美国重新修订中小学数学课程标准_中学教育-教学研究.pdf

美国重新修订中小学数学课程标准 全美数学教师理事会（NCTM）已于 1998 年 10 月公布了新的中小学数学课程标准讨论稿，向美国国内各界人士征求意见。这份文件以学校数学的原则和标准为题，总结了自 1989年 NCTM 公布美国学校数学课程与评价标准以来，美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见，对原标准重新进行修订，提出了面向 21 世纪新的课程与评价标准。新的标准没有改变 1989 年制订标准的基本方向，而是在如何使教师更好地理解和有效地贯彻标准上做了改进。从新标准的讨论稿来看，主要变化有以下几个方面。1新标准把以前关于课程、数学、评价标准的三个文件（分别于 1989 年、1991 年和 1995 年公布）综合为一个文件，使教师更容易掌握应当教学哪些内容、怎样教，以及如何评价。2新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的。它们成为制定课程标准的基础。这六条是公平的原则、数学课程的原则、教的原则、学的原则、评价的原则和技术的原则。3新标准把年级分段由三段改为四段（K2，35，68 和 912），使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容、方法和要求。4新标准开发、阐述了学校数学教学十项标准的总观点，并将其贯穿在各个年级的标准中，通过具体的示例详细解释。这些标准的前五项叫做内容标准，包括：（1）数与运算；（2）模式、函数与代数；（3）几何与空间观念；（4）测量；（5）数据分析、统计和概率。后五项叫做过程标准，包括：（1）问题解决；（2）推理和证明；（3）交流；（4）联系；（5）表达。5新标准还有一个特别的变化，就是应用了新技术的力量，提供了计算机网络版。这样，由于网络版可以是动态的，使教师能够及时地、很容易地从因特网上得到最新的标准和有关的信息咨询。这份新标准的讨论稿经过广泛征求、收集意见后，将在 1999 年夏季由全美数学教师理事会的专门写作小组做进一步整理和修改。新的 学校数学的原则和标准将于 2000 年春季正式公布。标准 1：数和运算 数学教学纲要应促进对数和运算的感觉（以下简称数感）的发展，为此全体学生应 理解数，数的表示法，数之间的关；理解运算的意义及各种运算之间如何联系；熟练地运用计算工具和策略并恰当地进行估计。说明：幼儿园前12 年级 在学校数学课程中，数、运算及计算有悠久而显要的历史。此外，数学的这个领域或许要比任何其他部分，在超出学校的范围里更广泛地受到承认和尊重。这个标准的中心就是发展数感这样的目标，即理解数的意义，它们之间如何联系，它们的相对大小关系，如何用多种方法思考和表示它们，以及数的运算产生的结果。在教师的经验的引导下，让学生适时地发展对于数及它们间关系的良好直觉（Howden1989）。具有良好数感的学生会自然地分解数，发展和运用最基本的内容，运用运算间的关系及十进制数的知识去解决问题，估计问题的合理结果，并且具有能形成对于数、问题及结果的直觉的素质（Sowder1992）。具备蕴藏于数感中的技能的学生，是数学的自信的使用者。关于数的基本知识，是发展数感和教会学生解决问题的基础。学生必须能容易地回顾这些基本知识。这些基本知识包括一位数加法的结构及减法、乘法和除法的原形。对于基本知识的理解和有关的技能，可以通过探索如78 与 771 是同样的这类问题的思考策略来发展。它们也可以通过多样的、系统的校内外实践活动来发展。大多数学生在年级应能迅速地回忆起加法和减法的基本知识，在年级后期容易和熟练地回忆起乘法和除法的基本知识。同样，熟练的计算掌握和运用有效和精确的计算方法是发展数感和在大多数的数学领域取得成功的基础。某些情形中，学生会用聪明的策略，例如把625看作6个 2 加 6 个一半（05）。在其他情形，学生用聪明的策略结合写在纸上的算草迅速得出精确的结果。在另一些情形，学生可以用纸和笔演练教学中的计算法则及其变形法则，特别是在数目很大或很复杂时。重要的是，学生必须具有可以有效使用和产生正确结果的方法。能应用、处理问题中的信息材料和反映、比较解题策略，会帮助学生发展对于数、运算及它们的性质的理解，增加关于基本规律的知识，使运算更流畅。全体学生应学会在计算时进行估计的策略，养成对数值(包括计算结果的合理性)做判断的习惯。估计的能力和习惯，依赖于对于数的理解它们的大小，在数系中的地位，等价形式以及用这些数进行运算的结果（例如，当一个整数乘以一个小于 1 的数时会产生什么样的结果？）。估计可以用来直接回答一个如我们该要多少比萨饼？这样的问题，或用来评价用纸、笔、计算器所得出的结果的合理性。