湖北省重点高中2022-2023学年高二上学期期末联考数学试卷（含解析）.pdf

湖 北 省 重 点 高 中 2022年 秋 季 高 二 年 级 期 末 联 考 数 学 试 题 一.单 项 选 择 题（本 大 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0分）1.数 列%满 足 为+1=3,则。2021=（）1”1 2 5A.-B.C.D.32 3 22.直 线 xcosa+G y+2=0 的 倾 斜 角 的 范 围 是（）八 冗 A.0,一 671 71（冗 5 兀 八 57B.0,6D.7T 5乃 6 623.与 双 曲 线 V 一,=1 有 相 同 的 焦 点，且 短 半 轴 长 为 26 的 椭 圆 方 程 是（）2 2 2 2A.-F=1 B.-1-=145 20 85 802 2 2 2c J 匕=1 D.二+J25 20 25 204.等 比 数 列 4 的 各 项 均 为 实 数，其 前 项 和 为 S“，已 知 53=14,5；=1，则/=（）1 1A.2 B.-C.4 D.-2 45.已 知 点 尸 为 抛 物 线。：3；2=2*（0）的 焦 点，过 点 厂 且 倾 斜 角 为 6 0 的 直 线 交 抛 物 线 C 于 两 点，若|必 上|我 同=3,则=（）1 3A.-B.l C.-D.22 26.若 M,N 为 圆 C：（x-2）2+（y-2产=1上 任 意 两 点,P 为 直 线 3x+4y 4=0 上 一 个 动点，则 N M P N 的 最 大 值 是()A.45 B.60 C.90 D.1207.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，定 义 W+M 称 为 点 P(x,y)的“3 和”，其 中。为 坐 标 原 点，对 于 下 列 结 论：(1)3和 为 1的 点 P(x,y)的 轨 迹 围 成 的 图 形 面 积 为 2；(2)设 p 是 直 线 2x-y-4=0 上 任 意 一 点,则 点 尸(%,y)的“b 和”的 最 小 值 为 2；设 尸 是 直 线 奴 一 丁+匕=0上 任 意 一 点，则 使 得“b 和”最 小 的 点 有 无 数 个”的 充 要 条 件 是。=1；(4)设 尸 2是 椭 圆/+三=1上 任 意 一 点，则 和”的 最 大 值 为 由.其 中 正 确 的 结 论 序 号 为()A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)/iyi+20158.若 数 列 4,年 的 通 项 公 式 分 别 是 4=(1)+2。/也=2+曰-且 为 勿 对 任 意 n e N*恒 成 立，则 实 数 的 取 值 范 围 是()二、多 项 选 择 题(本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分)9.分 别 抛 掷 两 枚 质 地 均 匀 的 硬 币，设 事 件 A=第 一 枚 正 面 朝 上”，事 件 3=第 二 枚 正 面 朝 上“，则 下 列 结 论 正 确 的 是()A，(A)=g B.P(AB)=；C.事 件 A 与 5 互 斥 D.事 件 A 与 3 相 互 独 立 10.关 于 等 差 数 列 和 等 比 数 列，下 列 四 个 选 项 中 不 正 确 的 有()A.若 数 列 4 的 前“项 和 S=an2+bn+c(a,b,c为 常 数)则 数 列 4 为 等 差 数 列 B.若 数 列%的 前 项 和 S“=2+,-2,则 数 列%为 等 差 数 列 C.数 列 q 是 等 差 数 列，S“为 前 项 和，则 S,S2,-S”,S3“-S2”仍 为 等 差 数 列 D.数 列 4 是 等 比 数 列，S“为 前 项 和，则 S“,S2”S“，S3”-S2”,.仍 为 等 比 数 列;11.已 知 正 方 体 A 5 C D 4 4 G A 的 棱 长 为 2,M 为。