第四章 圆与方程知识点总结及习题答案_中学教育-中考.pdf

第四章 圆与方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程 222rbyax，圆心 ba,，半径为 r；点00(,)M xy与圆222()()xaybr 的位置关系：当2200()()xayb2r，点在圆外 当2200()()xayb=2r，点在圆上 当2200()()xayb2r，点在圆内（2）一般方程022FEyDxyx 当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122 当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:CByAxl，圆 222:rbyaxC，圆心 baC,到l的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd （2）过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 221211:rbyaxC，222222:RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 圆的方程 基础自测 1.方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则 a 的取值范围是 （A.a-2 或 a32 B.-32a0 C.-2 a0 D.-2 a32 答案D 2.（2009河南新郑模拟）圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0（a、bR）对称，则 ab 的取值范围是 （A.41，B.410，C.0,41 D.41,答案A 3.过点 A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线 x+y-2=0上的圆的方程是 （A.（x-3）2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.（x-1）2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 答案C 4.以点（2，-1）为圆心且与直线 3x-4y+5=0相切的圆的方程为 （A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3 C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y-1)2=9 答案C 5.（2009 宜昌模拟）直线 y=ax+b 通过第一、三、四象限，则圆（x+a）2+(y+b)2=r2(r0)的圆心位于（）A.第一象限 B.C.第三象限 D.答案B 例 1 已知圆 C的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x+4y+4=0与圆 C相切，则圆 C的方程为（）A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0 答案D 准方程圆心半径为的位置关系点与圆当点在圆外当点在圆上当点在圆内一般方程当时方程表示圆此时圆心为半径为当当时表示一个点时方程不表示任何图形求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条以此来确定圆心的位置直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况设直线圆圆心到的距离为则有相离与相切与相交与过圆外一点的切线不存在验证是否成立存在设点斜方程用圆心到该直线距离半径求解得到方圆心距之间的大小比较来确定两圆的位置关系常通过两圆半径的和差与圆心距之间的大小比较来确定当时两圆外离此时有公切线四条设圆当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条当时两圆相交连心线垂直平分公共弦 例 2 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P，Q两点，且 OP OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解 方法一 将 x=3-2y,代入方程 x2+y2+x-6y+m=0,5y2-20y+12+m=0.设 P（x1,y1）,Q(x2,y2),则 y1、y2y1+y2=4,y1y2=.512m OP OQ,x1x2+y1y2=0.x1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.m=3,此时0,圆心坐标为 321，,半径 r=25.方法二 如图所示，设弦 PQ中点为 M，O1M PQ，21MOk.O1M的方程为:y-3=221x,即：y=2x+4.03242yxxy 解得 M的坐标为（-1，2）.则以 PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.OP OQ，点 O在以 PQ为直径的圆上.（0+1）2+（0-2）2=r2，即 r2=5,MQ2=r2.在 RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.2121(3-2)2+5=44)6(12m m=3.半径为25,圆心为 3,21.方法三 设过 P、Q x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.OP OQ知，点 O（0，0）在圆上.m-3=0，即 m=3.x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0 x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.圆心 M2)3(221，又圆在 PQ上.-21+2（3-）-3=0，=1，m=3.3,21，半径为25.例 3（12 分）已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.（1）求 y-x（2）求 x2+y2的最大值和最小值.