江苏省高考数学试卷真题+参考答案+详细解析.pdf

2020年 江 苏 省 高 考 数 学 试 卷 一、填 空 题：本 题 共 14小 题，每 小 题 5 分，共 7 0分.请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上.1.（5 分）已 知 集 合 人=-1,0,1,2,B=0,2,3,则 A，B=.2.（5 分）已 知 i是 虚 数 单 位，则 复 数 z=（l+i）（2-i）的 实 部 是.3.（5 分）已 知 一 组 数 据 4,2a,3-a,5,6 的 平 均 数 为 4,则 a 的 值 是.4.（5 分）将 一 颗 质 地 均 匀 的 正 方 体 骰 子 先 后 抛 掷 2 次，观 察 向 上 的 点 数，则 点 数 和 为 5 的 概 率 是.5.（5 分）如 图 是 一 个 算 法 流 程 图，若 输 出 y 的 值 为-2,则 输 入 x 的 值 是.6.（5 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，若 双 曲 线-二=130）的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y=则 该 双 曲 a 5 2线 的 离 心 率 是.27.（5 分）已 知 二/（%）是 奇 函 数，当 0 时，/（用=，则/（-8）的 值 是.8.（5 分）已 知 sirf2（三+a）=2,则 sin2a的 值 是.4 39.（5 分）如 图，六 角 螺 帽 毛 坯 是 由 一 个 正 六 棱 柱 挖 去 一 个 圆 柱 所 构 成 的.已 知 螺 帽 的 底 面 正 六 边 形 边 长 为 2 c m,高 为 2 CT?7,内 孔 半 径 为 0.5 C T H,则 此 六 角 螺 帽 毛 坯 的 体 积 是 cm3.10.（5 分）将 函 数 y=3sin（2x+2）的 图 象 向 右 平 移 工 个 单 位 长 度，则 平 移 后 的 图 象 中 与 轴 最 近 的 对 称 轴 4 6的 方 程 是.11.(5 分)设 a,是 公 差 为 d 的 等 差 数 列，2 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列.已 知 数 列 伍,+么 的 前 八 项 和 Sn=n2-n+2-1（e N*）,则 d+q 的 值 是.12.（5 分）已 知 5fy2+;/=l（x,y eR）,则+的 最 小 值 是.13.（5 分）在 AABC 中，AB=4,AC=3,ABAC=90,。在 边 8C 上，延 长 4）到 P,使 得 加 若 PA=mPB+（-m）PC（m 为 常 数），则 8 的 长 度 是.14.(5分)在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，已 知 P(g,O),A,3 是 圆 C:x?+(y-g)2=36上 的 两 个 动 点，满 足 PA=PB,则 面 积 的 最 大 值 是.二、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 计 9 0分.请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答，解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.15.(14分)在 三 棱 柱 A 8 C-A A G 中，ABLAC,gC_L平 面 ABC,E,尸 分 别 是 AC,8 c 的 中 点.(1)求 证：所/平 面 4 8 6；(2)求 证：平 面 AB|C_L平 面.ECB16.(14 分)在 AA3C 中，角 A、B、C 的 对 边 分 别 为。、b、c.已 知 a=3,c=0,8=45。.(1)求 sinC的 值；(2)在 边 8 C上 取 一 点 O,使 得 cosZAC=-3,求 tanNAAC的 值.517.（14分）某 地 准 备 在 山 谷 中 建 一 座 桥 梁，桥 址 位 置 的 竖 直 截 面 图 如 图 所 示：谷 底。在 水 平 线 上，桥 与 平 行，0（7 为 铅 垂 线（O 在 相 上）.经 测 量，左 侧 曲 线 A O 上 任 一 点。到 M N 的 距 离 4（米）与。到 00,的 距 离 a（米）之 间 满 足 关 系 式 九=-/；右 侧 曲 线 8 0 上 任 一 点 尸 到 M N的 距 离 心（米）与 尸 到 0（7 的 距 离 b（米）之 间 满 足 关 系 式 九=-一 一）3+6 6.