立体几何的共线、共点、共面问的题目教师版_中学教育-高考.pdf

.!.立体几何中的共点、共线、共面问题 一、共线问题 例 1.假设 ABC 所在的平面和 A1B1C1所在平面相交，并且直线 AA1、BB1、CC1相交于一点 O，求证：(1)AB 和 A1B1、BC 和 B1C1、AC 和 A1C1分别在同一平面；(2)如果 AB 和 A1B1、BC 和 B1C1、AC 和 A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).例 2.点 P、Q、R 分别在三棱锥 A-BCD 的三条侧棱上，且 PQ BC*,QR CD Z,PR BD Y.求证：*、Y、Z 三点共线.例 3.ABC 三 边所 在直 线分 别与平 面 交于 P、Q、R 三 点，求证：P、Q、R 三点 共线。1 如图 1，正方体1 1 1 1ABCD A B C D 中，1AC与截面1DBC交O点，AC BD，交M点，求证：1C O M，三点共线 证明：连结1 1AC，1C 平面1 1A ACC，且1C 平面1DBC，1C 是平面1 1A ACC与平面1DBC的公共点 又M AC M，平面1 1A ACC M BD M，平面1DBC M 也是平面1 1A ACC与平面1DBC的公共点 1C M 是平面1 1A ACC与平面1DBC的交线O为1AC与截面1DBC的交点，O 平面1 1A ACC O，平面1DBC，即O也是两平面的公共点 1O C M，即1C M O，三点共线 2 如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，直线 AB，BC，AD，DC 分别与平面 相交于点 E，G，H，F求证：E，F，G，H 四点必定共线在同一条直线上 分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面，最后证明四点共线 证明 AB/CD，AB，CD 确定一个平面 又AB E，AB，E，E，即 E 为平面 与 的一个公共点 同理可证 F，G，H 均为平面 与 的公共点 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，E，F，G，H 四点必定共线 点 评：在立体几何的问题中，证明假设干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论 二、共面问题 1.如图 3，设P Q R S M N，分别为正方体1 1 1 1ABCD A B C D 的棱1 1 1 1 1 1AB BC CC C D A D A A，的中点，求证：P Q R S M N，共面.!.证明：如图 3，连结1A B MQ NR，P N，分别为1AB A A，的中点，1A B PN 1 1 1A D BC A M BQ，M Q，分别为1 1A D BC，的中点，1A M BQ 四边形1A BQM为平行四边形 1A B MQ PN MQ 因此，直线PN MQ，可确定一个平面 同理，由PQ NR 可知，直线PQ NR，确定一个平面 过两条相交直线PN PQ，有且只有一个平面，与重合，即R 同理可证S 因 此，P Q R S M N，共面 例 4.直线 m、n 分别和平行直线 a、b、c 都相交，交点为 A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线 a、b、c、m、n 共面.例 5.证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面.：如图，直线 l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.求证：直线 l1，l2，l3，l4在同一平面 例 6.：A1、B1、C1和 A2、B2、C2分别是两条异面直线 l1和 l2上的任意三点，M、N、R、T 分别是 A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T 四点共面.例 7.在空间四边形 ABCD 中，M、N、P、Q 分别是四边上的点，且满足MBAMNBCNQDAQPDCP k.(1)求证：M、N、P、Q 共面.(2)当对角线 AC a,BD b，且 MNPQ 是正方形时，求 AC、BD 所成的角及 k 的值(用a,b 表示)三、共点问题 例 8.