=-.故 选 B.5.不 等 式 2）X2+2（。-2）x-40,对 一 切 e R 恒 成 立，则 a 的 取 值 范 围 是（）A.（-oo,2 B.（-2,2 C.（-2,2）D.（-8,2）【答 案】B【解 析】因 为 不 等 式（。-2）X2+2（a-2）x-40,对 一 切 X G R 恒 成 立，则 对 二 次 项 系 数 是 否 为 零，分 为 两 种 情 况 来 解 得，求 解 得 到 a 的 取 值 范 围 是（-2,2,故 选 B./2、6.若 二 项 式（尤+）的 展 开 式，二 项 式 系 数 之 和 为 16,则 展 开 式 中 的 系 数 为（）X2A.2 B.4 C.8 D.16【答 案】C2【解 析】由 展 开 式 中 二 项 式 系 数 之 和 为 1 6,即 2=1 6,得=4.展 开 式 中 T=CrX4-r（）r=2rCrX4-3r,r+l 4 4令 4-3r=l,得 r=l,故 犬 的 系 数 为 2。=8,故 选 C.47.从 A,B,C,D,E 5 名 学 生 中 选 出 4 名 分 别 参 加 数 学、物 理、化 学、外 语 竞 赛，其 中 A 不 参 加 物 理、化 学 竞 赛，则 不 同 的 参 赛 方 案 种 数 为（）A.24 B.48C.72 D.120【答 案】C【解 析】A 参 加 时 参 赛 方 案 有 C3A43=48（种），A 不 参 加 时 参 赛 方 案 有 4=24（种），所 以 不 同 的 参 赛 4 2 3 4方 案 共 72种，故 选 C.8.己 知 数 列 也 满 足。-a=2,且 成 等 比 数 列.若。的 前 项 和 为 S，则 S 的 最 小 值 为（）n+1 n 1 3 4 n n nA.-10 B.-1 4 C.18 D.-202【答 案】D【解 析】根 据 题 意，可 知 为 等 差 数 列，公 差 d=2,由。巴 巴 成 等 比 数 列，可 得(q+4)2=4+6)，解 得“=-8.S=-8+四 二 11x2c=2 9c=(/一 彳 9、)2-丁 81.根 据 单 调 性,2 2 4可 知 当=4 或 5时，S“取 到 最 小 值，最 小 值 为 一 20.故 选 D.19.如 图，已 知 电 路 中 4 个 开 关 闭 合 的 概 率 都 是 且 是 相 互 独 立 的，则 灯 亮 的 概 率 为（）A-16C.3B-1614【答 案】D【解 析】由 题 意，灯 泡 不 亮 包 括 四 个 开 关 都 开,后 下 边 的 2 个 都 开，上 边 的 2 个 中 有 一 个 开，这 三 种 情 况 是 互 斥 的，每 一 种 请 中 的 事 件 都 是 相 互 独 立 的,所 以 灯 泡 不 亮 的 概 率 为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1X x X+X X-X+X-X-X=2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 13布 所 以 灯 泡 亮 的 概 率 为 1一 讳=而 故 本 题 选 口 10.箱 子 里 有 3双 颜 色 不 同 的 手 套（红 蓝 黄 各 1双），有 放 回 地 拿 出 2 只，记 事 件 A 表 示“拿 出 的 手 套 一 只 是 左 手 的，一 只 是 右 手 的，但 配 不 成 对“，则 事 件 A 的 概 率 为（）1A-61B-31C-52D，5【答 案】B【解 析】分 别 设 3双 手 套 为:4%、叩,、4、%、分 别 代 表 左 手 手 套，巴、,、C,分 别 代 表 右 手 手 套；从 箱 子 里 的 3双 不 同 的 手 套 中，随 机 拿 出 2 只，所 有 的 基 本 事 件 是：n=6x6=36,共 有 36个 基 本 事 件；事 件 A 包 含：4,b、(b,a)、(a,c)、(c,a)、(a,b)、(b,a)1 2 2 I 1 2 2 1 2 I 1 2(a,c)、(c,a)、(b,c)、(c,6)、(/7,c)、(c,b)共 12 个 基 本 事 件，故 事 件 A 的 概 率 为 2 I 1 2 1 2 2 1 2 1 I 2P(A)=隹=7，故 选 B.Jo 3第 二 部 分（非 选 择 题，共 110分）二、填 空 题：本 题 共 5个 小 题，每 小 题 5分，共 25分.311.向 量 篇 的 夹 角 为 120。