考研数学三公式大全1_中学教育-中考.pdf

.资料.高等数学公式 导数公式：基本积分表：axxaaaxxxxxxxxxxaxxln1)(logln)(cotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tan22222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsinxxarcxxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxxdxxCxdxxxCxxdxxdxCxxdxxdxxx)ln(lncsccotcscsectanseccotcscsintanseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxaxadxCxxxdxCxxxdxCxxdxCxxdxarcsinln21ln21arctan1cotcsclncsctanseclnsecsinlncotcoslntan22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020.资料.三角函数的有理式积分：222212211cos12sinududxxtguuuxuux，A.积化和差公式：)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21coscos cos)cos(21sinsin B.和差化积公式：2cos2sin2sinsin 2sin2cos2sinsin 2cos2cos2coscos 2sin2sin2coscos 1.正弦定理：Aasin=Bbsin=Ccsin=2R（R 为三角形外接圆半径）2.余弦定理：a2=b2+c2-2bcAcos b2=a2+c2-2acBcos c2=a2+b2-2abCcos bcacbA2cos222 3.S=21aah=21abCsin=21bcAsin=21acBsin=Rabc4=2R2AsinBsinCsin=ACBasin2sinsin2=BCAbsin2sinsin2=CBAcsin2sinsin2=pr=)()(cpbpapp (其中)(21cbap,r 为三角形切圆半径)4.诱导公试 三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 sin cos tan cot-sin+cos-tg-ctg-+sin-cos-tg-ctg+-sin-cos+tg+ctg 2-sin+cos-tg-ctg 2k+sin+cos+tg+ctg 外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.5.和差角公式 sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(tgtgtgtgtg1)()1)(tgtgtgtgtg 6.二倍角公式：(含万能公式)212cossin22sintgtg 22222211sin211cos2sincos2costgtg 2122tgtgtg 22cos11sin222tgtg 22cos1cos2 7.半角公式：（符号的选择由2所在的象限确定）2cos12sin 2cos12sin2 2cos12cos 2cos12cos2 2sin2cos12 2cos2cos12 2sin2cos)2sin2(cossin12 sincos1cos1sincos1cos12tg 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：sin cos tan cot 2+cos+sin+ctg+tg 2+cos-sin-ctg-tg 23-cos-sin+ctg+tg 23-cos+sin-ctg-tg 外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(多元函数微分法及应用 zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22 多元函数的极值及其求法：不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx 常数项级数：外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112 级数审敛法：散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛：时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn 函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.幂级数：0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于 一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm 欧拉公式：2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或 微分方程的相关概念即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将)(，)(，则设的函数，解法：，即写成),(),(程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。)()(得：)()(的形式，解法：)()(为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程0),(),(或),(一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy 一阶线性微分方程：外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.)1,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr 的形式，21rr(*)式的通解 两个不相等实根)04(2 qp xrxrececy2121 两个相等实根)04(2 qp xrexccy1)(21 一对共轭复根)04(2 qp 242221pqpirir，)sincos(21xcxceyx 二阶常系数非齐次线性微分方程 型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx 线性代数公式大全最新修订 外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.1、行列式 1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：、ijA和ija的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM 4.设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)n nDD；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则(1)22(1)n nDD；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD；5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积(1)2(1)n n；、拉普拉斯展开式：AOACA BCBOB、(1)m nCAOAA BBOBC、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnkn kkkEAS，其中kS为k阶主子式；7.