在高中，学生应理解误差估测及其在计算中的作用，并应发展区分估计值和近似值的能力。计算器是可行且可靠的计算工具。全体学生应在适当的时候把计算器作为计算工具。计算器应可以运用于数学课堂中的计算，特别当解决问题中需要很多或很复杂的计算时。然而，当教学重点在于发展学生自身或由此转化的计算技能时，计算器的使用应服从于教学重点。今天，计算器已是课堂之外广泛使用的工具。课内环境应反映这一现状。理解数，数的表示法，数之间的关系及数系 学生的有关数的概念和性质的知识应在他们的学校生活中不断发展。在 2 年级前，学生内各界人士征求意见这份文件以学校数学的原则和标准为题总结了自年公布美国学校数学课程与评价标准以来美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见对原标准重新进行修订提出了面向世纪新的课程与评价标准新的标准没有改变化有以下几个方面新标准把以前关于课程数学评价标准的三个文件分别于年年和年公布综合为一个文件使教师更容易掌握应教学哪些内容怎样教以及如何评价新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的它们成为制定课程三段改为四段和使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容方法和要求新标准开发阐述了学校数学教学十项标准的总观点并将其贯穿在各个年级的标准中通过具体的示例详细解释这些标准的前五项叫做内容标准包括数通过多种途径学习记数、表示数和比较大小，可以借助于他们能够操作的实物，如记数器和10 以内的模块。2 年级前，学生将会接触并应探索较大的数。实际上，他们对于大的数特别是在他们的生活中遇到的这样的数常常很感兴趣。例如，小龄的学生可以通过计算用学校的便士机换的硬币数目或收集的苏打水罐拉环的数目来认识数。低年级学生会探索和使用部分与整体的关系。24 被看作两个 10 和 4 个 1，也是两个 12。用多种方法来认识数，会为学习10 进制记数法提供基础。在 2 年级，学生形成这样的转化，如 10 是 10 个 1 的集合，也是一个 10。这样的认识是通往 10 进制记数法的第一步（Cobb&Wheatly1998）。在低年级，学生也会通过现实问题和语言遇到并学习普通分数（如 1/2，3/4）。例如，大多数学生已能在他们的校外生活词汇中使用一半。35 年级的学生继续发展和扩充关于整数的概念并思考运用解题技巧。3408 是 3 个1000、4 个 100 和 8 个 1 之和的知识，是学生理解 3408 如何与 4408、3308 及 3500 相联系的基础。这样的理解是发展数感的一部分，也有益于产生和运用计算技巧。在 35 年级，学生将学习和表示分数和小数，要强调它们如何与整数相联系等。理解分数或小数是单位量的部分量，是这些年级的关键概念。在这个阶段，教学中对有理数概念的强调应重于它们运算的策略。对于 35 年级的学生来说，有用的经验包括形成对分数和小数的实际背景的认识，用如 1/2 这样的已熟悉的最基本的数来比较分数，在数轴上表示分数和小数，及分数和小数间相等的表示等。运用这些理解，学生将能估计分数的和，如1/2+3/8 必然小于 1，因为每个加数都不大于 1/2。35 年级的学生学习数也学习它们的分类和性质，例如奇数、偶数、素数、合数、平方数。认识这些建立在整除规律基础上的性质，找出素数因子或理解函数关系。68 年级的学生用分数、小数和百分数扩大他们的工作，使得他们能够灵活运用等价关系和策略来给有理数排序和比较大小。由认为分数是单位数的部分到理解分数也是数，这个认识在中年级完成。学生关于 10 进制小数的知识及其运用也在这时完成。加上用有理数进行估测，学生在 68 年级也发展了分数和小数的计算策略。在整个中年级，对很大的数及这些数代表什么的理解继续发展。学生使用计算器或数学用表这样的工具处理和分析数据，并且学习用科学记数法表示很大或很小的数。随着由自然数到整数的扩充，中年级学生对顺序和量的知识也扩充了。在学习勾股定理和圆周长时，他们也遇到像和 这样的无理数。在 912 年级，课程的其他内容比数的内容更突出，然而随着学生用更全面的观点来看已熟悉的数系，他们对数的性质的理解继续深化。科学记数法和矩阵表示，成为可能实现的事。复数也加入学生的视野，他们还认识到当实数系扩大时实数的全部性质并不能都保留。理解运算的意义和它们彼此间的联系 为使运算流畅，学生必须理解算术运算的意义。