已 知 点 3 到 的 距 离 为 40米.）800（1）求 桥 的 长 度；（2）计 划 在 谷 底 两 侧 建 造 平 行 于 的 桥 墩 C D 和 E F,且 C E为 8 0 米，其 中 C,“在 A B 上（不 包 括 端 点）.桥 墩 F 每 米 造 价 人（万 元），桥 墩 8 每 米 造 价 gk（万 元）依 0）,问。E 为 多 少 米 时，桥 墩 C D 与 所 的 总 造 价 最 低？18.（16分）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，已 知 椭 圆 E:曰+?=1的 左、右 焦 点 分 别 为 耳、，点 A 在 椭 圆 E 上 且 在 第 一 象 限 内，AF2LF,F2,直 线 4月 与 椭 圆 E 相 交 于 另 一 点 5.（1）求 46用 的 周 长；（2）在 x轴 上 任 取 一 点 P,直 线 公 与 椭 圆 E 的 右 准 线 相 交 于 点 Q,求 OP-QP的 最 小 值；（3）设 点 M 在 椭 圆 E 上，记 与 AM45的 面 积 分 别 为 S2,若$2=3耳，求 点 M 的 坐 标.19.(16分)己 知 关 于 工 的 函 数 y=/(x),y=g(x)与/i(x)=丘+仇 女 R)在 区 间。上 恒 有 廊(幻 g(x).(1)若/(尤)=12+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-oo,+oo),求/?(x)的 表 达 式；(2)若/(x)=f-x+i,g(x)=klnx,h(x)=kx-k,D=(0,+oo),求&的 取 值 范 围;(3)若/(x)=-2/，(x)=4x2-8,/z(x)=4(r3-r)x-3/4+2/2(0|/|V2),。=九 川 u-血,0,求 证：一%,J7.20.（16分）已 知 数 列 4（N*）的 首 项 4=1,前”项 和 为 S,.设 2 和 为 常 数，若 对 一 切 正 整 数，均 有 S“,j-sj=2a“j 成 立，则 称 此 数 列 为“九 一 4”数 列.（1）若 等 差 数 列 4 是“1”数 列，求 2 的 值；（2）若 数 列 4 是“弓-2”数 列，且 可 0,求 数 列 的 通 项 公 式；（3）对 于 给 定 的 2,是 否 存 在 三 个 不 同 的 数 列 6 为“2-3”数 列，且 为.0?若 存 在，求 出;1的 取 值 范 围；若 不 存 在，说 明 理 由.【选 做 题】本 题 包 括 A、B、C 三 小 题，请 选 定 其 中 两 小 题，并 在 相 应 的 答 题 区 域 内 作 答.若 多 做，则 按 作 答 的 前 两 小 题 评 分.解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.A.选 修 4-2：矩 阵 与 变 换（本 小 题 满 分 10分）21.（10分）平 面 上 的 点 A（2,-1）在 矩 阵 M|对 应 的 变 换 作 用 下 得 到 点 8（3,-4）.-1 b（1）求 实 数 a,6 的 值；（2）求 矩 阵”的 逆 矩 阵 M LB.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（本 小 题 满 分 10分）22.（10分）在 极 坐 标 系 中，已 知 4 月,马 在 直 线/：0cos6=2上，点 8 0，马 在 圆 C:夕=4sin6上（其 中 3 6p.O,0 0 2兀）.（1）求 Pi，0?的 值；（2）求 出 直 线/与 圆 C 的 公 共 点 的 极 坐 标.C 选 修 4 5：不 等 式 选 讲（本 小 题 满 分 0 分）23.设 x w R,解 不 等 式 2|工+1|+|%|4.【必 做 题】第 24题、第 25题，每 题 10分，共 计 20分.请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答，解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.24.（10分）在 三 棱 锥 A-BCD 中，已 知 CB=C）=6,BD=2,O 为 皮）的 中 点，AOJ_平 面 BCD,AO=2,E 为 A C 中 点.（1）求 直 线 AB 与 A E 所 成 角 的 余 弦 值；（2）若 点 尸 在 上，满 足 设 二 面 角/一-C的 大 小 为 6,求 sin。的 值.25.（10分）甲 口 袋 中 装 有 2 个 黑 球 和 1个 白 球，乙 口 袋 中 装 有 3个 白 球.