常微分方程解题方法总结_高等教育-微积分.pdf

常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍.接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题.为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结.著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要.以常微分方程为例，本部分内容涉及可分离变量、一阶齐次、一阶非齐次、全微分方程、高阶线性微分方程等内容，在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多，遇到具体的题目不知该如何下手，这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法.下面以表格的形式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询.常微分方程(名称、形式)通解公式或解法 可分离变量的方程)()(y g x fdxdy 当0)(y g时，得到dx x fy gdy)()(，两边积分即可得到结果；当0)(0 g时，则0)(x y也是方程的解.齐次微分方程)(xygdxdy 解法：令xyu，则udx xdu dy，代入得到)(u g udxdux 化为可分离变量方程 一 阶 线 性 微 分 方 程)()(x Q y x Pdxdy()()()P x dx P x dxy e Q x dx C e 欢迎下载 2 伯努利方程 ny x Q y x Pdxdy)()(（n 0,1）解法：令ny u1，有dy y n dun)1(，代入得到)()1()()1(x Q n u x P ndxdu 二阶常系数齐次线性微分方程 0 y p x y q x y 求解特征方程：20 p q 三种情况：(1)两个不等实根：1 2,通解：1 21 2x xy c e c e(2)两个相等实根：1 2 通解：1 2xy c c x e(3)一对共轭复根：,i 通解：1 2cos sinxy e c x c x 二阶常系数非齐次线性微分方程()y p x y q x y f x 通解为 0 y p x y q x y 的通解与()y p x y q x y f x 的特解之和.常见的()f x有两种情况：（1）)()(x P e x fmx 若不 是 特 征 方 程 的 根，令 特 解xme x Q y)(；若是特征方程的单根，令特解()xmy xQ x e；若是特征方程的重根，令特解*2()xmy x Q x e；（2）()()cos()sin xm nf x e P x x p x x 当i 不 是 特 征 值 时，令散的知识点有机地结合起来而不容易遗忘是大多数考生面临的问题为了加强记忆使知识自成体系建议将知识点进行分类系统总结著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴他强调读书要由薄到厚由厚到薄对同学们的复习尤为重要以常微 会发现要掌握的解题方法太多遇到具体的题目不知该如何下手这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法下面以表格的形式将常微分方程中的解题方法加以总结一目了然便于记忆和查询常微分方程名称形式通解公式或解法 次微分方程一阶线性微分方程欢迎下载伯努利方程解法令有代入得到二阶常系数齐次线性微分方程求解特征方程三种情况两个不等实根通解两个相等实根通解一对共轭复根通解二阶常系数非齐次线性微分方程通解为的通解与的特解 欢迎下载 3 1 2*()cos()sin xn ny e Q x x Q x x，当i 是 特 征 值 时，令*()cos()sin xn ny xe Q x x Q x x 以上以常微分方程为例总结了一些常见题型的解题方法，对于其他知识点也可用类似的形式进行总结，一方面加深印象，另一方面梳理清楚知识点之间的联系，这也是复习中比较实用的方法.散的知识点有机地结合起来而不容易遗忘是大多数考生面临的问题为了加强记忆使知识自成体系建议将知识点进行分类系统总结著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴他强调读书要由薄到厚由厚到薄对同学们的复习尤为重要以常微 会发现要掌握的解题方法太多遇到具体的题目不知该如何下手这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法下面以表格的形式将常微分方程中的解题方法加以总结一目了然便于记忆和查询常微分方程名称形式通解公式或解法 次微分方程一阶线性微分方程欢迎下载伯努利方程解法令有代入得到二阶常系数齐次线性微分方程求解特征方程三种情况两个不等实根通解两个相等实根通解一对共轭复根通解二阶常系数非齐次线性微分方程通解为的通解与的特解