三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.1.如图 2，空间四边形ABCD E F，分别是 AB AD，的中点，G H，分别是BC CD，上的点，且2BG DHGC HC，求证：EG FH AC，相交于同一点P 错解：证明：E、F 分别是 AB,AD 的中点,EF BD,EF=21BD,又2 HCDHGCBG,GHBD,GH=31BD,同一平面如果和和和分别相交那么交点在同一直线上如图例点分别在三棱锥的三条侧棱上且求证三点共线相交例三边所在直线分别与平面交于三点求证三点共线中与截面交点交且平面的公共点如图正方体三点共线点求证平面证明连 的公共点即三点共线如图在四边形中直线分别与平面相交于点求证四点必定共线在同一条直线上分析先确定一个平面然后证明相关直线在这个平面最后证明四点共线证明确定一个平面又即为平面与的一个公共点同理可证均为平面与 假设干点共线时先证明这些点都是某两平面的公共点而后得出这些点都在二平面的交线上的结论二共面问题如图设分别为正方体的棱的中点求证共面证明如图连结分别为的中点的中点分别为为平行四边形四边形因此直线可确定一个.!.四边形 EFGH 是梯形，设两腰 EG,FH 相交于一点 T,2 HCDH,F 分别是 AD.AC 与 FH 交于一点.直线 EG,FH,AC 相交于一点 正解：证明：E F，分别是AB AD，的中点，EF BD，且12EF BD 又2BG DHGC HC，GH BD，且13GH BD EF GH，且EF GH 四边形EFHG是梯形，其两腰必相交，设两腰EG FH，相交于一点P，EG 平面ABC FH，平面ACD，P 平面ABC P，平面ACD，又平面ABC平面ACD AC P AC，故EG FH AC，相交于同一点P 2.如图，平面，且 l设梯形 ABCD 中，ADBC，且 AB，CD，求证：AB，CD，l共点相交于一点 分析：AB，CD 是梯形 ABCD 的两条腰，必定相交于一点 M，只要证明 M 在l上，而l是两个平面，的交线，因此，只要证明 M，且 M 即可 证明：梯形 ABCD 中，ADBC，AB，CD 是梯形 ABCD 的两条腰 AB，CD 必定相交于一点，设 AB CD M 又 AB，CD，M，且 M M 又 l，Ml，即 AB，CD，l共点 点 评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的 1、(1)证明：AA1 BB1 O,AA1、BB1确定平面 BAO，A、A1、B、B1都在平面 ABO，AB平面 ABO；A1B1平面 ABO.同理可证，BC 和 B1C1、AC 和 A1C1分别在同一平面.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理 2，证明这两条直线分别在两个相交平面，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.2 证明：如图，设 AB A1B1 P；AC A1C1 R；面 ABC面 A1B1C1 PR.BC面 ABC；B1C1面 A1B1C1，同一平面如果和和和分别相交那么交点在同一直线上如图例点分别在三棱锥的三条侧棱上且求证三点共线相交例三边所在直线分别与平面交于三点求证三点共线中与截面交点交且平面的公共点如图正方体三点共线点求证平面证明连 的公共点即三点共线如图在四边形中直线分别与平面相交于点求证四点必定共线在同一条直线上分析先确定一个平面然后证明相关直线在这个平面最后证明四点共线证明确定一个平面又即为平面与的一个公共点同理可证均为平面与 假设干点共线时先证明这些点都是某两平面的公共点而后得出这些点都在二平面的交线上的结论二共面问题如图设分别为正方体的棱的中点求证共面证明如图连结分别为的中点的中点分别为为平行四边形四边形因此直线可确定一个.!.且 BC B1C1 Q Q PR,即 P、R、Q 在同一直线上.3 解析：A、B、C 是不在同一直线上的三点 过 A、B、C 有一个平面 又 AB P AB 且,4 解析：证明假设干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.证明 a b,过 a、b 可以确定一个平面.A a,a，A,同理 B a.又 A m，B m,m.