，且 向=1,忖=2,则 户 叫 等 于.【答 案】小 r r r r j【解 析】Q a-b=ab cos 120o=1x2x(-)=-1r r a-b=ja2-2b+b2=12-2x(-1)+22=J 7 故 答 案 为 g.12.以 下 说 法 正 确 的 是 _.（填 写 所 有 正 确 的 序 号）r r r r r r 若 两 非 零 向 量 a,b，若。力 0,则 a/的 夹 角 为 锐 角;rr r r 若 a_Lb,则 a-B=0,反 之 也 对;在 AAB C 中，若 ab,则 sin A sin B,反 之 也 对;在 锐 角 AA B C 中,若 8=2 A,则 Ae71 7 1【答 案】r r r【解 析】对 于，。与 b 同 向 时，若 方 力 0,夹 角 为 0。，不 是 锐 角，故 错 误;r r r r r r对 于，若 a=0时，则 4 力=0,a 与 b 平 行，故 错 误；对 于，由 正 弦 定 理 得，ab=2RsinA2RsinBosinAsinB,故 正 确;八 兀 0 A 2n对 于，由 J O 2 A EK07t-3A 271,7 1.f 71 7 1可 得 不 从 即 叱 七 口 故 正 确，故 答 案 为.13.若 函 数 的 图 象 上 存 在 不 同 的 两 点 A(x y),B(x y),其 中 x y x y 使 得 I 1/I I/Iqx,+p 卜 x；+y；.Jx；+y；的 最 大 值 为 0,则 称 函 数/(x)是“柯 西 函 数”.给 出 下 列 函 数:/(x)=In X(0 x 0)；x/(x)=。后 8；/(X)=V2XT-8.其 中 是“柯 西 函 数 的 为 一.（填 上 所 有 正 确 答 案 的 序 号）【答 案】4I W Z ULW z UUBT lUT UUGT UUU UUBT UUU设 OA=（x,y=,y J,由 向 量 的 数 量 积 的 可 得|。4。8 W IOAIIOH,当 月.仅 当 向 量。A O B 共 线 I 1 2 2（O,A,B三 点 共 线）时 等 号 成 立.故|xj,+yp,卜 J52+y；,的 最 大 值 为 0 时，当 且 仅 当。,4,B三 点 共 线 时 成 立.所 以 函 数 f Q）是“柯 西 函 数 等 价 于 函 数 7（X）的 图 象 上 存 在 不 同 的 两 点 A 5,使 得 0,4,3三 点 共 线.对 于，函 数/（%）=lnx（0 x 0）图 象 上 存 在 满 足 题 意 的 点；X对 于，函 数/G）=2 X2+8图 象 上 存 在 满 足 题 意 的 点;对 于，函 数/（x）=,2x2-8图 象 不 存 在 满 足 题 意 的 点.故 函 数 是“柯 西 函 数 14.已 知 函 数/（x）=e2x,则 过 原 点 且 与 曲 线 y=/（x）相 切 的 直 线 方 程 为.【答 案】2 ex-y=0【解 析】设 切 点 坐 标 为 Q e x）,Q/（x）=e 2x,.rG）=2e2.,/G）=2e2,则 曲 线 y=/（无）在 点 C,e2）处 的 切 线 方 程 为=2e（x-”,由 于 该 直 线 过 原 点，则 一 e”=一 2超 2,得=；，因 此，则 过 原 点 且 与 曲 线 y=.f G）相 切 的 直 线 方 程 为 y=2ex,故 答 案 为 2ex-y=0.15.函 数/（x）=4+2ai（a 0 且。力 1）的 图 象 恒 过 定 点 P,则 点 p 的 坐 标 是.【答 案】（L6）【解 析】令 x-l=0,解 得：x=l,此 时 户 4+2=6,故 函 数 恒 过 定 点（1,6）,四、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 85分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.16.（本 小 题 14分）如 图，直 四 棱 柱 A8CO%片 G R 的 底 面 是 菱 形，AA=4,AB=2,NAW=60。，E,M,N 分 别 是 BC,BB1,5A。的 中 点.（1）证 明：MN 平 面 C Q E；（2）求 二 面 角 的 正 弦 值.【答 案】（1）见 解 析；（2）可.【解 析】（1）连 接 M E,B CQ M,E 分 别 为 BB,B C 中 点 为 A B/C 的 中 位 线,用 石 4 c 且 ME=!6 C,又 N 为 A。