的 中 点，N 为 平 面 A B C O 内 一 动 A.若 M N=2,则 M N 的 中 点 的 轨 迹 所 围 成 图 形 的 面 积 为 万 乃 B.若 M N 与 平 面 A B C。所 成 的 角 为 一，则 N 的 轨 迹 为 圆 3C.若 N 到 直 线 84 与 直 线 D C 的 距 离 相 等，则 N 的 轨 迹 为 抛 物 线 7TD.若 D M 与 A B 所 成 的 角 为，则 N 的 轨 迹 为 双 曲 线 2 212.已 知 椭 圆 c:+2r=l(a b 0)的 左,右 焦 点 分 别 是 尸 2,其 中 田 段=2c.直 线/过 a b左 焦 点 与 椭 圆 交 于 A,8 两 点，则 下 列 说 法 中 正 确 的 有()A.若 存 在,A 3 鸟，贝 k A 3 居 的 周 长 为 4ah2B.若 A B 的 中 点 为 M，贝 必 加 认=亍 C.若 A E 2 片=3 片，则 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是 D.若|A 的 最 小 值 为 3c,则 椭 圆 的 离 心 率 e=；三.填 空 题(本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分)13.设 点 M 在 直 线 x+y-1=0 上，迎 与 丁 轴 相 切，且 经 过 点(-2,2),则 M 的 半 径 为 14.如 果 一 个 数 列 从 第 2 项 起，每 一 项 与 它 前 一 项 的 和 除 以 与 它 前 一 项 的 差 等 于 同 一 个 常 数,那 么 这 个 数 列 就 叫 做“和 差 等 比 数 列”.已 知 a,是“和 差 等 比 数 列，4=2,4=3,则 使 得不 等 式 4 1（）的 的 最 小 值 是.15.已 知 圆（X-2+丁=9 与 x 轴 的 交 点 分 别 为 双 曲 线 C：二 1=1（。0,。0）的 顶 点 a b和 焦 点，设 耳，居 分 别 为 双 曲 线 C 的 左，右 焦 点，P 为 C 右 支 上 任 意 一 点，则 J-的 质|+4取 值 范 围 为.16.在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A A G R 中，P 是 线 段 B C G 上 的 点，过 A 的 平 面 戊 与 直 线 尸。垂 直，当 尸 在 线 段 3 G 上 运 动 时，平 面 a 截 正 方 体 ABC。-所 得 截 面 面 积 的 最 小 值 是.四、解 答 题（本 大 题 共 6 小 题，共 7 0分）17.已 知 线 段 A B 的 端 点 5（4,3），端 点 A 在 圆 C：（x+1尸+V=4 上 运 动.（1）点 M 在 线 段 A B上，且 求 点 M 的 轨 迹 方 程;（2）若 直 线 y=Z（x-2）与 点 M 的 轨 迹 相 交，求 实 数 A的 取 值 范 围.18.甲、乙 两 人 加 工 一 批 标 准 直 径 为 5 0 m m的 钢 球 共 1500个，其 中 甲 加 工 了 600个，乙 加 工 了 900个.现 分 别 从 甲、乙 两 人 加 工 的 钢 球 中 各 抽 取 5 0个 进 行 误 差 检 测，其 结 果 如 下：直 径 误 差（m m）-0.3-0.2-0.1 0+0.1 40.2 40.3从 甲 加 工 的 钢 球 中 抽 到 的 个 数 2 6 8 20 5 6 3从 乙 加 工 的 钢 球 中 抽 到 的 个 数 1 4 7 24 6 6 2（1）估 计 这 批 钢 球 中 直 径 误 差 不 超 过 0.1m m的 钢 球 的 个 数；（2）以 甲、乙 各 自 加 工 的 钢 球 的 总 数 为 依 据 按 分 层 抽 样 的 方 法 从 直 径 误 差 为-0.2 m m 的 钢 球 中 抽 取 5 个，再 从 这 5 个 钢 球 中 随 机 抽 取 2 个，求 这 2 个 钢 球 都 是 乙 加 工 的 概 率；（3）你 认 为 甲、乙 两 人 谁 加 工 的 钢 球 更 符 合 标 准？