第八章空间解析几何与向量代数知识点,题库与答案_中学教育-高考.pdf

第八章：空间解析几何与向量代数 一、重点与难点 1、重点 向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；数量积（是个数）、向量积（是个向量）；几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点 向量积（方向）、混合积（计算）；掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形；空间曲线在坐标面上的投影；特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；）平面方程的几种表示方式之间的转化；直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识 1、向量及其线性运算 向量的基本概念：向量 既有大小 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向.；向量的符号 以 A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB 向量可用粗体字母表示 也可用上加箭头书写体字母表示 例如 a、r、v、F 或a、r、v、F；向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量 a、a、AB的模分别记为|a|、|a、|AB 单位向量 模等于 1 的向量叫做单位向量；向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量 a 与 b平行 记作 a/b 零向量认为是与任何向量都平行；两向量平行又称两向量共线 零向量 模等于 0 的向量叫做零向量 记作 0 或0 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的 共面向量：设有 k(k 3)个向量 当把它们的起点放在同一点时 如果 k个终点和公共起点在一个平面上 就称这 k个向量共面；两向量夹角：当把两个非零向量 a 与 b 的起点放到同一点时 两个向量之间的不超过的夹角称为向量 a 与 b 的夹角 记作),(ba或),(ab 如果向量 a 与 b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在 0 与之间任意取值；向量的线性运算 向量的加法（三角形法则）：设有两个向量 a 与 b 平移向量使 b 的起点与 a 的终点重合 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和 记作a+b 即 c a+b.平行四边形法则 向量 a 与 b 不平行时 平移向量使 a 与 b 的起点重合 以 a、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量 a 与 b 的和 a b 向量的加法的运算规律(1)交换律 a b b a (2)结合律(a b)c a(b c)负向量 设 a 为一向量 与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的负向量 记为 a 向量的减法 把向量 a 与 b 移到同一起点 O 则从 a 的终点 A 向 b 的终点 B 所引向量AB便是向量 b 与 a 的差 b a 向量与数的乘法：向量 a 与实数 的乘积记作规定a 是一个向量 它的模|a|a|它的方向当0 时与 a 相同 当0 时与 a 相反 当 0 时|a|0 即a 为零向量 这时它的方向可以是任意的 运算规律 (1)结合律(a)(a)()a；(2)分配律()aaa；(a b)ab 向量的单位化 设 a 0 则向量|aa是与 a 同方向的单位向量 记为 ea ，于是 a|a|ea 定理 1 设向量 a 0 那么 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是 存在唯一的实数 使 b a 空间直角坐标系 在空间中任意取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i、j、k 就确定了三条都以 O 为原点的两两垂直的数轴 依次记为 x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)统称为坐标轴 它们构成一个空间直角坐标系 称为 Oxyz 坐标系 注:(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位 (2)通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上 而 z 轴则是铅垂线 (3)数轴的的正向通常符合右手规则 坐标面 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面 x 轴及 y 轴所确定的坐标面叫做 xOy 面 另两个坐标面是 yOz 面和 zOx 面 卦限 三个坐标面把空间分成八个部分 每一部分叫做卦限 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限 它位于xOy面的上方 在xOy面的上方 