等差等比数列知识点总结_中学教育-高考.pdf
名师总结 精品知识点 等差等比数列知识点总结 1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即daann 1（d为常数）（2n）；.2.等差中项：（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2baA或baA2 （2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa 3.等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列na的首项是1a，公差是d，可以得到等差数列的通项公式为：dnaan11 推广：dmnaamn)(从而mnaadmn；4等差数列的前 n 项和公式：1()2nnn aaS1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为 0）5等差数列的判定方法 （1）定义法：若daann 1或daann 1(常数Nn)na是等差数列 （2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa （3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。6等差数列的证明方法 定义法：若daann 1或daann 1(常数Nn)na是等差数列 名师总结 精品知识点 7.等差数列的性质：（1）当mnpq 时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp 时，则有2mnpaaa.(2)若na是等差数列，则232,nnnnnSSSSS，也成等差数列 （3）设数列na是等差数列，d 为公差，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前 n 项的和 1.当项数为偶数n2时，121135212nnnn aaSaaaana 奇 22246212nnnn aaSaaaana 偶 11=nnnnSSnanan aand偶奇 11nnnnSnaaSnaa奇偶 2、当项数为奇数12 n时，则 21(21)(1)1nSSSnaSnaSnSSaSnaSnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中an+1是项数为 2n+1的等差数列的中间项）1、等比数列的定义：*12,nnaq qnnNa0且，q称为公比 2、通项公式：11110,0nnnnaaa qqA BaqA Bq ，首项：1a；公比：q 推广：n mn mnnn mnmmmaaaa qqqaa 3、等比中项：（1）如果,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：2Aab或Aab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差即为常数等差中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的通项公式一般地如果等差数列的首项是公差是可以得到等差定方法定义法若等差中项数列是等差数列或常数是等差数列数列是等差数列数列是等差数列其中是常数其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列名师总结精品知识点等差数列的性质当时则有特别地当时则有若是等偶偶奇奇偶当项数为奇数时则奇偶奇奇奇偶偶偶其中是项数为的等差数列的中间项等比数列的定义且称为公比通项公式首项公比推广等比中项成等比数列那么叫做与的等差中项即如果注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比名师总结 精品知识点（2）数列na是等比数列211nnnaaa 4、等比数列的前n项和nS公式：（1）当1q 时，1nSna（2）当1q 时，11111nnnaqaa qSqq 1111nnnaaqAA BA BAqq （,A B A B为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n，都有11(0)nnnnnnaaqaq qaaa或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0)nnnnnnaaaaaa为等比数列（3）通项公式：0nnnaA BA Ba 为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若*12,nnaq qnnNa0且或1nnnaqaa为等比数列 7、等比数列的性质：（1）若*(,)mnst m n s tN ，则nmstaaaa 。特别的，当2mnk 时，得2nmkaaa 注：12132nnnaaaaa a （2）如果na是各项均为正数的 等比数列，则数列logana是等差数列（3）若na为等比数列，则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列 （4）在等比数列na中，当项数为*2()n nN时，1SSq奇偶 于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差即为常数等差中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的通项公式一般地如果等差数列的首项是公差是可以得到等差定方法定义法若等差中项数列是等差数列或常数是等差数列数列是等差数列数列是等差数列其中是常数其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列名师总结精品知识点等差数列的性质当时则有特别地当时则有若是等偶偶奇奇偶当项数为奇数时则奇偶奇奇奇偶偶偶其中是项数为的等差数列的中间项等比数列的定义且称为公比通项公式首项公比推广等比中项成等比数列那么叫做与的等差中项即如果注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比名师总结 精品知识点 随堂练习 一、选择题 1.2005是数列7,13,19,25,31,中的第（）项.A.332 B.333 C.334 D.335 3.