恩施州巴东一中高中数学(人教A版)选修23教案132研究性课题 杨辉三角(_中学教育-中考.pdf
研究性课题：杨辉三角 教学目标:知识目标:进一步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律，形成知识网络；能力目标:培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；情感目标：了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感 教学重点：杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求。教学难点:杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求。教学方法:引导探究 课时安排:2 课时 教学过程 一、课题引入 1引言:为什么要研究杨辉三角？教学意图 研究杨辉三角的意义（1）在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力同时复习巩固所学知识，发现知识间的联系（2）通过探究杨辉三角，不断培养创新能力（创新是发展的不竭动力）（3）了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；2什么是杨辉三角？教学意图 复习杨辉三角 二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当 n 依次取 1，2，3 时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角（如图）3介绍杨辉古代数学家的杰出代表 教学意图 了解数学家杨辉及其成就,增强民族自豪感 杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有 详解九章算法 十二卷（1261 年）、日用算法二卷、乘除通变本末三卷、田亩比类乘除算法二卷、续古摘奇算法二卷其中后三种合称杨辉算法，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。“杨辉三角”出现在杨辉编著的详解九章算法一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元 11 世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于 11 世纪 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal,1623年1662 年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早 500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 二、问题研究 观察杨辉三角所蕴含的数量关系 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1284 1716 1716 1284 715 286 78 13 1 1杨辉三角基本性质 教学意图 介绍杨辉三角蕴含的基本规律（1）表中每个数都是组合数，第 n 行的第 r+1 个数是)!(!rnrnCrn（2）三角形的两条斜边上都是数字 1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是rnrnrnCCC111（3）杨辉三角具有对称性（对称美），即rnnrnCC（4）杨辉三角的第 n 行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数，即 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba1110)(5)当 n 为偶数时,第 n 行有奇数项,中间一项最大;当 n 为奇数时,第 n 行有偶数项,中间两项相等且最大这条性质就是二项式系数的性质 2 下面,师生一起继续探究杨辉三角蕴含的数量关系，形成知识网络 2杨辉三角有趣的数字排列规律 教学意图培养学生观察力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多种角度观察（横看成岭侧成峰，远近高低各不同！）问题 1：杨辉三角的第 1，3，7，15，行，即第 2K-1(k 是正整数)行的各个数字有什么特点？分析：观察可知，它们均为奇数第 2K行除两端的 1 之外都是偶数.延伸：除两端的 1 之外，哪些行的各个数字是 3 的倍数？分析：第 3、9、3k(k 是正整数)行。问题 2：杨辉三角第 5 行中，除去两端的数字 1 以外，行数 5 整除其余所有的数你能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数是什么数？教学意图继续“横”看 分析：如 2，3，7，11 等行行数是质数(素数).问题 3：计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：第 1 行 112 第 2 行 121422 第 3 行 1331823 第 4 行 146411624 第 5 行 151010513225 第 n 行 nnnnnrnnnnCCCCCC21210 分析：第 n 行数字的和为 2n 前 n 行(含第 0 行)所有数的和为 2n 1，它恰好比第 n 行的和 2n小 1 问题 4：从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩”出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数 教学意图 再引导学生“斜”向看 例如：101234，2013610，养学生发现问题提出问题解决问题的能力重点培养创新能力情感目标了解我国古今数学的伟大成就增强爱国情感教学重点杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求教学难点杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求教学方法引导合概率和数学归纳法等知识后继续研究杨辉三角的性质进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系培养发现问题分析问题解决问题的能力同时复习巩固所学知识发现知识间的联系通过探究杨辉三角不断培养创新能力创新式的二项式系数当依次取时列出的一张表叫做二项式系数表因它形如三角形南宋的杨辉对其有过深入研究所以我们又称它为杨辉三角如图介绍杨辉古代数学家的杰出代表教学意图了解数学家杨辉及其成就增强民族自豪感杨辉杭州钱教学意图 引导学生得出一般性的结论 一般地，在第 m条斜线上（从右上到左下）前 n 个数字的和，等于第 m+1条斜线上的第 n 个数 根据这一性质，猜想下列数列的前 n 项和：111 11nC（第 1 条斜线）123 11nC2nC （第 2 条斜线）136 21nC3nC （第 3 条斜线）1410 31nC4nC（第 4 条斜线）)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr（第 r+1 条斜线）问题 5：第 1 条斜线上的数字构成了常数列 1，1，1，1；第 2 条斜线上的数字依次构成等差数列 1，2，3，4，；二阶等差数列（其一阶差分数列是等差数列）1，3，6，10，；三阶等差数列（其二阶差分数列是等差数列）1，4，10，20，；问题 6：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？