这包括对一个特定的问题决定实施什么内各界人士征求意见这份文件以学校数学的原则和标准为题总结了自年公布美国学校数学课程与评价标准以来美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见对原标准重新进行修订提出了面向世纪新的课程与评价标准新的标准没有改变化有以下几个方面新标准把以前关于课程数学评价标准的三个文件分别于年年和年公布综合为一个文件使教师更容易掌握应教学哪些内容怎样教以及如何评价新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的它们成为制定课程三段改为四段和使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容方法和要求新标准开发阐述了学校数学教学十项标准的总观点并将其贯穿在各个年级的标准中通过具体的示例详细解释这些标准的前五项叫做内容标准包括数运算，同样的运算如何运用于不同的问题，运算之间有何联系，及预料会产生何种结果。在低年级，学生遇到各种问题涉及加减法的意义。减法可以被认为是取走或是比较两部分的大小。重要的是加减间的关系。2 年级前，随着学生解决他们所接触的问题，可以开始学习乘除法的意义。这样的问题包括：做 4 份三明治需要多少片面包？怎样把一包葡萄干平分给 4 个人？虽然 2 年级前的教学强调加减法，学生却自然地会接触到像乘除法这样的其他运算问题，对此应提倡。乘除法的意义，尤其对于整数的运算，成为 35 年级教学的中心。借助图示或实物，学生进入乘除运算情景，认识加减乘除之间的关系。运用常规的和有创造性的运算策略，学生运用并认识交换律、结合律和分配律及 0 和 1 的特性。计算策略的发展和比较提供了揭示算术本质的机会。例如，对乘法法则的描述被分散于多处，除法的技巧蕴于反复出现的过程中。在 68 年级，重点是对有理数运算的理解。这个水平的学生也巩固和发展整数的运算。学生对于运算的直觉需要随数系的扩充而不断完善（GraeberandCampbell1993）。例如，正数被一个小于 1 的的分数乘所得结果小于其本身，这与学生原有的乘积总大于乘数的认识相悖。在整数的减法中结果也不再总是往小变。学生也应注意乘除之间的相反的关系及分数与其倒数的关系。在 68 年级，适当的推理是分数、小数、比和比率这些运算的基础。在低年级，学生所做的多数比较是关于加减法的，如高多少？或多多少？在中年级，学生在涉及数对的比率和比较时应更熟练，例如这样的问题：3 袋可可能做 15 杯巧克力，做 60杯巧克力需多少袋可可？在 912 年级，学生继续学习运算并建立运算与其他课题的联系。复数的加法等价于向量的加法，复数的乘法的几何解释是旋转和伸缩的结合。建立早期的函数关系如求第 n个根，绝对值，方幂与数的运算类似。学习像封闭性这样的运算性质是理解代数系统的一部分。熟练地运用计算工具、策略和适当地估计 成年人经常使用许多种有效的计算工具，包括智能计算机，纸和笔，估值及计算器。学生需要能帮助他们选择适当工具的经验。当选择一种方法时应考虑问题内容及涉及的数。这些数是否能巧妙地处理？这些内容是否需要进行估计？这个问题是否需要重复而繁杂的计算？学生应在问题环境中决定是否需要估计值或精确回答，并能对所做决定说出道理。当学生解决问题时估计与精确计算的技能应互相配合使用。8 年级前，学生期待着发展建立在他们的知识基础上的关于数和运算的计算策略，并使之不断深化。通过师生间对运算法则的讨论，学生看到乘法解决问题的可行性及其优越性。学生应能熟练计算，以及掌握对于要解决的问题有效而精确的计算方法。发展计算的熟练程度，要求对于概念的理解，合理安排运算的程序及迅速抓住数的基本性质之间的平衡与联系。另一方面，没有概念作基础的运算策略的应用，往往被遗忘或记错（Kamii1998）。此外，缺乏熟练计算能力的理解会影响对问题的解决。内各界人士征求意见这份文件以学校数学的原则和标准为题总结了自年公布美国学校数学课程与评价标准以来美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见对原标准重新进行修订提出了面向世纪新的课程与评价标准新的标准没有改变化有以下几个方面新标准把以前关于课程数学评价标准的三个文件分别于年年和年公布综合为一个文件使教师更容易掌握应教学哪些内容怎样教以及如何评价新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的它们成为制定课程三段改为四段和使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容方法和要求新标准开发阐述了学校数学教学十项标准的总观点并将其贯穿在各个年级的标准中通过具体的示例详细解释这些标准的前五项叫做内容标准包括数 发展 2 年级以前的学生对整数及其加减运算的理解，教学重点应放在发展关于各种大小的数的运算策略上，如一位数或多位数。