并 说 明 理 由.19.已 知 双 曲 线 C 的 焦 点 尸（2,0）和 离 心 率 e=苧.（1）求 双 曲 线 C 的 方 程；（2）若 直 线/:旷=日+及 与 曲 线 C 恒 有 两 个 不 同 的 交 点 A 和 3，且。4 0 8 2,求 女 的 取 值 范 围.20.已 知 正 项 数 列 4 的 前 项 和 S“，满 足=2 a“-2（e N）,数 列 也 的 前 项 积 为n!.(nl=lx2x3x.x)(1)求 数 列%的 通 项 公 式；(2)令 c“=anbn,求 数 列 4-1的 前 n项 和.c,+J21.图 1是 直 角 梯 形 A5C,AB CO,/O=90,四 边 形 A 5 C E 是 边 长 为 2 的 菱 形，并 且 Z B C E=60-以 B E 为 折 痕 将，B C E 折 起，使 点 C 到 达 G 的 位 置，且 A 0=指.(1)求 证：平 面 8 G E L 平 面 A3EO.(2)在 棱 O G 上 是 否 存 在 点 P，使 得 点 P 到 平 面 A 8 G 的 距 离 为 5?若 存 在，求 出 直 5线 E P 与 平 面 A 8 G 所 成 角 的 正 弦 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.22.已 知 椭 圆&:5+，=l(a 力 0)的 离 心 率 为;,3为 椭 圆 上 一 点，A B 为 椭 圆 上 不 同 两 点，。为 坐 标 原 点，(1)求 椭 圆 C 的 方 程；(2)线 段 A B 的 中 点 为 M，当，A O B 面 积 取 最 大 值 时，是 否 存 在 两 定 点 G,H,使+为 定 值？若 存 在，求 出 这 个 定 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.参 考 答 案:1.B【详 解】由 题 可 知，4+1=4，%=：=：,得=彳 吗=3，4=3=%,.数 1-4 l-a2 3 1-列”是 以 3 为 周 期 的 周 期 数 列，/=生+3*673=%T-故 选：B.2.A【解 析】【解 答】解：设 直 线 的 倾 斜 角 为 0,则 tan 0cos a又 一 啜 bos a 1,所 以 一 虫 领 Jtan。住，3 3又 Q,e n,所 以 0,g.故 选 A3.D4.解：根 据 题 意，设 等 比 数 列%的 公 比 为 4,若$3=14,S6=,则 qwl,q(1 Y)则 有 心=:4=1+4 3=,解 可 得 g=:，S3 4(1 一 夕)-q 8 21 一 q又 由$3=14,即 S3=4+电+%=14,解 可 得 4=8,贝 I J 4=q/=8 x=(,16 2故 选：B.5.C【详 解】由 题 意 知 F 与，0)A B 的 方 程 为 y=6(x-5),代 入 C 的 方 程，得3x2 5 px 4=0,设 A(%,X),B 5,%),则 占+超=?，叱 2=孑；因 为|硝=5+西,恒 同=5+，且|网 冏=3,所 以(+%)仁+%)=3,整 理 得+?西+x2)+xtx2=3,所 以 以 乙 红+4.=3,结 合 0 0,解 得 p=.4 2 3 4 2故 选：C6.B如 图，P A P B 为 两 切 线，P 为 直 线 3x+4），-4=0 上 一 个 点,所 以/M P N/32+42=2,(sinZAPC)Z A P C Z A P S=-.max 2 6 3故 选：B7.B【解 析】（1）当 W+N=l时，点 P（x,y）的 轨 迹 如 图，其 面 积 为 2,正 确;(2)P 是 直 线 2 x-y-4=0上 的 一 点，.y=2x-4,4-3x,x 0,.