高考重难点突破圆锥曲线50道题含详细解析2.pdf

高考重难点突破圆锥曲线50道 题(2)含详细解析1.已知抛物线:丁=2p x(P0)的焦点为/，准线为/,A是 上一点，线段E 4 的中点的坐标为(2,2).(1)求的方程：(2)点M 为/上一点，尸是上任意一点，若 F M L F P,试 问 直 线 与 r是否有其他的公共点？说明理由.2.己知椭圆C:二+4 =1(人 0)上的一点到两个焦点的距离之和为4,离 心 率 为 且，a b2点 A为椭圆C的左顶点.(I )求椭圆C的标准方程；(I I)设圆用“2+(-2)2=/(0 厂 2),过点A作圆M 的两条切线分别交椭圆C于点3和。，求证：直线班)过定点.3 .已知椭圆c：+马=1(。0)经过三个点(-6,且),(7,-工),(1=)中的两个.a2 b 2 2 2(1)求椭圆C的方程；(2)若 M 为椭圆的上顶点，直线/不经过点M 且与椭圆交于A ,8两点，当直线A ,B M的斜率之和为 26 时，求证：直线/过定点.4 .己知：椭圆+与=l(a6 0)的离心率为正，且。+6 =3,过左焦点下作一条直线a h 2交椭圆于A,B 两点，过线段A3的中点M 作 A3的垂线交y 轴于点P.(1)求椭圆方程；(2)当 面 积 最 大 时，求直线钻的斜率.5 .已知椭圆C +/K。)的 离 心 率 吗，其四个顶点围成的四边形面积为43抛物线E:x 2=2p)，(p 0)与 C有一个相同的焦点.(1)求椭圆C与抛物线E的方程；(2)设与E相切的直线/交椭圆C于 A、8两点，。为原点，求 。钻 面积的最大值.6.已知动圆 经过点F(1,0),且与直线x =-,相切.设圆心E的轨迹为C.2 2(1)求 C的方程；(2)设动直线/:y =fc c +%与曲线C相切于点尸，点。是直线/上异于点P 的一点，若以尸Q为直径的圆恒过x 轴上一定点M,求点。的横坐标与.7 .己知 点 (x,y)满足 7(x+l)2+y +7(x-l)2+/=2夜.(1)求点的轨迹 的方程；(2)设过点N(-1,0)的直线/与曲线E交于A,8两点，若 A O 4 B 的面积为(O 为坐标原3点).求直线/的方程.8 .已知抛物线。:丁=2 犬()的焦点为尸，若过点尸且斜率为1 的直线与抛物线交于A ,3两点，且|A 3|=8.(I)求抛物线C的方程；(2)若平行于4?的直线/与抛物线C相切于点P,求 A/%5 的面积.2 29 .已知椭圆C:=+1 =l(a Z?0)的左，右焦点分别为4(-6,0),F,(C,0),且经过点a bLA(右,万).(I )求椭圆C的标准方程；(I I)过点8(4,0)作一条斜率不为0的直线，与椭圆C相交于P,。两点，记点P 关于x 轴对称的点为P.证明：直线P Q 经过x 轴上一定点。，并求出定点。的坐标.10 .已知椭圆C：5 +J=l(a A 0)的一条切线方程为y =2x +2&,且离心率为弓.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线/:丫=丘+机与椭圆C交于A,3两个不同的点，与 y 轴交于点M,且初求实数，的取值范围.2 21 1.已知椭圆C：A+马 =l(a b 0)与抛物线y 2=4 6 x 有共同的焦点，且椭圆C的一个cr b焦点和短轴的两个顶点的连线构成等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程；（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线4 ,4分别交椭圆C于 M,N两点，且 上心求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求A 4 M N 面积的最大值.12.已知椭圆E:5+=1 3 b 0）上点尸（1,1）,过 P 作两直线分别交E于点A,B,当点 A ,B关于坐标原点O对称且直线PA ,P 3 斜率存在时，有kPA kp B=（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线24,P 3 关于直线x =l 对称，当A O A B 面积最大时，求直线AB 的方程.2 213.已知椭圆C:=+2=1（a b 0）的左右焦点分别为片，F,点P 是椭圆C上一点，以a b尸耳为直径的圆E:f +（y 与2=2 过点鸟.（I ）求椭圆C的方程；（I I ）过点P 且斜率大于0的 直 线 与 圆 E的另一个交点为A ,与直线x=4 的交点为3,过点P 且与4 垂直的直线4与直线x =4 交于点3,求 4的。