证明0A 的方法：、AA；、反证法；、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；、利用秩，证明()r An；、证明 0 是其特征值；2、矩阵 1.A是n阶可逆矩阵：0A（是非奇异矩阵）；()r An（是满秩矩阵）外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax 有非零解；nbR，Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为 0；TA A是正定矩阵；A的行（列）向量组是nR的一组基；A是nR中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A：*AAA AA E 无条件恒成立；3.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABBA 4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAA，则：、12sAAAA；、111121sAAAA；、111AOAOOBOB；（主对角分块）、111OAOBBOAO；（副对角分块）、11111ACAA CBOBOB；（拉普拉斯）、11111AOAOCBB CAB；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组 1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEOFOO；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.对于同型矩阵A、B，若()()r Ar BAB；2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若(,)(,)rA EEX ，则A可逆，且1XA；、对矩阵(,)A B做初等行变化，当A变为E时，B就变成1A B，即：1(,)(,)cA BE A B；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(,)(,)rA bE x，则A可逆，且1xA b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、12n，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；、对调两行或两列，符号(,)E i j，且1(,)(,)E i jE i j，例如：1111111；、倍乘某行或某列，符号()E i k，且11()()E i kE ik，例如：1111(0)11kkk；、倍加某行或某列，符号()E ij k,且1()()E ij kE ijk，如：11111(0)11kkk；5.矩阵秩的基本性质：、0()min(,)m nr Am n；、()()Tr Ar A；、若AB，则()()r Ar B；、若P、Q可逆，则()()()()r Ar PAr AQr PAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max(),()(,)()()r A r Br A Br Ar B；（）、()()()r ABr Ar B；（）、()min(),()r ABr A r B；（）、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且0AB，则：（）、B的列向量全部是齐次方程组0AX 解（转置运算后的结论）；、()()r Ar Bn、若A、B均为n阶方阵，则()()()r ABr Ar Bn；6.三种特殊矩阵的方幂：外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.、秩为 1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如101001acb的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnnmn mmnnnnmmn mnnnnnnmabC aC abC abCa bC bC a b ；注：、()nab展开后有1n 项；、0(1)(1)!11 2 3!()!mnnnnn nnmnCCCmm nm、组合的性质：11110 2nmn mmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An ；、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAXX AA AA XX ；、*1AA A、1*nAA 8.关于A矩阵秩的描述：、()r An，A中有n阶子式不为 0，1n 阶子式全部为 0；（两句话）、()r An，A中有n阶子式全部为 0；、()r An，A中有n阶子式不为 0；9.线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；10.线性方程组Axb的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：、11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xa xaxbaxaxaxb ；、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb （向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.、1212nnxxaaax （全部按列分块，其中12nbbb ）；、1122nna xa xa x（线性表出）、有解的充要条件：()(,)r Ar An（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性 1.m个n维列向量所组成的向量组A：12,m 构成nm矩阵12(,)mA ；m个n维行向量所组成的向量组B：12,TTTm 构成mn矩阵12TTTmB；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关 0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出 Axb是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示 AXB是否有解；（矩阵方程）3.矩阵m nA与l nB行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax 和0Bx 同解；(101P例 14)4.()()Tr A Ar A；(101P例 15)5.n维向量线性相关的几何意义：、线性相关 0；、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；、,线性相关,共面；6.线性相关与无关的两套定理：若12,s 线性相关，则121,ss 必线性相关；若12,s 线性无关，则121,s 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版74P定理 7)；向量组A能由向量组B线性表示，则()()r Ar B；（86P定理 3）向量组A能由向量组B线性表示 AXB有解；()(,)r Ar A B（85P定理 2）外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.向量组A能由向量组B等价()()(,)r Ar Br A B（85P定理 2 推论）8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵12,lP PP，使12lAP PP；、矩阵行等价：rABPAB（左乘，P可逆）0Ax与0Bx 同解、矩阵列等价：cABAQB（右乘，Q可逆）；、矩阵等价：ABPAQB（P、Q可逆）；9.对于矩阵m nA与l nB：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则0Ax 与0Bx 同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10.若m ss nm nABC，则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx 的解一定是0ABx 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、0ABx 只有零解0Bx只有零解；、0Bx 有非零解0ABx 一定存在非零解；12.