工科基础数学第五章一元函数微积分的应用_高等教育-微积分.pdf

第五章 一元函数微积分的应用 一元函数的微分和积分的产生都有着实际背景，它们在自然科学、经济领域以及工程技术上有着广泛的应用。本章将通过介绍微分中值定理，给出求极限的另外一种方法罗必塔法则；以导数为工具，研究函数的一些几何性态（单调性，极值，凹凸性等），解决一些常见的应用问题；由微分和函数增量的关系，给出微分在近似计算中的简单应用；通过不定积分来求几个简单的一阶微分方程的解；利用微元法思想，结合定积分的几何意义，求平面区域的面积以及一些特殊的空间立体的体积。第一节中值定理 一、罗尔定理 若)(x f在闭区间,b a上连续，开区间),(b a内可导，且)()(b f a f，则至少存在一点),(b a，使)(f 0。罗尔定理的几何意义是:定理的证明略。罗尔定理的三个条件缺一不可，否则结论不真。二、拉格朗日中值定理 去掉罗尔定理中相当特殊的条件)()(b f a f，仍保留其余两个条件，可得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理：若)(x f在闭区间,b a上连续，在开区间),(b a内可导，则至少存在一点),(b a，使得 ff b f ab a()()()该定理的几何意义是：a ba f b f)()(是弦AB的斜率，)(f 为曲线在点C处的切线斜率。在曲线)(x f y 上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB。三、柯西中值定理 若函数)(x f、)(x F满足下述三个条件：(1)(),(x F x f在,b a 连续；(2)(),(x F x f在),(b a可导；(3),(,0)(b a x x F。则至少存在一点),(b a，使得 f b f aF b F afF()()()()()()柯西中值定理的几何意义也十分明显，考虑由参数方程所表示的曲线)()(x f Yx F X，,b a x 试x为参变量 术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明 曲线上点),(Y X 处的切线斜率为)()(x Fx fdXdY 弦AB的斜率为)()()()(a F b Fa f b f 假定点C对应于参数 x，那未曲线C点处切线平行于弦AB，于是)()()()()()(Ffa F b Fa f b f。四、中值定理运用举例 例 1 试证：当x 0时，有不等式x xxx)1 ln(1。证明 考虑辅助函数x t t t f 0),1 ln()(，由拉格朗日中值定理有),(0)0()(fxf x fx 0 即 11)1 ln(xx 而 xx 0,0 111111 故 1)1 ln(11 xxx 0,)1 ln(1 x x xxx。第二节罗必达法则 当x a(或x)时，两个函数)(x f与)(x F都趋向于零或都趋向于无穷大，术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明那么，极限)()(lim)(x Fx fxa x 可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做 不定式，并分别简记为型 型或00。对不定式，不能简单地用“商的极限等于极限商”这一求极限法则来处理。求不定式极限有一种简便方法 罗必达法则，见下述两个重要定理。一、基本类型的不定式型 型或00 罗必达法则:(1)当 x a 时（可以是 a），函数)(x f及)(x F都趋于零（或者都趋于）；(2)(x f 及)(x F 在点a的某个邻域内(点a本身除处)存在，且)(x F 0；(3)()(limx Fx fa x存在(或无穷大)，则 lim()()lim()()x a x af xF xf xF x。注意：（1）此定理用来处理)(或 a x时的型 型或00不定式极限问题。这种通过分子与分母导数之比的极限来确定不定式极限的方法称之为罗必达法则。（2）如果极限)()(limx Fx fa x仍属于型 型或00，且)(x f、)(x F又满足定理中的条件，则可以再使用罗必达法则。即 lim()()lim()()lim()()x a x a x af xF xf xF xf xF x 还可以继续使用下去。（3）如果)()(limx Fx fa x不存在（也不是），不能断言)()(limx Fx fa x也不存在，只能说明该极限不适合用罗必达法则来求。