面积的最小值.2 2A14 .已知椭圆C:三+当=1 3 。0）的离心率为 点 4为椭圆的右项点，点 3为椭圆a b-2的上顶点，点 F为椭圆的左焦点，且 A E 4 3 的面积是1 +且.2（I）求椭圆C的方程；（H ）设直线x =/w y +l 与椭圆C交于P、。两点，点。关于x 轴的对称点为月（片与Q不重合），则直线 Q与x 轴交于点H,求 A PQ”面积的取值范围.15 .已知点M（-1,O）,%（1,0）若点/（%丫）满足|加|+|郎=4.（I ）求点P 的轨迹方程；（I I ）过点。（-6,0）的直线/与（I）中曲线相交于A,8两点，O为坐标原点，求A A O 8面积的最大值及此时直线/的方程.16 .求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一条渐近线方程为x-Gy=0,且与椭圆1+4/=6 4 有相同的焦点；（2）经过点C（-2&,2&）,且与双曲线三一片=1有共同的渐近线.17.平面直角坐标系叼中，椭圆：，+与=l(a b 0)的离心率是走，抛物线E:d=4 ya b 2的焦点F是椭圆C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程(2)设直线/不经过尸，且与C相交于A,3两点，若直线E 4与所的斜率之和为-1,证明：/过定点.18.如图，已知点P是椭圆=l(a /0)上的任意一点,直线M N与椭圆交于M,N两点，直线PM,P N的斜率都存在.(1)若直线MN过原点，求证：总 配v为定值;(2)若直线MN不过原点，且 如“+%=(),试 探 究 是 否 为 定 值.19.已知椭圆C满足：过椭圆C的右焦点尸(1,0)且经过短轴端点的直线的倾斜角为二.4(I)求椭圆C的方程：(I I)设O为坐标原点，过点F的直线交椭圆于A,B两点，且。4_ L O 8.求|A8|2 0 .如图，已知抛物线G：d=4 y和抛物线C2：f=-)，的焦点分别为F和 尸，N是抛物线&上一点，过N且与G相切的直线/交G于A，B两点,M是线段m的中点.(I )求|叱|；(I I)若点F在以线段MN为直径的圆上，求直线/的方程.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.2 1.已知椭圆C：m+4 =l(a 0)的离心半为好，耳,鸟分别是其左、右焦点，且过a b 5点 4 半,半).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求 4月月的外接圆的方程.2 2 .已知抛物线C:/=4)，与直线/:x 2 y 2 =0.(1)求抛物线C 上的点到直线/距离的最小值；(2)设点尸(%,%)是直线/上的动点，是定点，过点P作抛物线C 的两条切线，切点为A,B,求证A,Q,3共线；并在A Q =3 8。时求点P坐标.2 22 3.已知直线x-2 y +2 =0 过椭圆与=l(a b 0)的两个顶点a b(I )求椭圆E的方程；(H)如图，设片，尸 2 分别为椭圆E的左，右焦点，P(x0,%)(%片 0,y =纳)为E上的动点，点 M 的坐标为(*%,0),0,过 P,M 的直线交y 轴于点N,过片，N的直线/交E于 C,。两 点.求 面 积 的 最 大 值.线，被椭圆C 截得的弦长为1,过椭圆C 的一个焦点作与长轴垂直的直(1)求椭圆C 的标准方程(2)已知点P为椭圆C 上不同于顶点的一点，A,B 为椭圆C 的左，右顶点，直线 小,3 P 分别与直线x =-6 交于M,N两 点 设 线 段 中 点 为 Q,求 福 我的取最小值时点。的坐标.2 5.已知椭圆。j+与=1(6 0)的短轴长为26,且椭圆C 与圆尸:。一1尸+产=2的a-h-4公共弦长为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线/交椭圆C 于两点，交 y 轴于点。，若八4=m 4F,D B =nBF,试探究机+是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.2 6.已知椭圆C:二+工=1(a 0)的离心率为且，点 A 为椭圆的右项点，点 3 为椭圆a2 b 2的上顶点，点尸为椭圆的左焦点，且 的 面 积 是 1 +且.2(I)求椭圆C 的方程；(H)设直线x=my+l 与椭圆C 交于P、。两点，点 P 关于x 轴 的 对 称 点 为 与。不重合)，则直线。与x 轴交于点“，若点”为定值，则求出点，坐标；否则，请说明理由.2 7.已知椭圆。：(+=1,(。