现 从 甲、乙 两 口 袋 中 各 任 取 一 个 球 交 换 放 入 另 一 口 袋，重 复 次 这 样 的 操 作，记 甲 口 袋 中 黑 球 个 数 为 X,恰 有 2个 黑 球 的 概 率 为 几，恰 有 1个 黑 球 的 概 率 为 久.（1）求 Pi,1 和 P2,q2;（2）求 2Pl i+必 与 2P“J 3 的 递 推 关 系 式 和 X.的 数 学 期 望 夙 X,）（用”表 示）.2020年 江 苏 省 高 考 数 学 试 卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一、填 空 题：本 题 共 14小 题，每 小 题 5 分，共 70分.请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上.1.(5 分)已 知 集 合 A=-1,0,1,2,B=0,2,3,则 A B=_ 0J_ 2 _.【解 析】集 合 B=0,2,3,A=-1,0,1,2,则 A 8=0,2,故 答 案 为：0,2.【评 注】本 题 考 查 集 合 的 交 集 运 算，考 查 运 算 能 力，属 于 基 础 题.2.(5 分)已 知 i 是 虚 数 单 位，则 复 数 z=+的 实 部 是 3.【解 析】复 数 z=(l+i)(2-i)=3+i,所 以 复 数 z=(l+i)(2-i)的 实 部 是：3.故 答 案 为：3.【评 注】本 题 考 查 复 数 的 乘 法 的 运 算 法 则 以 及 复 数 的 基 本 概 念 的 应 用，是 基 本 知 识 的 考 查.3.(5 分)己 知 一 组 数 据 4,2 a,3-a,5,6 的 平 均 数 为 4,则 的 值 是 2.【解 析】一 组 数 据 4,2 a,3-a,5,6 的 平 均 数 为 4,则 4+2a+(3-a)+5+6=4x5,解 得 a=2.故 答 案 为：2.【评 注】本 题 考 查 平 均 数 的 定 义 的 运 用，考 查 方 程 思 想 和 运 算 能 力，属 于 基 础 题.4.(5 分)将 一 颗 质 地 均 匀 的 正 方 体 骰 子 先 后 抛 掷 2 次，观 察 向 上 的 点 数，则 点 数 和 为 5 的 概 率 是-.一 9 一【解 析】一 颗 质 地 均 匀 的 正 方 体 骰 子 先 后 抛 掷 2 次，可 得 基 本 事 件 的 总 数 为 6 x 6=3 6种，而 点 数 和 为 5 的 事 件 为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共 4 种，则 点 数 和 为 5 的 概 率 为 尸=巴=，.故 答 案 为：36 9 9【评 注】本 题 考 查 古 典 概 率 的 求 法，考 查 运 算 能 力，属 于 基 础 题.5.(5 分)如 图 是 一 个 算 法 流 程 图，若 输 出 y 的 值 为-2,则 输 入 x 的 值 是 _-3 _.【解 析】由 题 意 可 得 程 序 框 图 表 达 式 为 分 段 函 数 y=工+1,工，0若 输 出 y 值 为-2 时，由 于 2*0,所 以 解 x+l=-2,即 x=3,故 答 案 为：-3,【评 注】本 题 考 查 了 程 序 框 图 的 应 用 问 题，解 题 时 应 模 拟 程 序 框 图 的 运 行 过 程，以 便 得 出 正 确 的 结 论，是 基 础 题.6.(5分)在 平 面 直 角 坐 标 系 X。)，中，若 双 曲 线 金=l(a0)的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y=则 该 双 曲 a 5 2线 的 离 心 率 是-.-2-【解 析】双 曲 线 一=1(。0)的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y=可 得 且=且,所 以=2,a 5 2 a l所 以 双 曲 线 的 离 心 率 为：e=3 H=3,故 答 案 为：2.a 2 2 2【评 注】本 题 考 查 双 曲 线 的 简 单 性 质 的 应 用，是 基 本 知 识 的 考 查.27.(5分)已 知 y=/(x)是 奇 函 数，当 0 时，/(x)=/,则/(-8)的 值 是 _ T _.2 2【解 析】y=/(x)是 奇 函 数,可 得/(一 力=一/(力,当 x.O时，/(%)=%3,可 得/(8)=83=4,则 八 一 8)=/(8)=-4,故 答 案 为：-4.【评 注】本 题 考 查 函 数 的 奇 偶 性 的 定 义 和 运 用：求 函 数 值，考 查 转 化 思 想 和 运 算 能 力，属 于 基 础 题.jr O 18.