平面向量的基本概念_中学教育-高考.pdf

.v.平面向量的实际背景及根本概念 1.向量的概念：我们把既有 大小 又有 方向 的量叫向量。2.数量的概念：只有大小 没有方向的量叫做数量。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进展代数运算、比拟大小；向量有方向，大小，双重性，不能比拟大小.3.有向线段：带 有方向 的 线段 叫做有向线段。4.有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别；1一样点：都有大小和方向 2不同点：有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段 比方：上面两个有向线段是不同的有向线段。向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比方：在中的两个有向线 段表示一样等的向量。向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、黑体，印刷用等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；7.向量的模：向量AB的大小长度称为向量的 模，记作|AB|.8.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为 零向量，记为：0。长度为 1 的向量称为 单位向量。9.平行向量定义：方向一样 或 相反的非零向量叫平行向量；我们规定 0 与任一向量平行.即：0。说明：1综合、才是平行向量的完整定义；2向量、平行，记作.10.相等向量 长度相等且方向一样的向量叫 相等向量.A(起点)B 终点 a.v.说明：1向量 与 相等，记作；2零向量与零向量相等；3任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有 向线段的起点无关.11.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上与有向线段的起点无关 说明：1平行向量是可以在同一直线上的。2共线向量是可以相互平行的。例 1.判断以下说法是否正确，为什么.1平行向量是否一定方向一样.2不相等的向量是否一定不平行.3与零向量相等的向量必定是什么向量.4与任意向量都平行的向量是什么向量.5假设两个向量在同一直线上，那么这两个向量一定是什么向量.6两个非零向量相等当且仅当什么.7共线向量一定在同一直线上吗.解析：1不是，方向可以相反，可有定义得出。2不是，当两个向量方向一样的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。3零向量 4零向量 5共线向量平行向量 6长度相等且方向一样 7不一定，可以平行。例 2.以下命题正确的选项是 A.与 共线，与 共线，那么 与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点 C.向量 与 不共线，那么 与 都是非零向量 D.有一样起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以 B 不正确；向量的平行只要方向一样或相反即可，与起点是否一样无关，所以不正确；对于 C，其条件以否认形式给出，B A O C D E F 量叫做数量数量与向量的区别数量只有大小是一个代数量可以进展代数运算比拟大小向量有方向大小双重性不能比拟大小有向线段带有方向的线段叫做有向线段有向线段的三要素起点大小方向有向线段与向量的区别终点一样点都有 同的有向线段向量只有大小和方向并且是可以平移的比方在中的两个有向线段表示一样等的向量向量是用有向线段来表示的可以认为向量是由多个有向线段连接而成向量的表示方法用有向线段表示用字母黑体印刷用等表示用有向线 记为长度为的向量称为单位向量平行向量定义方向一样或相反的非零向量叫平行向量我们规定与任一向量平行即说明综合才是平行向量的完定义向量平行记作相等向量长度相等且方向一样的向量叫相等向量说明向量与相等记作零向.v.所以可从其逆否命题来入手考虑，假假设 与 不都是非零向量，即 与 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有 与 共线，不符合条件，所以有 与 都是非零向量，所以应选 C.例 3.如右图所示，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量 OC OB OA,相等的向量。解：按照向量相等的定义可知：向量的加法运算及其几何意义 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.三角形法那么记忆口诀：“首尾相接，从头指尾 3.三角形法那么的来由 如图，向量 a、.在平面任取一点A，作AB a，BC，那么向量AC叫做 a 与 的和，记作 a，即 aAC BC AB，规定：a+0-=0+a 4.向 量 加 法 的 字母公式：AB BC AC 5.平 行 四 边 形 法那么 图 1 如图 1,以同一 点 O 为起点的两个向量 a、b 为邻边作平行四边形,那么以 O 为起点的对角线OC就是 a 与 b 的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法那么.6.平行四边形法那么与三角形法那么的区别：（1）平行四边形法那么是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点 和两个分向量的起点是同一起点。（2）三角形法那么要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起，然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。7.一般结论 当 a,b 不共线时,|a+b|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);当 a,b 共线且方向一样时,|a+b|=|a|+|b|;A B C a+b a+b a a b b a b a+b a 量叫做数量数量与向量的区别数量只有大小是一个代数量可以进展代数运算比拟大小向量有方向大小双重性不能比拟大小有向线段带有方向的线段叫做有向线段有向线段的三要素起点大小方向有向线段与向量的区别终点一样点都有 同的有向线段向量只有大小和方向并且是可以平移的比方在中的两个有向线段表示一样等的向量向量是用有向线段来表示的可以认为向量是由多个有向线段连接而成向量的表示方法用有向线段表示用字母黑体印刷用等表示用有向线 记为长度为的向量称为单位向量平行向量定义方向一样或相反的非零向量叫平行向量我们规定与任一向量平行即说明综合才是平行向量的完定义向量平行记作相等向量长度相等且方向一样的向量叫相等向量说明向量与相等记作零向.v.