学生自发的运算策略应被讨论和分享。2 年级结束时，学生应能回顾加减的基本法则，熟练地做 2 位数的加法，会做 2 位数的减法。在 35 年级，学生中自发形成的和传统的关于整数的四则运算策略已被学习，并用于大的数，而且运用得很熟练。Gravemeijer（1998）基于他的深入研究，指出：学生发展解决问题的能力中，作为基本工具的数学概念、记数法及运算程序是基础。在解决某些类型问题的过程中，非正规的算法可能会走在形成通常的正规算法之前。在教师的指导下，这些非正规的算法可以发展和并入传统正规算法。但是，学生可能仍选择先前的对解决问题有价值的非正规算法。在这些年级学生也发展并开始应用小数的乘法，复习乘除的基本法则。有理数的概念是这个阶段的教学重点，并且它们会引出分数的非正规的算法。例如，在 5 年级，1/4+1/2 这样的问题应灵活轻松地得到解决，因为学生应清楚 1/2 和 1/4 的几何表示，或能用分解的策略，如 1/4+1/2=1/4+(1/4+1/4)。分数和小数是 68 年级的教学重点。分数和小数的计算策略，应建立在此前年级发展的概念知识上。学生到 68 年级应能用通常遇到的分数进行理性的运算和具体表示。在 68 年级，学生应发展更一般的能应用于整个分数范围的计算策略。他们也应扩充从整数到小数的计算策略。人们期望学生们能用有理数进行熟练的运算。由于学生已发展了对整数的意义和表示法的认识，他们也应发展用整数运算的方式。在 912 年级，学生应把分析和比较算法作为研究数学的一部分。通过比较算法，他们考虑哪些容易解释，哪些容易运用，哪些最有效。他们应能读图表并决定它是否描述了确定一个数能否被 3 整除的正确方法。学生应分析为什么要建立和如何建立算法。在这个水平上，学生能研究整数和有理数的计算方法，也研究他们在高中首次遇到的不熟悉的算法，包括找实数根或求序列的有限差 标准 2：模式、函数和代数 数学教学纲要应包括关注模式、函数、符号和数学模型，以便所有学生能够 理解各种类型的模式和函数关系；使用符号形式表示和分析数学情形和结构；应用数学模型以及分析在实际和抽象的背景下的数学模型变化。说明：幼儿园前12 年级 模式、函数和代数包括系统地使用符号，数学体系的代数特征，现象的模型以及对变化的数学。这些概念不仅彼此互相关联，而且还与数、运算以及几何紧内各界人士征求意见这份文件以学校数学的原则和标准为题总结了自年公布美国学校数学课程与评价标准以来美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见对原标准重新进行修订提出了面向世纪新的课程与评价标准新的标准没有改变化有以下几个方面新标准把以前关于课程数学评价标准的三个文件分别于年年和年公布综合为一个文件使教师更容易掌握应教学哪些内容怎样教以及如何评价新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的它们成为制定课程三段改为四段和使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容方法和要求新标准开发阐述了学校数学教学十项标准的总观点并将其贯穿在各个年级的标准中通过具体的示例详细解释这些标准的前五项叫做内容标准包括数密相联。它们对数学的所有领域都是至关重要的，并且它们组成表达数学的基本语言。这个标准里的思想观念形成了学校课程的主要组成部分。在方程解的研究中，代数有根。这个科目已向几个方向发展，它包括方程的学习，抽象事物的推理，归纳，以及符号概念的中心意思。所有这些发展都应在学校课程中得到反映。对模式、函数和代数的学习应在低年级非正式地开始，然后在学校的学习中逐步向深度和广度发展。早期接触模式、函数和代数的概念，能为在初中后阶段和整个高中阶段更深入细致地关注这个领域的学生提供部分理解基础（Smith1998）。理解各种类型的模式和函数关系 制作、认识和拓展模式对儿童们来说是非常自然的活动。早期接触模式的工作是识别规律性，认识不同形式的相同模式，以及应用模式去推测数值。例如，红蓝蓝红蓝蓝红蓝蓝与ABBABBABB具有相同的模式，所以其第 12 个元素是蓝。从简单的状况出现的模式是函数和序列的萌芽。例如，如果 1 个玩具 2 美元，那么 1 个玩具，2 个玩具，3 个玩具，n 个玩具多少美元？随后接触的一个是增长的模式，例如，1，3，6，10，15，一个是重复的模式，例如1，1，3，1，1，3，上述这些例子加深了对模式概念的理解。到了初中和高中，隐藏在模式和序列下的规律性变得越来越复杂，包括那些以指数方式增长的模式。接触作为函数的例子序列，在中学得到扩展的目的是建立极限和无穷序列这些概念的基础。在低年级，学生注意到每一项通过前一项而得到，来描述象2，4，6，8，这样的模式，在这种情况下，后一项=前一项+2。