反例：极限01sin lim1sinlim020 xxxxxx x 存在，而使用罗必达法则)1cos1sin 2(lim1sinlim0220 x xxxxxx x 不存在。例 1 求极限(1)xexx1lim0(2)201 coslimxxx 解 这两个例子都是00型不定式 术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明 11lim00 eexx原式 2120 cos2coslim2sinlim0 0 xxxx x原式 例 2 求极限(1)xxx1arctan2lim(2)x arcxxcot)11 ln(lim 解 这两个例子仍然都是00型不定式 原式122lim1lim111lim2222 xxxxxxx x x 原式11 22lim1lim11)1(111lim2222 xxx xxxxxx x x 例 3 求极限(1)nxxx lnlim(2)ln()ln(lima xa xe ea x 解 这两个例子都是型不定式 原式01lim1lim1 nxnxnx nxx 原式111lim)(lim)(lim1lim a x e a x eea x ee ee eea xa xx xxa xxa xa xa xxa x 除和00型不定式外，还有0 0,0,1,0 以及等类型的不定式。计算这些类型的极限，可利用适当变换将它们化为型或00型不定式，再利用罗必达法则，这里不再详细介绍，只举几个例题，有兴趣的读者可参阅有关书籍。例 4 求x xxln lim0，)0()0(型 解 原式0 lim1 1lim11limlnlim0 010 0 xx xxxxx x x x 术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明 结论可推广到一般 0)(ln lim0 x xx，（,为正实数）例 5 求)1(cot lim0 xxx)(型 解 原式x x xx x x xx xx x xx xxx x xcos sincos sin coslimsinsin coslim)1sincos(lim0 0 0 0sin cos 2cos sinlimcos sinsinlim0 0 x x xx x xx x xx xx x 1,00 0型的不定式，一般是幂指函数的极限，可采用对数求极限法。例 6 求 xxx 0lim 解 设 xx y，取对数 xxx x y1lnln ln，则 0)(lim11lim ln lim2020 0 xxxyx x x 从而有 1 lim0yx 例 7 求 xxx x10)sin(cos lim，（1型）解 令x x x y1)sin(cos，则xx xy)sin ln(cosln 1sin coscos sinlim)sin ln(coslim ln lim0 0 0 x xx xxx xyx x x 故 e e e yyxx 1ln lim00lim 例 8 求 00)1(lim tgxxx型 解 令 tgxxy1 则ctgxxxtgx yln 1ln ln xxxxctgxxyx x x x2020 0 0sinlimcsc1limlnlim lim 0 0 1 sinsinlim0 xxxx 1 lim lim0ln limln0 00 e e e yyyx xx 试一试:求下列极限：术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明 11lim0 x xxxe xee；n nm ma xa xa xlim（n m a,0 为常数）；x xx xxsintanlim0；)1 ln(ln lim1x xx；)11 1(lim0 xxe x；第三节函数的单调性 一、从几何图形上看函数的单调性 函数1 x e yx与它的导函数1 xe y在-1,1 上的图像，从图形上可以观察到：函数1 x e yx在-1,0 上是单调减少，在(0,1 上是单调增加；其导函数1 xe y在-1,0 上小于零，在(0,1 上大于零。函数的单调性是否与导函数的符号有关呢?为此，我们进一步地作图，希望从中获得更多的感性认识。0)(tan x f 0)(tan x f 曲线是单调递增的 曲线是单调递减的 函数)(x f y 在 a,b 上单调增加(减少)，则它的图形是一条沿x轴正向上升(下降)的曲线，曲线上各点处的切线之斜率均为正的(负的)，即：)0)(,0)(x f y x f y 这表明：函数的单调性确实与其导数的符号有关，因此，可以利用导数的符号来判定函xyy)(x f y O Oxa)(x f y bab术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明数的单调性。