第四节三角函数的最值与综合应用_中学教育-试题.pdf

学习必备 欢迎下载 第四节 三角函数的最值与综合应用 高考试题 考点一 三角函数的最值 1.(20XX 年天津卷,文 6)函数 f(x)=sin（2x-4）在区间0,2 上的最小值为()(A)-1(B)-22(C)22(D)0 解析:由 x0,2 得 2x-4-4,34,所以 sin(2x-4)-22,1.即 f(x)在0,2 上最小值为-22.故选 B.答案:B 2.(20XX 年山东卷,文 8)函数 y=2sin(6x-3)(0 x9)的最大值与最小值之和为()(A)2-3 (B)0 (C)-1(D)-1-3 解析:当 0 x9 时,-36x-376,所以-32sin(6x-3)2,所以最大值与最小值之和为 2-3.故选 A.答案:A 3.(20XX 年天津卷,文 7)已知函数 f(x)=2sin(x+),x R,其中0,-.若 f(x)的最小正周期为 6,且当 x=2时,f(x)取得最大值,则()(A)f(x)在区间-2,0 上是增函数(B)f(x)在区间-3,-上是增函数(C)f(x)在区间3,5 上是减函数(D)f(x)在区间4,6 上是减函数 解析:T=6,=2T=26=13,132+=2k+2(k Z),学习必备 欢迎下载=2k+3(k Z).-,令 k=0 得=3.f(x)=2sin(3x+3).增区间为 2k-23x+32k+2,k Z,2k-563x2k+6,k Z,6k-56x6k+2,k Z,当 k=0 时,-52x2.f(x)在-2,0 上是增函数.故选 A.答案:A 4.(20XX 年江西卷,文 6)函数 y=sin2x+sin x-1的值域为()(A)-1,1 (B)-54,-1(C)-54,1(D)-1,54 解析:令 sin x=t,则 t-1,1,可得 y=t2+t-1=(t+12)2-54,故 y-54,1.故选 C.答案:C 5.(20XX 年新课标全国卷,文 16)设当 x=时,函数 f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则 cos=.解析:f(x)=sin x-2cos x=5(55sin x-2 55cos x)=5sin(x-),其中 sin=2 55,cos=55,当 x-=2k+2(k Z),即 x=2k+2+时函数 f(x)取到最大值,即=2k+2+,最小值为解析由得所以即在上最小值为故选答案年山东卷文函数的最大值与最小值之和为解析当时所以所以最大值与最小值之和为故选答案年天津卷文已知函数其中若的最小正周期为且当时取得最大值则在区间上是增函数在区间上江西卷文函数的值域为解析令则可得故故选答案年新课标全国卷文设当时函数取得最大值则解析其中时函数取到最大值当即即学习必备欢迎下载所以答案年大纲全国卷文当函数取得最大值时解析当即答案时函数值最大为年陕西卷文性质知当学习必备欢迎下载即时取得最大值当即时取得最小值因此在上的最大值是最小值是年湖北卷文设函数的图象关于直线对称其中为常数且若的图象经过点求函数的最小正周期求函数的值域解由直线是图象的一条对称轴可得所学习必备 欢迎下载 所以 cos=-sin=-2 55.答案:-2 55 6.(20XX 年大纲全国卷,文 15)当函数 y=sin x-3cos x(0 x0,0,-)在 x=6处取得最大值2,其图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为2.(1)求 f(x)的解析式;(2)求函数 g(x)=426cossin16xxfx的值域.解:(1)由题设条件知 f(x)的周期 T=,即2=,解得=2.因为 f(x)在 x=6处取得最大值 2,所以 A=2,从而 sin(2 6+)=1,所以 26+=2+2k,k Z.又由-,得=6.故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+6).(2)g(x)=426cossin12sin 22xxx=426coscos22cos 2xxx=2222cos1 3cos22 2cos1xxx=32cos2x+1(cos2x12).因为 cos2x0,1,且 cos2x12,故 g(x)的值域为1,74(74,52.考点二 三角函数的综合应用 1.