线性代数综合练习题_研究生考试-考研数学.pdf
-.-可修编-线性代数综合练习题 时间：120 分钟 一、选择题每题 3 分，共 15 分:1设 A是三阶矩阵，将 A的第一列与第二列交换得 B，再把 B 的第二列加到第三列得 C，那么满足 AQ=C的可逆矩阵 Q为 。A101001010；B100101010；C110001010；D100001110。2设 A、B为满足 AB=0的任意两个非零矩阵，那么必有 。AA的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；BA的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关；CA的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；DA的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。3以下向量集按 Rn的加法和数乘构成 R上一个线性空间的是 。ARn中，坐标满足 x1+x2+xn=0 的所有向量；BRn中，坐标是整数的所有向量；CRn中，坐标满足 x1+x2+xn=1 的所有向量；DRn中，坐标满足 x1=1，x2，xn可取任意实数的所有向量。4设=2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，那么矩阵31A2-1有一个特征值等于 。A34；B43；C21；D41。5任一个 n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它 。A合同；B相似；C等价；D以上都不对。二、填空题每题 3 分，共 15 分 1设矩阵 A=100021012，矩阵 B满足：ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A的伴随矩阵，E是三阶单位矩阵，那么|B|=。2线性方程组21232121aa031321xxx无解，那么a=。-.-可修编-3假设 A=100021021ba为正交矩阵，那么a=，b=。4设 A为 n 阶矩阵，且|A|0，A*为 A的伴随矩阵，E为 n 阶单位矩阵。假设 A有特征值，那么A*2+E必有特征值。5假设二次型f=2x12+x22+x32+2 x1x2+t x2x3是正定的，那么 t 的取值围是。三、15 分 设有齐次线性方程组：0)4(44403)3(33022)2(20)1(4321432143214321xaxxxxxaxxxxxaxxxxxa 试问a取何值时，该方程组有非零解？并用一根底解系表示出全部的解。四、10 分 设 R3的两组基为：TTT)1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321和TTT)1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321，向量=2，3，3T 1求基321,到基321,的过渡矩阵；2求关于这两组基的坐标。五、15 分 设三阶实对称矩阵 A的特征值为1=-2，2=12 重，1=1，1，1T是属于1=-2的特征向量。试求：1属于2=12 重的特征向量；2A的伴随矩阵 A*。六、10 分 设二次型323121232221222xbxxxxaxxxxf 通过正交变换321321yyyPxxx化为：23222yyf，求a、b。七、10 分 A，B 为 n 阶可逆方阵，且满足 2A-1B=B-4E，其中 E是 n 阶单位矩阵，试证：A-2E可逆。并求出A-2E-1=？三列得那么满足的可逆矩阵为设为满足的任意两个非零矩阵那么必有的列向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关的列向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相足的所有向量中坐标满足设是非奇异矩阵的一个特征值那么矩阵可取任意实数的所有向量有一个特征值等于任一个阶矩阵都存在对角矩阵与它合同相似等价以上都不对二填空题每题分共分设矩阵线性方程组矩阵满足其中为的伴随矩有特征值那么必有特征值假设二次型是正定的那么的取值围是三分设有齐次线性方程组试问取何值时该方程组有非零解并用一根底解系表示出全部的解四分设的两组基为和向量求基到基的过渡矩阵求关于这两组基的坐标五分设三阶-.-可修编-八、10 分 设A为n阶矩阵，且1,1)(2211nnAAAnAr，其中iiA是A中元素iia的代数余子式i=1，2，n。试证：A的伴随矩阵A*的特征值是 0 和 1，并说明各个特征值的重数。三列得那么满足的可逆矩阵为设为满足的任意两个非零矩阵那么必有的列向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关的列向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相足的所有向量中坐标满足设是非奇异矩阵的一个特征值那么矩阵可取任意实数的所有向量有一个特征值等于任一个阶矩阵都存在对角矩阵与它合同相似等价以上都不对二填空题每题分共分设矩阵线性方程组矩阵满足其中为的伴随矩有特征值那么必有特征值假设二次型是正定的那么的取值围是三分设有齐次线性方程组试问取何值时该方程组有非零解并用一根底解系表示出全部的解四分设的两组基为和向量求基到基的过渡矩阵求关于这两组基的坐标五分设三阶-.-可修编-线性代数综合练习参考答案 一、选择题：1 D；2A；3 A；4 B；5C；二、填空题：191；2-1；3 21，21；41|2A；5-22 t 三、解：A=Baaaaaaaaaaa00400300211114444333322221111行 1当a=0 时，r(A)=14，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：x1+x2+x3+x4=0 由此得一根底解系为：TTTyyy)1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(321，故全部解为：332211yCyCyCX 其中321,CCC为任意常数7 分 2当a0 时，100401030012000101004010300121111aaB 当a=-10时，rA=34，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：040302413121xxxxxx，解之，可得一个根底解系为：y=1，2，3，4T，故全部解为：X=ky 其中 k为任意常数15 分 备注：此题也可另解|A|=a+10a3 当|A|=0时，即a=0 或a=-10时，齐次线性方程组有无穷解。