二、函数单调性的判别法 设函数)(x f在,b a上连续，在),(b a内可导，）是区间（和 b a x x,2 1内的任意两点，且设2 1x x，则)()()()(1 2 1 2x x f x f x f，)(2 1x x 若在),(b a内0)(x f，则)(f 0，从而)()(2 1x f x f；即：函数)(x f y 在),(b a上单调增加；若在),(b a内0)(x f，则)(f 0，从而)()(2 1x f x f，即：函数)(x f y 在),(b a上单调减少。综上讨论，我们有如下结论：函数单调性判别法 设函数)(x f y 在,b a上连续，在),(b a内可导，(1)若在),(b a内0)(x f，则)(x f y 在),(b a上单调增加；(2)若在),(b a内0)(x f，则)(x f y 在),(b a上单调减少。说明：（1）判别法中的闭区间若换成其他各种区间（包括无穷区间），结论仍成立。（2）以后把函数单调的区间称之为函数的单调区间。例 1 讨论函数1 x e yx的单调性。解 函数的定义域为),(，且 1 xe y 当)0,(x时，0 y，故函数在(0,)上单调减少；当),0(x时，0 y，故函数在),0(上单调增加。例 2 讨论函数x y 的单调性。解 函数的定义域为),(，当)0,(x时，x y，1 y0,故函数在)0,(上单减；当),0(x时，x y，0 1 y，故函数在),0(上单增。因此，可以通过求函数的一阶导数其符号不确定的点，将函数的定义域分划成若干个部分区间，再判定函数一阶导数在这些部分区间上的符号，继而可决定函数在这些部分区间上的单调性。例 3 试确定函数xx y82 的单调区间。解 函数的定义域是0 x的全体实数 当x 0时，导函数为2 2)2)(2(2 82xx xxy 令 y 0得：x 2 术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明于是，点0,2 x将函数定义域(x 0)分划成四个区间 所以函数的单调增加的区间是：)2,0()2,(；单调增加的区间是：),2()0,2(例 4 讨论函数3x y 的单调性。解 函数的定义域是),(，它的一阶导数为 23x y，除去0 x以外，恒有0 y，如此函数在区间），以及（0)0,(上单调增加。故函数在),(上是单调增加的。结论 一般地，如果)(x f 在某区间上的有限个点处为零，而在其余各点处均为正(或负)时，那么)(x f在该区间上仍是单调增加(或单调减少)的。利用函数的单调性可以证明较为复杂的函数不等式。例 5 试证明：当x 4时，有22 xx 解：作辅助函数22)(x x fx,),4 x x x fx2 2 ln 2)(，1)4(ln 2 2 2)2(ln 2)(2 3 2 x xx f 当),4 x时，2 23 x，1)4(ln2 故 0)(x f，即)(x f 在),4 上单调增加，从而有)4()(f x f，而 f()ln ln(ln)4 2 2 2 4 16 2 8 8 4 1 04，于是 0)(x f,22)(x x fx 在),4 上也单调增加。从而有 f x f()()4 2 4 16 16 04 2，即 2 42 xx x,)。该证明方法十分典型，对于一些较精细的函数不等式的证明可借助此法。第四节函数的极值及最值 一、极值的概念 设函数)(x f在区间),(b a内有定义，点 0 x是),(b a内的一点。若存在点 0 x的一个邻域，对于该邻域内任何异于 0 x的点x，不等式 f x f x()()0(f x f x()()0)术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明成立，称)(0 x f是函数)(x f的一个极大值(极小值)；称点 0 x是函数)(x f的 极大值点(极小值点)。函数的极大值与极小值统称为函数的 极值；使函数取得极值的点统称为 极值点。关于函数的极值，如下几点是十分重要的。1、函数的极值概念是一个局部概念。如果)(0 x f是函数)(x f的一个极大值，那只是对 0 x的一个局部范围来说)(0 x f是)(x f的一个最大值。但对于整个函数的定义域来说，)(0 x f就不一定是最大值了。