第一章勾股定理_中学教育-中考.pdf

学习必备 欢迎下载 第一章 勾股定理 3.勾股定理的应用 一、学生知识状况分析 本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动。学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础。二、教学任务分析 本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第一章勾股定理第。具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。当然，在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；一些探究活动具体一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力。本节课的教学目标是：1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念。2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性。利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点。四、教法学法 1教学方法 引导探究归纳 本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：（1）从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程；（2）从学生活动出发，顺势教学过程；（3）利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程。2课前准备 教具：教材、电脑、多媒体课件。学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具。五、教学过程分析 本节课设计了七个环节 第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：做一做；第四环节：小试牛刀；第五环节：举一反三；第六环节：交流小结；第七环节：布置作业。第一环节：情境引入 内容：情景 1：多媒体展示：提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？情景 2：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向 B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？意图：学习必备 欢迎下载 通过情景 1 复习公理：两点之间线段最短；情景的创设引入新课，激发学生探究热情。效果：从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础。第二环节：合作探究 内容：学生分为人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法。意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解。在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念。效果：学生汇总了四种方案：（1）（2）（3）（4）学生很容易算出：情形（1）中 A B 的路线长为：，情形（2）中 A B 的路线长为：所以情形（1）的路线比情形（2）要短。学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA 剪开圆柱得到矩形，情形（3）A B 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可。如图：（1）中 A B 的路线长为：。（2）中 A B 的路线长为：。（3）中 A B 的路线长为：AO+OBAB。（4）中 A B 的路线长为：AB。得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题。在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察接下来后提问：怎样计算 AB？在 Rt AA B 中，利用勾股定理可得，若已知圆柱体高为12cm，底面半径为 3cm，取 3，则。注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能 但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条。因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上。方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1审题分析实际问题；2建模建立相应的数学模型；3求解运用勾股定理计算；4检验是否符合实际问题的真实性。第三环节：做一做 内容：李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD边和 BC边是否分别垂直于底边 AB，但他随具体的实际问题其中需要学生了解空间图形对一些空间图形进行展开折叠等活动学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识并从事过相应的实践活动因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动 用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题当然在这些具体问题的解决过程中需要经历几何图形的抽象过程需要借助观察操等实践活动这些都有助于发展学生的分析问题解决问题能力和应用意识一些探究活动具体一定的难度需要学 空间观念在将实际问题抽象成数学问题的过程中提高分析问题解决问题的能力及渗透数学建模的思想在利用勾股定理解决实际问题的过程中体验数学学习的实用性利用数学中的建模思想构造直角三角形利用勾股定理及逆定理解决实学习必备 欢迎下载 身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得 AD 长是 30 厘米，AB长是 40 厘米，BD长是 50 厘米，AD 边垂直于 AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺，他能有办法检验 AD 边是否垂直于 AB边吗？BC边与 AB边呢？解答：（2）AD 和 AB垂直。意图：运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题。效果：先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性。当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出 AB，AD 和 BD 的长度，或在 AB，AD 边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论。第四环节：小试牛刀 内容：1甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨 8：00 甲先出发，他以 6 km/h的速度向正东行走，1 时后乙出发，他以 5 km/h 的速度向正北行走。上午 10：00，甲、乙两人相距多远？2如图，台阶 A 处的蚂蚁要爬到 B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离。3有一个高为 1.5 m，半径是 1m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 m，问这根铁棒有多长？意图：对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算。效果：学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解。第五环节：举一反三 内容：1如图，在棱长为 10 cm 的正方体的一个顶点 A 处有一只蚂蚁，现要向顶点 B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在 20 s 内从 A爬到 B？2在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？意图：第 1 题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第 2 题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程。效果：学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出 AB 位置，并正确计算如有可能，还可把正方体换成长方体进行讨论。具体的实际问题其中需要学生了解空间图形对一些空间图形进行展开折叠等活动学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识并从事过相应的实践活动因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动 用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题当然在这些具体问题的解决过程中需要经历几何图形的抽象过程需要借助观察操等实践活动这些都有助于发展学生的分析问题解决问题能力和应用意识一些探究活动具体一定的难度需要学 空间观念在将实际问题抽象成数学问题的过程中提高分析问题解决问题的能力及渗透数学建模的思想在利用勾股定理解决实际问题的过程中体验数学学习的实用性利用数学中的建模思想构造直角三角形利用勾股定理及逆定理解决实学习必备 欢迎下载 学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程。注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务。因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用。第六环节：交流小结 内容：师生相互交流总结：1解决实际问题的方法是建立数学模型求解。2在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史。效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时，往往考虑其展开图，利用两点之间，线段最短进行求解并赞叹我国古代数学的成就。第七环节：布置作业 1课本习题 1 4 第 1，2，3 题 六、教学设计反思 本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探究，运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，既巩固了基本知识点，又在将实际问题抽象成几何图形过程中，学会观察，提高分析能力，渗透数学建摸思想。在设计中，我注重以下两点：1要充分利用好教材提供的素材“蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，这个问题体现了二、三维图形的转化，对发展学生的空间观念很有好处。2合理使用教材提供的练习 本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组，使练习有梯度，既巩固了基本知识点，又训练了学生的应用能力 第一个作业让学生深入理解和应用勾股定理及逆定理。3突破重点、突破难点的策略 在教学过程中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力。4分层教学 根据本班学生实际情况可在教学过程中选择：基础训练“小试牛刀”；提高训练“举一反三”；拓展训练作业第 2 题。5评价方式 根据新课标的评价理念，在教学过程中应关注学生的参与程度，关注活动中所反映出的思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力 在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价值。具体的实际问题其中需要学生了解空间图形对一些空间图形进行展开折叠等活动学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识并从事过相应的实践活动因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动 用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题当然在这些具体问题的解决过程中需要经历几何图形的抽象过程需要借助观察操等实践活动这些都有助于发展学生的分析问题解决问题能力和应用意识一些探究活动具体一定的难度需要学 空间观念在将实际问题抽象成数学问题的过程中提高分析问题解决问题的能力及渗透数学建模的思想在利用勾股定理解决实际问题的过程中体验数学学习的实用性利用数学中的建模思想构造直角三角形利用勾股定理及逆定理解决实