国+卜|=|乂+|21一 4|=4-x,0 x 2,可 知，x 2,故 N+|y|的 最 小 值 在 x=2时 取 得，(|乂+曲.=2,正 确；(3)同(2),W+|y|=W+麻+可，可 知 当 a=l时，都 满 足，“5 和 最 小 的 点 有 无 数 个，故 错 误；(4)可 设 椭 圆 参 数 方 程 为 一 笔”.W+|y|=|cose|+阵 sin 4,y=72 sin 9,1 1易 知 其 最 大 值 为 百，正 确.故 选：B.8.C【详 解】试 题 分 析：当 为 奇 数 时,=-a,b”=2 H-,由 已 知 c tn bn,所 以 c i 2+-一 I nJ,所 以。之 一 2,当 为 偶 数 时,I m a xana,bn=2-,由 已 知 a“d，所 以“2 工，所 以 2工 的 最 小 值 是 当=2时,n n n1 3 3 32一 一=-,所 以 a 二，所 以 一 2 4 a(二.2 2 2 2考 点：数 列 的 函 数 性 质 9.ABD【详 解】对 于 A B,抛 掷 两 枚 质 地 均 匀 的 硬 币，所 有 基 本 事 件 有 正，正,正，反,反,正,反，反,其 中 满 足 事 件 A的 有.正，正,正，反 两 种 情 况，事 件 A和 事 件 8同 时发 生 的 情 况 有 且 仅 有 正，正 一 种 情 况，2 1 1:.P（A）=,P（AB）=-,A 正 确，8 正 确；事 件 A 与 事 件 B 可 以 同 时 发 生，.事 件 A 与 事 件 8 不 互 斥，C 错 误；事 件 A 的 发 生 不 影 响 事 件 B 的 发 生，事 件 A 与 事 件 B 相 互 独 立，。正 确.故 选：A8D.10.ABD【解 析】根 据 题 意，结 合 等 差、等 比 数 列 的 性 质 依 次 分 析 选 项，综 合 即 可 得 的 答 案.【详 解】根 据 题 意，依 次 分 析 选 项：对 于 A,若 数 列 4 的 前 项 和 S=2+狐+。，若 c=0,由 等 差 数 列 的 性 质 可 得 数 列 4 为 等 差 数 列，若 C 0,则 数 列,从 第 二 项 起 为 等 差 数 列，故 A 不 正 确；对 于 B,若 数 歹!|,的 前 项 和 s“=2田-2,可 得 4=4-2=2,a2=S2 S,=8 2 2=4,a3=S3 S2=16 2 6=8,则 q,生，与 成 等 比 数 列，则 数 列 4 不 为 等 差 数 列，故 B 不 正 确；对 于 C,数 列 4 是 等 差 数 列，S,为 前”项 和，则 S.,S2n-S,S3n-S2n,，即 为+%+。，。+|+。2，。2向+%，即 为 S2-S-Sn=S3l-S2l-S2-S=n2d 为 常 数，仍 为 等 差 数 列，故 C 正 确；对 于。，数 列%是 等 比 数 列，S“为 前 项 和，则 S“，s2-s,反”-邑“，不 一 定 为 等 比 数 列，比 如 公 比 4=-1,为 偶 数，5,S2n-S,S3n-S2,，均 为 0,不 为 等 比 数 列.故。不 正 确.故 选：ABD.11.BCD【详 解】对 于 A,设 M N 中 点 为“，O M 中 点 为。，连 接“Q,则 HQ/DN,且=如 图，若 M N=2,则 所 以 OV2=MN2-rM2=4-l=3,D N=6 则”Q=乎，所 以 点 H 的 轨 迹 是 以。为 圆 心，半 径 为 弓 的 圆，面 积 S=2=,故 A 错 误；zD M T V n z v对 于 B,tanNMN=,NMND三,则 一 n T，所 以 N 的 轨 迹 是 以。为 圆 心，半 径 为 立 的 圆，故 8 正 确;3对 于 C,点 N 到 直 线 8旦 的 距 离 为 B N,所 以 点 N 到 定 点 8 和 直 线 0 c 的 距 离 相 等，且 B 点 不 在 直 线 0 c 上，由 抛 物 线 定 义 可 知，N 的 轨 迹 是 抛 物 线，故 C 正 确；对 于。，如 图，以。