对于极小值也是类似的。2、极小值有可能较极大值更大。如图：)()(4 1x f x f()(1x f是极大值，而)(4x f是极小值)从图中可看出，在函数取得极值之处，曲线具有水平的切线。换句话说：函数在取得极值的点处，其导数值为零。二、函数取得极值的几个重要定理 可导函数取得极值的必要条件 设函数)(x f在点 0 x处具有导数，且在 0 x处取得极值，则 0)(0 x f。使导数为零的点(即方程0)(x f的实根)称为函数)(x f的 驻点。必要条件可换成下面等价的说法：可导函数的极值点必定是为驻点。反过来，函数的驻点 不一定 就是函数的极值点,它最多只是 可能的极值点,另外极值点也不 一定是驻点,可导是必要的。反例 1 2 33)(,)(x x f x x f y,0)0(f,即0 x是函数的驻点,但是从几何上可 以看出,函数在0 x处取不到极值.反例 2x x f y)(,从几何图形上(右图)可以看出,在0 x处取到极小值,但是0 x不是 驻点,因为)0(f 不存在.由此可以看出,极值点是驻点,或者是导数不存在的术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明点,我们把这两种点称为极值 可疑点.如何把极值可疑点确定为极值点,主要是根据下面的充分条件来确定.函数取得极值的第一充分条件 设函数)(x f在点 0 x的某个邻域内可导(0 x点可以例 外)，且0)(0 x f或者)(0 x f不存在.(1)当x取 0 x左侧的值时，0)(x f；当x取 0 x右侧的值时，0)(x f恒为负，那么，)(x f在 0 x处取得极大值；(2)当x取 0 x左侧的值时，0)(x f；当x取 0 x右侧的值时，0)(x f恒为正，那么，)(x f在 0 x处取得极小值；(3)当x取 0 x左右两侧的值时，)(x f 恒正或恒负，那么，)(x f在 0 x处没有极值。根据第一充分条件,几乎可以求出任意函数的极值.例 1 求函数5 9 3)(2 3 x x x x f的极值。解 函数的定义域为),(，且)3)(1(3 9 6 3)(2 x x x x x f,令 0)(x f，得到函数的极值可疑点(驻点)：3,1 x。列表 故，1 x是函数的极大值点，且有极大值：10)1(f；3 x是函数的极小值点，且有极小值：22)3(f。例 2 讨论函数32)2(1 x y的极值.例 3 求函数32)5 2(x x y 的极值.术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明解 函数的定义域是),(,并且 3313232353)1(10310310)5 2(xxx x x x y,可见,在1 x时,y=0,在0 x时,y不存在,所以1,0 x是极值可疑点.列表 由此可见,0 x是函数的极大值点,且有极大值:00 xy,1 x 是函数的极小值点,且有极小值:31 xy。对于某些特殊的函数，还有以下一种更为简单的判别方法。函数取得极值的第二充分条件 设函数)(x f在点 0 x处具有二阶导数，且0)(0 x f、0)(0 x f，则(1)当0)(0 x f时，函数)(x f在 0 x处取得极大值；(2)当0)(0 x f时，函数)(x f在 0 x处取得极小值。注意 对于二阶可导的函数)(x f，它在驻点 0 x的二阶导数)(0 x f 的符号可判定函数值)(0 x f为何种极值。如果0)()(0 0 x f x f，则第二充分条件失效。例 4 求函数1)1()(3 2 x x f的极值。解 2 2 2 2)1()1(6)1(6)(x x x x x x f，令0)(x f，得驻点1,0,1 x f x x x x x x x()()()()()6 1 6 2 1 2 6 1 5 12 2 2 2 2，0 6)0(f，函数有极小值 0)0(f 而 0)1(f，用第二充分条件无法进行判定，考察函数的一阶导数在x 1的左右两侧邻近值的符号。当x取 1的左右侧邻近的值时，)(x f 0；当x取 1 的左右侧邻近的值时，)(x f 0；故函数在x 1处没有极值。三、闭区间上连续函数的最值 术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明 综上讨论，函数取得最值的点只能是区间的端点或开区间内导数为零、导数不存在的点。计算函数在这些点处的函数值，比较它们的大小就可得到函数的最值。例 5 求函数3 23 2)(x x x f 在-2,2 上的最值。