中 1 1 1 2 1 1点，且 A D/8 C:.N D/B C n ND=、BC：M E H N D 二 四 边 形 M V Q E为 平 行 四 边 形 1 1 1 2 1:.MN/DE,又 MNZ 平 面 q O E,。（=平 面。1；.加 7/平 面。（2）设 A C I 8 0=0,q q c q?=q 由 宜 四 棱 柱 性 质 可 知：0 0rL平 面 4 8 c o Q 四 边 形 A 8 C O为 菱 形 则 以。为 原 点，可 建 立 如 下 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系：6则：AC/J,O,O),(0,1,2),C/3,0,4),D(0,-1,0)N修 一 品 取 W k 2 2 7（/J J则/，-50 Q 四 边 形 ABC。为 菱 形 且/氏 4。=60。二 岫 4。为 等 边 三 角 形,。/1 4 6 又 44，平 7面 ABC。，。/u 平 面 ABC。即。尸，平 面 AM4.那 为 平 面 A M。的 一 个 法 向 量，且=-,-,0 设 平 面*N 的 法 向 量 5=Q,y,z）,乂 靖=（后-1,2）,r rU U U O Fuuw(出 3、.町=A-y+2z=0M N=,-,0；w J3 3,令 x=3 则 V=l,2 2 I.MN=X-3y=0、7 I 2 2 1,：=Gr,-i)uir _密 r D F n 3/?.cos=y4ukr=间 DF-向 依,lur r JiQ不 一 sin=-二 面 角 J 5A-M A-N 的 正 弦 值 为 17.（本 小 题 14分）已 知。是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列，=2,=2a+16.M I 3 2（1）求 4 的 通 项 公 式；n（2）设 b=log。，求 数 列 出 的 前 项 和.n 2 n n【答 案】（I）（I）a=22，L1；（2）S=2.n n【解 析】（1）因 为 数 列 M 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列，a 2a+16,a=2,所 以 令 数 列 a 的 公 比 为 n 3 2 1 n4,a=aq2=2qi,a 二 aq=2q,所 以 2家=4夕+16,解 得 4=一 2（舍 去）或 4,所 以 数 列&是 首 项 3 1 2 1 n为 2、公 比 为 4 的 等 比 数 列，a=2x4，i=22i.n 因 为 匕 T o g。，所 以 6=2-1,人=2+1,6=2,所 以 数 列 名 是 首 项 为 i、公 差 为 2 的 n 2 n n Z T+1 n+1 n n_“（2-1+1）等 差 数 列，S=218.（本 小 题 14分）2019年“非 洲 猪 瘟”过 后，全 国 生 猪 价 格 逐 步 上 涨，某 大 型 养 猪 企 业，欲 将 达 到 养 殖 周 期 的 生 猪 全 部 出 售，根 据 去 年 的 销 售 记 录，得 到 销 售 生 猪 的 重 量 的 频 率 分 布 直 方 图（如 图 所 示）.7（1）根 据 去 年 生 猪 重 量 的 频 率 分 布 直 方 图，估 计 今 年 生 猪 出 栏（达 到 养 殖 周 期）时，生 猪 重 量 达 不 到 270斤 的 概 率（以 频 率 代 替 概 率）;（2）若 假 设 该 企 业 今 年 达 到 养 殖 周 期 的 生 猪 出 栏 量 为 5000头，生 猪 市 场 价 格 是 8 元/斤，试 估 计 该 企 业 本 养 殖 周 期 的 销 售 收 入 是 多 少 万 元;（3）若 从 本 养 殖 周 期 的 生 猪 中，任 意 选 两 头 生 猪，其 重 量 达 到 270斤 及 以 上 的 生 猪 数 为 随 机 变 量 丫，试 求 随 机 变 量 丫 的 分 布 列 及 方 差.【答 案】（1）0.25（2）1222.4万 元（3）见 解 析【解 析】估 计 生 猪 重 量 达 不 到 270斤 的 概 率 为（0Q005+0.002）x40+0.005 x 30=0.25.（2）生 猪 重 量 的 平 均 数 为 180 x0.02+220 x0.08+260 x0.2+300 x0.32+340 x0.24+380 x0.1+420 x0.04=305.6（斤）.