同理可证 n.b c,过 b,c 可以确定平面，同理可证 m.平面、都经过相交直线 b、m,平面和平面重合，即直线 a、b、c、m、n 共面.5、解析：证明几条直线共面的依据是公理 3 及推论和公理 1.先证某两线确定平面，然后证其它直线也在.证明：图中，l1 l2 P，l1,l2确定平面.又 l1 l3 A,l2 l3 C,C,A.故 l3.同理 l4.l1,l2,l3,l4共面.图中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证 l1,l2,l3,l4共面.所以结论成立.6、证明 如图，连结 MN、NR，那么 MN l1,NR l2，且 M、N、R 不在同一直线上(否那么，根据三线平行公理，知 l1 l2与条件矛盾).MN、NR 可确定平面，连结B1C2，取其中点 S.连 RS、ST，那么 RS l2，又 RN l2，N、R、S 三点共线.即有S，又 ST l1，MN l1，MN ST，又 S，ST.M、N、R、T 四点共面.7 解析：(1)MBAMQDAQ k 同一平面如果和和和分别相交那么交点在同一直线上如图例点分别在三棱锥的三条侧棱上且求证三点共线相交例三边所在直线分别与平面交于三点求证三点共线中与截面交点交且平面的公共点如图正方体三点共线点求证平面证明连 的公共点即三点共线如图在四边形中直线分别与平面相交于点求证四点必定共线在同一条直线上分析先确定一个平面然后证明相关直线在这个平面最后证明四点共线证明确定一个平面又即为平面与的一个公共点同理可证均为平面与 假设干点共线时先证明这些点都是某两平面的公共点而后得出这些点都在二平面的交线上的结论二共面问题如图设分别为正方体的棱的中点求证共面证明如图连结分别为的中点的中点分别为为平行四边形四边形因此直线可确定一个.!.MQ BD，且MB AMAM1 kk BDMQABAM1 kk MQ 1 kkBD 又 NBCNPDCP k PN BD，且NB CNCN1 kk BDNPCBCN1 kk从而 NP 1 kkBD MQ NP，MQ，NP 共面，从而 M、N、P、Q 四点共面.(2)MABMk1，NCBNk1 MABMNCBNk1,MA BMBM11 k MN AC，又 NP BD.MN 与 NP 所成的角等于 AC 与 BD 所成的角.MNPQ 是正方形，MNP 90 AC 与 BD 所成的角为 90，又 AC a，BD b，ACMNBABM11 k MN 11 ka 同一平面如果和和和分别相交那么交点在同一直线上如图例点分别在三棱锥的三条侧棱上且求证三点共线相交例三边所在直线分别与平面交于三点求证三点共线中与截面交点交且平面的公共点如图正方体三点共线点求证平面证明连 的公共点即三点共线如图在四边形中直线分别与平面相交于点求证四点必定共线在同一条直线上分析先确定一个平面然后证明相关直线在这个平面最后证明四点共线证明确定一个平面又即为平面与的一个公共点同理可证均为平面与 假设干点共线时先证明这些点都是某两平面的公共点而后得出这些点都在二平面的交线上的结论二共面问题如图设分别为正方体的棱的中点求证共面证明如图连结分别为的中点的中点分别为为平行四边形四边形因此直线可确定一个.!.又 MQ 11 kb,且 MQ MN，1 kkb11 ka，即 kba.说明：公理 4 是证明空间两直线平行的根本出发点.：平面 平面 a，平面 平面 b，平面 平面 c.求证：a、b、c 相交于同一点，或 a b c.证明：a，b a、b a、b 相交或 a b.(1)a、b 相交时，不妨设 a b P，即 P a，P b 而 a、b，a P，P，故 P 为 和 的公共点 又 c 由公理 2 知 P c a、b、c 都经过点 P，即 a、b、c 三线共点.(2)当 a b 时 c 且 a，a a c 且 a b a b c 故 a、b、c 两两平行.同一平面如果和和和分别相交那么交点在同一直线上如图例点分别在三棱锥的三条侧棱上且求证三点共线相交例三边所在直线分别与平面交于三点求证三点共线中与截面交点交且平面的公共点如图正方体三点共线点求证平面证明连 的公共点即三点共线如图在四边形中直线分别与平面相交于点求证四点必定共线在同一条直线上分析先确定一个平面然后证明相关直线在这个平面最后证明四点共线证明确定一个平面又即为平面与的一个公共点同理可证均为平面与 假设干点共线时先证明这些点都是某两平面的公共点而后得出这些点都在二平面的交线上的结论二共面问题如图设分别为正方体的棱的中点求证共面证明如图连结分别为的中点的中点分别为为平行四边形四边形因此直线可确定一个.!.ABCDA1B1C1D1EF由此可知 a、b、c 相交于一点或两两平行.