解 因为312 2)(x x f,令0)(x f,得驻点1 x,又0 x时,)(x f 不存在；而3 3 4 3 4)2(,0)0(,1)1(,4 4 3)2(f f f f。比较可知：最大值是 3 4 3 4)2(f,最小值是 0)0(f。四、最值应用问题 利用求函数的最值来处理实际问题，有如下几个步骤：1 据实际问题列出函数表达式及它的定义区间；2 求出该函数在定义区间上的可能极值点(驻点和一阶导数不存在的点)；3 讨论函数的单调性，确定函数在可能极值点处是否取得最值。例 6 试求单位球的内接圆锥体体积最大者的高，并求此体积的最大值。解：设球心到锥底面的垂线长为x，则圆锥的高为)1 0(1 x x，圆锥面底面半径为12 x，圆锥体积为 v x x xx x x()()()()()()131 131 1 0 12 22 由 31,0)3 1)(1(3 x x x v 得驻点,术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明在 310 x上，v 0，函数单增；在131 x上，v 0，函数单减，故31 x是函数的最大值点，)31(v是函数v x()的最大值。于是最大的体积为3132)31(v，此时的高为34。例 7 某产品生产x单位时的总成本是x x x x C 170 5121300)(2 3。单位产品的价格是 134 元，求使利润最大的产量。解 生产x单位时，总收入,134)(x x R 利润为)()()(x C x R x L 300 36 5121)170 5121300(1342 32 3 x x xx x x x)4)(36(4136 1041)(2 x x x x x L 令0)(x L，得36,42 1 x x。又 1021)(x L，,0 8)4(L 及7.269)4(L是极小值；,0 8)36(L 及996)36(L是极大值。由于只有0 x时，)(x L才有意义，并且产量在 4 到 36 时)36 4(x，0)(x L，即利润在增加，而产量超过 36 时，0)(x L，利润又在减少。所以生产 36 单位产品时，利润最大，并且最大利润是 996 元。例 8 证明：当xxx x 1)1 ln(0时，。证 设函数)1 ln(1)(xxxx f，则在0 x上，)(x f是连续的，并且在 时，0 x01)1(2)1 1(111)1(2 11)(2 x xxxx xxxx f 所以)(x f在0 x时，是单调递增的，因而0 x时，)0()(f x f，而0)0(f 故0)(x f 0)1 ln(1 xxx 即 xxx 1)1 ln(例 9 当0 x时，证明)1 ln(x xex 证 设)1 ln()(x xe x fx，术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明xxe e x fx x 11)(0 得唯一驻点0 x，又2 2)1(1)2()1(1)(xx exxe e e x fx x x x 0 1 1 2)0(f 说明0 x是函数惟一的极小值点，因此0)0(f是函数的最小值，及0 x时0)0()1 ln()(f x xe x fx 所以)1 ln(x xex 试一试 求下列函数的单调区间和极值：3)1)(1(x x y7 18 6 22 3 x x x y x x y32 22 xe x y 第五节曲线的凹凸与拐点 一、凹凸的概念 研究了函数的单调性、极性，对于函数的性态有了更进一步的了解。为了描绘出函数的图像的主要特征，仅凭此两点还是不够的。引例 作函数2x y 与x y 在 0,1 上的图像。曲线的凹凸的特性可由下面的几何图形所反映出的事实看出：术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明 由此可以得到，设函数)(x f y 在),(b a上连续，如果对),(b a上任意2 1,x x两点，恒有 2)()()2(2 1 2 1x f x f x xf 则称曲线)(x f y 在),(b a上的是 凹的(或凹弧)，也称函数)(x f y 是),(b a上的 凹函数。如果恒有 2)()()2(2 1 2 1x f x f x xf 则称曲线)(x f y 在),(b a上是 凸的(或凸弧)，也称函数)(x f y 是),(b a上的 凸函数。二、凹凸性的判别法 函数的一阶导数的符号可判断函数的单调性，二阶导数的符号又能确定函数的何种属性呢?来看一个最简单的例子，给我们以启迪。