(5分)己 知 sin2(na)=,则 sin2a的 值 是 一 _.4 3-3-冗 r y 1 COS(-l2a)4.*7*7 1【解 析】因 为 sin?(2+a)=4,则 sin“工+a)=-2-=S，=-,解 得 sin2a=,4 3 4 2 2 3 3故 答 案 为：-3【评 注】本 题 考 查 了 二 倍 角 公 式，属 于 基 础 题.9.(5分)如 图，六 角 螺 帽 毛 坯 是 由 一 个 正 六 棱 柱 挖 去 一 个 圆 柱 所 构 成 的.已 知 螺 帽 的 底 面 正 六 边 形 边 长 为 2cm,高 为 2C 2,内 孔 半 径 为 0.5cm,则 此 六 角 螺 帽 毛 坯 的 体 积 是 _ 12x/3-y _ cni1.【解 析】六 棱 柱 的 体 积 为：6x1x2x2xsin60 x2=1 2,圆 柱 的 体 积 为：x(0.5)2 x2=y,所 以 此 六 角 螺 帽 毛 坯 的 体 积 是：故 答 案 为：12&-【评 注】本 题 考 查 柱 体 体 积 公 式，考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 基 本 知 识 的 考 查.10.(5分)将 函 数 y=3sin(2x+)的 图 象 向 右 平 移 工 个 单 位 长 度，则 平 移 后 的 图 象 中 与 y 轴 最 近 的 对 称 轴 4 6的 方 程 是%=-.-24【解 析】因 为 函 数 y=3sin(2x+e)的 图 象 向 右 平 移 生 个 单 位 长 度 可 得 4 6g(x)=/(x-)=3s i n(2 x+=3 s i n(2 xf 则 V=g(x)的 对 称 轴 为 2%一 木=+%乃，k eZ,BPx=+,k&Z,当=0 时，x=,当 A=1 时，x=-,24 2 24 24所 以 平 移 后 的 图 象 中 与 y 轴 最 近 的 对 称 轴 的 方 程 是 x=-W,故 答 案 为：%=,24 24【评 注】本 题 考 查 三 角 函 数 的 平 移 变 换，对 称 轴 方 程，属 于 中 档 题.11.(5 分)设 是 公 差 为”的 等 差 数 列，,是 公 比 为 夕 的 等 比 数 列.已 知 数 列 4+的 前 项 和 S“=2-+2-l(eN*),则 d+a 的 值 是 4.【解 析】因 为 4+瓦 的 前 项 和 S“=/一+2 1(G N*),因 为 4 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列，设 首 项 为 4；5 是 公 比 为 g 的 等 比 数 列，设 首 项 为 4，所 以 4 的 通 项 公 式 为=4+(一 l)d,所 以 其 前 项 和 4=4+4；(-1)由=3“2+(%一*,当 2 中，当 公 比 4=1时，其 前 项 和 4=由，所 以”+么 的 前 项 和 5“=5“+5,=n2+(a,-)n+nb=n2-n+2-l(n e N*),显 然 没 有 出 现 2,所 以 夕 w 1,则 g,的 前 项 和 为 s，M T)二 M L 二,q-q-q-所 以 S“=S,+Sh=-2+(a-)n+-=“2_“+2”_l(eN*),-2 2 q-q-=12d,Cl,=I-.由 两 边 对 应 项 相 等 可 得：,2 解 得：d=2,4=0,q=2,e=1,所 以 d+q=4,故 答 案 为：44=2【评 注】本 题 考 查 等 差 数 列 及 等 比 数 列 的 综 合 及 由 前 项 和 求 通 项 的 性 质，属 于 中 档 题.12.(5分)已 知 聂 之 丁+y 川。,3/?),则 f+V 的 最 小 值 是【解 析】法 一：5x2y2+y4=l,可 得 f=上?,由 f o,可 得 2G(。川,则 J+y J-：,+y2 J+4；=J(4 y 2+4 y 2，=弓,当 且 仅 当 y 2=J _,=2 _,5/5/5-y2 5 y2 5 2 10可 得 f+y?的 最 小 值 为 3；5法 二：4=(5*2+y 2).4,2”(5;4)2=+y2)2,故 f 十 尸 已，当 且 仅 当+2=-2=2,即 y2=,3 时 取 得 等 号，可 得 丁+丫 2 的 最 小 值 为 士.故 答 案 为:2 10 54-5【评 注】本 题 考 查 基 本 不 等 式 的 运 用：求 最 值，考 查 转 化 思 想 和 化 简 运 算 能 力，属 于 中 档 题.13.(5 分)在 AABC 中，AB=4,AC=3,ABAC=90,D 在 边 BC 上，延 长 AD 到 P,使 得 4a=9.