《高等数学》教案_小学教育-小学学案.pdf

学习必备 欢迎下载 高等数学授课教案 第一讲 高等数学学习介绍、函数 教学目的：了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。重 难 点：数学新认识，基本初等函数，复合函数 教学程序：数学的新认识函数概念、性质（分段函数）基本初等函数复合函数初等函数例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前 言：本讲首先是高等数学的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习（1）文化基础数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。2、对数学的新认识（1）新数学观数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。（3）新数学素质教育观数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。见教材“序言”二、函数概念 学习必备 欢迎下载 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。（用变化的观点定义函数），记：)(xfy（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。(2)值 域：函数值的集合，即),(Dxxfyy。例 1、求函数)1ln(2xy的定义域？2、函数的图像：设函数)(xfy 的定义域为 D，则点集),(),(Dxxfyyx 就构成函数的图像。例如：熟悉基本初等函数的图像。3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。分段函数的定义域：不同自变量取值范围的 并集。例 2、作函数0,20,)(2xxxxxf的图像？例 3、求函数?)1(),0(),1(010)(2fffxxxxf的定义域及函数值，三、基本初等函数 熟记：五种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。四、复合函数：设 y=f(u),u=g(x)，且与 x 对应的 u 使 y=f(u)有意义，则 y=fg(x)是 x 的复合函数，u 称为中间变量。说 明：(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。如：2,lnxuuy就不能构成复合函数。(2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。(3)复合函数的分解 从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。例 5、设?)(),(,2)(,)(2xfgxgfxgxxfx求 例 6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？(1)ln(sin2xy (2)xey2 (3)xy2arctan1 五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一个表达式所表示。说 明：（1）一般分段函数都不是初等函数，但xy 是初等函数；（2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。思考题：1、确定一个函数需要有哪几个基本要素？定义域、对应法则 的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载 2、思考函数的几种特性的几何意义？奇偶性、单调性、周期性、有界性 3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？不能 探究题：一位旅客住在旅馆里，图 15描述了他的一次行动，请你根据图形给纵坐标赋予某一个物理量后，再叙述他的这次行动.你能给图 15标上具体的数值，精确描述这位旅客的这次行动并用一个函数解析式表达出来吗？小 结：函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事物联系的多样性。作 业：P4（A：2-3）；P7（A：2-3）课堂练习（初等函数）【A组】1、求下列函数的定义域？(1)12 xy (2)xey (3)2logy(x-1)(4)4ln(12xxxy 2、判定下列函数的奇偶性？(1)()(xfxfy (2)xxeey (3)为自然数）nxyn(12 3、作下列函数的图像？(1)112xxy (2)xey (3)xysin 4、分解下列复合函数？(1)12 xy (2)xeysin (3)xy3sin11 (4)(cosln2xy 【B组】1、证明函数)1ln(2xxy为奇函数。2、将函数121xxy改写为分段函数，并作出函数的图像？图 15 时间 的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载 3、设)(,1)1(22xfxxxxf求？4、设)(xf=x11，求)(xff，)(xfff？