，/(过点 且上且离心率为且.a b 2 2(1)求椭圆C 的方程；(H)设椭圆C 的右顶点为P,过定点(2,-1)的直线/:y =fcr+w 与椭圆C 相交于异于点P的 A,B 两 点,若直线上4,PB的斜率分别为仁，k2,求匕+&的值.小y2 2A2 8.已知椭C:5 +4 =l(a b 0)的上顶点为P,右顶点为。直线PQ与圆Y+y 2=f相a-b-5切于点M(|,1).(I)求椭圆C 的方程；(II)直线/平行于尸。与椭圆C 交于A,3 两点，且 PAPB=O,求线段AB的长.2 9.已知抛物线C:V=2 p y(p 0),过其焦点尸作斜率为1 的直线交抛物线C 于两点，且线段的中点的横坐标为2.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过抛物线。上非顶点的任一点M 作抛物线的切线r 与直线y=-l 交于点N,问：在 y轴上是否存在定点P,使得 尸(”2-/7)=0?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2 230.设椭圆G二+与=1 3 匕 0)的一个顶点与抛物线C 2:/=4 y 的焦点重合，耳，F,ar b巧分别是精圆G 的左右焦点，离心率e=*,过椭圆G 右焦点6 的直线与椭圆G 交于A，B 两点.(I)求椭圆的方程；(I I)是否存在直线/,使得OA 08=7,若存在，求出/的方程：若不存在，说明理由；(I I I)设点M(r,0)是一个动点，若直线/的斜率存在，且 N 为 4 5 中点，M N 工AB,求实数r 的取值范围31.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为/(1,0),点 A(aQ)是x 轴上一点，P(x,y)是抛物线上任意一点.(I)求抛物线方程及|尸尸|的最小值：(H)己知O 为坐标原点.若|P A|的最小值为|。4|.求实数。的取值范围.32.已知椭圆C：W +=l(a 6 0)的 离 心 率 为 过 右焦点作垂直于椭圆长轴的直线a b 2交椭圈于M,N 两点，且O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线/:y=履+?与椭圆C 相交于A.B 两 点,若 O A 1,OB .求g-的值：k+1求AAOB的面积S的最小值.33.已知离心率为中的椭圆C:+g =1(。%0)经过点M(l,日)(1)求楠圆C 的方程；(2)A,8 分别为椭圆的左右顶点，直线分别交直线x=4 于 P,Q 两点，求 APQM的面积.3 4.若地物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点A/(l,)在抛物线C 上，且|M F|=3(I)求抛物线C 的方程；(I I)过点(-2,0)的直线/交抛物线C 于 A,3 两点，点A 关于x 轴的对称点是。证明：B,F,。三点共线3 5.已知椭圆C:与+W =l(a 6 0)的离心率为走，左、右顶点分别是A，4，上顶点a b 2为 3(0,6),的面积等于2.(I)求椭圆C1的方程；(I I)设点Q(l,0),P(4,m),直线必，尸&分别交椭圆C 于点M,N ,证明：M ,Q,N三点共线.丫 2 23 6 .已知椭圆C:f 4=l(a b 0)的长轴长为2 夜，焦距为2,抛物线M-.y2=2 Px(p 0)a b-的准线经过C 的左焦点F.(1)求 C 与 M 的方程；(2)直线/经过C 的上顶点且/与M 交于P,。两点，直线fP,尸。与M 分别交于点。(异于点P),E(异于点Q),证明：直线D E的斜率为定值.3 7 .已知抛物线G：V=4 y,斜率为/的直线4 与抛物线C 交于历，N两点，且线段M/V的中点坐标为(4,2),其中%0.直线/2：y =%(x+l)与抛物线C 交于E,尸两点.(I )证明：0 b 0)上,a bH 两 点,证明：叵G HA ,B 是长轴的两个端点，且M A M B =-3.(I )求椭圆C 的标准方程；(H)若直线C D 的斜率为2,以E Q 0)为圆心的圆与直线8相切，且切点为线段8的中点，求该圆的方程.=1(人 0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线三+上=1与椭圆E有且仅有一个交点4 2(1)求椭圆 的方程；(2)设 直 线:+微=1与 y 轴交于P,过点P的直线/与椭圆E交于不同的两点A,B,若A P A P B ,求实数2的取值范围.r2 v2_ I40 .