三列得那么满足的可逆矩阵为设为满足的任意两个非零矩阵那么必有的列向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关的列向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相足的所有向量中坐标满足设是非奇异矩阵的一个特征值那么矩阵可取任意实数的所有向量有一个特征值等于任一个阶矩阵都存在对角矩阵与它合同相似等价以上都不对二填空题每题分共分设矩阵线性方程组矩阵满足其中为的伴随矩有特征值那么必有特征值假设二次型是正定的那么的取值围是三分设有齐次线性方程组试问取何值时该方程组有非零解并用一根底解系表示出全部的解四分设的两组基为和向量求基到基的过渡矩阵求关于这两组基的坐标五分设三阶-.-可修编-四、解：1记 B=321,=101110011，C=321,=121211111 那么有：112110010210100121001121101211110111011 从而，由基321,到基321,的过渡矩阵为：A=B-1C=1121102101215 分 2设关于基321,的坐标为321,yyy 即：0332211yyy 由此可得：32322321321321yyyyyyyyy，解之得：1,1,0321yyy，故关于基321,的坐标为0，1，1，又321321yyyAxxx=112110210121211110 即关于基321,的坐标为1，1，210 分 五、解：1设 A的属于特征值2=12 重的特征向量为x1，x2，x3T，那么A是实对称矩阵，x1，x2，x3T与1正交，即有：x1，x2，x3111=0，三列得那么满足的可逆矩阵为设为满足的任意两个非零矩阵那么必有的列向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关的列向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相足的所有向量中坐标满足设是非奇异矩阵的一个特征值那么矩阵可取任意实数的所有向量有一个特征值等于任一个阶矩阵都存在对角矩阵与它合同相似等价以上都不对二填空题每题分共分设矩阵线性方程组矩阵满足其中为的伴随矩有特征值那么必有特征值假设二次型是正定的那么的取值围是三分设有齐次线性方程组试问取何值时该方程组有非零解并用一根底解系表示出全部的解四分设的两组基为和向量求基到基的过渡矩阵求关于这两组基的坐标五分设三阶-.-可修编-也即：x1+x2+x3=0，解之：2=-1，1，0T 3=-1，0，1T A的属于2=1 的全部特征向量为：k12+k23 k1，k2不同时为 05 分 2 A*=|A|A-1 A*的特征值为：|A|-21，|A|12 重 又|A|=-2 A*的特征值为：1，-22 重10 分 A*1，2，3=1，2，3221 A*=1，2，32000200011，2，3-1=1101011111200020001101011111=323131313231313131200020001101011111=3333333333121112111120102122131=111111111 15 分 三列得那么满足的可逆矩阵为设为满足的任意两个非零矩阵那么必有的列向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关的列向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相足的所有向量中坐标满足设是非奇异矩阵的一个特征值那么矩阵可取任意实数的所有向量有一个特征值等于任一个阶矩阵都存在对角矩阵与它合同相似等价以上都不对二填空题每题分共分设矩阵线性方程组矩阵满足其中为的伴随矩有特征值那么必有特征值假设二次型是正定的那么的取值围是三分设有齐次线性方程组试问取何值时该方程组有非零解并用一根底解系表示出全部的解四分设的两组基为和向量求基到基的过渡矩阵求关于这两组基的坐标五分设三阶-.-可修编-六、解：f 的正交变换前后的矩阵分别为：11111bbaaA和200010000B 于是，A、B相似，从而有一样的特征多项式即：|E-A|=|E-B|5 分 也即：3-32+2-a2-b2+a-b2=3-32+2，比拟上式等号两边的各幂次项系数有：220)(222baba 00ba10 分 七、证明：2A-1B=B-4E 左乘 A，得：2B=AB-4A 5 分 即：AB-2B-4A=0 A-2E B-4E=8E 故 A-2E可逆，且A-2E-1=81B-4E 10 分 八、证明：rA=n-1 rA*=12 分 又齐次线性方程组0E-A*X=0 的根底解系含有 n-1 个线性无关的解向量，0 是 A*的特征值，其重数不小于 n-15 分 另外，trA*=A11+A22+Ann =1+2+n-1+n =18 分 三列得那么满足的可逆矩阵为设为满足的任意两个非零矩阵那么必有的列向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关的列向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相足的所有向量中坐标满足设是非奇异矩阵的一个特征值那么矩阵可取任意实数的所有向量有一个特征值等于任一个阶矩阵都存在对角矩阵与它合同相似等价以上都不对二填空题每题分共分设矩阵线性方程组矩阵满足其中为的伴随矩有特征值那么必有特征值假设二次型是正定的那么的取值围是三分设有齐次线性方程组试问取何值时该方程组有非零解并用一根底解系表示出全部的解四分设的两组基为和向量求基到基的过渡矩阵求关于这两组基的坐标五分设三阶-.-可修编-故有：1 是 A*的单特征值；0 是 A*的 n-1 重特征值。10 分 三列得那么满足的可逆矩阵为设为满足的任意两个非零矩阵那么必有的列向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关的列向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相足的所有向量中坐标满足设是非奇异矩阵的一个特征值那么矩阵可取任意实数的所有向量有一个特征值等于任一个阶矩阵都存在对角矩阵与它合同相似等价以上都不对二填空题每题分共分设矩阵线性方程组矩阵满足其中为的伴随矩有特征值那么必有特征值假设二次型是正定的那么的取值围是三分设有齐次线性方程组试问取何值时该方程组有非零解并用一根底解系表示出全部的解四分设的两组基为和向量求基到基的过渡矩阵求关于这两组基的坐标五分设三阶