若 PA=mPB+(-m)PC 为 常 数)，则 8 的 长 度 是 0 或 曳.【解 析】如 图，以 A 为 坐 标 原 点，分 别 以 AB,A C 所 在 直 线 为 x,y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，则 8(4,0),C(0,3),由=+PA=m(PA+AB)+(-m)(PA+AC),2 2整 理 得：PA=-2mAB+(2w-3)AC=-2/M(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6w-9).77由 A尸=9,得 64+(6 z-9=81,解 得 加=或 加=0.25当 帆=0 时，PA=(0,-9),此 时 C 与。重 合，|CO|=0;当 相=至 时，直 线 R 4 的 方 程 为 卜=%x,直 线 8 C 的 方 程 为 2+上=1,25 8m 4 3联 立 两 直 线 方 程 可 得 x=.,y=3-2m.BP(,),3 25 25故 答 案 为：0 或 身.5【评 注】本 题 考 查 向 量 的 概 念 与 向 量 的 模，考 查 运 算 求 解 能 力，利 用 坐 标 法 求 解 是 关 键，是 中 档 题.14.（5 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，已 知 P（苧,0）,A,8 是 圆 C:d+（y-；）2=36上 的 两 个 动 点，满 足 PA=P B,则 面 积 的 最 大 值 是 _106_.【解 析】圆 C:x2+（yg）2=36的 圆 心 C（0,；）,半 径 为 6,如 图，作 P C 所 在 直 径 E F,交 回 于 点 O,因 为 E4=P3,CA=CB=R=6,所 以 P C LAB,E F 为 垂 径,要 使 面 积 鼠 幽 y最 大，则 P,。位 于 C 的 两 侧，并 设 8=x,可 得 PC=、口+=1,故 PD=l+x,AB=2BD=2436-,V4 4$猛=l AB|-|P)|=(1+X)V36-X2,0 c x 6,法 一：可 令 x=6cos，S1yMs=(1+6cos6)6sin6=6sin6+18sin26,0，设 函 数 f(0)=6sin0+18sin20,0“，,/(0)=6cos0+36cos2=6(12cos2 0+cos0-6),由 广(。)=6(12 cos?，+cos。-6)=0,解 得 cos=*(cos 0=一 巳 0 舍 去)，3 4显 然，当 a,cos(,r(e)o,/(。)递 减；当(cosoo,八。)递 增，结 合 cos。在(0,/)递 减，故 coseng 时，/(0)最 大，此 时 sin 8=Jl-cos1。=*,故/()“=6x*+36 x或 x|=106，则 A/VLB面 积 的 最 大 值 为 10百.法 二：SA B=AB-PD=(l+x)yl36-x2,0 x6,设=(*+1)“3 6-/)，0 x6,可 得 M=-2(x+l)(2x+9)(x-4),当 4 c x 6 时，u0,函 数 w 递 减；当 0 c x 0,函 数“递 增，所 以 函 数 在 x=4 处 取 得 最 大 值 500,即 有 APAB面 积 的 最 大 值 为 10石.故 答 案 为：10石.【评 注】本 题 考 查 圆 的 方 程 和 运 用，以 及 圆 的 弦 长 公 式 和 三 角 形 的 面 积 公 式 的 运 用，考 查 换 元 法 和 导 数 的 运 用：求 单 调 性 和 最 值，属 于 中 档 题.二、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 计 90分.请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答，解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.15.(1 4分)在 三 棱 柱 A B C-A B C中，A B Y A C,8 c l 平 面 ABC,E,F 分 别 是 A C,8 c 的 中 点.(1)求 证：EF/平 面 A B G；(2)求 证：平 面 ABC JL平 面 ABB一 解 析】证 明：(1)E,F 分 别 是 AC,B C 的 中 点.所 以 EF/A耳，因 为 EF C 平 面 A B g，u 平 面 A S g,所 以 E F/平 面 A B G；(2)因 为 B C 1平 面 钻。，A B u平 面 A B C,所 以 及。，4 8,又 因 为 AB_LAC,AC BXC=C,A C u平 面 A 3 C，q C u 平 面 AB。