A、所 在 直 线 分 别 为 x 轴、y 轴、z 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 N（x,y,0）,D,（0,0,2）,A（2,0,0）,B（2,2,0）,D.NAB|2V|1所 以 A N=（x,y,-2）,AB=（0,2,0）,cos60 一 为=/?J-=3,7。网.8 a+;/+4 x 2 29 2H l化 简 得 3 y 2-Y=4,即 4 一 彳-1,所 以 N 的 轨 迹 为 双 曲 线，故。正 确;3故 选：BCD.12.AC【详 解】对 4 根 据 椭 圆 的 定 义 A B E的 周 长 为 IAKI+I8片|+|A E I+|8 K I=4 a,故 A 正 确；对 8,设 4（4%）,巩 程），则“土 白，汽&，所 以 上=上 三，勺 时=当 息，I，2.）$AT?Xi-r Xyi.A=i由/b2 才-()1+)2)()1-%)考 於 a2 b2(x,+x2)(x,-x2)序+记=1误；b1 b2,k0 M-k=,故 B错 a a对 C,AFAF2=(-c-xl,-yl)(c-x1,-yl)=xl2+yl2-c2,根 据 2=1-才 AFt AF,=-4 x,2+a2-2 c2 ea2-2 c2,a2-c2,贝 IJ-2c2 4 3c2 4 a之 一。2=e 与,:cr ci 5 2故 c 正 确:对。，容 易 知 道,A B的 最 小 值 为 通 径 长 度 2b2,所 以?2h_2=3c,整 理 为 2b2=3ac=2(2-c2)=3 a c,即 2c?+3%-2/=(),两 边 同 时 除 以 标,得 2 e?+3 e-2=()，解 得：e=：,或 e=2（舍），所 以 椭 圆 的 离 心 率 e=g,故。错 误.2 2故 选：AC.13.1 或 5#5 或 1【详 解】由 点 M 在 直 线 x+y-l=O 上，设 a）.又 M 与 轴 相 切，且 经 过 点（-2,2）,半 径 r=同=7(a+2)2+(l-a-2)2,且 a1。，5-4 a.5 4 325 8所 以 使 得 不 等 式%10的 的 最 小 值 是 5.故 答 案 为：5【解 析】（X 2）2+y2=9 与 X轴 交 点 的 坐 标 分 别 为（T O）,（5,0）,故。=1,c=5,因 为 P 为。右 支 上 任 意 一 点，根 据 双 曲 线 的 定 义 有|州|PB|=2z=2,即 附 1=1 P闾+2归 用 2 _+2)2 _/+今+4,4令=|即 闫 4,长 0),则 归 周 2+4=7 7 鼠=尸+4=?，4 4 4因 为 1+在 4,+8)上 为 增 函 数，所 以/+24+=5,t t 4所 以 1 所 以 1+7*白，即 咤 e(l，0t+-t+|尸 马+4 516皿*.卜 同+(y-i)2=(2)【详 解】（1）解；设 点 A（x,%）、M（x,y）,由 题 意 可 得 4M=gAB,x f=式 4_*()即 1y-%=(3-%)/=不 工 _2可 得；3因 为 点 A 在 圆。上，所 以,(%+1)2+y；=4，艮 呜 T+(1广 1|=4,化 简 可 得 卜-|j+（y-l）2=故 点 M 的 轨 迹 方 程 为 卜-2）+（y-l）2=3.(2)k18.(1)a,=2(eN，)(2)前 项 和 为 2-(+j,“-I【详 解】(1)由 题 意：S=2a-2,(eN-),当”=1时，可 得 q=2,当 2 2时，S,=2,1-2(n2,neN，)(2),由-得：%=2%_|(2,eN*),由 4,为 正 项 数 列，得,是 首 项 为 2,公 比 为 2 的 等 比 数 列.因 此 可 得 a“=2-2T=2(eN*)(2)由 于 数 列 也 的 前 项 的 乘 积 为 加，当=i时，得 a=i；当“2 2 时，得=(22,eN*)；4=1 符 合 通 项，故 得 2=(“e N)由(1)可 知:c=ab=n-2n,%(+2b22 _1 _ n-2-.