这是递推思维的开始。以后，学生能够研究被定义的序列以及通过递推得到的序列，如 Fibonacci序列1，1，2，3，5，8，在这个序列中，每一项都是前面两项的和。在许多科目中，递推数列非常自然地出现，并可通过技术手段来研究。912 年级的学生研究由递推产生的函数和模式。最初接触模式时，一个重要的步骤是，学生经常口头地表述隐含的规律性，而不是应用数学符号来表示（EnglishandWarren1998）。学生数学课程的一个目标是基于口语表述，提供给学生足够的经历，使他们舒适地、流利地使用数学符号表示归纳的结果。函数的早期萌芽和它们的表示，包括这样一些活动，记录日常气温或在图表中随时表示随着平面高度的变化产生温度的变化。在低年级可以使用函数图象来描述函数。在 68 年级线性函数和对函数图象的解释是学习过程中特别重要的东西。对 912 年级的学生来讲，尽管已经系统地学习其他一些函数，如多项式内各界人士征求意见这份文件以学校数学的原则和标准为题总结了自年公布美国学校数学课程与评价标准以来美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见对原标准重新进行修订提出了面向世纪新的课程与评价标准新的标准没有改变化有以下几个方面新标准把以前关于课程数学评价标准的三个文件分别于年年和年公布综合为一个文件使教师更容易掌握应教学哪些内容怎样教以及如何评价新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的它们成为制定课程三段改为四段和使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容方法和要求新标准开发阐述了学校数学教学十项标准的总观点并将其贯穿在各个年级的标准中通过具体的示例详细解释这些标准的前五项叫做内容标准包括数函数、指数函数、三角函数，但对函数图象的解释仍然是重要的。在高中，这种系统的学习应建立在学生早期有过的代数思想的经历上。熟悉函数的解析表示、数值表示以及图象表示是非常重要的。在这些表示中，能力是向思维深度和容易的方向发展。坐标几何使函数和关系的图象表示以及观察函数和关系的几何性质，如图象的对称性，成为可能。图形计算器和计算机能够帮助学生进行图象和数值表示方面的实验，检验和对比函数的不同性质。包括两、三个变量的函数之间的关系可以有几何表示，在 yz 平面内，当抛物线 z=y2绕 z 轴旋转会得到什么？所得图象如何用代数表示？许多学生首次理解函数的概念是通过如下一系列教学过程，任给一个 n，如 n=0，1，2，3 时，求 2n的值（VinnerandDreyfus1989）为了帮助学生发展对函数概念的更深的理解，对函数的多种表示如数值表示、图象表示、解析表示有相当丰富的经历是必需的。使用符号形式表示和分析数学情形和结构 数量关系的符号表示是代数的灵魂。概括地说，它能使复杂的数学被简明地表达出来，而且符号和表达式能够提供探索和发现解决问题的途径。然而，这种作用也遇到会一系列概念障碍，例如，变量的概念是相当复杂的。在低年级，典型的一个例子是在下面式子中空位处的一个特定的数字是一个变量 +2=11。以后，学生会学到方程 3x+2=11 中的变量 x，方程中的变量 x，这两个变量的意义是不同的，而且它们与公式中的变量的意义不同。完全理解变量 的 概 念 需 要 相 当 长 的 时 间，它 需 要 丰 富 的 实 践 经 历 作 为 基 础（WagnerandParker1993）。另一个在理解数量关系的符号表示的概念困难是关于相等的概念。相等的符号可以以不同的方式被察觉。例如，对在算术计算中广泛经历的相等符号的结果。学生一个典型的察觉是，把相等符号作为计算的符号（Kieran1981）。然而，在高中之前，学生也需要学习到把相等符号作为相等和平衡的符号。总之，如果学生在发展他们工作中固定的概念基础之前，学生被要求从事较多的符号演算，但他们不能进行更多地机械性的演算（WagnerandParker1993）。关于符号概念有意义的工作基础需要持续相当长的时间，从低年级开始，直到初中或高中阶段正式接触“代数”这门课程。当儿童接触数时，他们常常采纳在本质上是代数化的策略。教师们可以以相似的方式建立这种自然的趋势。