准方程圆心半径为的位置关系点与圆当点在圆外当点在圆上当点在圆内一般方程当时方程表示圆此时圆心为半径为当当时表示一个点时方程不表示任何图形求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条以此来确定圆心的位置直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况设直线圆圆心到的距离为则有相离与相切与相交与过圆外一点的切线不存在验证是否成立存在设点斜方程用圆心到该直线距离半径求解得到方圆心距之间的大小比较来确定两圆的位置关系常通过两圆半径的和差与圆心距之间的大小比较来确定当时两圆外离此时有公切线四条设圆当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条当时两圆相交连心线垂直平分公共弦 解（1）y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距，当直线 y=x+b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时,3202b，解得 b=-26.5 分 所以 y-x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.6 分（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.8 又圆心到原点的距离为22）00（）02（=2 所以 x2+y2的最大值是（2+3）2=7+43 x2+y2的最小值是（2-3）2=7-43.12 圆与直线方程 例 1 已知圆 x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m R）.（1）求证：不论 m为何值，圆心在同一直线 l（2）与 l（3）求证：任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.（1）证明 配方得：（x-3m）2+y-（m-1）2=25 设圆心为（x，y），则,13mymx消去 m l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线 l：x-3y-3=0上.（2）解 设与 l 平行的直线是 l1：x-3y+b=0l1的 d=10310)1(33bbmm.圆的半径为 r=5 当 dr，即-510-3b510-3 当 d=r,即 b=510-3 准方程圆心半径为的位置关系点与圆当点在圆外当点在圆上当点在圆内一般方程当时方程表示圆此时圆心为半径为当当时表示一个点时方程不表示任何图形求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条以此来确定圆心的位置直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况设直线圆圆心到的距离为则有相离与相切与相交与过圆外一点的切线不存在验证是否成立存在设点斜方程用圆心到该直线距离半径求解得到方圆心距之间的大小比较来确定两圆的位置关系常通过两圆半径的和差与圆心距之间的大小比较来确定当时两圆外离此时有公切线四条设圆当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条当时两圆相交连心线垂直平分公共弦 当 dr，即 b-510-3 或 b510-3 时，直线与圆相离.（3）证明 对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线 l1的距离 d=103b（4）弦长=222dr 且 r 和 d 均为常量.任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例 2 从点 A（-3，3）发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线 l 所在直线的方程.解 方法一 如图所示，设 l 与 x 轴交于点 B（b,0)，则 kAB=33b,根据光的反射定律，反射光线的斜率 k反=33b.y=33b(x-b),3x-(b+3)y-3b=0.已知圆 x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为 C（2,21,2)3(932）3（6bbb=1,解得 b1=-43,b2=1.kAB=-34或 kAB=-43.l 的方程为 4x+3y+3=0或 3x+4y-3=0.方法二 已知圆 C：x2+y2-4x-4y+7=0关于 x 轴对称的圆为 C1：(x-2)2+(y+2)2=1，其圆心 C1的坐标为（2，-2），半径为 1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.设 l 的方程为 y-3=k(x+3),则22155kk=1,12k2+25k+12=0.k1=-34，k2=-43.l 的方程为 4x+3y+3=0或 3x+4y-3=0.方法三 设入射光线方程为 y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为 y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.,1122332kbkkbkk消去 b 得2155kk=1.12k2+25k+12=0,k1=-34,k2=-43.则 l 的方程为 4x+3y+3=0或 3x+4y-3=0.准方程圆心半径为的位置关系点与圆当点在圆外当点在圆上当点在圆内一般方程当时方程表示圆此时圆心为半径为当当时表示一个点时方程不表示任何图形求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条以此来确定圆心的位置直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况设直线圆圆心到的距离为则有相离与相切与相交与过圆外一点的切线不存在验证是否成立存在设点斜方程用圆心到该直线距离半径求解得到方圆心距之间的大小比较来确定两圆的位置关系常通过两圆半径的和差与圆心距之间的大小比较来确定当时两圆外离此时有公切线四条设圆当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条当时两圆相交连心线垂直平分公共弦 例 3 已知圆 C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆 C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为何值时，（1）圆 C1与圆 C2相外切；（2）圆 C1与圆 C2 解 对于圆 C1与圆 C2 C1:(x-m)2+(y+2)2=9;C2:(x+1)2+(y-m)2=4.