已知椭圆C:j +=1 3 6 0),与x 轴负半轴交于A(-2,0),离心率e=.a-b-2(1)求椭圆C 的方程；(2)设 直 线=h+与椭圆C 交于,y j,N(x2,%)两点，连接A M，4 V并延长交直线x =4 于 E(w，%)，F(5，%)两 点，若 +-!-=-！-+-!-，求证：直线MN恒过y 必 必 乂定点，并求出定点坐标.2 241.已知椭圆 C:=+2=l(a 0)过点(8,-3)与(-6,4).q-b(I)求椭圆C 的方程；(I I)设过椭圆C 的右焦点尸，且倾斜角为45。的直线/和椭圆C 交于A、8 两点，对于椭圆C 上任一点M,若+求，功的最大值.42 .己知离心率为立的椭圆知工+。=1 3 爆 0)过点”(人,1).2 cr h2(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1,0)作斜率为2直线/与椭圆相交于A,B 两 点,求 的 长.43.(1)已知直线/经过点P(l,l),倾斜角a =色.设/与圆f+y 2=4 相交与两点A,B,6求点P到两点的距离之积.7 rr(2)在极坐标系中，圆C的方程为2+2 c os 6 =0,直线/的方程为2 P s i n(6 )+加=0.6若直线/过圆C的圆心，求实数，”的值；若帆=2,求直线/被圆C所截得的弦长.2 244.已知椭圆。：5+菅=1(。6 0)的左焦点为，短轴的两个端点分别为A ,B,且满足：IG A +B|=|A-B,且椭圆经过点(逝,学)(I )求椭圆C的标准方程；(II)设过点M 0,O)的动直线L(与 X轴不重合)与椭圆C相交于P,。两点，在 X轴上是否存在一定点T,无论直线L如何转动，点T始终在以P。为直径的圆上？若有，求点T的坐标，若无，说明理由.2 245.已加椭圆C:=+马=1伍 6 0)的顶点为A：四点4(1,0),鸟(0,亚),P式血，I),a b/；(-&,-1),恰有三点在椭圆上，过点6(1,0)且与X轴不重合的直线/与椭圆交于M,N两点.(I)求椭圆C的方程：(H)过点6(1,0)且平行于A M的直线交直线x=9于点Q,求证，直线NQ过定点.46.已知椭圆C：W +W =l(a A 0)的离心率为1，点M(且)为椭圆上一点.a-b2 2 2(1)求椭圆C的方程；2 2(2)已知两条互相垂直的直线/,12经过椭圆C:，+当=1的右焦点F,与椭圆C交于A,a b3与M,N四点，求四边形4W&V面积的取值范围.47.设抛物线E:y 2=2 p x(p 2),焦点为F,准线/与x轴交于点M,P(x,4)为抛物线上一点，过P作垂足为N,若四边形用尸P N的周长为16.(I)求 的值；(II)过点M作直线交抛物线于点A,B,设直线FA,F B的斜率分别为勺，右，求仁+/的值48.已知曲线G上的点到点f(1,0)的距离比它到直线x=-3的距离小2.(1)求曲线G的方程.(2)是否存在过尸的直线/,使得/与曲线G相交于A,3两点，点A关于x轴的对称点为A,且 A防的面积等于4?若存在，求出此时直线/的方程；若不存在，请说明理由.49.已知抛物线C：V =以的焦点为产，直线/过点P(2,l),交抛物线于A,8两点.(1)若P为 他 中 点，求/的方程.(2)求|AF|+|B F|的最小值.50.已知抛物线C:y?=2 x,过点M(2,0)的直线/交抛物线C于A,3两点，点P是直线2上的动点，且PO_LAB于点(I)若直线OP的倾斜角为茏，求IA 3 I；(1 1)求|曾 I 的最小值及取得最小值时直线/的方程.高考重难点突破圆锥曲线50道 题(2)含详细解析参考答案与试题解析解 答 题(共 50小题)1.已知抛物线：y2=2px(p0)的焦 点为/，准线为/,A 是上一点，线段融的中点的坐标为(2,2).(I)求的方程；(2)点M 为/上一点，。是上任意一点，若 A W L小，试问直线A仍 与 是否有其他的公共点？说明理由.2【解答】解：(1)设 A 点坐标为(六，%)，F 埠 0),%+史=4 fv=4由中点坐标公式2P 2，解 得 益,p=4%+0=4所以抛物线:y 2=8 x；(2)直线用P与没有其他的公共点，理由如下：由(1)可知焦点尸(2,0),准线/:x =2,当直线RW的斜率&=0 时，设M(-2,%),P噜，%),若 F M L F P,则尸M FP =0,即(-4,%)噜-2,%)=年 +8#0,则不存在P 点，使得R0_LFP；当直线P M 的斜率存在且左片 0 时，设M(2,%),P(9，),O若 q f则=0,则(T,ZM)(A _ 2,%)=0,整理得-年+8+%=0,%-16No-解得yM=或 遮，则直线pM的斜率女 尸 讪=。