设向量组12:,n rrBb bb可由向量组12:,n ssAa aa线性表示为：（110P题 19 结论）1212(,)(,)rsb bba aaK（BAK）其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关()r Kr；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()rr Br AKr Kr Krr Kr；充分性：反证法）注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵m nA，存在n mQ，mAQE()r Am、Q的列向量线性无关；（87P）、对矩阵m nA，存在n mP，nPAE()r An、P的行向量线性无关；14.12,s 线性相关 存在一组不全为 0 的数12,sk kk，使得11220sskkk 成立；（定义）1212(,)0ssxxx 有非零解，即0Ax 有非零解；12(,)srs，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax 的解集S的秩为：()r Snr；16.若*为Axb的一个解，12,n r为0Ax 的一个基础解系，则*12,n r 线性无关；（111P题 33 结论）外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.5、相似矩阵和二次型 1.正交矩阵TA AE或1TAA（定义），性质：、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0Tijija ai jnij；、若A为正交矩阵，则1TAA也为正交阵，且1A ；、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：12(,)ra aa 11ba；1222111,b ababb b 121121112211,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb;3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.、A与B等价 A经过初等变换得到B；PAQB，P、Q可逆；()()r Ar B，A、B同型；、A与B合同 TC ACB，其中可逆；Tx Ax与Tx Bx有相同的正、负惯性指数；、A与B相似 1PAPB；5.相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则TC ACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；7.n元二次型Tx Ax为正定：A的正惯性指数为n；A与E合同，即存在可逆矩阵C，使TC ACE；A的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于 0；0,0iiaA；(必要条件)考研概率论公式汇总 1随机事件及其概率 吸收律：AABAAAA)(ABAAAAA)(外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.)(ABABABA 反演律：BABA BAAB niiniiAA11 niiniiAA11 2概率的定义及其计算)(1)(APAP若BA )()()(APBPABP 对任意两个事件A,B,有)()()(ABPBPABP 加法公式：对任意两个事件A,B,有 )()()()(ABPBPAPBAP )()()(BPAPBAP)()1()()()()(2111111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP 3条件概率 ABP)()(APABP 乘法公式 )0)()()(APABPAPABP )0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP 全概率公式 niiABPAP1)()()()(1iniiBAPBP Bayes 公式)(ABPk)()(APABPk niiikkBAPBPBAPBP1)()()()(4随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP 外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.5离散型随机变量(1)0 1 分布1,0,)1()(1kppkXPkk(2)二项分布),(pnB若P(A)=p nkppCkXPknkkn,1,0,)1()(*Possion 定理0limnnnp 有 ,2,1,0!)1(limkkeppCkknnknknn(3)Poisson 分布 )(P ,2,1,0,!)(kkekXPk 6连续型随机变量 (1)均匀分布 ),(baU 其他,0,1)(bxaabxf 1,0)(abaxxF (2)指数分布 )(E 其他,00,)(xexfx 0,10,0)(xexxFx (3)正态分布 N(,2)xexfx222)(21)(xttexFd21)(222)(*N(0,1)标准正态分布 外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.xexx2221)(xtexxtd21)(22 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量(X,Y)的分布函数 xydvduvufyxF),(),(边缘分布函数与边缘密度函数 xXdvduvufxF),()(dvvxfxfX),()(yYdudvvufyF),()(duyufyfY),()(8.连续型二维随机变量 (1)区域G 上的均匀分布，U(G)其他,0),(,1),(GyxAyxf (2)二维正态分布 yxeyxfyyxx,121),(2222212121212)()(2)()1(21221 9.二维随机变量的 条件分布 0)()()(),(xfxyfxfyxfXXYX0)()()(yfyxfyfYYXY外接圆半径余弦定理其中为三角形切圆半径诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号即函数名不变符号看象限资料和差角公式二倍角公式含万能公式半角公式符号的选择由所在的象拉格朗日中值定理当多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分多元函数的极值及其求法则为极大值时为极小值时无极值时不确定令设常数项级数资料是发散的调和级级数的审敛法根植审敛法柯西判别法时级数收敛时级数发散时不确定则设的绝对值其余项那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数绝对收敛与条件收敛时发散时收敛其中级数收敛级数收敛发散而调和.资料.dyyfyxfdyyxfxfYYXX)()(),()(dxxfxyfdxyxfyfXXYY)()(),()()(yxfYX)(),(yfyxfY)()()(yfxfxyfYXXY)(xyfXY)(),(xfyxfX)()()(xfyfyxfXYYX 10.随机变量的数字特征 数学期望 1)(kkkpxXEdxxxfXE)()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(kXEX 的 k 阶绝对原点矩)|(|kXE X 的 k 阶中心矩)(kXEXEX 的 方差)()(2XDXEXEX,Y 的 k+l 阶混合原点矩)(lkYXEX,Y 的 k+l 阶混合中心矩lkYEYXEXE)()(X,Y 的 二阶混合原点矩)(XYEX,Y 的二阶混合中心矩 X,Y 的协方差)()(YEYXEXEX,Y 的相关系数 XYYDXDYEYXEXE)()()()(X 的方差D(X)=E(X-E(X)2)()()(22XEXEXD 方差)()(),cov(YEYXEXEYX)()()(YEXEXYE)()()(21YDXDYXD 相关系数)()(),cov(YDXDYXXY