(20XX 年陕西卷,文 6)方程|x|=cos x在(-,+)内()最小值为解析由得所以即在上最小值为故选答案年山东卷文函数的最大值与最小值之和为解析当时所以所以最大值与最小值之和为故选答案年天津卷文已知函数其中若的最小正周期为且当时取得最大值则在区间上是增函数在区间上江西卷文函数的值域为解析令则可得故故选答案年新课标全国卷文设当时函数取得最大值则解析其中时函数取到最大值当即即学习必备欢迎下载所以答案年大纲全国卷文当函数取得最大值时解析当即答案时函数值最大为年陕西卷文性质知当学习必备欢迎下载即时取得最大值当即时取得最小值因此在上的最大值是最小值是年湖北卷文设函数的图象关于直线对称其中为常数且若的图象经过点求函数的最小正周期求函数的值域解由直线是图象的一条对称轴可得所学习必备 欢迎下载(A)没有根 (B)有且仅有一个根(C)有且仅有两个根(D)有无穷多个根 解析:|x|=cos x的根的个数即 y=|x|与 y=cos x函数图象的交点个数.令 y1=|x|,y2=cos x,则它们的图象如图所示.故选 C.答案:C 2.(20XX 年安徽卷,文 15)设 f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中 a,b R,ab0.若 f(x)6f 对一切 xR恒成立,则 f1112=0;f7100 时,递增区间为k-3,k+6(k Z).又|b|0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求的值;(2)求 f(x)在区间,32 上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=32-3sin2x-sin xcos x=32-31 cos 22x-12sin 2 x=32cos 2 x-12sin 2 x=-sin(2 x-3).最小值为解析由得所以即在上最小值为故选答案年山东卷文函数的最大值与最小值之和为解析当时所以所以最大值与最小值之和为故选答案年天津卷文已知函数其中若的最小正周期为且当时取得最大值则在区间上是增函数在区间上江西卷文函数的值域为解析令则可得故故选答案年新课标全国卷文设当时函数取得最大值则解析其中时函数取到最大值当即即学习必备欢迎下载所以答案年大纲全国卷文当函数取得最大值时解析当即答案时函数值最大为年陕西卷文性质知当学习必备欢迎下载即时取得最大值当即时取得最小值因此在上的最大值是最小值是年湖北卷文设函数的图象关于直线对称其中为常数且若的图象经过点求函数的最小正周期求函数的值域解由直线是图象的一条对称轴可得所学习必备 欢迎下载 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4,又0,所以22=44,因此=1.(2)由(1)知 f(x)=-sin(2x-3).当x32时,532x-383.所以-32sin(2x-3)1.因此-1f(x)32.故 f(x)在区间,32 上的最大值和最小值分别为32,-1.6.(20XX 年四川卷,文 17)在ABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-35.(1)求 sin A 的值;(2)若 a=42,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.解:(1)由 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-35,得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35.则 cos(A-B+B)=-35,即 cos A=-35.又 0Ab,则 AB,故 B=4.根据余弦定理,有(42)2=52+c2-25c35,解得 c=1 或 c=-7(负值舍去).最小值为解析由得所以即在上最小值为故选答案年山东卷文函数的最大值与最小值之和为解析当时所以所以最大值与最小值之和为故选答案年天津卷文已知函数其中若的最小正周期为且当时取得最大值则在区间上是增函数在区间上江西卷文函数的值域为解析令则可得故故选答案年新课标全国卷文设当时函数取得最大值则解析其中时函数取到最大值当即即学习必备欢迎下载所以答案年大纲全国卷文当函数取得最大值时解析当即答案时函数值最大为年陕西卷文性质知当学习必备欢迎下载即时取得最大值当即时取得最小值因此在上的最大值是最小值是年湖北卷文设函数的图象关于直线对称其中为常数且若的图象经过点求函数的最小正周期求函数的值域解由直线是图象的一条对称轴可得所学习必备 欢迎下载 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B=22.7.(20XX 年湖南卷,文 16)已知函数 f(x)=cos xcos(x-3).(1)求 f23的值;(2)求使 f(x)14成立的 x 的取值集合.解:(1)f23=cos23cos3=-cos3cos3=-12 2=-14.