，2乂,=，2%九+2%84由 y?=8 x,求导，则 2y，y=8,则 y，=y由抛物线在 P 点处切线斜率k=,%所以直线PM与抛物线r 相切于点p,所以直线MP与没有有其他的公共点.2.已知椭圆C:1 +工=l（ab0）上的一点到两个焦点的距离之和为4,离 心 率 为 且，a h-2点A 为椭圆C 的左顶点.（I）求椭圆C 的标准方程；（I I）设圆M:x2+（y-2）2=，（o r b o）经过三个点（-6,*）,（-1,二）,（1）中的两个.a b 2 2 2（1）求椭圆C的方程；（2）若 为椭圆的上顶点，直线/不经过点M且与椭圆交于A,3两点，当直线A,B M的斜率之和为2 6时，求证：直线/过定点.【解答】解：（1）根据题意（1,|）不可能同时在椭圆上，（-6,?）必在椭圆上,3 3当（-百，乎），（i,|）在椭圆上时,有1 1-卜-二 41 9-1-/4/=1,解得=1a2=4b2=3-2椭 圆 标 准 方 程 呜+rI;当（,（1,），在椭圆上时,4+2_=1;北，解得2_ 36a 1 1 a2 /3）.4.已知：椭圆W+与=1（。6 0）的离心率为正，且a+6 =3,过左焦点厂作一条直线a h 2交椭圆于A,B两点，过线段A 3的中点”作A B的垂线交），轴于点P.（1）求椭圆方程；（2）当A/V 1 5面积最大时，求直线的 斜率.【解答】解：（1）由已知条件可得,c _ 出a 2a+b=3,化简解得。=2,b=f c /3,a2=b2+c2椭 圆 方 程 为 王+丁=1;4（2）由（1）椭圆的左焦点（-0，0）,设过左焦点厂所做的直线为/,当/斜率为0时，不符合题意;当/斜率不存在时，方程为x=-6，O）,y 1 r由|,，解得 y =L.|A B|=1,此时 P(0,0),MP=4 3,x+4y =4 2i巧.S,A B=-XABXMP=-；当直线/的斜率存在且不为0时，设斜率为左,则直线方程为y =Z(x +G),由，y=k（x+扬，得（+止*+12r一 4=0.%*2*+4y2=4（1+4公）4 9（4公+1）4”9（4公+1）4 4 9（4公+1）4 4 256所以S”8 g 席舒,&员总=当,当且仅当泌2=/+1,即k=也 时，取等号，4当AE4B面积最大时，直线4 3 的斜率士也.42 2.5.已知椭圆C:三+=l(“6 0)的离心率为工，其四个顶点围成的四边形面积为4 6,a2 b2 2抛物线=2py(p0)与。有一个相同的焦点.(1)求椭圆C 与抛物线石的方程；(2)设与石相切的直线/交椭圆。于 4、B两点、,。为原点，求 钻 面 积 的 最 大 值.则 X,+x28尿 2 2k2-44 而 砧=不正/.|AB|=l+k2+x2）2-4X,X24（1+产）1 +4火 2y+%=粗%+/）+2我=1 1 TK.4辰 6 k、M（-7,-7），1 +4 4 2 1 +4 5又直线M P的斜率为-工，k二的垂直平分线方程为y-二 丝=-L(x+3 竺),1 +4K k 1 +4k令x=0,得 产 一 户 给，即 P(0，_涔T)1 +4%所以。足票”4 6 k 靠 _ 4 G 也 2（+1）二1 +4攵 21 +4Z:2所以“淮冈叱席评因为k“k+1）9k（k+1）1 ,9k+k+k+1+&+1.4 1 3（44+1 九 9【解答】解：（1）椭圆的四个顶点围成的四边形面积为2仍=4 6，ab=2M,e=/.=,得 a=2,h=3,c=1a 2 a 2=1,p=2.22 2.椭圆c：工+21=1,抛物线氏f=43 4（2）设/与石相切于点（x（）,：无。2），A（x,y）,B（X2,y2）,y=-X.k=-XQ,则/：,-：为2=3%0（工一/），即 y=了一;代入椭圆C 的方程，整理得（4+1 v）x2-1 x03x+p V -2=0.o 3 3由=xQ6 4（4+XQ4 12）0,解得-4 x（）=-7，X.X0=s-.16+3/-4（16+3年）/J AB|=J1+k2 x J（再 +/）2 4内=2X/3 x 也 +X （16+3x；）-416+3寸O 到直线/的距离d=p：=：274+V5.8=；1叫=V 3；7 4（1 6 +3X02）-X04A-04TX 16+3.24（16+3$2）-。4+跖4/x 3当且仅当4（16+3X（：）-x；=,即x；=3+T 0),由题可知5=1,所以C 的方程为y 2=2 x.法 2：设圆心点E(x,y),因动圆E与直线x=-相切，则圆心点E(x,y)到直线距离为|x+g|.又因为动圆E经过点F，所以|M|=J(x-夕+产，由题可知|E F|=J(x L)2 +y 2 =x +-,V 2 2整理得：V=2x 此为。