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限 在 xOy 面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限 八个卦限分别用字母 I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII 表示 向量的坐标分解式 任给向量 r 对应有点 M 使rOM 以 OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有 OROQOPNMPNOPOMr 向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别记为单位向量模等于的向量叫做单位向量向量的平行两个非零向量如果它们的设 i xOP j yOQ kzOR 则 kjirzyxOM 上式称为向量 r 的坐标分解式 xi、yj、zk 称为向量 r 沿三个坐标轴方向的分向量 点 M、向量 r 与三个有序 x、y、z 之间有一一对应的关系 ),(zyxzyxOMMkjir 有序数 x、y、z 称为向量 r(在坐标系 Oxyz)中的坐标 记作 r(x y z)向量OMr称为点 M 关于原点 O 的向径 利用坐标作向量的线性运算 设 a(ax ay az)b(bx by bz)a b(ax bx ay by az bz)a b(ax bx ay by az bz)a(ax ay az)利用向量的坐标判断两个向量的平行 设 a(ax ay az)0 b(bx by bz)向量 b/aba 即 b/a(bx by bz)(ax ay az)于是zzyyxxababab 向量的模、方向角、投影设向量 r(x y z)作rOM 则 向量的模长公式 222|zyxr 设有点 A(x1 y1 z1)、B(x2 y2 z2)OAOBAB(x2 y2 z2)(x1 y1 z1)(x2 x1 y2 y1 z2 z1)A、B两点间的距离公式为：212212212)()()(|zzyyxxABAB 方向角：非零向量 r 与三条坐标轴的夹角、称为向量 r 的方向角 设 r(x y z)则 x|r|cos y|r|cos z|r|cos cos、cos、cos 称为向量 r 的方向余弦|cosrx|cosry|cosrz 从而 rerr|1)cos,cos,(cos cos2 cos2 cos2 1 投影的性质 性质 1(a)u|a|cos (即 Prjua|a|cos)其中为向量与 u 轴的夹角 性质 2(a b)u(a)u(b)u(即 Prju(a b)Prjua Prjub)性质 3(a)u(a)u(即 Prju(a)Prjua)向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别记为单位向量模等于的向量叫做单位向量向量的平行两个非零向量如果它们的2、数量积、向量积、混合积 两向量的数量积 数量积 对于两个向量 a 和 b它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量 a 和 b 的数量积记作 a b即 a b|a|b|cos 数量积的性质 (1)a a|a|2 (2)对于两个非零向量 a、b如果 a b 0则 a b;反之如果 a b则 a b 0 如果认为零向量与任何向量都垂直则 a b a b 0 两向量夹角的余弦的坐标表示 设(a b)则当 a 0、b 0 时有 222222|coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa数量积的坐标表示 设 a(ax ay az)b(bx by bz)则 a b axbx ayby azbz 数量积的运算律 (1)交换律 a b b a;(2)分配律(a b)c a c b c (3)(a)b a(b)(a b)(a)(b)(a b)、为数 两向量的向量积 向量积设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列方式定出 c 的模|c|a|b|sin 其中 为 a 与 b 间的夹角;c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定 那么向量 c 叫做向量 a 与 b 的向量积记作 a b即 c a b 向量积的性质 (1)a a 0 (2)对于两个非零向量 a、b如果 a b0则 a/b反之如果 a/b则 a b 0 如果认为零向量与任何向量都平行则 a/b a b0 数量积的运算律(1)交换律 a bb a (2)分配律(a b)ca cb c (3)(a)ba(b)(a b)(为数)数量积的坐标表示设 a(ax ay az)b(bx by bz)a b(ay bz az by)i (az bx ax bz)j (ax by ay bx)k 为了邦助记忆利用三阶行列式符号上式可写成 zyxzyxbbbaaa kjiba aybzi azbx j axbyk aybxk axbz j azbyi 向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别记为单位向量模等于的向量叫做单位向量向量的平行两个非零向量如果它们的 (ay bz az by)i (az bx ax bz)j (ax by ay bx)k 三向量的混合积 混合积：先作两向量 a 和 b 的向量积ba,把所得到的向量与第三个向量 c 再作数量积cba)(，这样得到的数量叫做三个向量 a、b、c 的混合积，记作abc abc=cba)(=zyxzyxcccbbb zyxaaa 混合积的几何意义：混合积abc是这样一个数，它的绝对值表示以向量 a、b、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量 a、b、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果 a、b、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。