，所 以 他，平 面 A 8,C,因 为 A 3 u 平 面 A B q,所 以 平 面 ABQ J平 面 4 3片.【评 注】本 题 考 查 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理 以 及 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理 的 应 用，直 线 与 平 面 平 行 的 判 断 定 理 的 应 用，是 中 档 题.16.(14 分)在 AABC 中，角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c.已 知 a=3,c=0,B=45.(1)求 sin C的 值；(2)在 边 3 c 上 取 一 点。，使 得 cosZADC=-3,求 tanN/M C的 值.B D C【解 析】（1）因 为 a=3,c=/2,B=45.,由 余 弦 定 理 可 得：b=/a2+c2-2a ccosB=9+2-2 x 3 x V 2 x=也,由 正 弦 定 理 可 得 一=一，所 以 sinC=sin45o=坐.立=好，所 以 sinC=Y；sin C sin B b yJ5 2 5 54 i-3(2)因 为 cosNADC=-，所 以 sinNAC=Jlc32NAOC=二，5 5在 三 角 形 A D C 中，易 知。为 锐 角，由(1)可 得 8 sC=V i Z y=亭，2/s所 以 在 三 角 形 A DC 中，sin ADAC=sin(ZADC+ZC)=sin Z A D C cos Z C+cos Z A D C sin Z C=,25因 为 ZDACe(0,2),所 以 cos A C=dl-sin2NDAC=，所 以 tan/ZMC=竺 乌 蛆=2.2 25 cos A C 11【评 注】本 题 考 查 三 角 形 的 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 的 应 用，及 两 角 和 的 正 弦 公 式 的 应 用，属 于 中 档 题.17.（14分）某 地 准 备 在 山 谷 中 建 一 座 桥 梁，桥 址 位 置 的 竖 直 截 面 图 如 图 所 示：谷 底。在 水 平 线 M N 上，桥 与 平 行，OO,为 铅 垂 线（7在 回 上）.经 测 量，左 侧 曲 线 A O 上 任 一 点。到 M N 的 距 离 片（米）与。到 0（7 的 距 离。（米）之 间 满 足 关 系 式 4=-!-/;右 侧 曲 线 3 0 上 任 一 点 尸 到 M N 的 距 离 儿（米）与 F到 067的 距 离 8（米）之 间 满 足 关 系 式 包=-一!一 Z/+66.已 知 点 8 到。的 距 离 为 40米.z 800（1）求 桥 A B 的 长 度；（2）计 划 在 谷 底 两 侧 建 造 平 行 于 的 桥 墩 C D 和 砂，且 C E 为 8 0 米，其 中 C,“在 A B 上（不 包 括 端 点）.桥 墩 防 每 米 造 价 k（万 元），桥 墩 8 每 米 造 价（万 元）（左 0）,问。E 为 多 少 米 时，桥 墩 C D 与 即 的 总 造 价 最 低？【解 析】（1）=一 一 二 力+66,点 5 至 D O O 的 距 离 为 40米，可 令 6=40,可 得 力=-Lx40+6x40=160,800-800即 为|00|=160,由 题 意 可 设=160,由 右/=16（）,解 得 a=8 0,则|阴=80+40=120米；(2)可 设 O E=x,则。=80-,由 八 八，可 得 0vxv40,080-x 0,当 0 c x 20时，/0,函 数 y 递 减；800 800当 20Vx 0,函 数 y 递 增，所 以 当 x=20时，y 取 得 最 小 值，即 总 造 价 最 低.答：(1)桥|4例 长 为 120米；(2)(7E为 20米 时，桥 墩 8 与 跖 的 总 造 价 最 低.【评 注】本 题 考 查 函 数 在 实 际 问 题 中 的 应 用，考 查 导 数 的 应 用：求 最 值，考 查 运 算 能 力 和 分 析 问 题 与 解 决 问 题 的 能 力，属 于 中 档 题.2 218.(16分)在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，已 知 椭 圆 E:3+=l的 左、右 焦 点 分 别 为 广、鸟，点 A 在 椭 圆 E 上 且 在 第 一 象 限 内，AF2r FtF2,直 线 与 椭 圆 E 相 交 于 另 一 点 3.