(2)f(x)=cos xcos(x-3)=cos x(12cos x+32sin x)=12cos2x+32sin xcos x=14(1+cos 2x)+34sin 2x=12cos(2x-3)+14.f(x)14等价于12cos(2x-3)+1414,即 cos(2x-3)0.于是 2k+22x-32k+32,k Z.解得 k+512xk+1112,k Z.故使 f(x)14成立的 x 的取值集合为 x k+512x0),若存在 x1,x20,4,使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数 m的取值范围是 .解析:f(x)=sin 2x+23cos2x-3=sin 2x+3(cos 2x+1)-3=sin 2x+3cos 2x=2sin(2x+3)0 x14,32x1+356.1f(x1)2.又-62x2-63,12cos(2x2-6)1,-32m+3g(x2)-m+3.又存在 x1,x20,4,使得 f(x1)=g(x2),1-32m+3 2 或 1-m+3 2,23m 43或 1m 2,23m 2.答案:23,2 考点二 三角函数与其他知识的综合 1.(2013 安徽蚌埠高三第一次质检)函数 f(x)=sin(cos x)在区间0,2 上的零点个数是()(A)3(B)4(C)5(D)6 解析:f(x)=sin(cos x)=0,则cos x=k(k Z),cos x=k(kZ),cos x=1 或 cos x=0,又 x0,2,则 x=0 或 x=或 x=2或 x=2或 x=32,即有 5 个零点.故选 C.答案:C 2.(2013 广东深圳高三第一次调研)函数 y=ln|x-1|的图象与函数 y=-2cos x(-2 x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()最小值为解析由得所以即在上最小值为故选答案年山东卷文函数的最大值与最小值之和为解析当时所以所以最大值与最小值之和为故选答案年天津卷文已知函数其中若的最小正周期为且当时取得最大值则在区间上是增函数在区间上江西卷文函数的值域为解析令则可得故故选答案年新课标全国卷文设当时函数取得最大值则解析其中时函数取到最大值当即即学习必备欢迎下载所以答案年大纲全国卷文当函数取得最大值时解析当即答案时函数值最大为年陕西卷文性质知当学习必备欢迎下载即时取得最大值当即时取得最小值因此在上的最大值是最小值是年湖北卷文设函数的图象关于直线对称其中为常数且若的图象经过点求函数的最小正周期求函数的值域解由直线是图象的一条对称轴可得所学习必备 欢迎下载(A)8(B)6(C)4(D)2 解析:作出 y=ln|x-1|与 y=-2cos x(-2 x4)的图象知,两函数图象有 3 对交点,且每对交点关于 x=1 对称,横坐标之和为 23=6.故选 B.答案:B 3.(2013 重庆第一中学高三月考)设平面向量 a=(cos x,sin x),b=(cos x+23,sin x),xR.(1)若 x(0,2),证明:a 和 b 不平行;(2)若 c=(0,1),求函数 f(x)=a(b-2c)的最大值,并求出相应的 x 值.(1)证明:假设 a 与 b 平行,则 cos xsin x-sin x(cos x+23)=0,即 sin x=0,与 x(0,2)时,sin x0,矛盾.故 a 与 b 不平行.(2)解:f(x)=ab-2ac=cos2x+23cos x+sin2x-2sin x=1-2sin x+23cos x=1-4sin（x-3）.所以 f(x)max=5,x=2k-6(k Z).综合检测 1.(2012 浙江金华十校期末)M、N是曲线 y=sin x与曲线 y=cos x的两个不同的交点,则|MN|的最小值为()(A)(B)2 (C)3(D)2 解析:两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,最小值为解析由得所以即在上最小值为故选答案年山东卷文函数的最大值与最小值之和为解析当时所以所以最大值与最小值之和为故选答案年天津卷文已知函数其中若的最小正周期为且当时取得最大值则在区间上是增函数在区间上江西卷文函数的值域为解析令则可得故故选答案年新课标全国卷文设当时函数取得最大值则解析其中时函数取到最大值当即即学习必备欢迎下载所以答案年大纲全国卷文当函数取得最大值时解析当即答案时函数值最大为年陕西卷文性质知当学习必备欢迎下载即时取得最大值当即时取得最小值因此在上的最大值是最小值是年湖北卷文设函数的图象关于直线对称其中为常数且若的图象经过点求函数的最小正周期求函数的值域解由直线是图象的一条对称轴可得所学习必备 欢迎下载 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1=4,x2=54,|x1-x2|=,|y1-y2|=|sin x1-cos x2|=22+22=2,|MN|=222=3.