三个向量 a、b、c 共面的充分必要条件事他们的混合积abc=0 即 zyxzyxcccbbb zyxaaa=0 3、曲面及其方程 曲面方程的概念 如果曲面 S 与三元方程 F(x y z)0 有下述关系 (1)曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 F(x y z)0 (2)不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 F(x y z)0 那么 方程 F(x y z)0 就叫做曲面 S 的方程 而曲面 S 就叫做方程 F(x y z)0 的图形 例如：方程(x x0)2(y y0)2(z z0)2 R2 表示球心在点 M0(x0 y0 z0)、半径为 R的球面 旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面 这条定直线叫做旋转曲面的轴 设在 yO z 坐标面上有一已知曲线 C 它的方程为 f(y z)0 把这曲线绕 z 轴旋转一周 就得到一个以 z 轴为轴的旋转曲面 它的方程为 0),(22zyxf 这就是所求旋转曲面的方程 在曲线 C 的方程 f(y z)0 中将 y 改成22yx 便得曲线 C 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程0),(22zyxf 同理 曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 0),(22zxyf 柱面 向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别记为单位向量模等于的向量叫做单位向量向量的平行两个非零向量如果它们的柱面 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面 定曲线 C 叫做柱面的准线 动直线 L 叫做柱面的母线 例如方程 x2 y2 R2在空间直角坐标系中表示圆柱面 它的母线平行于 z 轴 它的准线是 xOy 面上的圆 x2 y2 R2 一般地 只含 x、y 而缺 z 的方程 F(x y)0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面 其准线是 xOy 面上的曲线 C F(x y)0 类似地 只含 x、z 而缺 y 的方程 G(x z)0 和只含 y、z 而缺 x 的方程 H(y z)0 分别表示母线平行于 y 轴和 x 轴的柱面 二次曲面 三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面 把平面叫做一次曲面 (1)椭圆锥面 由方程22222zbyax所表示的曲面称为椭圆锥面 (2)椭球面 由方程1222222czbyax所表示的曲面称为椭球面 (3)单叶双曲面 由方程1222222czbyax所表示的曲面称为单叶双曲面 (4)双叶双曲面 由方程1222222czbyax所表示的曲面称为双叶双曲面 (5)椭圆抛物面 由方程zbyax2222所表示的曲面称为椭圆抛物面 (6)双曲抛物面 由方程zbyax2222所表示的曲面称为双曲抛物面 双曲抛物面又称马鞍面 方程 12222byax 12222byax ayx 2 依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面 4 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 设 F(x y z)0 和 G(x y z)0 是两个曲面方程 它们的交线为 C 所以 C 应满足方程组 0),(0),(zyxGzyxF 上述方程组叫做空间曲线 C 的一般方程 空间曲线的参数方程 向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别记为单位向量模等于的向量叫做单位向量向量的平行两个非零向量如果它们的空间曲线 C 上动点的坐标 x、y、z 表示为参数 t 的函数)()()(tzztyytxx.