所 以 估 计 该 企 业 本 养 殖 周 期 的 销 售 收 入 是 305.6x8x5000=1222.4（万 元）.3（3）L t l（1）可 得 随 机 选 一 头 生 猪，其 重 量 达 到 270斤 及 以 上 的 概 率 为 1-0.25=:43山 题 意 可 得 随 机 变 量 y 的 所 有 可 能 取 值 为，2,则 丫 5（2,-）p（r=0）=c。xp（y=1）=。x211638 13 1 9P（y=2）=C2X（_）2X（_）O=_,.随 机 变 量 y 的 分 布 列 为 Y 0 1 2P1163891683 1 3随 机 变 量 y 的 方 差。(丫)=2x-x-=-.4 4 819.(本 小 题 15分)已 知 函 数 F(%)=ae,x-lnx-.(1)设 x=2是/G)的 极 值 点.求。，并 求/(龙)的 单 调 区 间；(2)证 明：当 时，.f(x)20.e1【答 案】(l)a=c；f(x)在(0,2)单 调 递 减，在(2,+oo)单 调 递 增.(2)证 明 见 解 析.2e2【解 析】(1)f(X)的 定 义 域 为(0，+8),f(x)=aex-.由 题 设 知，f(2)=0,所 以 a=/一.x 2e21 1 1从 而 f(x)=er-hu-l,f(x)=e r-.当 0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0.2e2 2e2 x所 以 f(x)在(0,2)单 调 递 减，在(2,+8)单 调 递 增.(2)当 aN-时，f(x)lax 1.设 g(x)=-lax-1,则 g*(%)=.当 0 xl 时，g(x)e e e e xl时，g，(x)0.所 以 x=l是 g(x)的 最 小 值 点.故 当 x0时，g(x)Ng(1)=0.因 此，当 e时，/(x)2 0.20.(本 小 题 14分)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，晨 一 2,0),5(2,0),设 直 线 A C、B C 的 斜 率 分 别 为 勺、勺 且 勺 应=一：，(1)求 点 c 的 轨 迹 E 的 方 程；(2)过 作 直 线 交 轨 迹 E 于 M、N 两 点，若 的 面 积 是 M4B面 积 的 2 倍，求 直 线 M N 的 方 程.【答 案】(1)?+与=1(y*0)(2)x一 半 y+7I=0 或 x+半)+=0【解 析】(1)由 题 意，设 C(x，y),则 女=T，心=7,又 由=上 7r=(,整 理 得 多+=：!,I x+2 2 X-2 1 2 X24 2 4 2由 点 A,B,C不 共 线，所 以 y#0,所 以 点 C 的 轨 迹 方 程 为+与(2)设 团(,5)，N(x,y 易 知 直 线 M N 不 与 x 轴 重 合，设 直 线=联 立 方 程 组 9x=m y-J 2/、厂 2=0,易 知 A。，且 y+y=2 0？，+=1 2 m2+24 2一 2y y=-2=0 或 x+0=0.2 1.（本 小 题 14分）对 于 正 整 数，如 果 左 Q e N*）个 整 数。，a,.,a a.a g 寸，%7 最 大 为 女.Yl-11 2 3 k-i k 2,n,n 1综 上 所 述：为 偶 数，k 最 大 为 为 奇 数 时，k 最 大 为 k=丁.（III）当 为 奇 数 时，f=0,至 少 存 在 一 个 全 为 1的 拆 分，故/g；当 为 偶 数 时，设（a,是 n n n I 2 k10每 个 数 均 为 偶 数 的“正 整 数 分 拆“，则 它 至 少 对 应 了（14,）和（口,a-l,a 一 1）的 均 为 奇 数 的 1 2 k“正 整 数 分 拆，故/.综 上 所 述：/g.n n n n当=2 时，偶 数“正 整 数 分 拆”为（2）,奇 数“正 整 数 分 拆”为（1,1）,X,=g,=1；2 2当=4时，偶 数“正 整 数 分 拆”为（2,2）,（4）,奇 数“正 整 数 分 拆”为（1,1,1）,（1,3）故/=g=2；4 4当 2 6 时，对 于 偶 数“正 整 数 分 拆”，除 了 各 项 不 全 为 1的 奇 数 拆 分 外，至 少 多 出 一 项 各 项 均 为 1的“正 整 数 分 拆，故/g.综 上 所 述：使/=g 成 立 的 为：=2或=4.n n n n11