数学认识实验：初等函数图像认识 1、幂函数：（如32,xyxyxy）2、指数与对数函数：（如xyeyxln,）-2-112X-1-0.50.511.52Y -2-11234X-1123Y 3、三角函数与反三角函数：（xyxyarccos,cos）4、多项式函数：（333123xxxy）-3-2-1123X-1123Y -4-2246-20-101020y13x3x23x 3 5、分段函数：（xyxysgn,）的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载-1-0.50.510.20.40.60.81 -2-112-1-0.50.51 第二讲 导数的概念（一）、极限与导数 教学目的：复习极限的概念及求法；理解导数的概念，掌握用定义求导数方法。重 难 点：求极限，导数定义及由定义求导法 教学程序：极限的定义及求法（例）导数的引入（速度问题）导数的概念 导数与极限基本初等函数的导数（定义法）例子（简单）授课提要：前 言：在前面的教学中，我们已讨论了变量间的关系(函数)，本节将复习函数的变化趋势(极限)，在此基础上讨论函数的变化率问题（即函数的 导数）。导数是高数的重点，它的本质是极限（比值的极限），在现实中有极丰富的应用。一、理论基础极 限（复习）1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义）2、极限的四则运算法则（略）3、求函数的极限（几类函数的极限）（1）若)(xf为多项式，则)()(lim00 xfxfxx 例 1：求下列极限 (1)12(lim21xxx (2)12(lim20 xxx (3)12(lim22xxx（2）若)()(xgxf为有理分式且0)(0 xg,则)()()()(lim000 xgxfxgxfxx（代入法）例 2：求下列极限 (1)121lim1xxx (2)322lim220 xxxx (3)11lim21xxx（3）若分式)()(xgxf,当0 xx 时，0)()(00 xgxf，则用约去零因子法求极限 的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载 例 3：求下列极限(1)11lim21xxx (2)138lim1xxx (3)132lim21xxxx（4）若分式)()(xgxf,当x时，分子分母都是无穷大，则适用 无穷小分出法求极限。例 4：求下列极限(1)121lim22xxx (2)1512lim22xxxx (3)121lim2xxx 3、两个重要极限 （1）1sinlim0 xxx （2）exexxxxx10)1(lim)11(lim或 说明：其中x可以是)(xu的形式，且当0 x时，0)(xu。例 5：求下列极限(1)xxx3sinlim0 (2)xxx5sin3sinlim0 (3)xxx10)31(lim(4)xxx)31(lim 二、导数定义（复习增量的概念）引例 1、速度问题（自由落体运动221gts）引例 2、切线问题（曲线2xy）以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数y 关于自变量 x 在某一点0 x处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极限，这种特殊的极限就是函数的导数。解决问题的思路：1、自变量 x 作微小变化x，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率xyy，作为点0 x处变化率的近似值；2、对y求x0 的极限xyx0lim，若它存在，这个极限即为点0 x处变化率的精确值。的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载 定 义：设函数)(xfy 在0 x点及附近有定义，当x在0 x点取得增量x时，相应函数取得增量)()(00 xfxxfy，若当0 x时，比值xy的极限存在，则称此极限值为)(xf在0 x处的导数或微商。记00)(xxdxdyxf或，即 xyxxfxxfxfxx00000lim)()(lim)(说明：(1)比值xy是函数)(xf在,00 xxx上的平均变化率；而)(0 xf 是)(xf在0 x处的变化率，它反映函数在点0 x随自变量变化的快慢程度；(2)若xyx0lim不存在（包括），则称)(xf在0 x点不可导；(3)若)(xf在（a,b)内每点可导，则称函数在（a,b）内可导，记)(xf，称 为导函数，简称导数。(4)f(x)是 x 的函数，而 f(x0)是一个数值，f(x)在点0 x处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在点 x0处的函数值。三、导数与极限的关系 导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数-有极限，反之不成立。四、基本初等函数的导数（定义）由定义知求函数导数的步骤：（三步骤）（1）求增量；（2）求比值；（3）求极限。例 6、由定义求函数Cy 的导数？例 7、由定义求函数xysin的导数？（推导）思考题：1、xxxsinlim是否存在，为什么？0 2、若曲线y=3x在),(00yx处切线斜率等于 3，求点),(00yx的坐标。