故选 C.答案:C 2.(2013 安徽望江四中高三月考)已知定义域为 R的函数 f(x)既是奇函数,又是周期为 3 的周期函数,当 x（0,32）时,f(x)=sin x,f32 =0,则函数 f(x)在区间0,6 上的零点个数是()(A)3(B)5(C)7(D)9 解析:f(x)是定义域为 R的奇函数,f(0)=0.又周期为 3,f(3)=f(6)=f(0)=0,又f(1)=sin=0,f(4)=f(1)=0,又f(1)=f(-1)=f(2)=f(5)=0,f32 =f92 =0,零点为 0,1,32,2,3,4,92,5,6,共 9 个.故选 D.答案:D 3.(2011 吉林质检)已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象的一条对称轴是 x=53,则函数 g(x)=asin x+cos x的最大值是()(A)2 23(B)2 33 (C)43(D)2 63 最小值为解析由得所以即在上最小值为故选答案年山东卷文函数的最大值与最小值之和为解析当时所以所以最大值与最小值之和为故选答案年天津卷文已知函数其中若的最小正周期为且当时取得最大值则在区间上是增函数在区间上江西卷文函数的值域为解析令则可得故故选答案年新课标全国卷文设当时函数取得最大值则解析其中时函数取到最大值当即即学习必备欢迎下载所以答案年大纲全国卷文当函数取得最大值时解析当即答案时函数值最大为年陕西卷文性质知当学习必备欢迎下载即时取得最大值当即时取得最小值因此在上的最大值是最小值是年湖北卷文设函数的图象关于直线对称其中为常数且若的图象经过点求函数的最小正周期求函数的值域解由直线是图象的一条对称轴可得所学习必备 欢迎下载 解析:f(x)=sin x+acos x=21a sin(x+)（cos=211a）,x=53为函数 f(x)图象的一条对称轴,53+=k+2(k Z),又 cos 0,取=-6,则 cos6=211a,21a=2 33.g(x)=21a sin(x+)（cos=21aa）,g(x)max=21a=2 33.故选 B.答案:B 4.(2012 江南十校联考)函数 y=222sin3sin2sin3xxx的值域为 .解析:令 t=2sin x+31,5,则 sin x=32t,所以 y=2233922ttt=229182ttt =91t2-921t+12,又1t15,1,所以 y-116,5.最小值为解析由得所以即在上最小值为故选答案年山东卷文函数的最大值与最小值之和为解析当时所以所以最大值与最小值之和为故选答案年天津卷文已知函数其中若的最小正周期为且当时取得最大值则在区间上是增函数在区间上江西卷文函数的值域为解析令则可得故故选答案年新课标全国卷文设当时函数取得最大值则解析其中时函数取到最大值当即即学习必备欢迎下载所以答案年大纲全国卷文当函数取得最大值时解析当即答案时函数值最大为年陕西卷文性质知当学习必备欢迎下载即时取得最大值当即时取得最小值因此在上的最大值是最小值是年湖北卷文设函数的图象关于直线对称其中为常数且若的图象经过点求函数的最小正周期求函数的值域解由直线是图象的一条对称轴可得所学习必备 欢迎下载 答案:-116,5 5.(2013 重庆一中高三第四次月考)已知向量 a=(sin,cos),b=(3,1),其中(0,2).(1)若 ab,求 sin 和 cos 的值;(2)若 f()=(a+b)2,求 f()的值域.解:(1)ab,sin-3cos=0,求得 tan=3.又(0,2),=3,sin=32,cos=12.(2)f()=(sin+3)2+(cos+1)2=23sin+2cos+5=4sin(+6)+5.又(0,2),+6(6,23),12sin(+6)1,7f()9,即函数 f()的值域为(7,9.最小值为解析由得所以即在上最小值为故选答案年山东卷文函数的最大值与最小值之和为解析当时所以所以最大值与最小值之和为故选答案年天津卷文已知函数其中若的最小正周期为且当时取得最大值则在区间上是增函数在区间上江西卷文函数的值域为解析令则可得故故选答案年新课标全国卷文设当时函数取得最大值则解析其中时函数取到最大值当即即学习必备欢迎下载所以答案年大纲全国卷文当函数取得最大值时解析当即答案时函数值最大为年陕西卷文性质知当学习必备欢迎下载即时取得最大值当即时取得最小值因此在上的最大值是最小值是年湖北卷文设函数的图象关于直线对称其中为常数且若的图象经过点求函数的最小正周期求函数的值域解由直线是图象的一条对称轴可得所