的方程.(2)将直线/的方程与抛物线C 的方程联立，得炉x2+(2 5 L 2)x+疗=0 ，=(2 km 2)2 4 k2m2=4 -8km -0 ,所以 2 A m =1.所以方程为公V 彳+济=0,解得x=2 小，不妨取点P的坐标为(2/，2 m).点。的坐标为(X。，kxn+m),设点M 的坐标为(r,0).M P =(2 m2-r,2 m),M Q=(x0-r,kx0+m),M P M Q=(2 m2-r)(x0-r)+2 km x。+Im2=2 m2(x0 r +1)+x0-r xa+r2=0 ,1(_ Q r=一对任意的加恒成立，=,解得 2,b o-r xo +r =0 入=_ J _.-2因此，点。的横坐标七=-.7.已知点 M(x,y)满足 J(x+1 f+y +7(x-l)2+/=2 后.(1)求点M 的轨迹E的方程；(2)设过点N(-l,0)的直线/与曲线E交于A,3两点，若 A Q 钻 的 面积为(O 为坐标原3点).求直线/的方程.【解答】解：(1)由已知，动点M 到点尸(1,0),Q(1,O)的距离之和为2 五,且|P Q|则 r+Z。-2 =0,所以=土 1,(1 +2 F)2 1 +2/9所以直线/的方程为x y +l=0 或x+y +l=0.8.已知抛物线C:y 2=2 px(p 0)的焦点为尸，若过点f 且斜率为1 的直线与抛物线交于力,8 两点，且|4 5|=8.(1)求抛物线C 的方程；(2)若平行于45的直线/与抛物线C 相切于点P,求 A M f i 的面积.【解答】解：(1)因为A3过焦点F,所以A3=AF+M,抛物线的准线方程为x=-K,2设点 A ,B 坐标分别是(X ,)，(x,y2),则 A B=A F +BF=%|+(+4 +=c x+p )设直线AB方程为y =x-勺 代入抛物线方程得x1-p x +-=2 p x,2即x2-3 px+?=0,则占+/=3 p,A B =4 p=8,所以0=2,抛物线方程为V=4x；(2)设直线/的方程为)，=x+r,与抛物线方程V=4x 联立，消去 y 得：x2+(2?-4)x+t2=0(x 0)(*),由直线/与抛物线相切得，=(2-4)2-4*=16-6=0 且 八一4 0)的左，右焦点分别为7-b,0),月(亚0),且经过点a bA(/3,).(I )求椭圆C 的标准方程；(H)过点8(4,0)作一条斜率不为0的直线/与椭圆C 相交于P,Q两点，记点P关于x 轴对称的点为P.证明：直线尸。经过x 轴上一定点。，并求出定点。的坐标.【解答】(I )解：由椭圆的定义，可知2 a=|A 6|+|A 工|=J(2 G y+(g)2+g=4,解得a=2.又 b1=a1-(乖)=1.椭圆C的标准方程为+/=1;4 (I I)证明：由题意，设直线/的方程为x=m y +4(m w0).设P0,升),。(九2，%)，则尸(X，f)x=my+4由，工2,消去X,可得(加2+4)9 +8阳+1 2 =0 .+y =14由=1 6(m2-1 2)0,得7 2 后.M +%-8mm2+41 2=7nr+4k _3+)】_%+X儿 P Q ，X,-X,根(%y)直线 PQ 的方程为 y +y =(x-x,).皿%-y)令 y =o,可得 x=m(12f)y+町+4.y +%2 狙Xi%.m 加_21+24 2 4 m.1/.x =-+4 =-+4 =-+4 =1.yi+y2-8 m-8mtn2+40(1,0).直线PQ经过x轴上定点。，其坐标为(1,0).1 0.已知椭圆C:+W=l(a60)的一条切线方程为y=2 x+2&,且离心率为走.a b2(1)求椭圆C的标准方程：(2)若直线/:y=H+m与椭圆C交于A,8两个不同的点，与y轴交于点M,且 相=S求实数，”的取值范围.【解 答】解：(1 )把y=2x+/：代 入 椭 圆C：4 +=l(a 0),化 为：a h(46?+a2)x2+8及Hx+Sb2-crb2=0,直线与椭圆相切，.=(8缶2)2 _4(46?+/)(8/=0,化为：a2+4h2=2,又 =且，a2=bi+(r,a 2解得：a2=b2=f c2=2 8 8椭圆c的标准方程为：。+，=12 8(2)M(0,/n).设 A(%,y),B(x2,y2).把y=履+加代入I陶圆方程：2y?+8 =1,化为：(2公+8)f+4knr+2/%-1=0,则=16k2M _4(21 +8)(2-l)0,化为：8病 二+4.2km 2m2-1AM=3MB,-xi=3%,：.k.2 2 =4-z8/w2Sm2-I代入8m2 k2+4./.8m24 8；8/n2-l+4.