(n+l).2-+l 1小 2(n+l)2+lJ，令 Z，为 7s2 的 前 项 和，%C/t+l 1 1 1 1 1 1 1 1 c 17=4-1-1-1-1-=2-1-2,2-22 2-22 3 3-23 4-24 n-2(n+l)-2,+1 J(n+l)-2|19.(1)；(2)(卫 i 1)20.(1)1062；W(3)乙 更 符 合 标 准，理 由 见 解 析.【详 解】(1)由 题 意 知，加 工 直 径 误 差 不 超 过 丑)的 钢 球 中，33 37甲：二 x600=396 个，乙：x900=666,所 以 这 批 钢 球 中 直 径 误 差 不 超 过 0.1如 的 钢 球 一 共 有 396+666=1062个；(2)甲、乙 加 工 钢 球 的 总 数 之 比 为 600:900=2:3,所 以 抽 取 的 5 个 钢 球 中，甲 占 2 个，记 为 A,B,乙 占 3 个，记 为 a,b,c,从 5 个 钢 球 中 抽 取 的 2 个 钢 球 的 基 本 事 件 有：AB,Aa,Ah,Ac,Ba,Bh,Be,ab.ac,be,共 十 个，则 全 是 乙 加 个 的 基 本 事 件 为：ab.ac,bc,共 3 个；所 以 所 求 概 率 为 P 4；(3)乙 加 工 的 钢 球 更 符 合 标 准.理 由：甲、乙 各 加 工 的 50个 钢 球 中 直 径 误 差 为 0,优 的 个 数：甲 有 20个，乙 有 24个，20+)P=A)+/IZ)G=-4-半；l,-|+|；l,G2.设 平 面 ABC,的 法 向 量 为=（x,y,z）,则 A B n=0，即 AC,-7 2=0-y/3x+y=0 i/r r,取 儿=1,6,1,-V3A:+V3Z=0 因 为 点 p到 平 面 A B G 的 距 离 为 正,5i 厘 中 考 贝 l j AP=，解 得 a=g，芈,-g,所 以 EP=AP-A=4 4 2设 直 线 EP与 平 面 A B G 所 成 的 角 为。,所 以 直 线 砂 与 平 面 A 8 G 所 成 角 的 正 弦 值 为 sin 6=cos EP,“|E P|_ 厉-H R 2 222.（1）+-=1；（2）4 3存 在；|GM+|HM|=20.1 2 2【解 析】（l）由 0=，可 设 a=2f,c=f,则 人=,方 程 化 为 二+与=12 4r 3t2（3、2又 点 尸 1,彳 在 椭 圆 上，则 1,4 解 得，=1（2）5-+-=r=l、）4/3产 x2 v2因 此 椭 圆 C 的 方 程 为 二+2-=1.4 3 当 直 线 A B 的 斜 率 存 在 时，设 A B 直 线 的 方 程 为 y=丘+？联 立 直 线 A B 和 椭 圆 C 的 方 程 消 去）得，3x2+4（+加 y-12=o化 简 得：（3+4公 卜 2+8也 a+4 帆 22=0S“o8（同 根 r J=；同 J（W+X L-4工 区=；|同 j.4.小/病 一（加 2 一 3）（3+咐=-2 M _.的-3加 2+12公 3+4k 3+4k黑 3+4/一 疗=2 m23+4公 4m（3+4 F）2当 上 二=工 时，S取 得 最 大 值 百，即 此 时 2加=3+4公 3+4/2又 司+9-8km,z、-6m.鼠 中,凹+%=人（玉+X2）+2，=E，则 用 3 十 v K 3 十 3K,+X?y+%2，-2 即 M-4km 3m 3+4/3+422）令-4km,、x=-x2 V23+4%2 _+2_=i，则 2 33kmy=z-23+4公 因 此 平 面 内 存 在 两 点 G,H 使 得 GM+HM2V2.当 直 线 A 3的 斜 率 不 存 在 时，设 A（2 co se,G sin。），则 3（2cos。,g s i n。）SAAOIi=2V3 sin 6cos 6=百 sin 2 6,即 当 8=；取 得 最 大 值 上.2 7x y _此 时 A 3中 点 M 的 坐 标 为（、历,0），满 足 方 程 耳+=2即|G M+|H M|=2 J L