偏微分方程数值解法试题与答案_高等教育-微积分.pdf
一填空（1553分）1若步长趋于零时，差分方程的截断误差0lmR，则差分方程的解lmU趋近于微分方程的解lmu.此结论_（错或对）；2一阶 Sobolev 空间)(,),()(21LfffyxfHyx 关于内积1),(gf_是 Hilbert 空间；3对非线性（变系数）差分格式，常用 _系数法讨论差分格式的_稳定性；4 写出3xy 在区间 2,1 上的两个一阶广义导数：_，_；5隐式差分格式关于初值是无条件稳定的.此结论_（错或对）。二（13 分）设有椭圆型方程边值问题 xunuuyuuyxyxyuxuyyxx2,1122.00,3.002.003.002222 用1.0h 作正方形网格剖分。（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化；（2）用截断误差为)(2hO的差分法将第三边界条件离散化；（3）整理后的差分方程组为 DCBAUUUU 三（12）给定初值问题 xutu ，10,xxu 取时间步长1.0，空间步长2.0h。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）,并以此格式求出解函数),(txu在2.0,2.0tx处的近似值。B D A C 1所选用的差分格式是：2计算所求近似值：四（12 分）试讨论差分方程 haharuuruuklklklkl11,1111 逼近微分方程 0 xuatu 的截断误差阶R。思路一：将 r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。五（12 分）对抛物型方程22xutu，考虑 Du Fort-Frankel格式 )(121111211klklklklklklUUUUhUU 试论证该格式是否总满足稳定性的 Von-Neumann 条件？六（12 分）（1）由 Green 第一公式推导 Green 第二公式：dsnvunuvvdxdyuvdxdyuGG)()(2 （2）对双调和方程边值问题 0,),(),(,),(),(),(2121212yxnuuyxgnuyxguGyxyxfu ，G21 选择函数集合（空间）为：推导相应的双线性泛函和线性泛函：),(vuA )(vF 相应的虚功问题为：极小位能问题为 七（12 分）设有常微分方程边值问题 1,1,)(byaybxaxfyy 积是空间对非线性变系数差分格式常用系数法讨论差分格式的稳定性写出在区间上的两个一阶广义导数隐式差分格式关于初值是无条件稳定的此结论错或对二分设有椭圆型方程边值问题用作正方形网格剖分用五点菱形差分格式将微步长空间步长试合理选用一阶偏心差分格式最简显格式并以此格式求出解函数在处的近似值所选用的差分格式是计算所求近似值四分试讨论差分方程逼近微分方程的截断误差阶思路一将带入到原式展开后可得格式是在点展开的思路试论证该格式是否总满足稳定性的条件六分由第一公式推导第二公式对双调和方程边值问题选择函数集合空间为推导相应的双线性泛函和线性泛函相应的虚功问题为极位能问题为七分设有常微分方程边值问题将区间作剖分若要求节 将区间,ba作剖分：bxxxxan210 1若要求节点基函数为分段三次多项式且有一阶连续导数，试写出基函数所应满足的插值条件：2画出基函数在,ba上的图形：3将有限元解*hy用基函数的形式表示出来：八（12 分）设有常微分方程边值问题 1)1(,0)0(10,2yyxxyy 1.转化为相应的变分问题 选择函数集合（空间）为：推导相应的双线性性泛函和线性泛函：),(zyA )(zF 2.将1,0二等分，采用线性元的有限元方法，导出有限元方程并求解。