化为：frT ,8 2解得:72 A/2 一 忘 夜tn,或m 21 1.已知椭圆C：W+马=1（。6 0）与抛物线y 2=4 6 x 有共同的焦点，且椭圆C的一个a-b-焦点和短轴的两个顶点的连线构成等边三角形.（1）求椭圆C的标准方程:（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线4 ,4分别交椭圆C于 M，N两点，且求证：直线M/V 过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求Z V V W iV 面积的最大值.【解答】（1）解：由已知可得，c=6，2 b=b +3 ,解得6 =1 ,a2=b2+c2=4 ,则椭圆方程为t+9=1；4（2）证明：由题意得，直线4的斜率存在且不为。，4-2,0),设/：x =/w y-2,l2:x =-y-2 .mx =m y-2由 b 0)上点尸(1,1),过尸作两直线分别交E 于点A,B,当点 A,B关于坐标原点O 对称且直线PA ,P 3 斜率存在时，有kPA kp B=.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线E 4,关于直线x=l 对称，当AaAB面积最大时，求直线AB的方程.【解答】解：(1)若 A,3 关于坐标原点对称，设 A(X1,%),B(-x,-%),依题意，2 2冬+冬=1CT h2yj=-1)解得4 41 9 1a2 4后a2=4h2=3,2故椭圆E的标准方程为三 十 二=1 ；4 3(2)设 4%,y j,B(X2,y2),依题意，kPA=-kPR.3设直线 PA:y-=k(x-),联立3y-=kx-V),2,得(3+4/)/+4 氏(3-2 4 +4(士一62-1 2 =0,厂 J 2-1-=14 3解得士=34(；-女 尸 一 123+4/3、4(-+JI)2-12,同理可得=2 H-kAB_%-X _ 2 k-5+3)_ jX,-%!42 一 百设直线 A B:2 y=x +m,2由2 y=x +m -9-7 9，得 4厂+2 m x+机 12=0.3x2+4y2=12由=12(16-)0,得 0 小 0)的离心率为且，点A为椭圆的右项点，点3为椭圆(T b 2的上顶点，点尸为椭圆的左焦点，且 的 面 积 是1+且.2(I )求椭圆C的方程；(H)设直线x=my +l与椭圆C交于P、。两点，点P关于x轴的对称点为(与。不重合)，则直线 Q与x轴交于点“，求AP Q”面积的取值范围.【解答】解：(I)由题意可得，F(-c,O),B(O,b),A(a,O),C 1 y/3 2.2 2一=,b(a+c)=1 H-，c i b 4 c ,a 2 2 2联立以上各式可得：a=2,b=.2椭圆C的方程为三+y 2=l；4(H)设尸(,y),Q(X2,y2),(七，一 y),x =t ny+1x2一+4y2=i得(w2+4)y 2+2 m y-3=0,(m O).显然(),由根与系数的关系得：乂+%=-二，y%=-J1-m2+4 1 2 4+4直线 Q的方程为：y +y =江 生。-办)，令 y =O,则工=土二L y +%=%+再 当，%+乂 y +%又再=m yt+1,X j =m y2+1 ,贝i j*=+D y +(，肛+1)丫2 =2?-+(/+%)=4,%+必 弘+必直线PtQ与x轴交点”(4,0),3S.Q H=I X 一%1=6y/3 +m29 4+“令 r=1病+3,(r 3),6/6 6 3/3tPQ”面积的取值范围为：(0,手).1 5.已知点 M(-l,0),N(l,0)若点尸(x,y)满足|PM|+|PN|=4.(I)求点P 的轨迹方程；(II)过点Q(-6,0)的直线/与(I)中曲线相交于A,3 两点，O 为坐标原点，求A4O3面积的最大值及此时直线/的方程.【解答】解：(I)由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且射=4,c=.所以匕=6，2 2因此椭圆的方程为土+二=1.4 32 2(H)设直线/的方程为x-百 与 椭 圆?+=1交于点4 芭，当)，302，%)，联立直线与椭圆的方程消去了，可得(3-+4)丁-6 6 仔-3=0，即 y+%=乂%丁 3r+4 3 t+4AAO3面积可表示为5根 3 =：I OQlF%1=：6 +丫2了 -外 通 2日/告加+3产+4=号后77令 J3/+1=,则 上 式 可 化 为 一 2 =二”6,“一 +3,3u+U当且仅当“=6,即/=士渔时等号成立，3因此AAQ5面积的最大值为石，止匕时直线/的方程为=士 理 y-G.31 6.