3、已知xxcos)(sin，利用导数定义求极限xxx1)2sin(lim0。0 探究题：从求变速直线运动物体的瞬间速度问题解决方法中，你对“极限法”有什么体会？近似转化为精确的数学方法 的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载 小 结：导数的本质从微观（局部）上研究非均匀量（如：速度、密度、电流、电压等）的变化率问题，是处理非均匀量的“除法”；其思想方法：(1)在小范围内以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。从函数的观点看，导数是描述函数的局部线性形态，即可导函数表示的曲线在局部都可以近似为一条直线（切线），凭着切线的斜率，可以研究函数的整体性质（导数应用中的单调性、极值等）。作 业：P22（A：1-3；B：3-4）课堂练习（导数的概念一）【A组】1、求下列极限 (1)2230)32()12()1(limxxxx (2)11lim21xxx (3)321lim22xxxx（4）xxx2arcsinlim0 （5）xxx10)21(lim （6）xxx2arccoslim 2、求极限523)32()12()1(limxxxx？3、求极限：dbxxxa)1(lim？abe 4、已知1)12(lim2xxaxxx，求 a的值？2 5、用导数定义，求函数1)(2xxf在 x=1 处的导数？6、设物体的运动方程为32 ts，求(1)物体在 t=2 秒和 t=3 秒间的平均速度？(2)求物体在 t=2 秒时的瞬时速度？【B组】1、设txftxfexftx)()(lim,)(0求极限？xexf)(2、设函数)2(ln)0()1(lim)(fxtxxftt，求？2 3、证明导数公式：1)(xx 4、一药品进入人体 t 小时的效力5.40),39(27132ttttE，求 t=2,3,4 时的效力 E 的变化率？的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载 5、设处在则1)(,1,1,32)(23xxfxxxxxf A 。A、左右导数都存在 B、左导数存在，右导数不存在 C、右导数存在，左导数不存在 D、都不存在 6.若Aaxafxfax)()(lim（A为常数），试判断下列命题是否正确。全部（1）)(xf在点ax 处可导；（2）)(xf在点ax 处连续；（3）)()(afxf=)()(axoaxA；数学认识实验：两个重要极限的图像认识 1、极限：1sinlim0 xxx-1-0.50.51X0.850.8750.90.9250.950.975Y 2、极限：exxx)11(lim 2004006008001000X2.452.52.552.62.652.7Y 3、等价无穷小的直观认识：（xxxxtansin,0）的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载-3-2-1123X-2-112Y 第三讲 导数的概念（二）教学目的：熟悉导数基本公式；理解导数的几何意义，会求切线方程。重 难 点：基本导数公式，导数的几何意义（求切线方程）教学程序：复习导数定义基本导数公式例子（求导数）导数的几何意 义例子（切线方程）导数的物理意义（例子）授课提要：一、基本初等函数的导数 例 1、求2xy 的导数？（由导数的定义推导）于是我们有公式：xxxxCcos)(sin;)(;0)(1 同样，由定义可得基本初等函数的导数公式：xxeexxxx)(;1)(ln;sin)(cos 二、导数的运算法则（u,v 为可导函数）1、代数和：vuvu)(2、数 乘：ukku)(例 2、求下列函数的导数 (1)1322xxy (2)xxy12 (3)1sin3xy (4)xxy2 例 3、求函数在给定点的导数值？(1)xxy,tan (2)1,232xxeyx 的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载 三、导数的几何意义（作图说明）结论：)(0 xf 表示曲线 y=f(x)在点（x0,f(x0)）的切线斜率。例 4、求曲线21xxy在点(1,0)处的切线方程？例 5、设 f(x)为可导函数，且12)1()1(lim0 xxffx，求曲线 y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线斜率？导数定义及几何意义 四、导数的物理意义 结论：设物体运动方程为)(tsS，则)(ts表示物体在时刻 t 的瞬间速度。例 6、设物体的运动方程为322tts，求物体在时刻 t=1 时的速度？例 7、求曲线33123xxxy上一点，使过该点的切线平行于直线 022yx。13xx或 例 8、设某产品的成本满足函数关系：3)(2xxxC(x 为产量)，求 x=2 时的边际成本，并说明其经济意义。思考题：)(0 xf与)(0 xf有无区别？0)()(0 xxxfxf，0)(0 xf 探究题：导数)(0 xf 的值可不可以为负值？举例说明。可以 小 结：导数的美学意义：局部线性之美（)()(000 xfxxxfy（）。它将可导曲线在局部线性化，它是由函数局部性质研究函数整体性质的工具和方法。