参考解答 二（1）1.0)4(10)4(12031210012CDAABcUUUUUhUUUUUh 即 801.148.14DCACBAuuuuuu （2）52.02.42599.02.42DCBDBAUUUUUU 或 08.12.3404.12.34DCBAUUUU （3）52.0599.0801.18.12.4210102.4214010114DCBAuuuu 或 积是空间对非线性变系数差分格式常用系数法讨论差分格式的稳定性写出在区间上的两个一阶广义导数隐式差分格式关于初值是无条件稳定的此结论错或对二分设有椭圆型方程边值问题用作正方形网格剖分用五点菱形差分格式将微步长空间步长试合理选用一阶偏心差分格式最简显格式并以此格式求出解函数在处的近似值所选用的差分格式是计算所求近似值四分试讨论差分方程逼近微分方程的截断误差阶思路一将带入到原式展开后可得格式是在点展开的思路试论证该格式是否总满足稳定性的条件六分由第一公式推导第二公式对双调和方程边值问题选择函数集合空间为推导相应的双线性泛函和线性泛函相应的虚功问题为极位能问题为七分设有常微分方程边值问题将区间作剖分若要求节 08.104.1801.18.12.3400002.3414010114DCBAuuuu 2238108.14104.121801.1hhhh 三 1.125.05.025.0)1(2)1()1(01000101200012101121UUUururrurruuru 四Box 格式，二阶 五练习题。总满足。六1在Green第一公式 GGyyxxvdsnudvuvuvdu中 将vu与位置对换，并进一步换uu 在原Green公式中换uu 2取2122121,gnuguHuuHF 0,0,121220nuuHuuH 20Hv,由Green第二公式有 vfvu,2 GGdsnvvdfdsnvnudvu2 GdsnvnudvuvuA2),(，)(vFGdsnvvdf 虚工问题：求2FHu，使 20,HvvFvuA 极小位能：求2FHu，使 uIuFuuAuIFHu2min,21 七11,2,1,0,0,1)(niijijAji 1,1,0,0)(niAji 积是空间对非线性变系数差分格式常用系数法讨论差分格式的稳定性写出在区间上的两个一阶广义导数隐式差分格式关于初值是无条件稳定的此结论错或对二分设有椭圆型方程边值问题用作正方形网格剖分用五点菱形差分格式将微步长空间步长试合理选用一阶偏心差分格式最简显格式并以此格式求出解函数在处的近似值所选用的差分格式是计算所求近似值四分试讨论差分方程逼近微分方程的截断误差阶思路一将带入到原式展开后可得格式是在点展开的思路试论证该格式是否总满足稳定性的条件六分由第一公式推导第二公式对双调和方程边值问题选择函数集合空间为推导相应的双线性泛函和线性泛函相应的虚功问题为极位能问题为七分设有常微分方程边值问题将区间作剖分若要求节 niAji,2,1,0)()1(niijijdxdjAi,2,1,0,1)1(2niiiniiihxmxyxy0)1(0*)()()(niiinniiixmxxxy1)1()1(010*)()()()(八1.取 010,11,00,11011yyHyyHyyHyyHE ,10H作内积 ,2xyy，分部积分 10210dxxdxyy FyA,虚工问题：求1EHy，使 10,HFyA 极小位能：求1EHy，使 yIyFyyAyIEHy1min,21 2.构造分段线性的结点基函数,1并补充20,则21*120*)(yxyyiii ,15.0125.00015.0225.00221xxxxxxx，有限元方程为：),()(),(211*111AFyA *1133y 25192+231311264 ，*10.47236y （理论解为：122()()21xxy xeexe，(0.5)0.47636y）积是空间对非线性变系数差分格式常用系数法讨论差分格式的稳定性写出在区间上的两个一阶广义导数隐式差分格式关于初值是无条件稳定的此结论错或对二分设有椭圆型方程边值问题用作正方形网格剖分用五点菱形差分格式将微步长空间步长试合理选用一阶偏心差分格式最简显格式并以此格式求出解函数在处的近似值所选用的差分格式是计算所求近似值四分试讨论差分方程逼近微分方程的截断误差阶思路一将带入到原式展开后可得格式是在点展开的思路试论证该格式是否总满足稳定性的条件六分由第一公式推导第二公式对双调和方程边值问题选择函数集合空间为推导相应的双线性泛函和线性泛函相应的虚功问题为极位能问题为七分设有常微分方程边值问题将区间作剖分若要求节