求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一条渐近线方程为x-百 y=0,且与椭圆Y+4y2=64有相同的焦点;2 2(2)经过点C(-2夜,2 6)，且与双曲线 三-=1有共同的渐近线.8 162 2【解答】解：(1)椭圆方 程 可 化 为 三+汇=1,焦点坐标为(46,0)，64 16故可设双曲线的方程为:-卫=l(a,b0),其渐近线方程为y=-x,a h a则2 =正，又0 2=/+户=4 8,所 以 可 得 =3 6,及=12,a 3）2所以所求双曲线的标准方程为三-X=1；36 1 22 2（2）由题意可设所求双曲线方程为三-工=2（2 3 0）,8 1 6因为点C（-2夜,2 6）在双曲线上，U 解得;i=_ L,8 1 6 4所以所求双曲线的标准方程为工-X=l.2 41 7.平面直角坐标系My中，椭圆：+=1（。0）的离心率是弓，抛物线E:d=4 y的焦点厂是椭圆C的一个顶点.（1）求椭圆C的方程（2）设直线/不经过F,且与C相交于A,B 两点，若直线E 4 与用的斜率之和为-1,证明：/过定点.【解答】解：（1）抛物线E:f=4 y 的焦点2 0,1）是椭圆。的一个顶点,可得 6 =1,由 e=J l -y =，解得 a=2 ,a a 2则椭圆方程为三+9=1;4（2）证明：当斜率不存在时,设/:%=机，A（m,yA）,直线E 4 与直线F 6 的斜率的和为-1,%+%=乂+止L区 二+_1=_ 1，xA xH t n m解得加=2,此时/过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足；当斜率存在时，设/：y =fc x+f,（r xl）,A（x-y）,B（X2,y2）,联立整理 得（1+叱*+的=。，8ktl +4 p_4 f 24 用一 1 +4-2直 线 办 与 E B 直线的斜率的和为-1,._ 弘一1%-1 _ 玉（阳+1-1）+（处+/-1）_ 2|工 2+一 1）（百+工2）_ 1 分 十 KFB-玉 Z中2 代 入 得 空=-1,t+=,此时=-&:,存在使得（）成立,/.直线/的方程为丁=米-2-1,当x=2 时，y =-1,./过定点（2,-1）.r2 V218.如图，已知点P是椭圆r+9 =l（b 0）上的任意一点，直线M N与椭圆交于M,a bN两点，直 线 加，PN的斜率都存在.（1）若 直 线 过 原 点，求证：kpMkP N为定值；（2）若直线M N不过原点，且的+%”=0,试探究女.女呐是否为定值.【解答】解：（1）证明：因为直线M N过原点，故设%）,N（-改），-尸（x,y）,贝 IJ 有）,2=从（1一,），$=尸（一予）,则%,二 匕&A Ax-xQ x+x0X2-Xob2h2故P M Z pw为定值-7 .b2（2）kP M怎N=彳为定值.理由如下:由直线M N的斜率存在，不妨设直线M N为 y =依+?，（机/0）,y=kx+m由整理得(4+a2)k2+A cf k m-,=cr2 k，汾 2。4b(a k 2)/(m 2=a)b设 A/。，y),N(X2,y2),ntl2crhn则“再再2 2 2a m-ahX+必=%(%+x2)+2m=2blmb2+a2k2yj2=&2 芯&+b(X1+&2m2-a Wb2+a2k2由 M Z+4M=0，即 +&=0，则%=-依i，%由 J +=l,则 y；=(l 一 多)，解 片=方 2=a W b2+a2k2 y b2+a2k2则y；-%(.x+%)+)%XQ-X0(X(+W)+X|X2a2b2k2 2b2m b2m2-a2b2k2/+4-(一线)7+4 2+y +a2 k2 Ra2b2 2a2hn a2m2-a2b2 a2/+,/)+/+“十为定值.b2所以怎M 原 为 定 值.1 9.已知椭圆C 满足：过椭圆C 的右焦点尸(1,0)且经过短轴端点的直线的倾斜角为二.4(I)求椭圆C 的方程：(H)设 O 为坐标原点，过点F 的直线交椭圆于A,3 两点，且。4_LO B.求|AB|【解答】解：(I)设椭圆的短轴端点为(0,-)(若为上端点则倾斜角为钝角)，则过右焦点与短轴端点的直线的斜率k=上 七 2 =tan-=1,得 A=1.1-0 4又 c=1,a=5/2.椭圆。的方程为(十 丁=1；2(I I)设直线/的方程为 x=/ny+l,点 A(x,%),B(x2,y2),OA _L OB，OA OB=xx2 4-yiy2=0,即(+1)X%+皿 X+%)+1 =。x-my+1联立 f ,消去/得：+2)y?+2冲一1 =0