第六章实数知识点归纳及典型例题_中学教育-中考.pdf

名师总结 优秀知识点 第十三章实数-知识点总结 一、算术平方根 1.算术平方根的定义：一般地，如果 的 等于 a，即 ，那么这个正数 x 叫做a 的算术平方根 a 的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a 叫做 规定：0 的算术平方根是 0.也就是，在等式ax2(x 0)中，规定ax。理解：ax2(x 0)ax a 是 x 的平方 x的平方是 a x是 a 的算术平方根 a的算术平方根是 x 2.a的结果有两种情况：当 a 是完全平方数时，a是一个有限数；当 a 不是一个完全平方数时，a是一个无限不循环小数。3.当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；4.夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法：）二、平方根 1.平方根的定义：如果 的平方等于 a，那么这个数 x 就叫做 a 的 即：如果 ，那么 x 叫做 a 的 理解：ax2 ax a 是 x 的平方 x的平方是 a x是 a 的平方根 a的平方根是 x 2.开平方的定义：求一个数的 的运算，叫做 开平方运算的被开方数必须是 才有意义。名师总结 优秀知识点 3.平方与开平方 ：3 的平方等于 9，9 的平方根是3 4.一个正数有 平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数 平方根，即负数不能进行开平方运算 5.符号：正数 a 的正的平方根可用a表示，a也是 a 的算术平方根；正数 a 的负的平方根可用-a表示 6.平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。三、立方根 1.立方根的定义：如果 的 等于a，这个数叫做a的 （也叫做 ），即如果 ，那么x叫做a的立方根。2.一个数a的立方根，记作3a，读作：“三次根号a”，其中a叫被开方数，3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。理解：ax 3 3ax a 是 x 的立方 x的立方是 a x是 a 的立方根 a的立方根是 x 3.一个正数有一个正的立方根；0 有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。4.利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即330aa a 。四、实数 1.有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。叫做的算术平方根的算术平方根记为读作根号叫做规定的算术平方根是也就是在等式中规定理解是的平方的平方是是的算术平方根的算术平方根是的结果有两种情况当是完全平方数时是一个有限数当不是一个完全平方数时是一个无根平方根的定义如果的平方等于那么这个数就叫做的即如果那么叫做的理解是的平方的平方是是的平方根的平方根是开平方的定义求一个数的的运算叫做开平方运算的被开方数必须是才有意义平方与开平方的平方等于的平方根是名算符号正数的正的平方根可用表示也是的算术平方根正数的负的平方根可用表示平方根和算术平方根两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个而它的算术平方根只有一个联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根而正名师总结 优秀知识点 2.无理数的定义：无限不循环小数叫无理数 3.实数的定义：有理数和无理数统称为实数 整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数 4.像有理数一样，无理数也有正负之分。例如2，33，是正无理数，2，33，是负无理数。由于非 0 有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数实数 0 5.实数与数轴上点的关系：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 6.数a的相反数是a，这里a表示任意一个实数。7.实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。8.无限小数是有理数（）无限小数是无理数（）有理数是无限小数（）无理数是无限小数（）数轴上的点都可以用有理数表示（）有理数都可以由数轴上的点表示（）叫做的算术平方根的算术平方根记为读作根号叫做规定的算术平方根是也就是在等式中规定理解是的平方的平方是是的算术平方根的算术平方根是的结果有两种情况当是完全平方数时是一个有限数当不是一个完全平方数时是一个无根平方根的定义如果的平方等于那么这个数就叫做的即如果那么叫做的理解是的平方的平方是是的平方根的平方根是开平方的定义求一个数的的运算叫做开平方运算的被开方数必须是才有意义平方与开平方的平方等于的平方根是名算符号正数的正的平方根可用表示也是的算术平方根正数的负的平方根可用表示平方根和算术平方根两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个而它的算术平方根只有一个联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根而正名师总结 优秀知识点 数轴上的点都可以用无理数表示（）无理数都可以由数轴上的点表示（）数轴上的点都可以用实数表示（）实数都可以由数轴上的点表示（）五、考点分析 类型一、有关概念的识别 例 1下面几个数：57223064.0010010001.1,7231.03，其中，无理数的个数有 A、1 B、2 C、3 D、4【变式 1】下列说法中正确的是（）A、81的平方根是3 B、1 的立方根是1 C、11 D、5是 5 的平方根的相反数 【变式 2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A表示的数是（）A、1.5 B、1.4 C、2 D、3 类型二、计算类型题 例 2设a26，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.举一反三：【变式 1】1）1.25 的算术平方根是_；平方根是_.2）-27立方根是_.3）_，_，_.