例如，一个儿童可能注意到“4+5=4+4+1”和内各界人士征求意见这份文件以学校数学的原则和标准为题总结了自年公布美国学校数学课程与评价标准以来美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见对原标准重新进行修订提出了面向世纪新的课程与评价标准新的标准没有改变化有以下几个方面新标准把以前关于课程数学评价标准的三个文件分别于年年和年公布综合为一个文件使教师更容易掌握应教学哪些内容怎样教以及如何评价新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的它们成为制定课程三段改为四段和使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容方法和要求新标准开发阐述了学校数学教学十项标准的总观点并将其贯穿在各个年级的标准中通过具体的示例详细解释这些标准的前五项叫做内容标准包括数“5+6=5+5+1”等等。把他或她观察到的介绍给另一个儿童时，学生可能画出如图 32 所示的图：图 322+1 使用图形作为一个范例以及不是一个孤立事件的记录使代数表示图象化。或者，儿童可能会说“2+1”，因为这种表达表示的是一个归纳，它就是代数化。在 68 年级，代数表示变得越来越正规，因此在符号、肖像、具体和几何之间再加上一个强有力的透视。当它们被几何化后，即使复杂的代数关系也变得清晰起来。当学生在进行系统的推理、复杂的代数符号演算时，学生很容易理解几何表示。例如，图 33 帮助我们解释为什么前 n 个奇数的和等于 n2。图 33 学生能够给出像“1+3+(2n1)=n2”关系的符号表示，而且，以后学生能给出它的数学演绎证明。因此，这种代数归纳可以以两种不同的方式得到发展和证实，一种在中学阶段学生能够接受，而另外一种需要较多的数学准备。两种方式互相补充，事实上，每种方式都能揭示不同的数学情形。代数和几何彼此向对方渗透，正如学生把几何思想代数化。例如，一个半径为 r 的土球被加工成一个半径为r 的土圆锥，问圆锥的高是多少？代数结构的概念来自于对数的演算的关注。理解封闭性（如两个正整数的和仍是正整数，而两个正整数的差不是正整数）和代数性（如加法符合交换律，而减法不符合交换律）对于学习诸多的系统，包括数系、多项式系统、函数系统和矩阵系统来说，是非常重要的。学生能够对运算进行推理，例如，他们发现减法运算是加法运算的逆运算。考虑一个复杂的数系时，询问关于数系的内部互相联系的问题，以及找出这些问题的解法，对于学习数学是非常重要的。内各界人士征求意见这份文件以学校数学的原则和标准为题总结了自年公布美国学校数学课程与评价标准以来美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见对原标准重新进行修订提出了面向世纪新的课程与评价标准新的标准没有改变化有以下几个方面新标准把以前关于课程数学评价标准的三个文件分别于年年和年公布综合为一个文件使教师更容易掌握应教学哪些内容怎样教以及如何评价新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的它们成为制定课程三段改为四段和使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容方法和要求新标准开发阐述了学校数学教学十项标准的总观点并将其贯穿在各个年级的标准中通过具体的示例详细解释这些标准的前五项叫做内容标准包括数 数学结构中另一个重要的部分是同构的概念，即表面看似不同，而实质相同的数学结构。例如，两种不同的物理情形，可用相同的图形把他们模型化。这显示两种不同的过程具有相同重要的数学特征。应用数学模型以及分析在实际和抽象的背景下的数学模型变化 数学的一个强有力的应用是现象的数学模型。应用符号记法是模型化的中心。例如，分配律和交换律、物理定律、人口模型、以及对数据集的统计都可以用符号语言表示出来。在任何复杂的表格的使用中，代数是不明晰的。如果能够很好地理解数集之间的关系，那么这种理解能用变量、函数、关系的语言表示出来。基于以上事实，对于学生来说，从低年级开始，把众多现象数学模型化是非常重要的。随着学生对标准函数族的熟练程度，他们能够应用线性函数、指数函数等把一些现象模型化，且可用它们进行鉴别。三角函数表示周期现象是非常有用的。基于计算机的实验室的应用能够使学生快速地从物理实验中获得可靠的数据，这样就能扩大对状况所作模型的使用范围。计算机或计算器的图形、数值、或符号功能可被用于探讨这个模型可能的变量的作用。在解决涉及这些变化的情形中，最大值和最小值是非常重要的。对变化的最终研究是在微积分中，但学生在正式学习微积分课程之前，已经对变化讨论了很长时间。在幼儿园前2 年级，一个描绘运动员跑的距离与时间图形的学生能够指出，在一段时间内距离增长得非常快，而在另一段时间内距离增长得较慢。这个过程依赖于时间函数 y=f(t)，它在 steep区域变化得非常快，而在 shallow区域变化得非常慢。算术序列和几何序列的不同之处在于，序列中每项的定义依它前一项的方式。对变化的学习与递归思想相连。