等差数列3,7,11,的一个通项公式为（）A.47n B.47n C.41n D.41n 7记等差数列的前n项和为ns，若24S，420S，则该数列的公差d()A2 B3 C6 D7 10.已知等差数列na的前n项和为Sn，若S714，则35aa的值为()A2 B4 C7 D8 1.已知等比数列na中1nnaa，且37283,2aaaa，则117aa（）A.21 B.23 C.32 D.2 2.已知等比数列na的公比为正数，且3a9a=225a，2a=1，则1a=()A.21 B.22 C.2 D.2 3.在等比数列na中,8,1685aa则11a()A.4 B.4 C.2 D.2 10.若na是等比数列,前 n 项和21nnS,则2222123naaaa()A.2(21)n B.21(21)3n C.41n D.1(41)3n 二、填空题 13.等差数列na中，350a，530a，则7a .14.等差数列na中，3524aa，23a，则6a .15.已知等差数列na中，26aa与的等差中项为5，37aa与的等差中项为7，则na .11.已知数列 1,a1,a2,4成等差数列，1,b1,b2,b3,4成等比数列，则221baa_ 14.在等比数列na中，12236,12,naaaaS为数列na的前n项和，则于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差即为常数等差中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的通项公式一般地如果等差数列的首项是公差是可以得到等差定方法定义法若等差中项数列是等差数列或常数是等差数列数列是等差数列数列是等差数列其中是常数其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列名师总结精品知识点等差数列的性质当时则有特别地当时则有若是等偶偶奇奇偶当项数为奇数时则奇偶奇奇奇偶偶偶其中是项数为的等差数列的中间项等比数列的定义且称为公比通项公式首项公比推广等比中项成等比数列那么叫做与的等差中项即如果注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比名师总结 精品知识点 22010log(2)S .三、解答题 17.已知(1)2f，2()1(1)()2f nf nnN，求(101)f.18.等差数列na中，已知113a，254aa，33na，试求n的值 15.已知等比数列,83,1283aaan满足记其前 n 项和为.nS （1）求数列na的通项公式na；（2）若.,93nSn求 于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差即为常数等差中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的通项公式一般地如果等差数列的首项是公差是可以得到等差定方法定义法若等差中项数列是等差数列或常数是等差数列数列是等差数列数列是等差数列其中是常数其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列名师总结精品知识点等差数列的性质当时则有特别地当时则有若是等偶偶奇奇偶当项数为奇数时则奇偶奇奇奇偶偶偶其中是项数为的等差数列的中间项等比数列的定义且称为公比通项公式首项公比推广等比中项成等比数列那么叫做与的等差中项即如果注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比名师总结 精品知识点 16.等比数列na的前n项和为nS，已知231,SSS成等差数列.（1）求na的公比q；（2）若331 aa，求nS.高考真题 一、选择题:(2011 年高考安徽卷文科 7)若数列na的通项公式是()()nan g,则aaaL（A）15 (B)12 (C)(D)（2011 年高考全国卷文科 6)设nS为等差数列na的前n项和，若11a，公差2d，224AnSS，则k （A）8 （B）7 （C）6 （D）5（2011 年高考重庆卷文科 1)在等差数列na中，22a，3104,aa 则 A12 B14 C16 D18（2013 年安徽文）设nS为等差数列na的前n项和，8374,2Saa，则9a=（）A.6 B.4 C.2 D.2（2013 年新课标 I 文）设首项为1，公比为23的等比数列na的前n项和为nS，则（）A.21nnSa B.32nnSa C.43nnSa D.32nnSa 于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差即为常数等差中项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的通项公式一般地如果等差数列的首项是公差是可以得到等差定方法定义法若等差中项数列是等差数列或常数是等差数列数列是等差数列数列是等差数列其中是常数其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列名师总结精品知识点等差数列的性质当时则有特别地当时则有若是等偶偶奇奇偶当项数为奇数时则奇偶奇奇奇偶偶偶其中是项数为的等差数列的中间项等比数列的定义且称为公比通项公式首项公比推广等比中项成等比数列那么叫做与的等差中项即如果注意同号的两个数才有等比中项并且它们的等比