(1)如果 C1与 C2外切，则有22)2(）1（mm=3+2.(m+1)2+(m+2)2=25.m2+3m-10=0,解得 m=-5或 m=2.（2）如果 C1与 C2内含，则有22)2(）1（mm3-2.(m+1)2+(m+2)21,m2+3m+20,-2m-1,当 m=-5或 m=2 时，圆 C1与圆 C2 当-2m-1 时，圆 C1与圆 C2内含.例 4（12 分）已知点 P（0，5）及圆 C：x2+y2+4x-12y+24=0.（1）若直线 l 过 P 且被圆 C截得的线段长为 43，求 l 的方程；（2）求过 P 点的圆 C的弦的中点的轨迹方程.解 （1）方法一 如图所示，AB=43，D是 AB的中点，CD AB，AD=23，圆 x2+y2+4x-12y+24=0可化为（x+2）2+（y-6）2=16，圆心 C（-2，6），半径 r=4，故 AC=4 在 RtACD中，可得 CD=2.2 设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y-5=kx,准方程圆心半径为的位置关系点与圆当点在圆外当点在圆上当点在圆内一般方程当时方程表示圆此时圆心为半径为当当时表示一个点时方程不表示任何图形求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条以此来确定圆心的位置直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况设直线圆圆心到的距离为则有相离与相切与相交与过圆外一点的切线不存在验证是否成立存在设点斜方程用圆心到该直线距离半径求解得到方圆心距之间的大小比较来确定两圆的位置关系常通过两圆半径的和差与圆心距之间的大小比较来确定当时两圆外离此时有公切线四条设圆当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条当时两圆相交连心线垂直平分公共弦 即 kx-y+5=0.由点 C到直线 AB的距离公式：22)1(562kk=2，得 k=43.此时直线 l 的方程为 3x-4y+20=0.4 又直线 l 的斜率不存在时，此时方程为 x=0.6 则 y2-12y+24=0,y1=6+23,y2=6-23,y2-y1=43,故 x=0 满足题意.所求直线的方程为 3x-4y+20=0或 x=0.8 方法二 设所求直线的斜率为 ky-5=kx,即 y=kx+5,联立直线与圆的方程,024124522yxyxkxy 消去y 得（1+k2）x2+(4-2k)x-11=0 2 设方程的两根为 x1,x2,221221111142kxxkkxx 4 由弦长公式得21k|x1-x2|=,344)(1(212212xxxxk 将式代入，解得k=433x-4y+20=0.又 k 不存在时也满足题意，此时直线方程为 x=0.所求直线的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0.8（2）设过 P 点的圆 C的弦的中点为 D（x,y）,CD PD，即CDPD=0，（x+2,y-6）(x,y-5)=0,x2+y2+2x-11y+30=0.3.求过点 P（4，-1）且与圆 C：x2+y2+2x-6y+5=0切于点 M（1，2）的圆的方程.解 方法一 设所求圆的圆心为 A（m,n)，半径为 r,则 A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r 因为圆 C：x2+y2+2x-6y+5=0的圆心为 C（-1，3 准方程圆心半径为的位置关系点与圆当点在圆外当点在圆上当点在圆内一般方程当时方程表示圆此时圆心为半径为当当时表示一个点时方程不表示任何图形求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条以此来确定圆心的位置直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况设直线圆圆心到的距离为则有相离与相切与相交与过圆外一点的切线不存在验证是否成立存在设点斜方程用圆心到该直线距离半径求解得到方圆心距之间的大小比较来确定两圆的位置关系常通过两圆半径的和差与圆心距之间的大小比较来确定当时两圆外离此时有公切线四条设圆当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条当时两圆相交连心线垂直平分公共弦 则rnmnmmn2222)1()4()2()1(113212,解得 m=3,n=1,r=5,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.方法二 因为圆 C：x2+y2+2x-6y+5=0过点 M（1，2）的切线方程为 2x-y=0,所以设所求圆 A x2+y2+2x-6y+5+(2 x-y)=0,因为点 P（4，-1）在圆上，所以代入圆 A 解得=-4,所以所求圆的方程为 x2+y2-6x-2y+5=0.4.（2008全国文，10）若直线byax=1 与圆 x2+y2=1 有公共点，则 ()A.a2+b21 B.a2+b21 C.2211ba1 D.2211ba1 答案D 5.能够使得圆 x2+y2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线 2x+y+c=0 距离等于 1 的 c 的一个值为 （A.2 B.5 C.3 D.35 答案C 准方程圆心半径为的位置关系点与圆当点在圆外当点在圆上当点在圆内一般方程当时方程表示圆此时圆心为半径为当当时表示一个点时方程不表示任何图形求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条以此来确定圆心的位置直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况设直线圆圆心到的距离为则有相离与相切与相交与过圆外一点的切线不存在验证是否成立存在设点斜方程用圆心到该直线距离半径求解得到方圆心距之间的大小比较来确定两圆的位置关系常通过两圆半径的和差与圆心距之间的大小比较来确定当时两圆外离此时有公切线四条设圆当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条当时两圆相交连心线垂直平分公共弦