低年级的学生能够观察到像5，8，11，14，这种模式，也就是每个数比它前面的数大 3。随着学习的深入，他们将学习到序列中更加复杂的变化，像 1，3，6，10，在这个序列中，每一项对于后一项来说，是按照比例增长的。又如 2，4，8，16，在这个序列中，每一项是前面一项的 2 倍，也就是指数关系。y=2n 总之，模式、函数和代数这些领域内的概念和技能逐步变得深入和复杂。同样地，在这些领域，学生的思维也是随着步入高年级而逐步发展和成熟的。标准 3：几何与空间观念 数学教学纲要应关注几何与空间观念，从而使所有学生 分析二维和三维几何物体的特征和性质 选择和使用不同的表示方法，包括坐标几何和图论 内各界人士征求意见这份文件以学校数学的原则和标准为题总结了自年公布美国学校数学课程与评价标准以来美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见对原标准重新进行修订提出了面向世纪新的课程与评价标准新的标准没有改变化有以下几个方面新标准把以前关于课程数学评价标准的三个文件分别于年年和年公布综合为一个文件使教师更容易掌握应教学哪些内容怎样教以及如何评价新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的它们成为制定课程三段改为四段和使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容方法和要求新标准开发阐述了学校数学教学十项标准的总观点并将其贯穿在各个年级的标准中通过具体的示例详细解释这些标准的前五项叫做内容标准包括数 在分析数学情形时认识变换和对称的用处 使用想象和空间推理解决数学内外的问题 说明幼儿园前12 年级 很多几何应通过活动来学习，用实物模型、绘画和软件作为工具。精心设计的活动，合适工具的获得以及教师的帮助使学生能够对几何结构作出推断，探究其他结构的推断，对几何进行推理。最后的目标是使学生系统学习几何形状和结构并在学习中越来越多地使用推理和证明。几何与空间观念是数学教育的重要组成部分，它们提供了通过抽象解释与反映我们的实际环境的途径，它们可以作为学习其他数学与科学知识的工具，它们有助于所有数学里的创造思维。几何思想在表示与解决其他数学领域与非数学背景里的问题的实效应是学生几何体验的主线。几何表示有助于学生理解面积与分数，坐标图象可以用来分析与理解函数。空间推理有助于使用地图、计划路线、设计地面方案和创造艺术。几何与空间观念也有助于学生看到他们周围的结构与对称。分析二维和三维几何物体的特征和性质 从早期与周围世界的接触，儿童就开始获得形状与空间结构的体验。儿童应开始探索、识别与描述各种形状并通过探究进行观察。例如，幼儿园前2 年级可以用各种形状认识到矩形很有用，因为它们有四个完美的角。在以后的年级，学生描述图形的组成部分诸如边与角，以及图形的性质。例如，用实物或几何软件对各种矩形做实验，35 年级的学生可以推断矩形具有以下性质：有两对相等的边，对角线相等且平分。到 68 年级，学生应能演绎证明这些性质中的某些性质可以描述矩形的特征。在 912 年级，学生应能用演绎推理与几何公理及定理研究它们关于图形的推断的对错并用正式推理解决几何图形的问题。在所有水平，应鼓励学生提供关于他们的推断与解法的合适解释。诸如想象、描述、表示、分类、变换与探究的技能通过可视物体发展和形成，技术使学生能够体验大量各种二维和三维图形的相互联系，这些技能随着图形以及性质间相互关系的学习进一步抽象化，最后学生能够描述、表述、分类并探究用几何体系里逻辑链表达的关系间的联系。学生也应越来越能够在公理体系里得出定理，识别未定义的概念、定义、公理和定理间的区别，进行证明。选择和使用不同的表示方法，包括坐标几何和图论 直角坐标系是有力的数学工具，它使在一种情形下难以解决的问题转化到问题易于解决的另一种情形。了解直角坐标有助于解决大量问题。特别地，坐标能表示位置、方向和距离，它是联系代数与几何的桥梁。内各界人士征求意见这份文件以学校数学的原则和标准为题总结了自年公布美国学校数学课程与评价标准以来美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见对原标准重新进行修订提出了面向世纪新的课程与评价标准新的标准没有改变化有以下几个方面新标准把以前关于课程数学评价标准的三个文件分别于年年和年公布综合为一个文件使教师更容易掌握应教学哪些内容怎样教以及如何评价新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的它们成为制定课程三段改为四段和使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容方法和要求新标准开发阐述了学校数学教学十项标准的总观点并将其贯穿在各个年级的标准中通过具体的示例详细解释这些标准的前五项叫做内容标准包括数 儿童首先学习诸如上面、背后、靠近、之间等相对位置的概念，以后，他们可以用矩形网格确定一间房子里的物体或一张桌子上的物品位置。