当 a,b 共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量 a 的长度大于向量 b 的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量 a 的长度小于向量 b 的长度时,|a+b|=|b|-|a|.一般地,我们有|a+b|a|+|b|.二例题讲解 例 1、正方形 ABCD 的边长为 1,=a,=b,=c,那么|a+b+c|等于 A 0 B 3 C 2 D 22.解：D C A 作出正方形 ABCD 的图形如上图所示，那么：a+b=c,所以 a+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c|=2|c|=22,所以选 D.例 2.化简:(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+DF+CD+BC+FA.例 3.如下图,矩形 ABCD 中,|AD|=43,设AB=a,BC=b,BD=c,试求向量 a+b+c 的模.解:过 D 作 AC 的平行线,交 BC 的延长线于 E,DEAC,ADBE.四边形 ADEC 为平行四边形.DE=AC,CE=AD.于是 a+b+c=AB+BC+BD=DE+BD=BE=AD+AD=2AD,|a+b+c|=2|AD|=83.1判断以下命题是否正确，假设不正确，请简述理由。向量 AB 与 CD 是共线向量，那么 A、B、C、D 四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；一个向量方向不确定当且仅当模为 0；共线的向量，假设起点不同，那么终点一定不同。2.1 判断以下式子是否正确，假设不正确请指出错误原因.0=0.b-b=0（2）假设将所有单位向量的起点归结在同一起点，那么其终点构成的图形是 _.（3）将所有共线向量移至同一起点，终点构成的图形是什么图形._ 量叫做数量数量与向量的区别数量只有大小是一个代数量可以进展代数运算比拟大小向量有方向大小双重性不能比拟大小有向线段带有方向的线段叫做有向线段有向线段的三要素起点大小方向有向线段与向量的区别终点一样点都有 同的有向线段向量只有大小和方向并且是可以平移的比方在中的两个有向线段表示一样等的向量向量是用有向线段来表示的可以认为向量是由多个有向线段连接而成向量的表示方法用有向线段表示用字母黑体印刷用等表示用有向线 记为长度为的向量称为单位向量平行向量定义方向一样或相反的非零向量叫平行向量我们规定与任一向量平行即说明综合才是平行向量的完定义向量平行记作相等向量长度相等且方向一样的向量叫相等向量说明向量与相等记作零向.v.3以下说确的是 A.平行向量是方向一样的向量 B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量的长度为 0D.共线向量是在同一条直线上的向量 4假设非零向量a与b共线，那么以下说法下确的是 A.a与b必须在同一直线上 B.a与b平行，且方向必须一样 C.a与b平行，且方向必须相反 D.a与b平行 1、在四边形 ABCD 中，假设 AC AB AD，那么四边形 ABCD 的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了一样的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，那么以下命题中错误的一个是 A、a与b为平行向量 B、a与b为模相等的向量 C、a与b为共线向量 D、a与b为相等的向量 3、以下命题中正确的选项是()A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.假设 a，b 满足|a|b|且 a 与 b 同向，那么 ab D.对于任意向量 a、b,必有|a+b|a|+|b|平面向量的加法运算 1、用三角形法那么和平行四边形法那么分别画出 b a 2、以下命题中正确的选项是()A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.假设 a，b 满足|a|b|且 a 与 b 同向，那么 a b D.对于任意向量 a、b,必有|a+b|a|+|b|3、正方形的边长为 1，AB=a，BC=b，AC=c,那么|a+b+c|等于()量叫做数量数量与向量的区别数量只有大小是一个代数量可以进展代数运算比拟大小向量有方向大小双重性不能比拟大小有向线段带有方向的线段叫做有向线段有向线段的三要素起点大小方向有向线段与向量的区别终点一样点都有 同的有向线段向量只有大小和方向并且是可以平移的比方在中的两个有向线段表示一样等的向量向量是用有向线段来表示的可以认为向量是由多个有向线段连接而成向量的表示方法用有向线段表示用字母黑体印刷用等表示用有向线 记为长度为的向量称为单位向量平行向量定义方向一样或相反的非零向量叫平行向量我们规定与任一向量平行即说明综合才是平行向量的完定义向量平行记作相等向量长度相等且方向一样的向量叫相等向量说明向量与相等记作零向.v.2D.22 4、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了一样的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，那么以下命题中错误的一个是 A、a与b为平行向量 B、a与b为模相等的向量 C、a与b为共线向量 D、a与b为相等的向量 5、在四边形ABCD中，假设AC AB AD，那么四边形ABCD的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形 6、正方形ABCD的边长为 1，AB a，BC b，AC c，那么 a b c等于()(A)0(B)3(C)2(D)2 2 7、如果a，b是两个单位向量，那么以下结论中正确的选项是(A)a b(B)1 a b=(C)2 2 a b(D)a b 量叫做数量数量与向量的区别数量只有大小是一个代数量可以进展代数运算比拟大小向量有方向大小双重性不能比拟大小有向线段带有方向的线段叫做有向线段有向线段的三要素起点大小方向有向线段与向量的区别终点一样点都有 同的有向线段向量只有大小和方向并且是可以平移的比方在中的两个有向线段表示一样等的向量向量是用有向线段来表示的可以认为向量是由多个有向线段连接而成向量的表示方法用有向线段表示用字母黑体印刷用等表示用有向线 记为长度为的向量称为单位向量平行向量定义方向一样或相反的非零向量叫平行向量我们规定与任一向量平行即说明综合才是平行向量的完定义向量平行记作相等向量长度相等且方向一样的向量叫相等向量说明向量与相等记作零向