(2)当给定 t t1时 就得到 C 上的一个点(x1 y1 z1)随着 t 的变动便得曲线 C 上的全部点 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程 空间曲线在坐标面上的投影 以曲线 C 为准线、母线平行于 z 轴的柱面叫做曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面 投影柱面与 xOy 面的交线叫做空间曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线 或简称投影(类似地可以定义曲线 C 在其它坐标面上的投影)设空间曲线 C 的一般方程为0),(0),(zyxGzyxF 设方程组消去变量 z 后所得的方程 H(x y)0 这就是曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面 曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线的方程为 00),(zyxH 5 平面及其方程 平面的点法式方程 法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 已知平面上的一点 M0(x0 y0 z0)及它的一个法线向量 n (A B C)，平面的点法式方程 为：A(x x0)B(y y0)C(zz0)0 平面的一般方程 平面的一般方程为：Ax By Cz D 0，其中 x y z 的系数就是该平面的一个法线向量 n 的坐标 即 n(A B C)特殊位置的平面方程：D 0 平面过原点 n(0 B C)法线向量垂直于 x 轴 平面平行于 x 轴 n(A 0 C)法线向量垂直于 y 轴 平面平行于 y 轴n(A B 0)法线向量垂直于 z 轴 平面平行于 z 轴n(0 0 C)法线向量垂直于 x 轴和 y 轴 平面平行于 xOy 平面n(A 0 0)法线向量垂直于 y 轴和 z 轴 平面平行于 yOz 平面n(0 B 0)法线向量垂直于 x 轴和 z 轴 平面平行于 zOx 平面求这平面的方程 平面的截距式方程为：1czbyax(其中 a 0 b 0 c 0)该平面与 x、y、z 轴的交点依次为 P(a 0 0)、Q(0 b 0)、R(0 0 c)三点 而 a、b、c 依次叫做平面在 x、y、z 轴上的截距 平面的三点式方程为：131313121212 zzyyxxzzyyxx111z-zy-yx-x=0 其中 M(111,zyx)，N(222,zyx)向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别记为单位向量模等于的向量叫做单位向量向量的平行两个非零向量如果它们的P(333,zyx)是平面上的三点。两平面的夹角 两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角 设平面1和2的法线向量分别为n1(A1 B1 C1)和n2(A2 B2 C2)那么平面1和2的夹角 应是),(21nn和),(),(2121nnnn两者中的锐角 22222221212121212121|),cos(|cosCBACBACCBBAAnn 平面1和2垂直相当于 A1 A2 B1B2 C1C2 0 也即21nn 垂直于 平面 1和 2平行或重合相当于212121CCBBAA 也即21nn 平行于 设 P0(x0 y0 z0)是平面 Ax By Cz D 0 外一点 P0到这平面的距离公式为 d222000|CBADCzByAx 6 空间直线及其方程 空间直线的一般方程 空间直线 L 可以看作是两个平面1和2的交线如 果 两 个 相 交 平 面1和2的 方 程 分 别 为A1x B1y C1z D1 0和A2x B2y C2z D2 0 那么直线 L满足方程组 0022221111DzCyBxADzCyBxA (1)上述方程组叫做空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量 容易知道 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量 已知直线 L 通过点 M0(x0 y0 x0)且直线的方向向量为 s(m n p)则直线 L 的方程为：pzznyymxx000 叫做直线的对称式方程或点向式方程 注 当 m n p 中有一个为零 例如 m 0 而 n p 0 时 这方程组应理解为 pzznyyxx000 当 m n p 中有两个为零 例如 m n 0 而 p 0 时 这方程组应理解为 0000yyxx 设tpzznyymxx000 得方程组 向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别记为单位向量模等于的向量叫做单位向量向量的平行两个非零向量如果它们的 ptzzntyymtxx000 此方程组就是直线 L 的参数方程 两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角 设直线 L1和 L2的方向向量分别为 s1(m1 n1 p1)和 s2(m2 n2 p2)那么 L1和 L2的夹角就是),(21ss和),(),(2121ssss两者中的锐角 因此|),cos(|cos21ss|),cos(|cos21ss222222212121212121|pnmpnmppnnmm 设有两直线 L1111111pzznyymxx L2222222pzznyymxx 则 L 1 L 2m1m2 n1n2 p1p2 0 l1IIL2212121ppnnmm 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时 直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角 当直线与平面垂直时 规定直线与平面的夹角为2 设直线的方向向量 s(m n p)平面的法线向量为 n(A B C)直线与平面的夹角为 那么|),(2|ns 