题 2 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SA SB SC，且ASBBSCCSA2，M、N 分别是 AB 和 SC 的中点求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值 证明：连结 CM，设 Q 为 CM 的中点，连结 QN 那么 QNSM QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角 连结 BQ，设 SC a，在BQN 中 BNa25 NQ 21SM42a BQa414 COSQNB51022 2 2 NQ BNBQ NQ BN 题 3正ABC 的边长为 a，S 为ABC 所在平面外的一点，SA SB SC a，E，F分别是 SC 和 AB 的中点求异面直线 SA 和 EF 所成角 答案：45 题 4如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，BCA90，M、N 分别是 A1B1和 A1C1的中点，假设 BC CA CC1，求 NM 与 AN 所成的角 解：连接 MN，作 NGBM 交 BC 于 G，连接 AG，易证GNA 就是 BM 与 AN 所成的角 设：BC CA CC1 2，那么 AG AN 5，GN B1M6，cosGNA10305 6 25 5 6。题 5如图，在正方体1 1 1 1D C B A ABCD 中，E、F 分别是1BB、CD 的中点 求AE与F D1所成的角。证明：取 AB 中点 G，连结 A1G，FG，因为 F 是 CD 的中点，所以 GF AD，又 A1D1 AD，所以 GF A1D1，故四边形 GFD1A1是平行四边形，A1GD1F。设 A1G 与 AE 相交于 H，那么A1HA 是 AE 与 D1F 所成的角。因为 E 是 BB1的中点，所以 RtA1AGABE,GA1A=GAH,从而A1HA=90,即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角。一、抓异面直线上的点 过一条异面直线上的点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标 B M A N C S A C B N M A C B 同一平面如果和和和分别相交那么交点在同一直线上如图例点分别在三棱锥的三条侧棱上且求证三点共线相交例三边所在直线分别与平面交于三点求证三点共线中与截面交点交且平面的公共点如图正方体三点共线点求证平面证明连 的公共点即三点共线如图在四边形中直线分别与平面相交于点求证四点必定共线在同一条直线上分析先确定一个平面然后证明相关直线在这个平面最后证明四点共线证明确定一个平面又即为平面与的一个公共点同理可证均为平面与 假设干点共线时先证明这些点都是某两平面的公共点而后得出这些点都在二平面的交线上的结论二共面问题如图设分别为正方体的棱的中点求证共面证明如图连结分别为的中点的中点分别为为平行四边形四边形因此直线可确定一个.!.例 1(2005 年全国高考卷)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1的中点，那么异面直线 A1E与 GF 所成的角是 A515arccos B4 C510arccos D2 解：连 B1G，那么 A1E B1G，知 B1G F 就是异面直线 A1E 与GF 所成的角在 B1GF 中，由余弦定理，得 cosB1GF2 2 2 2 2 21 11(2)(3)(5)22 2 3B G GF B FB G GF 0，故B1GF，应选(D)评注：此题是过异面直线 FG 上的一点 G，作 B1G，那么 A1E B1G，知 B1G F就是所求的角，从而纳入三角形中解决 二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点 考察异面直线上的点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例 2(2005 