教学意图 继续换一角度“斜”向看 1，1，2，3，5，8，13，21，34，此数列an满足,a1=1,a2=1,且 an=an-1+an-2(n 3)这就是著名的斐波那契数列 教学意图 以下介绍斐波那契“兔子繁殖问题”增强趣味性 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？结论：兔子繁殖问题可以从杨辉三角得到答案：右侧从上而下的一列数 1，1，2，3，5，8，13，正好是刚生的兔子，第一个月后的兔子 第二个月后的兔子，第三个月后的兔子，n 个月后的兔子的对数“兔子繁殖问题”的答案就是第 12 行右下侧的数（第 13 个），即 233 3学生自主探究：4与杨辉三角有关的应用(1)杨辉三角与弹子游戏（先介绍我国现代数学家华罗庚）教学意图 介绍我国现代数学家华罗庚的成就、学习其 为科学献身的精神、增强爱国情感 华罗庚（1910-1985）是一位具有世界声誉的数学家，我国进入世界著名数学行列最杰出的代表。撰写了不少高质量的 10 部专著、200 篇论文和 10 余部科普著作。由于他的贡献，有许多定理、引理、不等式与方法等都用他的名字命名 为了推广优选法，华罗庚带领小分队去二十七个省市普及应用数学方法达二十年之久，取得了明显的经济效益和社会效益，为我国经济建设作出了重大贡献在他的科普著作 从杨辉三角谈起 中，对杨辉三角的构成，提出了一种有趣的看法 教学意图 下面介绍弹子游戏问题，本节的重要内容 如图，在一块倾斜的木板上，钉上一些正六角形小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方形框子。把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第 养学生发现问题提出问题解决问题的能力重点培养创新能力情感目标了解我国古今数学的伟大成就增强爱国情感教学重点杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求教学难点杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求教学方法引导合概率和数学归纳法等知识后继续研究杨辉三角的性质进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系培养发现问题分析问题解决问题的能力同时复习巩固所学知识发现知识间的联系通过探究杨辉三角不断培养创新能力创新式的二项式系数当依次取时列出的一张表叫做二项式系数表因它形如三角形南宋的杨辉对其有过深入研究所以我们又称它为杨辉三角如图介绍杨辉古代数学家的杰出代表教学意图了解数学家杨辉及其成就增强民族自豪感杨辉杭州钱二层六角板上面（有几个通道就算第几层），以后，再落到六角板的左边或右边的两个竖直通道里去，以此类推，算一算：nnnnnrnnnnCCCCCC21210 个弹子通过 n+1 层通道，落到各长方形框里的可能情况。分析：弹子从每一通道通过时可能情况是：它选择左右两通道可能性是相等的，而其他任一个通道的可能情形，应等于它左右肩上两个通道的可能情形的和。可以设想，第 1 层只有条通道，通过的概率是 1 第 2 层有条通道，每条通过的概率依次是 2121 第 3 层有 3 个通道，每条通过的概率从左到右依次是 41，42，41 第 4 层各通道通过的概率从左到右依次是 321，323，323，321 照这样计算第 n+1 层有 n+1 个通道，弹子通过各通道的概率将是？引导学生写出此“概率三角形”，分析与杨辉三角的关系：第 n 行各概率的分子是杨辉三角中的数，分母是 2n。（引导学生课后仿第 1 章复习小结例 1 解答）（2）杨辉三角与“纵横路线图”教学意图 杨辉三角又一实际应用,学以致用“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题图 1 是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到 B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？我们把图顺时针转 45 度，使 A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角 数有趣的是，B处所对应的数 70，正好是答案(48C70)一般地,每个交点上的杨辉三角数，就是从 A到达该点的方法数由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系 （3）杨辉三角与“堆垛术”（三角垛，正方垛，）教学意图 介绍我国古代数学的伟大成就堆垛术，引导学生自行探究 将圆弹堆成三角垛：底层是每边 n 的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层是一个圆弹，求总数 5展示学生探究成果 通过投影仪展示学生探究结果，提高学习趣味性，其次，通过点评提高探究水平，培养创新能力 6教学小结：古代数学家杨辉，通过“弹子游戏”了解现代数学家华罗庚，增强爱国情感；系统探究杨辉三角蕴含的数字排列规律，培养观察、探究及创新能力；展示部分探究成果，相互交流学习 7作业(1)求弹子游戏中，弹子落入各长方形框的可能数目(2)P.74 习题 1、2 养学生发现问题提出问题解决问题的能力重点培养创新能力情感目标了解我国古今数学的伟大成就增强爱国情感教学重点杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求教学难点杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求教学方法引导合概率和数学归纳法等知识后继续研究杨辉三角的性质进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系培养发现问题分析问题解决问题的能力同时复习巩固所学知识发现知识间的联系通过探究杨辉三角不断培养创新能力创新式的二项式系数当依次取时列出的一张表叫做二项式系数表因它形如三角形南宋的杨辉对其有过深入研究所以我们又称它为杨辉三角如图介绍杨辉古代数学家的杰出代表教学意图了解数学家杨辉及其成就增强民族自豪感杨辉杭州钱杨辉三角形训练 1（06 湖北卷）将杨辉三角中的每一个数rnC都换成1(1)rnnC，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出1111(1)(1)rxrnnnnCnCnC，其中x。