作 业：P25（A：1）；P28（A：1，3）课堂练习（导数概念二）【A组】1、求下列函数的导数(1)2xy (2)23xy (3)xysin2 (4)532xxy (5)xxy13 2、求下列函数的导数(1)3231xxy(2)xxxy321(3)xxyln(4)2xey 3、求函数xeyx2在 x=1 处的导数值？的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载 4、设?)2(),0(,3sin2)(2ffxxxf求 5、设物体的运动方程为1322tts，求时刻 t=3 时的速度？6、抛物线y=2x在何处切线与Ox轴正向夹角为4，并且求该处切线的方程.【B组】1、一球体受力在斜面上向上滚动，在 t 秒末离开初始位置的距离为23tts，问其初速度为多少？何时开始向下滚动？2、已知曲线212xy与xyln1相交于点（1，1），证明两曲线在该点处相切，并求出切线方程？数学认识实验：导数的几何意义和美学价值 1、导数的定义（切线问题）2、导数的几何意义：（41)4(,ln;41)4(,yxyyxy）246810123 3、导数的美学意义：曲线的局部线性化。)(xfy P Q dxx ydyxymsecdxdymtanxxx)(xf)(xxf xy的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载（1）在 x=0 处比较：曲线xysin与切线xy；（2）在 x=1 处比较：曲线12xy与切线xy2。-2-112X-1.5-1-0.50.511.5Y -2-1123X-2246Y 第四讲 求导公式与求导法则（一）教学目的：掌握基本导数公式与导数运算法则，会求简单函数的导数。重 难 点：基本导数公式与法则 教学程序：基本公式运算法则例子二阶导数的定义及求法 授课提要：一、基本导数公式 由导数的定义，我们可以得到如下基本导数公式：xxeexxxCxx1)(ln;)(;)(;1)(;0)(1 xxxxxxxx22csc)(cot;sec)(tan;sin)(cos;cos)(sin 二、导数的四则运算法则 设 u、v 为可导函数，则 1、vuvu 2、)0(kukku 3、vuvuuv 4、)0(2vvvuvuvu 例 1、求下列函数的导数(1)132xxy(2)xxy22(3)xexyln (4)xeyxcos 例 2、求函数在给定点的导数值？的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载(1)xxy,tan (2)1,232xxeyx 例 3、设222,lnxyyxxxy求证：例 4、已知曲线xxyln的切线与直线0322 yx垂直，求此切线方程？三、二阶导数 1、定义：若导函数)(xf 再求导数，称为)(xf的二阶导数。记：)(xf 2、求法：由定义知，求二阶导数的方法与求一阶导数的方法一致。例 5、求下列二阶导数(1)132xxy(2)xxy21(3)xexyln (4)xxey 3、二阶导数的物理意义 设物体的运动规律为：)(tss，则)(ts表示物体在时刻 t 的加速度。例 6、设物体的运动方程为：2233tts，求 t=2 时的速度和加速度？思考题：1.思考下列命题是否成立？(1)若)(xf，)(xg在点0 x处都不可导，则)()(xgxf点0 x处也一定不可导.答：命题不成立.如：)(xf=,0,0,0 xxx )(xg=,0,0,0,xxx)(xf，)(xg在x=0 处均不可导，但其和函数)(xf+)(xg=x 在x=0 处可导.(2)若)(xf在点0 x处可导,)(xg在点0 x处不可导，则)(xf+)(xg在点0 x处一定不可导.答：命题成立.原因：若)(xf+)(xg在0 x处可导，由)(xf在0 x处点可导知)(xg=)(xf+)(xg)(xf在0 x点处也可导，矛盾.探究题：某产品的需求方程和总成本函数分别为801.0 xP，xxC205000)(，其中x为销售量，P为价格。求边际利润，并计算150 x和400 x时的边际利润，解释所得结果的经济意义。导数的经济意义 的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载 小 结：导数的物理意义更深层次反映了导数的本质：研究非匀速物体运动的变化率。)(ts指路程对时间的变化率，)(ts指速度对时间的变化率。二阶导数的几何意义：反映曲线的凹向。作 业：P30（A：1-2）小知识：数学的三次危机 第一次数学危机：无理数的产生。（单位正方形的对角线长）第二次数学危机：微积分的产生和完善。（极限和无穷小的定义）第三次数学危机：集合论的产生。（罗素悖论）课堂练习（导数公式与法则一）【A组】1、求下列导数(1)3ln32xxy (2)xy2 (3)xxyln (4)2)(sin xy 2、曲线xexy32在何处有水平切线？x=-2/3 3、已知曲线xxyln的切线与直线0322 yx垂直，求此切线方程？e 4、求下列二阶导数 (1)xxyln32 (2)xy1 (3)xxyln 【B组】1、设曲线nxy 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点为(xn,0)，求极限)(limnnxf？2、若)0(3)3(lim,0)0(0fxxffx，求？