年全国高考卷)设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点，DE AB 于E(如图)现将 ADE 沿 DE 折起，使二面角 A DE B 为 45，此时点 A 在平面BCDE 的射影恰为点 B，那么 M、N 的连线与 AE 所成角的大小等于 _ 解：取 AE 中点 G,连结 GM、BG GM ED，BN ED，GM 21ED，BN 21ED GM BN，且 GM BN BNMG 为平行四边形，MN/BG A 的射影为 B 1A1B1C1DABCDEFG同一平面如果和和和分别相交那么交点在同一直线上如图例点分别在三棱锥的三条侧棱上且求证三点共线相交例三边所在直线分别与平面交于三点求证三点共线中与截面交点交且平面的公共点如图正方体三点共线点求证平面证明连 的公共点即三点共线如图在四边形中直线分别与平面相交于点求证四点必定共线在同一条直线上分析先确定一个平面然后证明相关直线在这个平面最后证明四点共线证明确定一个平面又即为平面与的一个公共点同理可证均为平面与 假设干点共线时先证明这些点都是某两平面的公共点而后得出这些点都在二平面的交线上的结论二共面问题如图设分别为正方体的棱的中点求证共面证明如图连结分别为的中点的中点分别为为平行四边形四边形因此直线可确定一个.!.AB面 BCDE BEABAE，又 G 为中点，BG AE 即 MN AE MN 与 AE 所成角的大小等于 90 度 故填 三、平移(或构造)几何体 有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例 3(2005 年全 国高考*卷)如图，PA 平 面 ABC，90 ACB 且PA AC BC a，那么异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值等于 _ 解：将此多面体补成正方体 DBCA D B C P，PB与 AC 所成的角的大小即此正方体主对角线 PB 与棱 BD 所成角的大小，在 Rt PDB 中，即tan 2PDDBADB 故填2 点评：此题是将三棱柱补成正方体 DBCA D B C P，从而将问题简化 例 3空间四边形ABCD中，2 AD BC，,E F分别是,AB CD的中点，3 EF，求异面直线,AD BC所成的角。解：取BD中点G，连结,EG FG EF，,E F分别是,AB CD的中点，/,/,EG AD FG BC且1 11,12 2EG AD FG BC，异面直线,AD BC所成的角即为,EG FG所成的角，在EGF 中，2 2 21cos2 2EG FG EFEGFEG FG，120 EGF，异面直线,AD BC所成的角为60 说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形EGF 角EGF 是钝角时，表示异面直线,AD BC所成的角是它的补角。例 61、如图，在棱长为 1 的正方体1 1 1 1ABCD A B C D 中，M，N，P 分别为1 1 1 1,A B BB CC的中点。求异面直线1,D P AM CN AM 与 与所成的角。1D1B1CPDBCAPBCAA B C D E F G 同一平面如果和和和分别相交那么交点在同一直线上如图例点分别在三棱锥的三条侧棱上且求证三点共线相交例三边所在直线分别与平面交于三点求证三点共线中与截面交点交且平面的公共点如图正方体三点共线点求证平面证明连 的公共点即三点共线如图在四边形中直线分别与平面相交于点求证四点必定共线在同一条直线上分析先确定一个平面然后证明相关直线在这个平面最后证明四点共线证明确定一个平面又即为平面与的一个公共点同理可证均为平面与 假设干点共线时先证明这些点都是某两平面的公共点而后得出这些点都在二平面的交线上的结论二共面问题如图设分别为正方体的棱的中点求证共面证明如图连结分别为的中点的中点分别为为平行四边形四边形因此直线可确定一个.!.易错点分析 异面直线所成角的围是0 00,90，在利用余弦定理求异面直线所成角时，假设出现角的余弦值为负值，错误的得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角。解析：如图，连结1A N，由,N P为1 1,BB CC中点，那么1 1 1 1/,PN A D PN A D 从而1 1/A N D P 故 AM 和1D P所成的角为1AM D P 和所成的角。