【变式 2】求下列各式中的 （1）252x （2）912x （3）643x 叫做的算术平方根的算术平方根记为读作根号叫做规定的算术平方根是也就是在等式中规定理解是的平方的平方是是的算术平方根的算术平方根是的结果有两种情况当是完全平方数时是一个有限数当不是一个完全平方数时是一个无根平方根的定义如果的平方等于那么这个数就叫做的即如果那么叫做的理解是的平方的平方是是的平方根的平方根是开平方的定义求一个数的的运算叫做开平方运算的被开方数必须是才有意义平方与开平方的平方等于的平方根是名算符号正数的正的平方根可用表示也是的算术平方根正数的负的平方根可用表示平方根和算术平方根两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个而它的算术平方根只有一个联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根而正名师总结 优秀知识点 类型三、数形结合 例 3.点 A在数轴上表示的数为53，点 B在数轴上表示的数为 2，则 A，B两点的距离为_ 举一反三：【变式 1】如图，数轴上表示 1，2的对应点分别为 A，B，点 B 关于点 A的对称点为 C，则点 C表示的数是（）A12 B21 C22 D22 类型四、实数非负性的应用 例 4已知 026262zyyxx，求 33zyx的值。【变式 1】已知 01522cba，求cba的值。叫做的算术平方根的算术平方根记为读作根号叫做规定的算术平方根是也就是在等式中规定理解是的平方的平方是是的算术平方根的算术平方根是的结果有两种情况当是完全平方数时是一个有限数当不是一个完全平方数时是一个无根平方根的定义如果的平方等于那么这个数就叫做的即如果那么叫做的理解是的平方的平方是是的平方根的平方根是开平方的定义求一个数的的运算叫做开平方运算的被开方数必须是才有意义平方与开平方的平方等于的平方根是名算符号正数的正的平方根可用表示也是的算术平方根正数的负的平方根可用表示平方根和算术平方根两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个而它的算术平方根只有一个联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根而正名师总结 优秀知识点 类型五、易错题 例 5判断下列说法是否正确（1）23的算术平方根是-3 （）（2）225的平方根是15 （）（3）当 x=0 或 2 时，02 xx（）（4）23是分数 （）类型六、实数应用题 例 6有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。类型七、引申提高 例 7.把下列无限循环小数化成分数：0.6 0.23 0.107 叫做的算术平方根的算术平方根记为读作根号叫做规定的算术平方根是也就是在等式中规定理解是的平方的平方是是的算术平方根的算术平方根是的结果有两种情况当是完全平方数时是一个有限数当不是一个完全平方数时是一个无根平方根的定义如果的平方等于那么这个数就叫做的即如果那么叫做的理解是的平方的平方是是的平方根的平方根是开平方的定义求一个数的的运算叫做开平方运算的被开方数必须是才有意义平方与开平方的平方等于的平方根是名算符号正数的正的平方根可用表示也是的算术平方根正数的负的平方根可用表示平方根和算术平方根两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个而它的算术平方根只有一个联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根而正名师总结 优秀知识点 一、填空题 1、（-0.7）2的平方根是 2、若=25,=3,则 a+b=3、已知一个正数的两个平方根分别是 2a2 和 a4，则 a 的值是 4、43 _ 5、若 m、n 互为相反数，则nm 5_ 6、大于-2，小于 10的整数有_个。7、一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4，则 a=，x=。二、选择题 1、以下语句及写成式子正确的是（）A、7 是 49 的算术平方根，即749 B、7 是2)7(的平方根，即7)7(2 C、7是 49 的平方根，即749 D、7是 49 的平方根，即749 2ab叫做的算术平方根的算术平方根记为读作根号叫做规定的算术平方根是也就是在等式中规定理解是的平方的平方是是的算术平方根的算术平方根是的结果有两种情况当是完全平方数时是一个有限数当不是一个完全平方数时是一个无根平方根的定义如果的平方等于那么这个数就叫做的即如果那么叫做的理解是的平方的平方是是的平方根的平方根是开平方的定义求一个数的的运算叫做开平方运算的被开方数必须是才有意义平方与开平方的平方等于的平方根是名算符号正数的正的平方根可用表示也是的算术平方根正数的负的平方根可用表示平方根和算术平方根两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个而它的算术平方根只有一个联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根而正名师总结 优秀知识点 2、下列语句中正确的是（）A、9的平方根是3 B、9的平方根是3 C、9的算术平方根是3 D、9的算术平方根是3 3、下列语句中正确的是（）A、任意算术平方根是正数 B、只有正数才有算术平方根 C、3 的平方是 9，9 的平方根是 3 D、1是 1 的平方根 三、利用平方根解下列方程 21211690 x 224 3110 x 四、解答题 1、若0)13(12yxx，求25yx 的值。叫做的算术平方根的算术平方根记为读作根号叫做规定的算术平方根是也就是在等式中规定理解是的平方的平方是是的算术平方根的算术平方根是的结果有两种情况当是完全平方数时是一个有限数当不是一个完全平方数时是一个无根平方根的定义如果的平方等于那么这个数就叫做的即如果那么叫做的理解是的平方的平方是是的平方根的平方根是开平方的定义求一个数的的运算叫做开平方运算的被开方数必须是才有意义平方与开平方的平方等于的平方根是名算符号正数的正的平方根可用表示也是的算术平方根正数的负的平方根可用表示平方根和算术平方根两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个而它的算术平方根只有一个联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根而正名师总结 优秀知识点 4、已知052522xxxy，求 7（xy）20 的立方根。叫做的算术平方根的算术平方根记为读作根号叫做规定的算术平方根是也就是在等式中规定理解是的平方的平方是是的算术平方根的算术平方根是的结果有两种情况当是完全平方数时是一个有限数当不是一个完全平方数时是一个无根平方根的定义如果的平方等于那么这个数就叫做的即如果那么叫做的理解是的平方的平方是是的平方根的平方根是开平方的定义求一个数的的运算叫做开平方运算的被开方数必须是才有意义平方与开平方的平方等于的平方根是名算符号正数的正的平方根可用表示也是的算术平方根正数的负的平方根可用表示平方根和算术平方根两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个而它的算术平方根只有一个联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根而正