1 3、设2)(0 xf，求hhxfhxfh)2()(lim000？-2 4、已知)()(2xxxf，)(x二阶连续可导，求)0(f？)0(2 5、设某种汽车刹车后运动规律为34.02.19ttS，假设汽车作直线运动，求汽车在4t秒时的速度和加速度。的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载 数学认识实验：函数与导函数的图像比较（xyxyxy6,3,23）-2-112X-2246Y 第五讲 求导法则（二）、连续与导数 教学目的：了解函数的连续性的概念，理解连续与导数的关系。重 难 点：基本导数公式，连续的几何直观、连续与可导的关系 教学程序：复习基本导数公式、法则连续概念（极限定义）连续的条件 初等函数的连续性可导与连续（例）连续函数的极限（例子）授课提要：一、复习基本导数公式和法则 举 例：（略）二、连续的概念（作图直观理解）1、定 义：设函数)(xfy 在 x0点及附近有定义，当0 xx 时,有)()(0 xfxf，则称 f(x)在 x0点连续。说明：连续是一种特殊的极限。连续有极限，反之不成立。例 1、试证xy 在 x=0 处连续？三、函数连续的条件（）f(x)在x0点及附近有定义（）f(x)在x0点的极限存在（）极限值等于函数值。的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载 例 2、讨论函数0,10,2xxxy在 x=0 处的连续性？四、初等函数的连续性 初等函数在定义区间内都是连续的。其图像是一条连绵不断的曲线。五、可导与连续 1、可导与连续的图象特征（1）连续函数的图像是一条连绵不断的曲线。（作图示例）（2）可导函数的图像不仅连绵不断，并且曲线具有平滑性（无尖点、折点）2、可导与连续的关系 定理：若函数 f(x)在 x0点可导，则 f(x)在点 x0连续；反之，结论不成立。例 3、试证函数xysin在 x=0 点连续但不可导。例 4、试证函数32xy 在 x=0 点连续但不可导,但切线存在。3、极限、连续、可导之间的关系 可导连续有极限；反之不一定成立。如0,10,)(2xxxxf在 x=0 处。六、连续函数的极限 若 f(x)在 x0点连续，则)()(lim00 xfxfxx 例 5、求下列极限 （1）21lim xx (2)xxcoslim （3）xxx)1ln(lim0 (4)24lim0 xxx 例 6、讨论0,10,cos1)(22xxxxxxf在 x=0处的连续性？思考题：x y y=|x|1 x y y=3x -1-1 1 的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载 1如果)(xf在0 x处连续，问|)(xf|在0 x处是否连续？连续 2 如果)(xf在0 x处可导，问|)(xf|在0 x处是否可导？不一定 3求函数xxxxf)1(1)(2的间断点，并判断其类型。探究题：作图说明函数不可导点的类型。不连续点、尖点、折点 小 结：连续函数的美学意义：和谐与奇异之美。连续体现的是自然和谐、社会发展的生生不息；间断则表现为不规则和与众不同，体现了自然界的丰富多彩和社会发展中的跳跃性。作 业：P34（A：1-2）；复习题（2-5）课堂练习（求导公式与法则二）【A组】1、求下列函数的导数(1)1322xxy (2)xxxyln12 (3)xxyln (4)11xxy 2、求函数xxyln3在 x=1 处的导数值？3、求曲线212323xxxy在点（-1，0）处的切线方程？37k 4、试定义 f(0)的值，使函数2211)(xxxf在 x=0 处连续？21)0(f 5、设0,0,1sin)(2xeaxxxxfx，问 a为何值时，函数在 x=0 处连续？2 【B组】1、作函数1,11,2xxxy的图像？2、设函数 f(x)在 x=2 处连续，且22)(lim2xxfx，求)2(f？2 3、设 f(x)有连续导数，21)(lim1)2(,2)2(32xxfffx，求？12 的图像及性质熟练复合函数的分解重难点数学新认识基本初等函数复合函数教学程序数学的新认识函数概念性质分段函数基本初等函数复合函数初等函数例子定义域函数的分解与复合分段函数的图像授课提要前言本讲首先是高等数的定量反映高等数学主要以函数作为研究对象因此必须对函数的概念图像及性质有深刻的理解一新教程序言为什么要重视数学学习文化基础数学是一种文化它的准确性严性应用广泛性是现代社会文明的重要思维特征是促进社会物质术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础是我们生活和工作的一种能力和技术智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力这种能力为人的一生提供持续发展的动力对数学的新认识新数学观数学是一门特殊的科学它为自然科学学习必备 欢迎下载 4、设1,1,)(2xbaxxxxf，问 a,b 为何值时，函数 f(x)处处连续、可导？5、x=1 是函数113xxy的（B ）（A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）无穷间断点*6、若 f(x)在0，a上连续，且 f(0)=f(a)，试证：方程)2()(axfxf在（0，a）内至少有一个实根。