(1)求 用 的 周 长；(2)在 x轴 上 任 取 一 点 尸，直 线 与 椭 圆 E 的 右 准 线 相 交 于 点 Q,求 OP-QP的 最 小 值；(3)设 点 M 在 椭 圆 E 上，记 04B与 A M 4 5 的 面 积 分 别 为 S2,若 邑=3$求 点 的 坐 标.【解 析】(1)由 椭 圆 的 标 准 方 程 可 知，a2=4,6=3,-从=1,所 以 4耳 鸟 的 周 长=2a+2c=6.3(2)由 椭 圆 方 程 得 4(1,3,设 尸 9 0)，则 直 线 A P 方 程 为 y=-(x T),椭 圆 的 右 准 线 为：=工=4,2 1-?c所 以 直 线 A P 与 右 准 线 的 交 点 为。(4W士 工)，OP QP=(t,0).”4,0-)=?-4/=(r-2)2-4.-4,2 1-r 2-t当 f=2 时，(OP QP),“M=-4.(3)若 Sz=3S1，设 O 到 直 线 4 5 距 离&,M 到 直 线 他 距 离 出，则 gx|4例 乂 必=gx|A8|x&,即 4=3 4，A),E(-l,0),可 得 直 线 他 方 程 为 y=j(x+l),即 3x-4y+3=0,所 以 4=,d2=,由 题 意 得，M 点 应 为 与 直 线 4 3 平 行 且 距 离 为 2 的 直 线 与 椭 圆 的 交 点,5设 平 行 于 钻 的 直 线/为 3 二,与 直 线 9 的 距 离 为 所 以 舄 g 即 加 或 当 初=-6 时,直 线/为 3 X-4 y-6=0,H P y=(x-2),4联 立 I-1-4 3，可 得(-2)(7%+2)=0,即=1%=2或，W=027,所 以 A/(2,0)或(2,乜).12 7 7加 T当 机=12 时，直 线/为 3x 4y+12=0,即 y=(x+4),联 立 3Z 八 y=J+4),，可 得 一 f+1 8 x+24=0,=9X(36-56)-1 44 3综 上 所 述，”点 坐 标 为(2,0)或(-2,_ 2).7 7【评 注】本 题 考 查 椭 圆 的 定 义，向 量 的 数 量 积，直 线 与 椭 圆 相 交 问 题，解 题 过 程 中 注 意 转 化 思 想 的 应 用，属 于 中 档 题.19.(16 分)已 知 关 于 x 的 函 数 y=f(x),y=g(x)与 h(x)=kx+b(k,be R)在 区 间。上 恒 有/(x)?(x)g(x)(1)(2)(3)f M=x2+2x,g(x)=-x2+2x,0=(YO,+OO),求/?(x)的 表 达 式;若 f(x)=Y-冗+1，g(x)=klnx,h(x)=k x-k,D=(0,+oo),求 G 的 取 值 范 围;若/(幻=/一 212,g(x)=4x2-8,/1(幻=4(一 一 力 工 一 3 r+2产(0 0,以 幻 单 调 递 增，在(0,1)上，“(x)vO,8(幻 单 调 递 减，所 以 以 工).0=0,所 以 当 C x)g(x).O 时，k.A),令 p(x)=f(x)-h(x),所 以 p(x)=x2-x+1-(kx-k)=x2(k+l)x+(1+A:).0,得，当 x=Z+L,0时，即 配-1 时，f(x)在(0,内)上 单 调 递 增，所 以 p(x)M 0)=l+k-0,&一 1，所 以 Z=1,当 k+1 0时，即 左-1时,A 0,即(左+1)2-4(攵+1),0,解 得-1 鼠 3,综 上，0,3.(3)当 啜 k&时，由 g(x),(x),得 4/-&,4(t3-t)x-3尸+2产,整 理 得 x2-(t3-t)x+3/42/-8 0,4(*)令=(一)2-(3/一 2产-8),则=心 一 5/+3/+8,记*(/)=/-5/+3/+8(1 领)近)，则”=6/一 20/+6/=2f(3/一 1)(产-3)0,恒 成 立，所 以 g(f)在 工 上 是 减 函 数,则 夕(夜)蒯/)/，即 2会 步 7,所 以 不 等 式(*)有 解，设 解 为 为 领 k x2.因 此-布 上 一 片=币.当 0vfl时,/(-I)-/i(-l)=3?+4r3-2t2-4t-1,设 v(f)=31+4产 一 2/24,一 1,则 M(f)=12/+12产-4f-4=4+l)(3/-1),令 丫)=0,得”更，3当/(0,三)时，1/(/)0,v 是 增 函 数，v(0)=-l,v(l)=0,则 当 0fl 时,v(00,则/(-1)-力(-1)0,因 此-1 任(，,)，因 为 见 川 1 一&,0,所 以 7%,血+1 J7,当-也,/0,求 数 列 6 的 通 项 公 式；(3)对 于 给 定 的 2,是 否 存 在 三 个 不 同 的 数 列”“为“2-3”数 列，且%.0?