在中间和中学年级，坐标平面成为确定点的工具。通过使用地图上的比例尺或毕达哥拉斯定理确定平面上点的距离是中年级的一个重要发展。通过确定顶点的坐标或选择合适的点形成要设计的图形，几何图形可以被分析表达。几何软件、图形计算器和坐标纸可以帮助学生形成平面变换的理解。学生应通过使用直观和坐标表示，分析问题和学习数学获得经验。例如，在小学低年级，数轴提供了证实正整数加法意义的方法，而这种方法又可以扩展到其他类型的数的运算。在 35 年级，格子板有助于学生理解乘法，可以在中间年级或中学考虑更为严重复杂的问题。例如，要使救护车从社区各处到新医院的距离最短，中间年级的学生或许要用出租汽车几何。要使远距离城市的航线最短，912 年级的学生要用球面几何。而如果学生要使乘飞机到几个城市旅游的费用最少，他们或许要用有限图论。在分析数学情形时认识变换和对称的用处 变换是几何思维的重要方面。儿童入学时不仅有图形的直觉也有图形会动的直觉。通过镜子、折纸和找轨迹获得诸如滑动、旋转等非正式运动的体验，小学低年级学生可以在本质上把这些思想看成数学的。在更高些年级，学生关于变换的知识变得更为正式和系统化。35 年级学生应探究变换的效果并能用数学术语描述它们。使用动态软件，学生就会意识到定义一个变换所需的条件。例如，用一个旋转变换一个图形，学生需要定义旋转的中心，旋转的方向以及旋转的角 在中间年级，学生应理解全等变换，在变换中全等图形重合，即变换保距。学生应将他们的变换知识扩展到伸缩，并能从量上描述变换。变换应是 912 年级学生解决几何问题的重要工具。例如，它们在全等与相似的学习中用到。复合变换的系统学习可以使中学生从几何角度认识函数集合的代数性质。学生将能作出有关变换性质的证明并用变换在其他领域进行证明。使用想象和空间推理解决数学内外的问题 空间想象包括建立二维和三维物体的表象并从不同方面认识同一物体。空间想象的一个方面包含二维和三维图形与性质的变换。在小学低年级学生用网格纸折方块作为学习预测一个网格纸能否折成一个方块的一步。在中间年级，学生应能作图并有俯视图或侧视图 通过各种几何物体的手工操作和使用能够旋转、伸缩二维和三维物体，学生发展想象技能。内各界人士征求意见这份文件以学校数学的原则和标准为题总结了自年公布美国学校数学课程与评价标准以来美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见对原标准重新进行修订提出了面向世纪新的课程与评价标准新的标准没有改变化有以下几个方面新标准把以前关于课程数学评价标准的三个文件分别于年年和年公布综合为一个文件使教师更容易掌握应教学哪些内容怎样教以及如何评价新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的它们成为制定课程三段改为四段和使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容方法和要求新标准开发阐述了学校数学教学十项标准的总观点并将其贯穿在各个年级的标准中通过具体的示例详细解释这些标准的前五项叫做内容标准包括数 随着年级的增高，学生应熟练分析和画出视图，数出组成部分，描述不能看到但能推出的，学生需要在当他们形成对全等、相似和变换的理解时，学会实际操作在头脑中改变实物的位置、方向和大小。想象可以用来作为形成推断或论证的工具。儿童确信如果他们把菱形看作旋转一个角度，它实际上是一个正方形。年龄稍大些的学生或许在证明两个三角形全等时，用空间推理决定合适的对应。在更高水平上，空间推理或许有助于比较平面曲域绕指定轴旋转所成的立体的体积，相似有助于学生认识比例关系。想象与空间推理因学生日常广泛接触计算机与其他技术而得以促进。通过将这一体验与学校几何相联系，学生可以获得解决几何与其他数学领域的问题的重要工具。在学生的整个发展过程中，几何与空间理解不仅增长也在结构上变化。虽然本标准阐明的焦点领域应在每个年级水平上详述，学生理解和打交道的几何物体将随他们不断升学而扩展。标准 4：测量 数学教学纲要应当包括对于测量的注意，使得学生能够 理解物体可测量的属性、测量单位和测量系统；应用各种技巧、工具和公式进行测量。说明：幼儿园前12 年级 由于测量在日常生活的各个方面的实用性和渗透性，因此它在 K12 年级以前的课程中是很重要的。学习测量的过程也提供了一个学习和应用其他数学知识（包括数字运算、几何猜想、统