易证1Rt AAM 1 1Rt A B N。所以1A N AM，故1D P AM 与所成的角为090。又设 AB 的中点为 Q，那么1 1/,.B Q AM B Q AM 又1 1/,CN B P CN B P 从而与 AM所成的角就是1PB Q 或其补角。易求得1 15 6,.2 2B Q B P PQ 在1PB Q 中，由余弦定理得12cos5PB Q，故CN AM 与所成的角为2arccos5。7正四面体 P ABC 中，M 为棱 AB 的中点，那么 PA 与 CM 所成角的余弦值为()图 K42 3 A.32 B.34 C.36 D.33 7 C 解析 如图，取 PB 中点 N，连接、MN，那么 MN PA，故 CMN 为 PA 与 CM 所成的角(或所成角的补角)，设 PA 2，那么 CM 3，MN 1，3，cos CMNCM2 MN 2 22CMMN36，应选 C.15(13 分)2011长宁期末 假设四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 2 的正方形，PA底面 ABCD(如图 K42 6)，且 PA 2 3.(1)求异面直线 PD 与 BC 所成角的大小；(2)求四棱锥 P ABCD 的体积 图 K42 6 15 解答(1)AD BC，PDA 的大小即为异面直线 PD 与 BC 所成角的大小 PA平面 ABCD，PA AD，由 PA 2 3，AD 2，得 tan PDA 3，PDA60，故异面直线 PD 与 BC 所成角的大小为 60.(2)PA平面 ABCD，D C B A A1 D1 B1 C1 N M P 同一平面如果和和和分别相交那么交点在同一直线上如图例点分别在三棱锥的三条侧棱上且求证三点共线相交例三边所在直线分别与平面交于三点求证三点共线中与截面交点交且平面的公共点如图正方体三点共线点求证平面证明连 的公共点即三点共线如图在四边形中直线分别与平面相交于点求证四点必定共线在同一条直线上分析先确定一个平面然后证明相关直线在这个平面最后证明四点共线证明确定一个平面又即为平面与的一个公共点同理可证均为平面与 假设干点共线时先证明这些点都是某两平面的公共点而后得出这些点都在二平面的交线上的结论二共面问题如图设分别为正方体的棱的中点求证共面证明如图连结分别为的中点的中点分别为为平行四边形四边形因此直线可确定一个.!.VP ABCD13S正方形 ABCDPA132 22 38 33.难点突破 16(12 分)：如图 K42 7，空间四边形 ABCD 中，E、H 分别是边 AB、AD 上的点，F、G 分别是边 BC、CD 上的点，且AEABAHAD，CFCBCGCD(0、1)，试判断 FE、GH 与 AC 的位置关系 图 K42 7【难点突破】16 解答 AEABAHAD，CFCBCGCD，EH BD，FG BD.EH FG，EH BD，FG BD.当 时，EH FG，且 EH FG，四边形 EFGH 是平行四边形，EF GH.AHADCGCD，HG AC.由公理 4 知，EF GH AC.当 时，EH FG，但 EH FG.四边形 EFGH 是梯形，且 EH、FG 为上下两底边，EF、GH 为梯形的两腰，它们必交于点 P，P直线 EF，P直线 HG.又 EF 平面 ABC，HG 平面 ADC，P平面 ABC，P平面 ADC，P 是平面 ABC 和平面 ADC 的公共点 又平面 ABC平面 ADC AC，P直线 AC，三条直线 EF、GH、AC 交于一点 综上所述，当 时，三条直线 EF、GH、AC 互相平行；当 时，三条直线 EF、GH、AC 交于一点 同一平面如果和和和分别相交那么交点在同一直线上如图例点分别在三棱锥的三条侧棱上且求证三点共线相交例三边所在直线分别与平面交于三点求证三点共线中与截面交点交且平面的公共点如图正方体三点共线点求证平面证明连 的公共点即三点共线如图在四边形中直线分别与平面相交于点求证四点必定共线在同一条直线上分析先确定一个平面然后证明相关直线在这个平面最后证明四点共线证明确定一个平面又即为平面与的一个公共点同理可证均为平面与 假设干点共线时先证明这些点都是某两平面的公共点而后得出这些点都在二平面的交线上的结论二共面问题如图设分别为正方体的棱的中点求证共面证明如图连结分别为的中点的中点分别为为平行四边形四边形因此直线可确定一个