因此|),cos(|sinns 222222|sinpnmCBACpBnAm 因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行 所以 直线与平面垂直相当于 pCnBmA 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直 所以 直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am Bn Cp 0 设直线 L 的方向向量为(m n p)平面的法线向量为(A B C)则 LpCnBmA L/Am Bn Cp 0 向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别记为单位向量模等于的向量叫做单位向量向量的平行两个非零向量如果它们的三、疑难点解析（1）数量积、向量积、混合积易混怎么办？答：数量积是一个数量无方向、向量积是个向量有方向，算出来的向量垂直于两向量 构成的平面，且满足右手法则。混合积也是个常数。数量积：a b|a|b|cos axbx ayby azbz 向量积c a b，|c|a|b|sin zyxzyxbbbaaa kjiba aybzi azbx j axbyk aybxk axbz j azbyi 混合积：abc=cba)(=zyxzyxcccbbb zyxaaa （2）已知平面图形的方程如何求出该图形绕坐标轴旋转后所得旋转体的方程？答：求旋转曲面方程的口诀用通俗的语言描述就是：“绕谁（如 x）旋转谁不变，另外一个字母变成）平方和（如22zy”。（3）同一个方程在空间和在平面中表示的图形为何不一样？答：例如：6422yx，在平面上只有两个坐标，所以表示的是一个圆，但在空间中是三维坐标的，这个方程表示的就是圆柱了，即当),(00yx满足上述方程，则对任意的 z,),(00zyx也满足这个方程。（4）求平面方程有几种方法，具体用于求平面方程时要注意哪些关键的东西？答：求平面方程时最关键的就是要找到平面中的一个点和平面的法向量，求平面的法向量经常会用到两向量的叉乘的方向的性质来解决法向量，也即找到两个向量做叉乘后所得到的向量便可做所求向量的法向量。（5）解与直线和平面相关的题时如何分析？答：但凡涉及平面的找法向量，但凡涉及直线的找方向向量。然后在根据具体题来分析该如何使用法向量和方向向量。向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别记为单位向量模等于的向量叫做单位向量向量的平行两个非零向量如果它们的四、考点分析（一）向量的的基本概念的相关知识 例 1、平行于向量)6,7,6(a的单位向量为_.解：116,117,116 例 2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21MM和，计算向量21MM的模，方向余弦和方向角.解、21MM=（-1，-2，1）21MM=2,21cos,22cos,21cos,3,43,32 例 3、设kjipkjinkjim45,742,853，求向量pnma34在 x轴上的投影，及在 y 轴上的分向量.解：a=13i+7j+15k,所以在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j 例 4、在空间直角坐标系O;kji,下，求 M(a,b,c)关于 (1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点的坐标.解：M(a,b,c)关于 xOy 平面的对称点坐标为(a,b,c)，M(a,b,c)关于 yOz 平面的对称点坐标为(a,b,c)，M(a,b,c)关于 xOz 平面的对称点坐标为(a,b,c)，M(a,b,c)关于 x 轴平面的对称点坐标为(a,b,c)，M(a,b,c)关于 y 轴的对称点的坐标为(a,b,c)，M(a,b,c)关于 z 轴的对称点的坐标为(a,b,c).M(a,b,c)关于原点对称的对称点的坐标为(a,b,c).（二）向量的数量积、向量积、混合积的计算 例 5、设kjibkjia2,23，求(1)babababa23)2)(2(及；及(3)a、b的夹角的余弦.解：（1）3)1()2(2)1(13 ba kjikjiba75121213 （2）18)(63)2(baba，kjibaba14210)(22 向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别记为单位向量模等于的向量叫做单位向量向量的平行两个非零向量如果它们的 （3）2123),cos(bababa 例 6、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321MMM，求与3221,MMMM同时垂直的单位向量.解：2,2,0,1,4,23221MMMM kjikjiMMMMa4462201423221 1724,1724,1726aa 即为所求单位向量。例 7、已知kjOBkiOA3,3，求OAB的面积 解：思路：|21OBOASOAB=21答案：219 其中kjikjiOBOA133310301，|OAOB|=19 例 8、求单位向量n，使an且xn轴，其中)8,6,3(a.解：取ib，则bnan,。c=ba=8j-6k,|c|=10,n=|cc,答案：)68(101kjn 例 9、),(,1,1,1,3bababa求 解：),sin(bababa=3,),cos(bababa。