2021年考研数学（三）真题.pdf
2021全国硕士研究生入学统一考试数学(三)(科目代码：303)一、选择题(110小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)(1)当工0时，(JJ 0(A)低阶无穷小(C)高阶无穷小eJ-1(2)函数/(x)=J-r11，(A)连续且取极大值(C)可导且导数为零l)dz是工？的().(B)等价无穷小(D)同阶但非等价无穷小处().(B)连续且取极小值.(D)可导且导数不为零在0工=0(3)设函数/(j;)=ax 61n x(a 0)有两个零点，贝j的取值范围是().a(A)(e,+*)(B)(0,e)(C)(oJ)(6(右+呵(4)设函数 fCx,y)可微，且+1,ex)=+l)2,j;2)=Zzln z,则 d/(l,1)=().(A)dr+Ay(E)cLz djy(C)dj/(D)-dj/(5)二次型/XG，工2力3)=(工1+2)2+(S+3)2(広3 Ml)的正惯性指数与负惯性指 数依次为().(B)l,l(A)2,0(02,1(D)l,2(6)设 A A (ct ct i 9 u 2,3,a,a为4阶正交矩阵=,k表示任意常数，则线性方程组BXBX =0=0的通解X=().(A)(Z 2+。3 Ct 4+ku!(B)(xB)(x!+of of 3+(X(X 4+ka 2(Oct (x 2+s ka 3(D)0t(X 2+。3 H-kci 4已知矩阵I；若存在下三角可逆矩阵P P和上三角可逆矩阵Q,Q,使嘶1 2 5）为对角矩阵，则P,QP,Q可以分别取（）./I 0 0/I 0 1(A)0 1 0,0 1 3o 0 U 0 0 1/1 0 0 d 0 1(C)2-1 0,0 1 3一3 2 U o 0 1（8）设为随机事件，且0 P（E）P(A),则 P(A|B)P(A)(C)若 PGA|B)P(A|B),则 P(A|B)P(A)(D)若 P(A|A U B)P(A|A U B),则 P(A)P(E)设（Xi，Yi）,（X2，Y2），“，（X”，Y”）为来自总体N（4，“2；看，话；）的简单随机样本,令 0=幻一 2,x=,y=,=12 I 26十兀-Yt,6=X-Y,则().,=i(A)E(0)=0,D(0)(C)E(0)工 0,D(&)（10）设总体X的概率分布为PX=1时+2 2po 1(7 2n(D)E(0)工 0,D(0)=-匕丄n字，利用来自总4(B)E(0)=0,D(0)102,PX=2=PX=3=n2 i 2十6n体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得0的最大似然估计值为（）.1 3 1 5（A）T（B）y（C）y（D）y二、填空题（1116小题，每小题5分，共30分.请将答案写在题中的横线上.）（11）若 y hcose-77，则翌|=ClX I x=l（13）设平面区域D由曲线夕=丘sin 7tj；（0 a：1）与z轴围成，则D绕z轴旋转所成的 旋转体的体积为_.（14）差分方程=t的通解为yt=_.x 1x(15)多项式/(j:)=2jc 22工1中工3项的系数为X1 x一 1 1（16）甲，乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一个球，令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 与Y的相关系数为_.三、解答题（1722小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本题满分10分）_ 1 11已知lim a arctan-（1十|jc|）存在，求a的值.r0 X(18)(本题满分12分)(T )2 I 2求函数/Cz,y)=21n|_r|+比_ 化”的极值.2x（19）（本题满分12分）设有界区域D是圆r2+y2=1和直线夕=工以及工轴在第一象限围成的部分，计算二重 积分彳y2）dj：dy.D（20）（本题满分12分）设n为正整数,y=yn（工）是微分方程xy （n+1）夕=0的满足条件歹”（1）的解.（I）求夕”（夂）;（n）求级数工几（工）的收敛域及和函数.n=1（21）（本题满分12分）/2 1 0设矩阵A=1 2 0仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a,b的值，并求1 a J可逆矩阵P,使P AP为对角矩阵.（22）（本题满分12分）在区间（0,2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X,较长一段的长 y度记为Y,令2=-.（I）求X的概率密度；（U）求Z的概率密度；（DI）求 E（y）.