令3311111113123060(1)nnnanCnC ，则imnna。解填 r1,1/2.本题考查考生的类比归纳及推理能力，第一问对比杨辉三角的性质通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，故此时1xr，第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即 012322341111113451nnnnnaCCCnCnC 根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项 111nnnC，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为12，故 11121nnnanC，从而 1111limlim212nnxxnanC。2、（07 湖南理 15）将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图 1 所示的 0-1 三角数表从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，第n次全行的数都为 1 的是第行；第61 行中 1 的个数是 第 1 行 1 1 第 2 行 1 0 1 第 3 行 1 1 1 1 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 图 1【答案】21n，32【解析】由不完全归纳法知，全行都为 1 的是第21n行；662163,n 故第 63 行共有 64 个 1，逆推知第 62 行共有 32 个 1，第 61 行共有 32 个 1。3.（2009 浙江卷理）观察下列等式：1535522CC，1597399922CCC，159131151313131322CCCC，1591317157171717171722CCCCC，由以上等式推测到一个一般的结论：对于*nN，1594141414141nnnnnCCCC 答案：4121212nnn【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有1n，二项指数分别养学生发现问题提出问题解决问题的能力重点培养创新能力情感目标了解我国古今数学的伟大成就增强爱国情感教学重点杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求教学难点杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求教学方法引导合概率和数学归纳法等知识后继续研究杨辉三角的性质进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系培养发现问题分析问题解决问题的能力同时复习巩固所学知识发现知识间的联系通过探究杨辉三角不断培养创新能力创新式的二项式系数当依次取时列出的一张表叫做二项式系数表因它形如三角形南宋的杨辉对其有过深入研究所以我们又称它为杨辉三角如图介绍杨辉古代数学家的杰出代表教学意图了解数学家杨辉及其成就增强民族自豪感杨辉杭州钱为41212,2nn，因此对于*nN，1594141414141nnnnnCCCC 4121212nnn 4、如图 2 所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为1n 2n,每个数是它下一行左右相邻两数的和,如111122,111236,1113412,则第 10行第 4 个数(从左往右数)为（B）A11260 B1840 C1504 D1360 5、杨辉三角的第 8 行是：1 7 21 35 35 21 7 1，其中 7，21，35 三个相邻的数成等差数列，你还能在杨辉三角中找出其他在同一行中成等差数列的相邻三个数吗？6、如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1(2)nn，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：111 111 111,122 236 3412 ，则第(3)n n 行第 3个数字是【答案】2(1)(2)nnn ，7、给出如下三角形数表,此数表满足:(1)第 n 行首尾两数均为 n+1;(2)表中数字间的递推关系类似于杨辉三角形,即除了“两腰”上的数字以外,每一个数都等于它上一行左右“两肩”上的两数之和,第n 行第 n 个数是_.【答案】222 nn.8、如右图,它满足:(1)第n行首尾两数均为n;(2)表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行2n 第2个数是_【答案】222nn 9、如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为(n2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如=+=+=+,则第10 行第3 个数(从左往右数)为.1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 养学生发现问题提出问题解决问题的能力重点培养创新能力情感目标了解我国古今数学的伟大成就增强爱国情感教学重点杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求教学难点杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求教学方法引导合概率和数学归纳法等知识后继续研究杨辉三角的性质进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系培养发现问题分析问题解决问题的能力同时复习巩固所学知识发现知识间的联系通过探究杨辉三角不断培养创新能力创新式的二项式系数当依次取时列出的一张表叫做二项式系数表因它形如三角形南宋的杨辉对其有过深入研究所以我们又称它为杨辉三角如图介绍杨辉古代数学家的杰出代表教学意图了解数学家杨辉及其成就增强民族自豪感杨辉杭州钱 养学生发现问题提出问题解决问题的能力重点培养创新能力情感目标了解我国古今数学的伟大成就增强爱国情感教学重点杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求教学难点杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求教学方法引导合概率和数学归纳法等知识后继续研究杨辉三角的性质进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系培养发现问题分析问题解决问题的能力同时复习巩固所学知识发现知识间的联系通过探究杨辉三角不断培养创新能力创新式的二项式系数当依次取时列出的一张表叫做二项式系数表因它形如三角形南宋的杨辉对其有过深入研究所以我们又称它为杨辉三角如图介绍杨辉古代数学家的杰出代表教学意图了解数学家杨辉及其成就增强民族自豪感杨辉杭州钱