tan33),(ba,答案：6),(ba 例 10已知矢量ba,互相垂直，矢量c与ba,的夹角都是60，且3,2,1cba计算：22)2)(4();3).(23)(3();)()(2(;)(1(cbacbbabababa 解：向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别记为单位向量模等于的向量叫做单位向量向量的平行两个非零向量如果它们的1132460cos32460cos3214424)2)(4(;2760cos32660cos.398.6.92.3)3).(23)(3(;321)()(2(;52021.2)(1(22222222222222cbcbcabaacbacbcabbacbbababababbaaba 例 11、已知平行四边形以a1，2，-1，b1，-2，1为两边 (1)求它的边长和内角 (2)求它的两对角线的长和夹角 解：(1)221 16,a 21216b cosa bab1=-6 1arccos6或1arccos6 (2)110cab ，214cab .1212cosc ccc=0 2 例 12、已知1a,5,b 3.a b试求:(1)ab (2)2()()abab (3)2(2)(2)abba 解:(1)sin(,)a b21 cos(,)a b2341()55 sin(,)ababa b 4.(2)原式=2()()abaabb 2(2)ab 24 ab 64.(3)原式=2224abb baab a 2(3)ab=924144 例 13、已知直角坐标系内矢量,a b c的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积.(1)3,4,5a,1,2,2b,9,14,16c.(2)3,0,1a,2,4,3b,1,2,2c .向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别记为单位向量模等于的向量叫做单位向量向量的平行两个非零向量如果它们的解:(1)共面 (,)a b c=016149221543 向量,a b c共面 (2)不共面 (,)a b c=2221342103 向量,a b c不共面 以其为邻边作成的平行六面体体积2V （三）求平面的曲线与曲面 例 14.一动点M到A)0,3(的距离恒等于它到点)0,6(B的距离一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？解：动点M在轨迹上的充要条件是MBMA21。设M的坐标),(yx有 2222)6(21)3(yxyx 化简得36)6(22yx 故此动点M的轨迹方程为36)6(22yx 此轨迹为椭圆 例 15、把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.32xy;0,212121aayx;0,0333aaxyyx.解:tytx32 令4cosax,代入方程212121ayx 得42212212121sin,sincosayaaay 参数方程为44sincosayax.令,txy 代入方程0333axyyx 得 031233atxxt 03132atxtx 3130tatxx或向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别记为单位向量模等于的向量叫做单位向量向量的平行两个非零向量如果它们的 当0 x时,;0y当313tatx时,3213taty 故参数方程为3231313tatytatx.(四)空间的曲线与曲面方程及投影 例15、一动点移动时，与)0,0,4(A及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：设在给定的坐标系下，动点),(zyxM，所求的轨迹为C，则zMACzyxM),(亦即zzyx222)4(0)4(22yx 由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为0)4(22yx 例16、求下列各球面的方程：（1）中心)3,1,2(，半径为；6R（2）中心在原点，且经过点)3,2,6(；（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(与（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(（5）求中心在)2,5,3(C且与平面01132zyx相切的球面方程。.解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222zyx（2）球面半径73)2(6222R 所以类似上题，得球面方程为 向量积是个向量几种常见的旋转曲面柱面二次曲面平面的几种方程的表示方法点法式一般式方程三点式方程截距式方程两平面的夹角空间直线的几种表示方法参数方程对称式方程一般方程两点式方程两直线的夹角直线与平面的夹角投影特殊位置的平面方程过原点平行于坐标轴垂直于坐标轴等平面方程的几种表示方式之间的转化直线方程的几种表示方式之间的转化二基本知识向量及其线性运算向量的基本概念向量既有大小又有方向的量向量表示方法用一条有以为起点为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如或向量的模向量的大小叫做向量的模向量的模分别