抛物线2ax y 的二阶导数为a y 2，若a 0，即0 y，抛物线是开口向上的 凹弧；若a 0，即0 y，抛物线是开口向下的 凸弧。由此可得 凹凸性的判别方法：设函数)(x f y 在,b a上连续，在),(b a内具有一阶和二阶导数，那未(1)、若在),(b a内，0)(x f，则)(x f在,b a上的图形是凹的；(2)、若在),(b a内，0)(x f，则)(x f在,b a上的图形是凸的。一个函数在定义域内往往并不是单一凹的（或凸的）。我们知道，连续曲线的单调递增和单调递减的区间分界点（导数为零或不存在的点）是极值点，那么连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的 拐点。和求极值点类似，求函数拐点的 一般方法 是：设函数)(x f在区间I上连续（1）求出)(x f 在I上为零或不存在的点；（2）这些点将区间I划分成若干个部分区间，然后考察)(x f 在每个部分区间上的符号，确定曲线)(x f y 的凹凸性；（3）若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相反，则此分界点是拐点；若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相同，则此分界点不是拐点。术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明例 1 求曲线1 4 33 4 x x y的凹凸区间与拐点。解：函数的定义区间为),(，2 312 12 x x y，)32(36 24 362 x x x x y，令0 y得：32,0 x 所以函数的凹区间是：),32()0,(，凸区间是)32,0(。第六节微分在近似计算中的应用 根据微分的定义，若函数)(x f y 在 0 x处有导数，则)(x f y 在该点可微，且 x x f dy x f x x f y)()()(0 0 0 或者 x x f x f x x f)()()(0 0 0 并且其近似度随着x 的减小而更精确。例 1 求031 sin的近似值 解 令 1801,630,sin)(0 00 x x x x f；x x f cos)(故 x x f x f x x f)()()()180 6sin(31 sin0 0 00 180 2321180 6cos6sin 0.5151。如果取x x x,00，当0 x，有下列一些常用公式：tgx x x sin（这里的 x 是以弧度为单位）nxx n 1 1；x ex 1；x x)1 ln(；例 2 求3 127的近似值。解 设3)(x x f，取2,1250 x x，则 x x f x f x df x f x x f)()()()()(1270 0 0 0 03 02667.57525 2)123(31125 323。本例取2 x，误差可能较大，所以一般选择下面的方法。术上有着广泛的应用本章将通过介绍微分中值定理给出求极限的另外一种方法罗必塔法则以导数为工具研究函数的一些几何性态单调性极值凹凸性等解决一些常见的应用问题由微分和函数增量的关系给出微分在近似计算中的简单应 一些特殊的空间立体的体积第一节中值定理一罗尔定理在闭区间使上连续开区间点内可导且则至少存在一罗尔定理的几何意义是定理的证明略罗尔定理的三个条件缺一不可否则结论不真二拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊 少存在一点使该定理的几何意义是是弦的斜率为曲线在点处的切线斜率在曲线上至少有一点使曲线在点处的切线平行于弦三柯西中值定理若函数满足下述三个条件在连续可导在则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义也十分明因为 3 33 312521 5)12521(125 2 125 127 所以设 3 1)(x x f，取 016.01252,00 x x，则 x f f x x f x f x x f)0()0()()()(125210 0 03 00533.1 016.0311 故 0266.5 00533.1 5 127 3。第七节最简单的微分方程 在科学技术和生产实践中，经常讨论量与量的关系，但是这种关系往往不能够直接建立，而是通过导数或者微分来确立他们的关系式，这就是通常说的微分方程。本节将介绍微分方程的一些基本概念，几种最简单的一阶微分方程的解法。一、微分方程的基本概念 我