若 存 在，求 出 入 的 取 值 范 围；若 不 存 在，说 明 理 由.【解 析】(1)左=1时,4+=S“+S=,由 应 为 任 意 正 整 数,且 4=1,4产()，可 得 九=1；(2)瓦-厄=与 向，贝 1。向=5向 一 5=(匹 一 点)(卮+凡)=日 历(凤+后)，综 上 可 得 4=因 此 6 7+后=6.向 即 疯;=|商 二，+i=g a“+i=：(S,+1 S”)，从 而 S+i=4S，又 S=q=l,可 得 S=4T,an=St)-Sn_1=3-4K-2,几.2,l,n=l”,，n e N*；3 4/.2(3)若 存 在 三 个 不 同 的 数 列(为“4-3”数 列，则，/-/二 枇/，2 1 1 2则+1-3S+JS5+3S+I,J-S=A,+I=23(S+1-5)，S-由 q=l,a.O,且 S“0,令 p.=(-)3 0,则(1一 万)/-3 p：+3p“一(1-万)=0,2=1 时，P”=P；，由 P.0,可 得 P,=l,则 S“+|=S,即%+i=0，此 时 他“唯 一，不 存 在 三 个 不 同 的 数 列,2 x 1 时，令 则 成 一 成+卬 一 i=o,则(一 1)工+(1一%+1=0,1-2 时，p：+(l-f)p+1 0,则 p=1,同 上 分 析 不 存 在 三 个 不 同 的 数 列“;1 U V 3时，=(1一。2-4 3日 寸，即 0%0,；+(1/)2+1=。有 两 解。，p,没 a 2 9 3=1 0,则 0 a v l，则 对 任 意 e N*,3q=1或 3q 旦=(舍 去)或 3q!_=4 3,S“Sn Sn.由 于 数 列 S.从 任 何 一 项 求 其 后 一 项 均 有 两 种 不 同 的 结 果，所 以 这 样 的 数 列 S“有 无 数 多 个，则 对 应 的 数 列 4 有 无 数 多 个.则 存 在 三 个 不 同 的 数 列 4 为“2-3”数 列，且 册.0,综 上 可 得 0 4 1.【评 注】本 题 考 查 数 列 的 新 定 义 的 理 解 和 运 用，考 查 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 通 项 公 式 的 运 用，以 及 数 列 的 递 推 式 的 运 用，考 查 分 类 讨 论 思 想，以 及 运 算 能 力 和 推 理 论 证 能 力，是 一 道 难 题.【选 做 题】本 题 包 括 A、B、C 三 小 题，请 选 定 其 中 两 小 题，并 在 相 应 的 答 题 区 域 内 作 答.若 多 做，则 按 作 答 的 前 两 小 题 评 分.解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.A.选 修 4-2：矩 阵 与 变 换(本 小 题 满 分 10分)21.（10分）平 面 上 的 点 A（2,-1）在 矩 阵 M=1对 应 的 变 换 作 用 下 得 到 点 5（3,-4）.-1 b（1）求 实 数 a,6 的 值;（2）求 矩 阵 M 的 逆 矩 阵【解 析】（1）由 题 意，知 卜 2-1 b-Ib=2；2 1 由 知，矩 阵 2 设 矩.的 逆 矩 阵 为 加 tn nP q 2 11 F m n 2机+p 2n+q-i o-p q_-tn+2p-n+2q 0 1I1-5j2-52-51-5-2m+p=12+g=0 碗 俎 2 1 1 2,1一 2+2=0 5 5 5 5-n+=1【评 注】本 题 考 查 了 矩 阵 的 变 换 与 计 算 问 题，也 考 查 了 运 算 求 解 能 力，是 中 档 题.B.选 修 4 4 坐 标 系 与 参 数 方 程（本 小 题 满 分 10分）22.（10分）在 极 坐 标 系 中，已 知 A 3,马 在 直 线/：0cos6=2 上，点 8（0,为 在 圆 C:0=4sin。上（其 中 3 6p.0,Q,。=2,6 6或 2,=0时，点 B（o,工）表 示 极 点，而 圆 C 经 过 极 点，所 以 满 足 条 件，极 点 的 极 坐 标 表 示。为 0,极 角 为 任 6意 角.故.=2 或 0.（2）由 直 线/与 圆 C 得，方 程 组 cs=2,则 sin26=l.0 G O,2T T）,:.2 0=,:.0=-.p=4sin6 2 4p=4xsin-=2V2.故 公 共 点 的 极 坐 标 为（2及,工）.4 4【评 注】本 题 考 查 的 知 识 要 点：极 坐 标 与 极 坐 标 方 程 的 关 系 和 根 据 简 单 曲 线 极 坐 标 方 程 求 交 点 坐 标，主 要 考 查 学 生 的 运 算 能 力 和 转